Divizie (matematică)

Împărțirea este operația aritmetică inversă a multiplicării .

Descriere

Mai exact, dacă

a × b = c ,

c : b = a

(pentru a citi „ c împărțit la b ”). De exemplu, 6: 3 = 2, deoarece 2 × 3 = 6.

În expresia de mai sus, a reprezintă coeficientul ( quoto în cazul divizării fără rest), b divizorul (adică suma care împarte) și c dividendul (adică cantitatea care trebuie împărțită).

Diviziunea are proprietatea invariantă, adică coeficientul nu se schimbă dacă dividendul și divizorul sunt înmulțite cu aceeași cantitate diferită de zero (restul este înmulțit cu acea cantitate).

Expresia c : b este, de asemenea, scrisă " c / b " (citiți " c peste b " sau " c peste ' b " sau " c b -ths"; dacă b este un număr întreg pozitiv, altul decât 2, acesta se citește ca ordinal , plural dacă c este diferit de 1, de exemplu 2/3 citește „două treimi”, dar 3/2 citește „trei mijloace”), în special în matematică superioară, inclusiv aplicații la știință și inginerie , și în limbaje de programare . Această formă este, de asemenea, adesea folosită ca formă finală a unei fracții .

Împărțirea dintre două numere întregi a și b , cu b ≠ 0, constă în schimb în găsirea unei perechi de numere întregi q și r , numite coeficient și rest , astfel încât a = b × q + r și 0 ≤ r <| b |. (Se arată că o astfel de pereche de numere întregi există și este unică). Când r = 0, rezultatul împărțirii q se numește uneori quoto .

În engleză și pe calculatoarele electronice , simbolul diviziunii este obelusul care are o bară orizontală între cele două puncte: c ÷ b . În limba italiană această utilizare nu a fost niciodată atestată: obelusul este folosit uneori doar în inginerie și chimie pentru a indica un interval. Pe de altă parte, în utilizarea limbii engleze, colonul este utilizat doar pentru conceptul conex de relație .

Modalitățile de a citi o diviziune

A / B = C indică faptul că numitorul B este conținut în numărătorul A o cantitate de ori egală cu C.

Exemplu: 1 / 0,5 = 2

de fapt, după cum se poate vedea din exemplu, 0,5 este conținut de două ori în numeratorul 1.

Un al doilea mod de citire a diviziunii: A / B = C indică faptul că o unitate a numitorului (B) corespunde unităților C ale numărătorului A.

Exemplu: sunt 6 cireșe de pus pe 3 prăjituri. Câte cireșe am pe fiecare tort? 6/3 = 2

adică: fiecare unitate a numitorului va avea 2 unități ale numărătorului.

Exemplu: sunt 4 cireșe și doar jumătate de tort, câte cireșe am pe un tort întreg?

4 / 0,5 = 8.

Această a doua metodă de citire a diviziunii este o abordare deosebit de utilă pentru a înțelege calculul procentelor și conceptul de derivat. Intr-adevar:

Exemplu: într-un magazin un tricou costă 35 de euro și se vinde cu 7 euro reducere. Cât este reducerea procentuală?

7/35 = 0,2

Adică, la fiecare euro din prețul tricoului care este în numitor, îi corespund douăzeci de cenți din reducerea de 7 euro. Prin urmare, înmulțirea 0,2 cu 100 oferă procentul de reducere egal cu 20%.

Calculul diviziunii

Folosind tabelul de înmulțire , puteți împărți două numere întregi cu pix și hârtie.

Dacă dividendul are o parte fracțională exprimată ca o fracție zecimală , algoritmul poate fi continuat după unități; dacă divizorul are o parte fracționată, mutați virgula spre dreapta cu același număr de locuri - adăugând zerouri la dreapta dividendului dacă este necesar - până când divizorul devine un număr întreg. Prin urmare, pentru a face diviziunea 245.7: 3.78 vom face echivalentul 24570: 378.

O altă posibilitate pe care o avem pentru a simplifica conturile este de a vedea dacă dividendul și divizorul au un factor comun și îl eliminăm; diviziunea de mai sus este deci echivalentă cu 12285: 189 (eliminarea factorului 2) și din nou la 1365: 21 (eliminarea unui factor 9), 455: 7 (cu un factor 3), din care obținem imediat rezultatul final 65.

Puteți calcula împărțirea cu un abac , scriind dividendul în mod repetat și scăzând treptat divizorul, deplasat la stânga cât mai mult posibil. De fiecare dată când divizorul trebuie mutat spre dreapta, coeficientul va fi mutat și la o nouă cifră. Prin urmare, procedura este destul de similară cu cea a împărțirii pe hârtie, chiar dacă în acest caz există scurtătura utilizării multiplicărilor pentru a reduce numărul de scăderi necesare.

În aritmetica modulară , unele numere au un invers multiplicativ față de modul: de exemplu, în baza 7, 3 are inversul 5. În acest caz, împărțirea cu 3 poate fi calculată prin înmulțirea cu 5; această abordare este utilă pe computerele care nu au o instrucțiune rapidă de divizare.

Împărțirea între numere întregi

Același subiect în detaliu: întreaga divizie .

Împărțirea între numere întregi - chiar dacă nu se ia în considerare împărțirea cu zero , care nu este definită, nu este o operațiune închisă; adică există perechi de numere a și b astfel încât să nu existe un număr întreg c pentru care a : b = c . În aceste cazuri, se pot da mai multe răspunsuri posibile:

În ceea ce privește orice operațiune care nu este închisă, nedefinirea operației poate fi dată simplu: 39 nu poate fi împărțit la 15.
Putem scufunda setul de numere întregi într-un set în care operațiunea este închisă (în cazul nostru folosim de obicei câmpul raționalelor sau realelor ) și putem da răspunsul în acest nou set: de exemplu 39: 15 = 2, 6 sau $39/15=2+{\frac {3}{5}}$ ${\ displaystyle 39/15 = 2 + {\ frac {3} {5}}}$ $39/15 = 2+ \ frac {3} {5}$ .
Răspunsul poate fi dat sub formă de coeficient și rest folosind diviziunea euclidiană (vezi și domeniul euclidian ): în exemplul nostru vom scrie 39: 15 = 2 cu restul 9. Aceasta este abordarea utilizată atunci când predăm diviziuni în școala elementară .
În sfârșit, diviziunea întreagă este de asemenea utilizată pe scară largă, adică să se ia în considerare doar coeficientul ca răspuns, eliminând restul: 39: 15 = 2. În mod clar, această operație nu mai este operația inversă a înmulțirii.

Când împărțiți numere întregi într-un limbaj de programare, trebuie să verificați cu atenție definiția. În limbajul C , de exemplu, împărțirea între numere întregi este definită ca în cazul 4 de mai sus și, prin urmare, rezultatul va fi un număr întreg trunchiat; în alte limbi, cum ar fi MATLAB , pe de altă parte, începeți prin a converti numere întregi în numere reale (sau mai corect numere de mașină ) și obțineți un număr real ca răspuns, ca în cazul 2 de mai sus.

Împărțirea numerelor raționale

Spre deosebire de cazul anterior, numerele raționale sunt închise în ceea ce privește diviziunea, dacă divizorul nu este 0. Putem defini rezultatul împărțirii a două numere raționale p / q și r / s ca valoare

{p/q \over r/s}=(p\times s)/(q\times r).

{\ displaystyle {p / q \ over r / s} = (p \ times s) / (q \ times r).}

{p / q \ over r / s} = (p \ times s) / (q \ times r).

Toate cele patru valori sunt întregi și numai p poate fi 0. Această definiție asigură faptul că diviziunea este operația inversă a înmulțirii: de fapt, deducem imediat că

(p\times s)/(q\times r)\,\times \,r/s=(prs/qrs)=p/q.

{\ displaystyle (p \ times s) / (q \ times r) \, \ times \, r / s = (prs / qrs) = p / q.}

(p \ times s) / (q \ times r) \, \ times \, r / s = (prs / qrs) = p / q.

Cazuri speciale de divizare

Același subiect în detaliu: împărțirea la zero .

Cazuri speciale se referă la operațiunea de divizare atunci când 0 este dividendul sau divizorul. Rezultatul acestor operații poate fi nedeterminat sau imposibil. Dictată la orice număr real , alta decât zero, aceasta susține că:

Cazul 1 : 0: a = 0

Poate fi verificat cu ușurință datorită definiției: singurul număr înmulțit cu un număr diferit de zero dă zero este zero în sine, așa cum se aplică legea anularii produsului .

Cazul 2 : a : 0 =?

Cazul 3 : 0: 0 =?

De asemenea, în aceste două ultime cazuri, metoda de a rezolva impasul este de a lua în considerare definiția operației de împărțire, adică ca inversul înmulțirii. Rezolvarea cazurilor 2 și 3 este echivalentă cu căutarea soluției ecuației 0 × x = a ; aceasta are:

nicio soluție dacă a este diferită de 0 (cazul 2): nu există niciun rezultat al împărțirii a la 0, operația este imposibilă ;
soluții infinite dacă a este egal cu 0 (cazul 3): operația 0: 0 este nedeterminată .

În ambele cazuri, nu este posibil să se determine rezultatul care, după cum știm, trebuie să fie unic. Din acest motiv, diviziunea cu zero nu este definită și nu are sens.

Împărțirea numerelor reale

Rezultatul împărțirii a două numere reale este un alt număr real, dacă divizorul nu este 0. Dat fiind a și b , definim a / b = c dacă și numai dacă a = cb și b ≠ 0.

Împărțirea numerelor complexe

Chiar și pentru numerele complexe , precum și pentru numerele reale, diviziunea este o operație închisă, cu excepția cazului în care divizorul este zero, caz în care operația nu este definită.

Dacă numerele complexe sunt exprimate cu coordonate comune, rezultatul împărțirii $(p+iq)$ ${\ displaystyle (p + iq)}$ $(p + iq)$ pentru $(r+is)$ ${\ displaystyle (r + este)}$ $(r + este)$ , unde p , q , r și s sunt numere reale și r și s nu pot fi ambele nule, este dat de

{p+iq \over r+is}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.

{\ displaystyle {p + iq \ over r + is} = {pr + qs \ over r ^ {2} + s ^ {2}} + i {qr-ps \ over r ^ {2} + s ^ {2 }}.}

{p + iq \ over r + is} = {pr + qs \ over r ^ 2 + s ^ 2} + i {qr - ps \ over r ^ 2 + s ^ 2}.

Dacă numerele complexe sunt exprimate folosind coordonate polare , expresia este mai ușor de exprimat și de reținut: rezultatul împărțirii între $pe^{iq}$ ${\ displaystyle pe ^ {iq}}$ $de exemplu ^ {iq}$ Și $re^{is}$ ${\ displaystyle re ^ {is}}$ $re ^ {este}$ , cu p , q , r și s reale și finite și r diferite de zero, este dat de

{pe^{iq} \over re^{is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.

{\ displaystyle {pe ^ {iq} \ over re ^ {is}} = {p \ over r} e ^ {i (qs)}.}

{pe ^ {iq} \ over re ^ {is}} = {p \ over r} e ^ {i (q - s)}.

Diviziunea polinoamelor

Același subiect în detaliu: Împărțirea polinoamelor .

Împărțirea dintre două polinoame (cu coeficienți întregi) poate fi definită și ca operațiunea inversă a înmulțirii: ca în cazul numerelor întregi, vom obține în general un polinom coeficient și un rest. Pentru mai multe informații despre modul în care se desfășoară operațiunea, consultați regula lui Ruffini .

Împărțirea în algebră abstractă

În algebrele abstracte , cum ar fi cea a matricilor și în cuaternionuri , fracții precum ${a \over b}$ ${\ displaystyle {a \ over b}}$ ${a \ peste b}$ sunt de obicei definite ca $a\cdot {1 \over b}$ ${\ displaystyle a \ cdot {1 \ peste b}}$ $a \ cdot {1 \ peste b}$ sau $a\cdot b^{-1}$ ${\ displaystyle a \ cdot b ^ {- 1}}$ $a \ cdot b ^ {- 1}$ , când b este un element inversabil (adică, există un alt element c astfel încât bc = cb = 1, unde 1 este identitatea multiplicativă ; elementul c este scris în general ca b ^-1 ). Într-un domeniu al integrității , în care s-ar putea să nu existe inversuri, putem vorbi de anulare mai degrabă decât de „diviziune”, în ecuațiile formei ab = ac sau ba = ca , unde a este anulată de ambii membri.

Diviziunea și analiza matematică

Același subiect în detaliu: Analiza matematică .

Câtul Funcția de două funcții f și g este funcția h a cărei valoare la un punct x este dat de $h(x)={f(x) \over g(x)}$ ${\ displaystyle h (x) = {f (x) \ peste g (x)}}$ $h (x) = {f (x) \ peste g (x)}$ . Este definit la intersecția celor două domenii ale lui f și g , cu excepția valorilor x care anulează g .