Domeniul lui Krull

În matematică , un domeniu Krull este un domeniu de integritate care este intersecția unei familii finite local de domenii de evaluare discrete . Domeniile Krull sunt, în același timp, o generalizare a domeniilor noetheriene închise integral (și, în special, a domeniilor Dedekind ) și a domeniilor de factorizare unică .

Își iau numele de la Wolfgang Krull (1899 - 1971).

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel comutativ unitar intact . $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu Krull dacă există o familie $\{V_{i}\}_{i\in I}$ ${\ displaystyle \ {V_ {i} \} _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle \ {V_ {i} \} _ {i \ în I}}$ a domeniilor de evaluare discrete (DVR) conținute în câmpul coeficienților de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $A=\bigcap _{i\in I}V_{i}$ ${\ displaystyle A = \ bigcap _ {i \ in I} V_ {i}}$ ${\ displaystyle A = \ bigcap _ {i \ in I} V_ {i}}$ și, pentru fiecare $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ , există doar un număr finit de $V_{i}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ $Tu$ astfel încât $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nu este inversabil în $V_{i}$ ${\ displaystyle V_ {i}}$ $Tu$ .

Echivalent, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu Krull dacă, pentru orice ideal prim $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de înălțime 1, localizarea $A_{P}$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ este un DVR, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este intersecția acestor locații și a fiecărui element $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ este cuprins într-un număr finit de idealuri prime de înălțime 1.

Proprietate

Fiind intersecția inelelor închise integral , fiecare domeniu Krull este închis integral.

Proprietatea de a fi un domeniu Krull îndeplinește unele proprietăți de stabilitate: orice locație $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ este încă un domeniu Krull, precum și închiderea sa integrală într-o extensie finită a câmpului său de cotizare; în mod similar, inelele de polinoame $A[\mathbf {X} ]$ ${\ displaystyle A [\ mathbf {X}]}$ ${\ displaystyle A [\ mathbf {X}]}$ și serii formale $A[[\mathbf {X} ]]$ ${\ displaystyle A [[\ mathbf {X}]]}$ ${\ displaystyle A [[\ mathbf {X}]]}$ în orice număr de nedeterminate sunt încă domenii Krull (pentru fiecare dintre cele trei definiții inelare ale seriei formale în nedeterminate infinite ^[1] ). În schimb, această proprietate nu este invariantă în ceea ce privește trecerea la coeficienți : de exemplu, inelul $K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})$ ${\ displaystyle K [X, Y] / (X ^ {2} -Y ^ {3})}$ ${\ displaystyle K [X, Y] / (X ^ {2} -Y ^ {3})}$ (unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp ) nici măcar nu este complet închis.

Intersecția unui număr finit sau a unui set finit local de domenii Krull este încă un domeniu Krull, în timp ce intersecția unei familii arbitrare poate să nu fie.

Se leagă cu inelele noetheriene

Toate domeniile noetheriene închise integral sunt domenii Krull: dacă, de fapt, $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un prim de înălțime 1, localizarea $A_{P}$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ ${\ displaystyle A_ {P}}$ este un domeniu noetherian local închis integral de dimensiunea 1 și, prin urmare, este un DVR; în plus, fiecare $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ este cuprins într-un număr finit de idealuri prime de înălțime 1 (de la inel $A/aA$ ${\ displaystyle A / aA}$ ${\ displaystyle A / aA}$ are un număr finit de primi minimi ). În schimb, toate domeniile Krull de dimensiunea 1 sunt noetheriene, adică sunt domenii Dedekind .

Câteva teoreme referitoare la inelele noetheriene se generalizează la domeniile lui Krull, deși este uneori necesar să se restricționeze câmpul lor de aplicare. De exemplu, domeniile lui Krull, cum ar fi inelele noetheriene, verifică principala teoremă ideală , în timp ce o teoremă care este doar parțial valabilă este cea privind existența descompunerii primare : dacă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal al unui domeniu Krull, $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ s-ar putea să nu fie descompozibil, dar cu siguranță este dacă este principal .

O altă legătură naturală între domeniile Noetherian și domeniile Krull este dată de teorema Mori-Nagata , care afirmă că închiderea integrală a unui domeniu Noetherian în câmpul său coeficient (sau, mai general, într-o extensie finită a câmpului său coeficient) este un domeniu Krull. Mai general, închiderea integrală a unui inel noetherian $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ redus (dar nu neapărat integral) în inelul său total de coeficienți este produsul direct al $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ domeniile Krull, unde $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este numărul primelor minime ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Proprietăți de factorizare

Toate domeniile Krull sunt atomice , adică fiecare element poate fi exprimat ca un produs de elemente ireductibile.

Fiecare domeniu unic de factorizare (UFD) este un domeniu Krull, deoarece primele de înălțime 1 ale unui UFD sunt principale; invers, un domeniu Krull ale cărui prime ale înălțimii 1 sunt principale sunt factorizarea unică. Pentru a „măsura” cât de departe este un domeniu Krull de a fi o factorizare unică, putem introduce un grup , numit grup de clase , care generalizează conceptul de grup de clase al unui domeniu Dedekind.

Un ideal fracționat $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ a unui domeniu Krull $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu câmp coeficient $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este divizor dacă $I=(A:(A:I))$ ${\ displaystyle I = (A: (A: I))}}$ ${\ displaystyle I = (A: (A: I))}}$ , unde este $(I:J):=\{x\in K\mid xJ\subseteq I\}$ ${\ displaystyle (I: J): = \ {x \ în K \ mid xJ \ subseteq I \}}$ ${\ displaystyle (I: J): = \ {x \ în K \ mid xJ \ subseteq I \}}$ . Setul idealurilor divizor este un grup sub operația de multiplicare între idealuri, care este izomorfă pentru grupul abelian liber generat de idealurile prime ale înălțimii 1; în special, orice ideal de divizare $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ are o descompunere primară

I=P_{1}^{(e_{1})}\cap \cdots \cap P_{n}^{(e_{n})}

{\ displaystyle I = P_ {1} ^ {(e_ {1})} \ cap \ cdots \ cap P_ {n} ^ {(e_ {n})}}

{\ displaystyle I = P_ {1} ^ {(e_ {1})} \ cap \ cdots \ cap P_ {n} ^ {(e_ {n})}}

unde i $P_{i}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$ sunt idealuri primare de înălțime 1, gli $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ sunt numere întregi pozitive și $P_{i}^{(e_{i})}=P_{i}^{e_{i}}A_{P_{i}}\cap A$ ${\ displaystyle P_ {i} ^ {(e_ {i})} = P_ {i} ^ {e_ {i}} A_ {P_ {i}} \ cap A}$ ${\ displaystyle P_ {i} ^ {(e_ {i})} = P_ {i} ^ {e_ {i}} A_ {P_ {i}} \ cap A}$ si $e_{i}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ -a puterea simbolică a $P_{i}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$ .

Grupul de clase de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este definit ca coeficientul dintre grupul idealurilor divizor și subgrupul idealurilor fracționare principale; se reduce la banal dacă și numai dacă grup $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o singură factorizare, adică dacă și numai dacă toate idealurile divizor sunt principale. De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu al Dedekind, apoi grupul de clase de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este altceva decât coeficientul dintre grupul idealurilor inversabile și subgrupul idealurilor fracționare principale.

Notă

^ Robert Gilmer, Power series ring over a Krull domain , în Pacific Journal of Mathematics , vol. 29, nr. 3, 1969, pp. 543-549.

Bibliografie

Robert Gilmer, Teoria ideală multiplicativă , New York, Marcel Dekker Inc., 1972, ISBN 0824712420 .
Pierre Samuel, Lectures on Unique Factorization Domains ( PDF ), Bombay, Tata Institute Of Fundamental Research, 1964.
Hideyuki Matsumura, Teoria inelului comutativ , Cambridge University Press, ISBN 978-0521367646 .
Irena Swanson și Craig Huneke, Închiderea integrală a idealurilor, inelelor și modulelor , Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-68860-4 .

linkuri externe

( EN ) VI Danilov, Krull ring , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Robert Gilmer, Power series ring over a Krull domain , în Pacific Journal of Mathematics , vol. 29, nr. 3, 1969, pp. 543-549.

[1]