Stăpânirea asupra idealurilor principale

În algebră , un domeniu cu idealuri principale (adesea prescurtat în PID , din English Principal Ideal Domain ) este un domeniu de integritate în care fiecare ideal este principal , adică generat de un singur element. Principalele domenii ideale sunt o clasă de inele foarte asemănătoare cu numerele întregi : fiecare element poate fi scris ca produs al elementelor prime (adică este un singur domeniu de factorizare ) și fiecare pereche de elemente are cel mai mare divizor comun care poate fi exprimat printr-un Identitatea Bézout .

Un inel comutativ unitar în care fiecare ideală este generat de un singur element (adică admite prezența la zero divizori, adică non-zero , a, b elemente astfel încât ab = 0) sunt numite principale inele ideale; uneori, totuși, „inelul idealurilor principale” este folosit pentru a indica domeniile idealurilor principale.

Exemple

Inelul Z al întregilor are idealuri principale.
Fiecare câmp K are idealuri principale într-un mod banal, deoarece singurele idealuri sunt (0) și K în sine, care este generat de 1.
Inelul K [ x ] al polinoamelor dintr-o variabilă x cu coeficienți într-un câmp K are idealuri principale; dimpotrivă, K [ x , y ] și Z [ x ] nu sunt, deoarece (respectiv) idealurile ( x , y ) și (2, x ) nu sunt principale.

Proprietate

Un domeniu cu idealuri principale este, de asemenea, o factorizare unică și, prin urmare, moștenește toate proprietățile acestui:

un element al inelului este prim dacă și numai dacă este ireductibil ;
fiecare element este inclus în produsul elementelor ireductibile, iar factorizarea este în esență unică (adică este unică, cu excepția cazului în care ordinea în care apar elementele ireductibile și dacă nu este înmulțită cu un element inversabil al inelului);
inelul este complet închis ;
fiecare pereche de elemente are cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun : mai precis, GCD între a și b este generatorul idealului generat de a și b , în timp ce mcm este generatorul idealului $(a)\cap (b)$ ${\ displaystyle (a) \ cap (b)}$ ${\ displaystyle (a) \ cap (b)}$ . Deoarece cel mai mare divizor comun face parte din ideal ( a , b ), acesta poate fi exprimat ca combinație liniară , adică fiecare pereche de elemente posedă o identitate Bézout .

PID-urile nu epuizează domeniile cu factorizare unică: de exemplu, inelele Z [ x ] și K [ x , y ] au o singură factorizare, dar nu idealuri principale. Un singur domeniu de factorizare are idealuri principale dacă și numai dacă are dimensiunea 1 sau 0 (în ultimul caz este un câmp).

Fiecare domeniu cu idealuri principale este noetheriene , și fiecare dintre ei nenulă prim ideală este maximă : combinat cu faptul că acesta este în întregime închis, acest lucru implică faptul că orice PID non-triviale (adică, că nu este un domeniu) este un domeniu Dedekind . Mai mult, un domeniu Dedekind are idealuri principale dacă și numai dacă este o factorizare unică.

O proprietate mai puternică de a fi cu idealuri principale este că este un domeniu euclidian ; un exemplu de PID non-euclidian este dat de inel $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {-19}}} {2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {-19}}} {2}} \ right]}$ .

Formulare

Structura modulelor generate finit pe un domeniu ideal principal este foarte simplă și este similară cu structura grupurilor abeliene generate finit: de fapt, grupurile abeliene sunt module Z și, prin urmare, clasificarea modulelor generate finit pe un PID poate fi văzut ca o generalizare a grupurilor abeliene.

Dacă A este un domeniu cu idealuri principale, fiecare modul A generat finit este o sumă directă a unui număr finit de module ciclice (adică generat de un singur element): fiecare dintre ele, în plus, este izomorfă la coeficientul $A/(x)$ ${\ displaystyle A / (x)}$ ${\ displaystyle A / (x)}$ Pentru o $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ (aceasta include și module gratuite , care pot fi obținute luând x = 0). Unicitatea reprezentării poate lua două forme: un modul poate fi scris ca

M=R^{k}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n})

{\ displaystyle M = R ^ {k} \ oplus R / (d_ {1}) \ oplus R / (d_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (d_ {n})}

{\ displaystyle M = R ^ {k} \ oplus R / (d_ {1}) \ oplus R / (d_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (d_ {n})}

cu $d_{i}|d_{i+1}$ ${\ displaystyle d_ {i} | d_ {i + 1}}$ ${\ displaystyle d_ {i} | d_ {i + 1}}$ , sau ca

M=R^{k}\oplus R/(q_{1})\oplus R/(q_{2})\oplus \cdots \oplus R/(q_{n})

{\ displaystyle M = R ^ {k} \ oplus R / (q_ {1}) \ oplus R / (q_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (q_ {n})}

{\ displaystyle M = R ^ {k} \ oplus R / (q_ {1}) \ oplus R / (q_ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus R / (q_ {n})}

unde i q _i sunt puteri ale elementelor prime; în ambele cazuri i d _i și q _i sunt diferite de 0 și 1. Dacă descompunerea în factori ciclici respectă una dintre aceste două forme canonice, atunci descompunerea este unică (în al doilea caz, până la ordinea factorilor).

Ca corolarii acestei clasificări obținem clasificarea spațiilor vectoriale de dimensiune finită (considerând A = K , deoarece modulele K- sunt exact spațiile K- vectoriale) și forma canonică Jordan pentru aplicații liniare pe un câmp închis algebric (considerând A = K [ T ]).

O altă proprietate a modulelor generate finit este următoarea: dacă M nu prezintă torsiune, atunci este liber. Acest lucru nu este adevărat în inele generice (luați doar un ideal non-principal) și nici pentru module pe un PID, dar nu sunt generate finit: un exemplu este modulul Z- Q al numerelor raționale .

Bibliografie

Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - o abordare algoritmică , Padova, Decibel-Zanichelli, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0 .
Thomas W. Hungeford, Algebra , New York, Springer, 1980, capitolul IV.6, pp. 218-226, ISBN 978-0-387-90518-1 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică