Diviziunea euclidiană
Împărțirea euclidiană sau împărțirea cu rest este intuitiv operația care se face atunci când un număr a de obiecte este împărțit în grupuri de obiecte b fiecare și apoi se numără câte grupuri s-au format și câte obiecte au rămas. Numărul a se numește împărțitor , numărul b este divizorul , numărul de grupuri formate este coeficientul și numărul de obiecte rămase restul .
Posibilitatea de a face o astfel de subdiviziune pentru fiecare dividend și orice alt divizor decât zero este stabilită de următoarele
- Teorema
Dat fiind două numere întregi a și b cu b ≠ 0 există o singură pereche de numere întregi q și r numite coeficient și rest astfel încât:
- a = b × q + r
- 0 ≤ r <| b |
unde | b | indică valoarea absolută a divizorului.
Aceasta înseamnă că pentru fiecare întreg dividend a și divizorul b există doar o pereche de q câtul și restul r ( de asemenea , numere întregi) astfel încât adăugarea r cu produsul b prin q obținem dividend de pornire a. Restul r poate lua orice valoare pozitivă (chiar zero) strict mai mică decât b .
Exemple
- Dacă a = 7 și b = 3, avem q = 2 și r = 1 sau 7 = 2 × 3 + 1.
- Dacă a = 7 și b = −3, avem q = −2 și r = 1, adică 7 = (−2) × (−3) + 1.
- Dacă a = −7 și b = 3, avem q = −3 și r = 2, adică −7 = (−3) × (3) + 2.
- Dacă a = −7 și b = −3, avem q = 3 și r = 2, adică −7 = 3 × (−3) + 2.
- Dacă a = 3 și b = 7, avem q = 0 și r = 3, adică 3 = 0 x 7 + 3.
Demonstrație
- Dovada existenței.
Să luăm în considerare ansamblul :
De fapt, acest set nu este gol
de sine da ai
de sine da ai
și din moment ce b ≠ 0 cel puțin unul dintre cele două produse trebuie să fie negativ.
Pentru principiul unei bune ordonări există un număr întreg non-negativ r care este minimul lui S , de aceea pentru un astfel de r există un număr întreg q astfel încât
mai mult, deoarece r este minimul lui S, trebuie să avem r <| b |. De fapt, dacă nu ar fi așa, am avea asta
este asta
prin urmare, r ' ar fi în S , dar din moment ce este mai mic decât r , care este minimul, am ajuns la un absurd.
- Demonstrație de unicitate
Să presupunem că există două perechi Și astfel încât:
atunci ai
- (*)
în plus, deoarece r și r ' sunt pozitive și mai mici decât | b | :
deci de la (*) primim
adică
și întrucât este un număr întreg și pozitiv:
și prin urmare, din (*) deducem și noi
adică perechile sunt egale.
Generalizări
Ideea diviziunii cu rest poate fi extinsă la alte structuri algebrice, cum ar fi inelul polinomial . Un inel euclidian se numește inel în care deține o versiune generală a diviziunii euclidiene.
Aritmetica modulară
Diviziunea euclidiană este baza aritmeticii modulare. Fixat un număr întreg n putem împărți mulțimea de numere întregi în n clase (subseturi) în funcție de restul pe care îl dau odată împărțit la n . Cu alte cuvinte, se definește următoarea relație de echivalență: un întreg a se spune că este echivalent cu b modulo n dacă și numai dacă diferența ab este multiplu de n . Clasele de echivalență ale ,
în ceea ce privește această relație de echivalență formează un inel .
Întreaga divizie
Uneori, cu divizarea numerelor întregi se indică operația (indicată cu semnul ) definit de următoarea relație . Notatia indică funcția parte întreagă a . [1]
Această operație este uneori denumită și în software-ul de calcul div . Cu toate acestea, ca și pentru alte operații, este întotdeauna necesar să verificați specificațiile programului, deoarece simbolul div indică, de asemenea, un alt tip de diviziune în întregime bazat pe operația de trunchiere și nu pe operația de parte întreagă . [2]
Notă
- ^ Weisstein, Eric W., „Divizia întregului”. De la MathWorld - O resursă web Wolfram , la mathworld.wolfram.com . Adus la 16 octombrie 2012 .
- ^(EN) (EN) Saman Amarasinghe, Walter Lee, Ben Greenwald,Strength Reduction of Integer Division and Form Operations in Languages and compilers for parallel computing: 14th International Workshop, LCPC 2001 Cuumberland Falls, KY, SUA, august 2001 lucrări revizuite / Henry G. Dietz (ed.) , Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag , 2003, pp. 254 -273, ISBN 3-540-04029-3 .
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre divizia euclidiană