Inegalitate triunghiulară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Reprezentarea grafică a inegalității triunghiulare: suma laturilor x și y este întotdeauna mai mare decât latura z . În cazul în care triunghiul este aproape degenerat, această sumă se apropie de lungimea lui z

În matematică , inegalitatea triunghiulară afirmă că, într-un triunghi nedegenerat, suma lungimilor a două laturi este mai mare decât lungimea celei de-a treia. [1] O consecință a acesteia, inegalitatea triunghiulară inversă , afirmă în schimb că diferența dintre lungimile celor două laturi este mai mică decât lungimea restului.

În contextul geometriei euclidiene , inegalitatea triunghiulară este o teoremă , o consecință a teoremei cosinusului și, în cazul triunghiurilor dreptunghiulare , o consecință a teoremei pitagoreice . Poate fi folosit pentru a arăta că cea mai scurtă cale dintre două puncte este segmentul drept care le unește.

Un caz particular apare în triunghiurile degenerate , unde suma lungimilor celor două laturi mai scurte este egală cu lungimea laturii mai mari. În general, inegalitatea triunghiulară poate fi exprimată astfel: suma lungimilor celor două laturi ale unui triunghi (posibil degenerată) este mai mare sau egală cu lungimea celei de-a treia laturi.

În contextul spațiilor normate și al spațiilor metrice , inegalitatea triunghiulară este o proprietate pe care fiecare normă sau distanță trebuie să o aibă pentru a fi considerată ca atare. [2] [3]

Geometria euclidiană

Construcția lui Euclid pentru dovada inegalității triunghiulare

Euclid a demonstrat inegalitatea triunghiulară folosind construcția din figură. Începând cu un triunghi , un triunghi isoscel este construit luând latura și un segment aceeași lungime de-a lungul lateralei . Din moment ce unghiul este mai mare decât unghiul , pentru laturile opuse corespunzătoare se aplică aceeași inegalitate: prin urmare . Dar de atunci , avem asta , aceasta este inegalitatea căutată. Această demonstrație apare în Elements of Euclid, Book 1, Proposition 20. [4] În 1752, propoziția euclidiană face obiectul unei disertații a lui Tommaso Maria Gabrini , care confirmă teza. [5]

În cazul triunghiului unghiular, inegalitatea afirmă că suma celor două picioare este mai mare decât hipotenuza, în timp ce diferența este mai mică decât aceasta.

Generalizare la orice poligon

Inegalitatea triunghiulară poate fi extinsă, prin inducție matematică , la un poligon cu orice număr de laturi. În acest caz, se afirmă că lungimea unei laturi este mai mică decât suma tuturor celorlalte.

Relația cu cea mai scurtă cale dintre două puncte

Aproximarea unei curbe prin intermediul liniilor întrerupte

Inegalitatea triunghiulară poate fi utilizată pentru a demonstra că cea mai mică distanță dintre două puncte este realizată de segmentul drept care le unește (întotdeauna în plan).

În forma sa generală de poligon, demonstrează deja că orice cale de-a lungul unei linii întrerupte este mai lungă decât cea de-a lungul segmentului drept care unește cele două puncte. Deoarece lungimea oricărei curbe este definită ca extremă superioară a lungimii segmentelor care aproximează curba, avem că este mai lungă decât aceste segmente și, prin urmare, mai lungă decât segmentul drept dintre cele două puncte.

Spații metrice

În contextul spațiilor metrice, inegalitatea triunghiulară este o proprietate care trebuie să satisfacă o distanță pentru a fi astfel. Se afirmă că, într-un spațiu metric , cu toate acestea sunt alese trei puncte , Și , este adevarat ca:

[2]

Inegalitatea triunghiulară este responsabilă pentru multe proprietăți interesante ale metricelor, inclusiv cele referitoare la convergență: datorită acesteia se poate arăta că fiecare secvență convergentă dintr-un spațiu metric este o secvență Cauchy . [6]

Spații normate

Inegalitate triunghiulară pentru vectori normați: norma lui x + y este mai mică decât suma normelor lui x și y .

În sfera spațiilor normate, fiecare normă trebuie să satisfacă inegalitatea triunghiulară pentru a fi astfel. Prin urmare, considerat un spațiu vector normat , cu toate acestea, se aleg doi vectori Și trebuie să fie adevărat că

sau norma sumei a doi vectori este mai mică sau egală cu suma normelor lor. [3]

Datorită acelei proprietăți, plasarea pentru fiecare Și

functia este o metrică, numită metrică indusă de normă. [3] De fapt, inegalitatea triunghiulară are:

Valoare absolută

Valoarea absolută este o normă pentru numerele reale și, astfel, satisface inegalitatea triunghiulară. De fapt, deoarece relațiile următoare sunt valabile pentru fiecare Și :

Și

se obține adăugarea de membru în membru

deci inegalitatea triunghiulară (aplicarea uneia dintre proprietățile valorii absolute)

Mai precis,

  • de sine Și sunt de dezacord, atunci
  • dacă amândoi sunt de acord în semn .

Normă indusă de un produs scalar

Dacă un produs dot este definit pe un spațiu , este posibil să se definească norma indusă de aceasta:

Ca o consecință a inegalității Cauchy-Schwarz , aceasta satisface inegalitatea triunghiulară:

(Folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz)

din care, extragând rădăcina:

[7]

Inegalitate triunghiulară inversă

Inegalitatea triunghiulară inversă este o consecință imediată a inegalității triunghiulare, care dă o limită de jos în loc de sus. În contextul geometriei euclidiene se afirmă că fiecare parte este mai mare decât diferența celorlalte două.

În cazul spațiilor reglementate, se precizează că:

Cu toate acestea, în cazul spațiilor metrice:

Această proprietate implică faptul că este funcția normală că distanța funcționează de la un punct sunt funcții Lipschitz cu constantă Lipschitz egală cu 1.

Notă

  1. ^ Khamsi, Williams , p.8 .
  2. ^ a b Soardi, PM , p. 47 .
  3. ^ a b c Soardi, PM , p. 76 .
  4. ^ David E. Joyce, Euclid's elements, Book 1, Proposition 20 , on Euclid's elements , Dept. Math and Computer Science, Clark University, 1997. Accesat la 15 februarie 2013 .
  5. ^ Tommaso Maria Gabrini, Disertație despre a douăzecea propunere a primei cărți a lui Euclid , În Pesaro, în tipografia Gavelliana, 1752. Accesat la 13 iunie 2015 .
  6. ^ Soardi, PM , p. 114 .
  7. ^ Lang, Serge , pp. 22-24 .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică