Domeniul euclidian

În algebră , un domeniu euclidian sau inel euclidian este un inel comutativ pe care se poate face o diviziune euclidiană .

Definiție

Un domeniu al integrității $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este un inel euclidian dacă este posibil să se definească o funcție $d\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ ${\ displaystyle d \ colon R \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle d \ colon R \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {N}}$ care se asociază cu fiecare element non-nul $a\in R$ ${\ displaystyle a \ in R}$ ${\ displaystyle a \ in R}$ un număr natural $d(a)$ ${\ displaystyle d (a)}$ ${\ displaystyle d (a)}$ cu următoarele proprietăți:

$d(a)\leq d(a*b)\;\forall a,b\in R\setminus \{0\}$ ${\ displaystyle d (a) \ leq d (a * b) \; \ forall a, b \ in R \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle d (a) \ leq d (a * b) \; \ forall a, b \ in R \ setminus \ {0 \}}$
$\forall a,b\in R$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in R}$ ${\ displaystyle \ forall a, b \ in R}$ ,cu $b\neq 0\ \exists q,r\in R$ ${\ displaystyle b \ neq 0 \ \ există q, r \ în R}$ ${\ displaystyle b \ neq 0 \ \ există q, r \ în R}$ astfel încât $a=q*b+r$ ${\ displaystyle a = q * b + r}$ ${\ displaystyle a = q * b + r}$ Și $d(r)<d(b)$ ${\ displaystyle d (r) <d (b)}$ ${\ displaystyle d (r) <d (b)}$ sau $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle r = 0}$

În practică, această proprietate spune că este întotdeauna posibil să se facă o împărțire între două numere diferite de zero a și b , având coeficientul q și restul r , astfel încât restul r este „mai mic” decât b : exact ce se întâmplă cu numerele întregi. A fi „mai mic” se realizează prin funcție $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , numită evaluare .

Exemple

Inele euclidiene

inelul Z al întregilor , cu v ( n ) = | n | valoarea absolută a lui n ;
inelul Z [ i ] al întregilor Gaussieni , cu v ( a + bi ) = a ² + b ² ;
inelul K [ X ] al polinoamelor cu coeficienți într-un câmp K , cu v ( p ) egal cu gradul polinomului p ;
inelul K [[ X ]] al seriei formale de putere cu coeficienți într-un câmp K , cu v ( f ) egal cu gradul celui mai mic monomiu prezent în seria f .
orice câmp, pur și simplu cu v ( x ) = 1 pentru fiecare x .

Inele neeuclidiene

un inel care nu are idealuri principale nu este nici măcar euclidian. Este mai dificil să găsești un inel cu idealuri principale care să nu fie euclidian: un exemplu este dat de
$\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {-19}}} {2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {-19}}} {2}} \ right]}$

Proprietate

Fie A un inel euclidian.

A este un inel al idealurilor principale . De fapt, fiecare I ideal este generat de oricare dintre elementele din I având o evaluare minimă;
Algoritmul lui Euclid pentru găsirea celui mai mare divizor comun între două elemente funcționează în A ;
este posibil să se găsească o evaluare pe A astfel încât v ( ab ) ≥ v ( a ) pentru toate non-zero a și b ;
deoarece A are idealuri principale, este și un inel de factorizare unic : o evaluare cu proprietatea v ( ab ) ≥ v ( a ) poate fi utilizată pentru a găsi factorizarea direct.

Bibliografie

Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - o abordare algoritmică . Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică