Împărțitor

În matematică , un număr întreg $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este divizorul unui întreg $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ dacă există un număr întreg $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât $a=b\cdot c$ ${\ displaystyle a = b \ cdot c}$ $a = b \ cdot c$ . De exemplu, 7 este un divizor de 42 în asta $42=7\cdot 6$ ${\ displaystyle 42 = 7 \ cdot 6}$ $42 = 7 \ cdot 6$ . Se mai spune că 7 împarte 42 , sau că 42 este divizibil cu 7 sau că 42 este multiplu de 7 , iar noi scriem $7\mid 42$ ${\ displaystyle 7 \ mid 42}$ $7 \ mijloc 42$ . Separatoarele pot fi atât pozitive, cât și negative. Divizorii pozitivi ai 42 sunt {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

Cazuri speciale: 1 și -1 divide orice număr întreg, și orice număr întreg este un divizor de 0. Numerele divizibil cu 2 sunt numite chiar , în timp ce aceia care nu sunt sunt numite ciudat . Numele este legat de faptul că întregul nu este nul $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ împarte întregul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ dacă și numai dacă în diviziunea cu rest de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ pentru $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ restul este zero.

Reguli pentru separatoare mici

Același subiect în detaliu: criterii de separabilitate .

Există câteva reguli utile pentru a înțelege pur și simplu câțiva divizori mici ai unui număr uitându-se la zecimale:

un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră este divizibilă cu două (adică dacă este par). Exemplu: 45 este un număr impar, prin urmare nu este divizibil cu doi, în timp ce 1478 este par și, prin urmare, este divizibil cu doi;
un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este multiplu de trei. Dacă rezultatul trebuie să fie mai mare de 9, adăugați cele două sau mai multe cifre ale rezultatului și determinați dacă sunt multipli (adică divizibili) cu trei. Exemplu: Suma cifrelor care alcătuiesc numărul 213 este 6, deci 213 este divizibil cu trei. Cu toate acestea, în cazul lui 579, suma se dovedește a fi 21. Deoarece 2 + 1 este egal cu trei, 579 este, de asemenea, divizibil cu trei;
un număr este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele sale două cifre este multiplu de 4 sau două zerouri. Exemplu: numărul 144 se termină cu cifrele 44 și, din moment ce cele patru se încadrează în 44, numărul 144 este divizibil cu 4. 500 este, de asemenea, divizibil cu patru;
un număr este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5. Exemplu: Atât 5025 cât și 19830 sunt divizibile cu 5, spre deosebire de 783.
un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil atât cu 2, cât și cu 3 (vezi mai sus). Exemplu: numărul 96 este divizibil atât cu 2, cât și cu 3 și, prin urmare, este, de asemenea, divizibil cu 6;
un număr este divizibil cu 7 dacă scăderea dublei ultimei cifre din numărul fără ultima cifră rezultă divizibil cu 7 (de exemplu, 364 este divizibil cu șapte ca 36 - 2 × 4 = 28, care este divizibil cu 7) . Dacă numărul este prea mare, este posibil să îl împărțiți în grupuri de trei cifre de la dreapta la stânga, inserând semne alternante între fiecare grup (de exemplu, în loc de 1.048.576 este posibil să testați pe 576-048 + 1 = 529, care nu este divizibil cu șapte ca 52-18 = 34 nu este). Un număr poate fi, de asemenea, divizibil cu 7 dacă este suma dintre triplul cifrelor care preced cifra finală a unui număr și cifra sa finală (să luăm numărul 380233, este divizibil cu 7 deoarece 38023 x 3 + 3 este egal la un număr divizibil cu 7);
un număr este divizibil cu 8 dacă numărul dat de ultimele trei cifre este;
un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale reprezintă un multiplu de nouă;
un număr este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este 0;
un număr este divizibil cu 11 dacă, după adăugarea cifrelor într-o poziție pară și a celor în poziție impar, diferența dintre cel mai mare și cel mai mic dintre aceste rezultate este la rândul său divizibilă cu 11. Exemplu: În numărul 4257, cifrele care ocupă o poziție impară (prima și a treia, în acest caz), adică 4 și 5, trebuie adăugată cu cei care ocupă o poziție pară (în acest caz, doar a doua și a patra cifră), adică 2 și 7. Suma cifrelor care ocupă o poziție impar este 9, cea a cifrelor într-o poziție pară este, de asemenea, 9. Diferența este, prin urmare, egală cu zero (care este divizibil cu 11);
un număr este divizibil cu 12 dacă este divizibil atât cu 3, cât și cu 4
un număr este divizibil cu 13 dacă scădem de 9 ori ultima cifră din numărul privat al acestuia, rezultatul este divizibil cu 13 (de exemplu 858 este divizibil ca 85-9 × 8 = 13, care este clar divizibil cu 13). Metoda de împărțire a numerelor mari în grupuri de trei cifre, explicată în legătură cu divizibilitatea cu 7, funcționează și în acest caz. Un număr poate fi divizibil cu 13 chiar dacă este suma de patru ori cifra finală a unui număr și a tuturor cifrelor care îl preced (de exemplu, 123071 este divizibil cu 13 deoarece este 1 x 4 + 1 + 2 + 3 + 0 + 7).
un număr este divizibil cu 14 dacă este divizibil atât cu 2, cât și cu 7
Un număr este divizibil cu 15 dacă este divizibil atât cu 3, cât și cu 5
un număr este divizibil cu 17 dacă diferența (luată ca valoare absolută), între numărul obținut prin eliminarea cifrei unităților și a cvintuplului cifrei unităților este 0, 17 sau un multiplu de 17 (numere cu mai mult de două cifre) , sau dacă în ea diferența dintre cifrele sale precedente ultima și ultima înmulțite cu 5 este egală cu 0, 17 sau cu un multiplu de 17
un număr este divizibil cu 19 , după descompunerea sa în formă $100a+b$ ${\ displaystyle 100a + b}$ $100a + b$ , numai dacă este divizibil $a+4b$ ${\ displaystyle a + 4b}$ $a + 4b$ , sau dacă în ea diferența dintre cifrele sale înainte de ultima înmulțită cu nouă și ultima este egală cu 0, 19 sau un multiplu de 19 (de exemplu 817 este divizibil cu 19 deoarece este 81 x 9 - 7)
un număr este divizibil cu 20 dacă ultima cifră este 0 și următoarea este 0,2,4,6 sau 8.
un număr este divizibil cu 23 dacă suma cifrei zecilor și a șapte ori a cifrei unităților este divizibilă cu 23 sau dacă în aceasta diferența dintre cifrele precedente, ultima și ultima înmulțită cu 16 este egală la 0, 23 sau multiplu de 23 (de ex. 1633 este divizibil cu 23 deoarece 163 - 3 x 16 este divizibil)
un număr este divizibil cu 25 dacă (și numai dacă) ultimele sale două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75
un număr este divizibil cu 29 dacă (și numai dacă) cifra zecilor adăugată la triplul cifrei unităților sale este, de asemenea, divizibilă (261 este divizibil ca 26 + 3 * 1 = 29), sau dacă în aceasta diferența dintre cifrele sale precedente ultima și ultima înmulțite cu 26 este egal cu 0, 29 sau multiplu de 29 (de exemplu, 957 este divizibil cu 29 deoarece este 95 - 7 x 26)

Proprietate

Câteva proprietăți fundamentale:

dacă un | b și a | c , apoi a | ( b + c )
dacă un | b și b | c , apoi a | c
dacă un | b și b | a , apoi a = b sau a = $-$ ${\ displaystyle -}$ $-$ b
dacă d | a și d | b , apoi d | ( am + bn )

Informatii suplimentare

Un divizor pozitiv al lui n altul decât n însuși se numește divizor propriu-zis .

numere prime

Un număr întreg n > 1 al cărui singur divizor propriu este 1 se numește număr prim .

Orice divizor pozitiv al lui n este un produs al factorilor primi ai lui n ridicați la o anumită putere (nu mai mare decât cel prezent în factorizarea lui n ). Aceasta este o consecință a teoremei fundamentale a aritmeticii .

Numere perfecte, defecte, abundente

Un număr egal cu suma propriilor divizori se numește număr perfect . Numerele mai mici ale sumei sunt numite defecte , cele mai mari abundente .

Numărul de separatoare

Numărul total al divizorilor pozitivi ai lui n este funcția multiplicativă d ( n ) (de exemplu, d (42) = 8 = 2 × 2 × 2 = d (2) × d (3) × d (7)). Suma divizorilor pozitivi ai lui n este o altă funcție multiplicativă σ ( n ) (de exemplu, σ (42) = 96 = 3 × 4 × 8 = σ (2) × σ (3) × σ (7)).

Observăm că dacă un număr $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este prim atunci are doi divizori, $p^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ $p ^ 2$ are trei separatoare etc. etc. În general $p^{M}$ ${\ displaystyle p ^ {M}}$ $p ^ M$ are $M+1$ ${\ displaystyle M + 1}$ $M + 1$ separatoare. Deci, dacă factorizarea înainte de n este dată de:

n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\,...\,p_{M}^{\nu _{M}}

{\ displaystyle n = p_ {1} ^ {\ nu _ {1}} \, p_ {2} ^ {\ nu _ {2}} \, ... \, p_ {M} ^ {\ nu _ { M}}}

n = p_1 ^ {\ nu_1} \, p_2 ^ {\ nu_2} \, ... \, p_M ^ {\ nu_M}

Atunci numărul divizorilor pozitivi ai lui n este:

d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)...(\nu _{M}+1)

{\ displaystyle d (n) = (\ nu _ {1} +1) (\ nu _ {2} +1) ... (\ nu _ {M} +1)}

d (n) = (\ nu_1 + 1) (\ nu_2 + 1) ... (\ nu_M + 1)

și fiecare divizor are forma:

p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\,...\,p_{M}^{\mu _{M}}

{\ displaystyle p_ {1} ^ {\ mu _ {1}} \, p_ {2} ^ {\ mu _ {2}} \, ... \, p_ {M} ^ {\ mu _ {M} }}

p_1 ^ {\ mu_1} \, p_2 ^ {\ mu_2} \, ... \, p_M ^ {\ mu_M}

Unde este:

\forall i:0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}

{\ displaystyle \ forall i: 0 \ leq \ mu _ {i} \ leq \ nu _ {i}}

\ forall i: 0 \ le \ mu_i \ le \ nu_i

(i = 1,2, ..., M)

De exemplu de când

$36000=2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}$ ${\ displaystyle 36000 = 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {3}}$ $36000 = 2 ^ 5 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 ^ 3$

asa de

$d(36000)=(5+1)(2+1)(3+1)=6\cdot 3\cdot 4=72$ ${\ displaystyle d (36000) = (5 + 1) (2 + 1) (3 + 1) = 6 \ cdot 3 \ cdot 4 = 72}$ $d (36000) = (5 + 1) (2 + 1) (3 + 1) = 6 \ cdot 3 \ cdot 4 = 72$

și, prin urmare, 36000 are 72 de divizori.

Din aceste considerații se poate arăta că un număr are un număr impar de divizori dacă și numai dacă este un pătrat perfect.

Relație indusă de divizibilitate

Relația | de divizibilitate face întregul $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb N$ de numere întregi nenegative o mulțime parțial ordonată , tocmai o rețea complet distributivă . Cel mai mare element al acestei rețele este 0 și cel mai mic este 1. Operațiunea $\wedge$ ${\ displaystyle \ wedge}$ $\ wedge$ este reprezentat de cel mai mare divizor comun în timp ce $\vee$ ${\ displaystyle \ vee}$ $\ vee$ din cel mai mic multiplu comun . Această rețea este izomorfă la dualul rețelei subgrupurilor grupului ciclic infinit $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb Z$

Reguli generale de divizibilitate

Dacă un număr întreg n este scris în baza b și d este un număr întreg astfel încât b ≡ 1 ( mod d ), atunci n este divizibil cu d dacă și numai dacă suma cifrelor sale din baza b este, de asemenea, divizibilă. Regulile date mai sus pentru d = 3 și d = 9 sunt cazuri speciale ale acestui ( b = 10).

Putem generaliza în continuare această metodă pentru a afla cum să verificăm, pe orice bază, divizibilitatea oricărui număr întreg cu orice număr întreg minor; adică pentru a determina dacă d | a bazat pe b . Mai întâi căutăm o pereche de numere întregi ( n , k ) astfel încât b ⁿ ≡ k (mod d ). Acum, în loc să adăugăm cifrele, luăm un (care are m cifre) și înmulțim primele m - n cifre cu k și adăugăm produsul la ultimele k cifre și repetăm dacă este necesar. Dacă rezultatul este un multiplu al lui d, atunci numărul original este, de asemenea, divizibil cu d . Câteva exemple:

Deoarece 10 ³ ≡ 1 (mod 37) ( b = 10, n = 3, k = 1, d = 37) atunci numărul a = 1523836638 poate fi dovedit divizibil cu 37 din moment ce: 1523836 × 1 + 638 = 1524474, 1524 × 1 + 474 = 1998, 1 × 1 + 998 = 999 (sau, mai simplu, deoarece în acest caz k = 1: 1 + 523 + 836 + 638 = 999); iar 999 este divizibil cu 37 datorită congenței văzute mai sus.

Din nou, 10 ² ≡ 2 (mod 7) ( b = 10, n = 2, k = 2, d = 7), dacă a = 43106 obținem 431 × 2 + 06 = 868; repetăm: 8 × 2 + 68 = 84 care este multiplu de 7. Rețineți că nu există un triplu unic ( n , k , d ); de fapt, am fi putut folosi și 10 ≡ 3 (mod 7) și deci 1293 × 3 + 6 = 3885, 388 × 3 + 5 = 1169, 116 × 3 + 9 = 357, 35 × 3 + 7 = 112, 11 × 3 + 2 = 35, 3 × 3 + 5 = 14 și în final 1 × 3 + 4 = 7. Desigur, acest lucru nu este întotdeauna eficient, dar rețineți că fiecare număr din serie (43106, 12936, 3885, 1169, 357, 112, 35, 14, 7) este un multiplu de 7 și se găsesc adesea multipli identificabili în mod trivial. Această metodă nu este neapărat utilă pentru unele numere (de exemplu 10 ⁴ ≡ 4 (mod 17) este primul n în care k <10), dar se pretează la calcule rapide în alte cazuri în care n și k sunt relativ mici.

Generalizări

S-ar putea vorbi despre conceptul de divizibilitate în orice domeniu al integrității . Vedeți intrarea aferentă pentru o definiție în acest context.

Elemente conexe

Tabelul factorilor primi - un tabel cu factorizarea numerelor de la 1 la 1000
Tabel divizor - un tabel cu divizori primi și neprimiți ai numerelor de la 1 la 1000
Criterii de separabilitate
număr prim
Funcția phi a lui Euler
Diviziunea euclidiană

linkuri externe

( EN )criterii de divizibilitate , pe cut-the-knot.org .
( EN ) divizibilitate cu 9 și 11 , pe cut-the-knot.org .
divizibilitate cu 7 , pe cut-the-knot.org .
divizibilitate cu 81 , pe cut-the-knot.org .
calculator factor - calculator care afișează factorii primi sau divizorii unui număr dat
( EN ) Factorizarea numerelor mari cu metoda curbelor eliptice (acceptă și expresii) - Site-ul personal al lui Dario Alpern , pe alpertron.com.ar .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică