Dualismul undă-particulă

In fizica , dualismul unda-particula sau dualism undă-particulă definește natura duală , atât corpusculare și val , a comportamentului materiei și a radiației electromagnetice .

Această caracteristică a apărut la începutul secolului al XX-lea , ca ipoteză în contextul teoriei cuantice și din interpretarea unor experimente. De exemplu, efectul fotoelectric , odată cu introducerea fotonului , a sugerat o natură corpusculară a luminii , care, pe de altă parte, a manifestat în mod clar proprietăți de undă în fenomenele de difracție și interferență ( experimentul lui Young ). În schimb, particule precum electronul au prezentat, de asemenea , proprietăți de undă în condiții adecvate.

Paradoxul a rămas așa până la apariția mecanicii cuantice , când a fost posibil să se descrie cele două aspecte într-un mod coerent, specificând modul de manifestare a dualismului prin principiul complementarității . Descoperirea ulterioară a limitelor acestui principiu a condus la depășirea, la nivel cuantic, a conceptelor de undă și particulă , deoarece acestea nu sunt adecvate pentru descrierea sistemelor fizice în acest context.

Interferența unei unde într-o fantă dublă (simulare numerică).
Distribuția particulelor clasice care au trecut printr-o fantă dublă (simulare numerică).
Interferența electronilor într-o fantă dublă (simulare numerică).
Interferența electronilor într-o fantă dublă (date experimentale). Imaginile se referă la creșterea numărului de electroni simpli, acumulați pe ecran în aval de fanta dublă.

Premise istorice

Newton și Huygens (secolul al XVII-lea)

Dezbaterea asupra naturii luminii a apărut în secolul al XVII-lea în urma contrastului dintre teoria corpusculară a lui Isaac Newton și teoria undelor lui Christiaan Huygens . ^[1]

Tânăr (1801)

În 1801 englezul Thomas Young a realizat experimentul fantei duble, ^[1] care a confirmat natura sa de undă: două raze de lumină (provenind din divizarea unei raze de pornire unice) au lovit două fante pe un ecran, apoi se propagă în regiunea din aval de fante, pentru a forma în cele din urmă o imagine luminoasă pe un al doilea ecran. Zona din centrul celui de-al doilea ecran nu este luminoasă, așa cum ne-am fi așteptat de la un model de particule, dar avea o bandă neagră, urmată orizontal de alte benzi alternative mai mult sau mai puțin strălucitoare, creând o imagine de interferență așa cum era de așteptat din undă model.

Fresnel (1818)

În 1818 Augustin-Jean Fresnel a participat la un concurs promovat de Academia Franceză de Științe pentru un eseu referitor la un studiu teoretic și experimental asupra luminii. La acea vreme subiectul era relevant mai ales datorită disputelor încă deschise cu privire la natura corpusculară sau a undelor luminii. La prezentarea studiilor lui Fresnel, care s-au bazat pe teoria undelor luminii , fizicianul și judecătorul de rasă Poisson , un susținător al teoriei corpusculare, a explicat că, în mod absurd, în urma acestor studii, un punct luminos (punctul lui Poisson ) ar fi trebuit să fie observat în centrul umbrei unui disc circular iluminat de o sursă punctuală. Totuși, acest fenomen a fost dovedit experimental de Poisson însuși, confirmând astfel opera lui Fresnel căruia i-a fost acordat premiul.

Foucault (1850)

În 1850, Léon Foucault , prin intermediul unei oglinzi rotative, a reușit

măsurați cu precizie (eroare de 1%) viteza c a luminii în vid;
arată că viteza de propagare a luminii în aer este mai mare decât în apă: $v_{aria}>v_{acqua}$ ${\ displaystyle v_ {air}> v_ {water}}$ ${\ displaystyle v_ {air}> v_ {water}}$ ;
arată că viteza luminii variază invers proporțional cu indicele de refracție al mediului în care se propagă: $v=c/n$ ${\ displaystyle v = c / n}$ ${\ displaystyle v = c / n}$ .

Al doilea rezultat a fost un experimentum crucis prin faptul că teoria undelor luminii a prezis acest rezultat, în timp ce teoria corpusculară newtoniană a prezis contrariul.

Maxwell (1865)

Cu ecuațiile lui Maxwell (1865) s-a înțeles că lumina vizibilă era doar o parte din spectrul radiației electromagnetice .

Fizică cuantică

Același subiect în detaliu: teoria cuantică .

Planck (1900)

Studiul spectrului de radiații ale corpului negru l-a determinat pe Planck în 1900 să avanseze ipoteza că interacțiunea dintre câmpul electromagnetic și materie a avut loc prin emisia sau absorbția pachetelor discrete de energie, numite cuante . ^[2]

Einstein (1905)

Modelul de undă al luminii, apărut în secolul al XIX-lea , părea încă corect la începutul secolului al XX-lea , dar în 1905 Einstein , cu o lucrare care i-a adus Premiul Nobel în 1921, a justificat efectul fotoelectric prin postularea existenței cante de lumină, particule formate din „pachete” de energie indivizibile și discrete^[3] care în 1926 vor fi numite fotoni de Gilbert N. Lewis . Prin urmare, această lucrare a identificat conceptul pur teoretic ( cuantica energiei ) introdus de Max Planck în 1900 într-o entitate fizică ( cuantica luminii ). $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ a unui foton cu frecvența $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ a luminii:

\ E=h\,\nu

{\ displaystyle \ E = h \, \ nu}

{\ displaystyle \ E = h \, \ nu}

unde este $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck .

Acum exista o dublă (undă după Maxwell, particulă după Einstein) și, prin urmare, o descriere problematică a fenomenelor luminoase. Natura corpusculară a radiației electromagnetice a fost confirmată definitiv în 1922 de descoperirea efectului Compton .

Einstein (1909)

Dualitatea undă-particulă s-a manifestat prin analiza statistică a lui Einstein a radiației corpului negru în 1909. Varianța $\sigma ^{2}({\bar {n}})$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}})}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}})}$ a arătat doi termeni, unul liniar și unul pătratic în ${\bar {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ , numărul mediu de cante energetice la frecvență $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ care trebuie atribuit fiecărui rezonator (atom) responsabil pentru emisia sau absorbția radiației:

\sigma ^{2}({\bar {n}})={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}}) = {\ bar {n}} + {\ bar {n}} ^ {2}}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}}) = {\ bar {n}} + {\ bar {n}} ^ {2}}

Această caracteristică a fost imediat desconcertantă deoarece se știa că sistemele de particule au o dependență liniară de ${\bar {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ de varianță :

\sigma ^{2}({\bar {n}})={\bar {n}}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}}) = {\ bar {n}}}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}}) = {\ bar {n}}}

în timp ce cele formate de unde prezintă o dependență pătratică:

\sigma ^{2}({\bar {n}})={\bar {n}}^{2}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}}) = {\ bar {n}} ^ {2}}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} ({\ bar {n}}) = {\ bar {n}} ^ {2}}

Spectrul de radiații al corpului negru, pe de altă parte, s-a comportat statistic atât ca sistem de particule, cât și ca sistem de unde. Einstein a realizat, de asemenea, că această caracteristică era inevitabilă: doar prezența ambilor termeni a garantat conservarea energiei sistemului.

De Broglie (1924)

Același subiect în detaliu: ipoteza lui de Broglie .

În 1924 Louis de Broglie a făcut un pas mai departe ipotezând că, la fel cum lumina are și proprietăți corpusculare, particulele trebuie să aibă și proprietăți de undă. ^[4] Pentru un corp cu impuls $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ de fapt a fost asociată un val de lungime $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ (numită mai târziu lungimea de undă de Broglie ):

\lambda ={\frac {h}{p}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}}

\ lambda = {\ frac {h} {p}}

Această relație este direct derivabilă, pentru fotoni, a ecuației Planck-Einstein $E=h\,\nu$ ${\ displaystyle E = h \, \ nu}$ ${\ displaystyle E = h \, \ nu}$ , deoarece relațiile sunt valabile pentru fotoni $c=\lambda \,\nu$ ${\ displaystyle c = \ lambda \, \ nu}$ ${\ displaystyle c = \ lambda \, \ nu}$ (viteza luminii în vid) e $p=E/c$ ${\ displaystyle p = E / c}$ ${\ displaystyle p = E / c}$ (impulsul unui foton) din care este derivat

\lambda ={\frac {c}{\nu }}={\frac {E}{p\,\nu }}={\frac {h\,\nu }{p\,\nu }}={\frac {h}{p}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {\ nu}} = {\ frac {E} {p \, \ nu}} = {\ frac {h \, \ nu} {p \, \ nu} } = {\ frac {h} {p}}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {\ nu}} = {\ frac {E} {p \, \ nu}} = {\ frac {h \, \ nu} {p \, \ nu} } = {\ frac {h} {p}}}

Analogiile dintre principiul Fermat în optică și principiul lui Maupertuis în dinamică l- au determinat pe de Broglie să asocieze o undă fizică cu fiecare particulă masivă. ^[4] Pentru de Broglie, din punct de vedere ontologic , coexistă particule și unde fizice, numite unde materiale tocmai pentru că însoțesc toate particulele.

Davisson și Germer (1927)

În 1927, fizicienii Clinton Joseph Davisson și Lester Halbert Germer au confirmat experimental predicțiile lui De Broglie direcționând un fascicul de electroni (care până atunci fusese asimilat particulelor) împotriva unei rețele cristaline și observând tiparele sale de difracție . ^[5] Acest experiment a confirmat ipoteza lui de Broglie cu privire la natura undelor particulelor și, împreună cu cea de difuziune Compton , care a evidențiat modul în care lumina s-ar putea comporta tipic unei particule, a completat imaginea dualismului undă-particulă.

Mecanica cuantică

Același subiect în detaliu: mecanica cuantică .

Născut (1926)

Odată ce a fost derivată ecuația Schrödinger , a apărut problema semnificației care trebuie atribuită funcției de undă $\psi (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t)}$ (corespunzând în general unui număr complex , deci lipsit de interpretare fizică) sau, mai precis, cantității

\rho (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\,\psi (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} = \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \, \ psi (\ mathbf {r}, t)}

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} = \ psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \, \ psi (\ mathbf {r}, t)}

(exprimat în schimb printr-un număr real , care poate fi interpretat fizic). Schrödinger s-a gândit inițial să interpreteze $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ în modul cel mai intuitiv, ca densitatea materiei conținută în volumul infinitesimal $dV=dx\,dy\,dz$ ${\ displaystyle dV = dx \, dy \, dz}$ $dV = dx \, dy \, dz$ , dar această ipoteză s-a dovedit a fi incorectă datorită împrăștierii progresive a pachetului de unde reprezentat de $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ . O soartă analogă, din același motiv, a încercat să interpreteze $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ca densitate de încărcare .

Max Born în 1926 a interpretat în schimb această densitate ca densitatea probabilității de a găsi particula într-un volum infinitesimal. Cu funcția Born the wave $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ încetează să mai fie (așa cum a fost pentru de Broglie) o entitate fizică înzestrată cu energie și impuls, pentru a deveni un număr complex ( amplitudine de probabilitate ) al cărui modul pătrat $\rho =|\psi |^{2}$ ${\ displaystyle \ rho = | \ psi | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho = | \ psi | ^ {2}}$ este o densitate de probabilitate . Pentru sistemele cu $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ particule, $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ nu este definit în spațiul fizic tridimensional, ci în spațiul abstract 3n-dimensional al configurațiilor . Prin urmare $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ nu poate reprezenta o entitate fizică, ci este în schimb o funcție matematică legată de probabilitate. Pentru Born, din punct de vedere ontologic , există doar particule, în timp ce unda materială a lui de Broglie „dispare” în amplitudinea probabilității.

Interpretarea probabilistică a funcției de undă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ a fost fundamental pentru înțelegerea rezultatelor ecuației Schrödinger și a devenit unul dintre postulatele interpretării de la Copenhaga a mecanicii cuantice.

Bohr (1927)

Schema interferometrului lui Michelson .

Dualismul undă-particulă a fost generalizat de principiul complementarității enunțat de Niels Bohr la Congresul internațional al fizicienilor din 1927 și publicat în articolul său ^[6] din 1928. Conform acestui principiu, în mecanica cuantică, aspectul undelor sau al undelor este alternativ. manifestat.corpuscular, în funcție de tipul de instrument utilizat pentru măsurare. ^[7] Acest lucru este echivalent cu a spune că aspectele de undă sau particule ale cuantonilor (entități cuantice precum fotoni , electroni , neutroni etc.) nu pot fi observate simultan: este un dualism în sensul etimologic al termenului.

Pentru Bohr, din punct de vedere ontologic , nu putem afirma nimic despre natura sistemelor microscopice, care rămâne de necunoscut pentru noi. Din punct de vedere epistemic , aceeași cuantonă se poate manifesta în schimb ca o undă sau ca o particulă, în funcție de tipul de instrument utilizat pentru observare.

Bohr nu a împărtășit niciodată interpretarea lui Heisenberg conform căreia relațiile de incertitudine se datorează perturbării asociate inevitabil cu procesul cuantic de măsurare. În schimb, el a susținut că acestea sunt o expresie a principiului complementarității. ^[8] Bohr a derivat incertitudinile de poziție / moment și energie / timp ale lui Heisenberg într-un mod alternativ, ^[6] pornind de la relațiile de dispersie Fourier , cunoscute din primul sfert al secolului al XIX-lea (vezi Derivările lui Bohr în principiul incertitudinii lui Heisenberg ).

Model de interferență cu două fante în caz de vizibilitate perfectă:

I_{min}=0

{\ displaystyle I_ {min} = 0}

{\ displaystyle I_ {min} = 0}

și, prin urmare, V = 1.

În cazul instrumentelor cu două moduri alternative ( fanta dublă , interferometru Mach-Zehnder , interferometru Michelson ) este posibil să se exprime cantitativ dualismul undă-particulă. Se numește vizibilitate marginală

V={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {I_ {max} -I_ {min}} {I_ {max} + I_ {min}}}}

{\ displaystyle V = {\ frac {I_ {max} -I_ {min}} {I_ {max} + I_ {min}}}}

in care $I_{max}$ ${\ displaystyle I_ {max}}$ $Eu _ {{max}}$ este valoarea maximă a intensității figurii de interferență și $I_{min}$ ${\ displaystyle I_ {min}}$ ${\ displaystyle I_ {min}}$ minimul. Vizibilitatea poate varia între $V=0$ ${\ displaystyle V = 0}$ ${\ displaystyle V = 0}$ (absența interferenței: $I_{max}=I_{min}$ ${\ displaystyle I_ {max} = I_ {min}}$ ${\ displaystyle I_ {max} = I_ {min}}$ ) Și $V=1$ ${\ displaystyle V = 1}$ ${\ displaystyle V = 1}$ (vizibilitate perfectă: $I_{min}=0$ ${\ displaystyle I_ {min} = 0}$ ${\ displaystyle I_ {min} = 0}$ ):

0\leq V\leq 1

{\ displaystyle 0 \ leq V \ leq 1}

{\ displaystyle 0 \ leq V \ leq 1}

Metafora cilindrului: un solid ale cărui proiecții pot produce imaginile unui cerc sau a unui pătrat.

Previzibilitatea este dată în schimb de modulul diferenței normalizate între probabilitatea ca cuantonul să treacă prin calea A și cea care trece prin calea B:

P=\left|{\frac {{\cal {P}}_{A}-{\cal {P}}_{B}}{{\cal {P}}_{A}+{\cal {P}}_{B}}}\right|

{\ displaystyle P = \ left | {\ frac {{\ cal {P}} _ {A} - {\ cal {P}} _ {B}} {{\ cal {P}} _ {A} + { \ cal {P}} _ {B}}} \ right |}

{\ displaystyle P = \ left | {\ frac {{\ cal {P}} _ {A} - {\ cal {P}} _ {B}} {{\ cal {P}} _ {A} + { \ cal {P}} _ {B}}} \ right |}

Previzibilitatea variază, de asemenea, între P = 0 (echiprobabilitatea între cele două căi) și P = 1 (certitudine că cuantonul a trecut de la A sau B):

0\leq P\leq 1

{\ displaystyle 0 \ leq P \ leq 1}

{\ displaystyle 0 \ leq P \ leq 1}

Complementaritatea lui Bohr este exprimată de una dintre aceste două condiții care se exclud reciproc:

(V=0\quad ;\quad P=1)

{\ displaystyle (V = 0 \ quad; \ quad P = 1)}

{\ displaystyle (V = 0 \ quad; \ quad P = 1)}

în cazul în care cuantonul este detectat ca o particulă; sau

(V=1\quad ;\quad P=0)

{\ displaystyle (V = 1 \ quad; \ quad P = 0)}

{\ displaystyle (V = 1 \ quad; \ quad P = 0)}

dacă cuantonul se comportă ca o undă. Complementaritatea are în vedere numai valorile extreme (0, 1) ale intervalelor posibile permise pentru vizibilitatea V și predictibilitatea P, excluzând valorile intermediare (0 <V <1; 0 <P <1).

Rămâne să înțelegem relația dintre cuanton și conceptele clasice de undă sau particulă. Poate că metafora cilindrului ( cuantonul ) ajută la intuiție: nu este nici un cerc, nici un pătrat, dar proiecțiile sale ( viziuni clasice ) ne oferă, în funcție de perspectivă, imaginea unui cerc ( undă ) sau a unui pătrat ( particule macroscopice ).

Landau (1956)

Dualitatea undă-particulă este, de asemenea, foarte importantă în fizica materiei condensate . Acest principiu implică faptul că undele observate în aceste sisteme, cum ar fi vibrațiile mecanice , undele de rotire sau oscilațiile electronice ale norilor , posedă și proprietăți ale particulelor. În acest caz vorbim de cvasiparticule , concept introdus de Lev D. Landau în 1956. Ideea a fost formulată în contextul studiilor sale despre superfluiditate . Între 1941 și 1947 a lucrat la lichide cuantice bosonice (cum ar fi izotopul $_{2}^{4}$ ${\ displaystyle _ {2} ^ {4}}$ ${\ displaystyle _ {2} ^ {4}}$ El), în timp ce din 1956 până în 1958 a studiat fermionica (la care $\,_{2}^{3}$ ${\ displaystyle \, _ {2} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \, _ {2} ^ {3}}$ El). Pentru aceste contribuții teoretice la înțelegerea superfluidității, el a primit Premiul Nobel în 1962.

Conceptul de cvasiparticulă a fost extins ulterior pentru a indica, în general, o excitație a unui sistem de materie condensată, fie că este vorba despre o singură particulă (ca în sensul original al cvasiparticulei), un sistem de două sau mai multe particule sau un colectiv de excitație, care implică toate particulele sistemului. Se numără printre cele mai importante idei ale fizicii materiei condensate, deoarece permite simplificarea problemei cu mai multe corpuri a mecanicii cuantice . De fapt, ecuațiile care reglează dinamica cvasiparticulelor sunt de obicei mai simple decât ecuațiile care reglează dinamica particulelor care interacționează subiacent.

Quantum Double Slit (1961 - 2018)

Un experiment cuantic cu interferență prin dublă fante este o variantă a lui Dell , experimentul lui Young care face vizibilă dualitatea undă-particulă, arătând manifestări asemănătoare undelor (franjuri de interferență) ale particulelor cuantice.

Experimente

Experiment cu dublă fantă efectuat cu electroni simpli. Imaginile sunt realizate după trimiterea (a) 10, (b) 200, (c) 6.000, (d) 40.000, (e) 140.000 electroni.

Experimentul fantei duble folosind un fascicul de electroni a fost realizat pentru prima dată de Claus Jönsson de la Universitatea din Tübingen în 1961. ^[9] A fost apoi repetat în 1974 la Bologna de Pier Giorgio Merli , Gianfranco Missiroli și Giulio Pozzi trimitând un electron pe rând pe placa fotografică. ^[10] Ideea lui Merli și a colaboratorilor săi a fost să folosească un microscop electronic atât ca interferometru , cât și ca sursă de electroni, trecându-i printr-un biprism de electroni, așa cum a fost conceput inițial de Gottfried Möllenstedt. Rezultatele experimentului din 1974, deși au fost publicate și chiar a fost realizat un documentar despre acesta, au fost aproape ignorate. Când Akira Tonomura și colaboratorii au repetat experimentul în 1989, au fost considerați în mod eronat primii care au verificat acest rezultat, prezis de mecanica cuantică. ^[11] În 2002, versiunea cu un singur electron a experimentului a fost votată „cel mai tare experiment vreodată” de către cititorii revistei populare Physics World . ^[12]

Primele experimente în care s-au folosit neutroni , datorită lui Helmut Rauch, datează și ele din 1974. ^[13] În acest caz, s-a folosit un cristal de siliciu pentru a exploata difracția Bragg și au două fascicule de neutroni coerente care trebuie trimise la interferometru.

Interferometria cu tehnica cu două fante pentru particulele cuantice a atins niveluri de excelență în timp. În 1999, Anton Zeilinger și colaboratorii săi de la Universitatea din Viena au reușit să realizeze experimentul lui Young folosind molecule de fuleren , ^[14] o moleculă cu 60 de atomi de carbon. Excepționalitatea experimentului se datorează faptului că dualismul undă-particulă cu particule de această dimensiune nu a fost niciodată observat. În 2003 , aceiași autori au extins experimentul de interferență la molecule mai grele, tetrafenilporfirine sau fluorofullerene cu 60 de atomi de carbon și 48 de fluor , confirmând încă o dată dovezile dualismului. ^[15] ^[16]

Experimentele au continuat, tot la Universitatea din Viena, sub conducerea lui Markus Arndt. Tehnica experimentală dezvoltată folosește un interferometru Talbot-Lau și constituie o inovație în domeniul interferometriei. A fost posibil să se demonstreze dualismul undă-particulă cu molecule din ce în ce mai masive. În 2012, la Centrul de Știință și Tehnologie Cuantică din Viena, acest grup a publicat un rezultat cu ftalocianină și derivații săi. Aceste molecule s-au dovedit a fi primele care au prezentat un comportament cuantic pentru masele de 514 AMU și respectiv 1298 AMU . ^[17]

Un experiment cu dublă fantă , efectuat în 2012, a făcut vizibilă dualitatea undă-particulă în timp real, arătând manifestări de undă într-un fascicul coerent de particule. ^[17] Apariția modelului de interferență a necesitat, pe lângă producerea unui fascicul de particule cu coerența necesară, și eliminarea efectelor distructive ale interacțiunii dintre molecule, datorită forțelor Van der Waals . ^[17] Pe lângă valoarea didactică și informativă (formarea figurii de interferență este vizibilă într-un videoclip publicat pe YouTube ^[18] ), experimentul permite explorarea granițelor dintre comportamentul clasic și comportamentul cuantic . ^[17]

În 2018, prima demonstrație a interferenței cuantice a antimateriei a fost obținută de grupul condus de M. Giammarchi la laboratorul de pozitroni ai R. Ferragut de la Politecnico di Milano . ^[19]

Interpretări

Particularitatea experimentelor de interferență discutate până acum a motivat diferite interpretări ale rezultatelor.

O posibilă interpretare, încă legată de categoriile clasice de undă și particulă , descrie rezultatele ca urmare a două modalități diferite:

o propagare a undei în spațiul dintre sursă, fanta dublă și ecran;
urmată de o detectare precisă a impactului particulei pe ecran.

Evident, nicio entitate clasică nu prezintă un astfel de comportament dual , caracteristic sistemelor cuantice.

Conform altor analize, conceptele clasice de undă și particulă trebuie utilizate simultan pentru a înțelege modul în care apare interferența cu dublă fantă. Pe această linie, s-au dezvoltat interpretări alternative ale mecanicii cuantice față de cea obișnuită de la Copenhaga , cum ar fi interpretarea lui Bohm , care preia ipoteza de Broglie într-o cheie actualizată.

Din punct de vedere experimental, nu este posibil să se stabilească care este interpretarea corectă dintre cele două, care sunt echivalente empiric deoarece se bazează pe același formalism, ecuația Schrödinger . Diferența dintre cele două interpretări este euristică . În acest caz, se bazează pe caracterul adecvat sau nu de a oferi o explicație (chiar subiectiv satisfăcătoare) comportamentului sistemelor cuantice, care diferă profund de cel al entităților (unde și particule) ale fizicii clasice .

O a treia abordare posibilă susține că conceptele clasice de undă și particulă trebuie depășite pentru a descrie rezultatele experimentale care scapă bunului simț. Prin urmare, au fost dezvoltate categorii conceptuale neclasice (cuantoni) pentru a descrie fenomenele cuantice. Depășirea principiului complementarității prin inegalitatea Greenberger și Yasin duce la identificarea ca cuantoni (care se disting în continuare în bosoni și fermioni ) toate entitățile cuantice: fotoni , electroni , neutroni , etc ...:

„Se credea că electronul se comportă odată ca o particulă și s-a descoperit mai târziu că, în multe privințe, se comportă ca o undă. Deci, de fapt, nu se comportă în niciun fel. Acum am renunțat. Spunem: „nu este nici una, nici cealaltă” . Din fericire, există o licărire: electronii se comportă exact ca lumina. Comportamentul cuantic al obiectelor atomice (electroni, protoni, neutroni și așa mai departe) este același pentru toată lumea, toate sunt „particule de undă” sau orice nume doriți să le dați ”.

( Richard P. Feynman, ^[20] 1966 )

Greenberger și Yasin (1988)

Interferență cu două fante.

Daniel M. Greenberger și Allaine Yasin au demonstrat în 1988 o inegalitate ^[21] care generalizează relațiile cantitative valabile pentru complementaritate în prezența unui instrument cu două căi:

(1)

\quad V^{2}+P^{2}\leq 1

{\ displaystyle \ quad V ^ {2} + P ^ {2} \ leq 1}

{\ displaystyle \ quad V ^ {2} + P ^ {2} \ leq 1}

Egalitatea este valabilă dacă sistemul cuantic este o stare pură , în timp ce inegalitatea are loc pentru o stare mixtă . Pentru o stare pură sunt posibile toate combinațiile de V² și P² care, adăugate împreună, dau unității:

(2)

\quad V^{2}+P^{2}=1

{\ displaystyle \ quad V ^ {2} + P ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ quad V ^ {2} + P ^ {2} = 1}

De exemplu:

(V^{2}=0.3\quad ;\quad P^{2}=0.7)\quad \quad (V^{2}=0.5\quad ;\quad P^{2}=0.5)\quad \quad (V^{2}=0.8\quad ;\quad P^{2}=0.2)

{\ displaystyle (V ^ {2} = 0.3 \ quad; \ quad P ^ {2} = 0.7) \ quad \ quad (V ^ {2} = 0.5 \ quad; \ quad P ^ {2} = 0.5) \ quad \ quad (V ^ {2} = 0.8 \ quad; \ quad P ^ {2} = 0.2)}

{\ displaystyle (V ^ {2} = 0.3 \ quad; \ quad P ^ {2} = 0.7) \ quad \ quad (V ^ {2} = 0.5 \ quad; \ quad P ^ {2} = 0.5) \ quad \ quad (V ^ {2} = 0.8 \ quad; \ quad P ^ {2} = 0.2)}

Valorile specifice ale P² pot fi modificate prin variația dimensiunii găurilor din fanta dublă. Calculul explicit al relației (2) în cazul luminii coerente ( laser ) trimise pe o fantă dublă se efectuează în intrarea relație dualitate undă-particulă , în secțiunea Matematica difracției în două fante din EN Wikipedia.

Relația dintre dualitatea undă-particulă a lui Greenberger și Yasin extinde domeniul de aplicare și semnificația complementarității lui Bohr. O configurație experimentală poate furniza simultan informații parțiale despre aspectele de undă și particule ale sistemului cuantic luat în considerare, dar cu cât oferă mai multe informații despre un aspect, cu atât va oferi mai puține pe celălalt. Acest lucru implică faptul că există sisteme cuantice cu valori de V și P diferite de 0 sau 1 - ca în exemplele de mai sus - care, prin urmare, nu pot fi clasificate nici ca unde, nici ca particule.

Inegalitatea Greenberger și Yasin are valoare ontologică , deoarece marchează depășirea dualismului undă-particulă, legată de entități tipice fizicii clasice. Pentru sistemele cuantice este necesar să se facă fără clasificarea învechită în unde sau particule, folosind un termen cuantic specific (cum ar fi cuantonul ), care identifică sistemele elementare (fotoni, electroni, protoni etc.) care scapă de o clasificare dicotomică clasică. După cum demonstrează Greenberger și Yasin, cuanturile pot prezenta uneori atât proprietăți corpusculare, cât și proprietăți de undă (dualitatea undă-particulă) simultan (deci nu în mod alternativ, așa cum este prevăzut de principiul complementarității lui Bohr): domeniul cuantic nu este deci reductibil la categoriile clasice de unde sau particule.

Previzibilitatea P indică abilitatea de a prezice calea (A sau B) a cuantonului în traversarea aparatului experimental, bazată exclusiv pe caracteristicile instrumentului și pe pregătirea inițială a stării cuantice. Prin urmare, este o estimare a priori , făcută înainte de efectuarea experimentului sau efectuarea măsurătorii. Ma è noto che, secondo l' interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, lo stato del sistema risulta deterministicamente definito solo dall'interazione con l'apparato macroscopico di misura. La relazione di dualità onda-particella che descrive lo stato di quantone a posteriori , dopo aver interagito con lo strumento, sarà fornita da Berthold-Georg Englert nel 1996.

Englert (1996)

Schema dell' interferometro di Mach-Zehnder .

Un interferometro di Mach-Zehnder deve essere equipaggiato, su ciascun cammino, con un WWD ( Which-Way Detector ) in grado di registrare il passaggio del fotone dal cammino A o da quello B mediante l'interazione del fotone con un sistema atomico metastabile. Inoltre un variatore di fase PS ( Phase Shifter ) - mostrato in Figura - permette d'introdurre uno sfasamento variabile della funzione d'onda del fotone tra i due cammini, compreso nell'intervallo $(0^{\circ }\leq \Delta \phi \leq 180^{\circ })$ $(0^{\circ }\leq \Delta \phi \leq 180^{\circ })$ $(0^{\circ }\leq \Delta \phi \leq 180^{\circ })$ . Il segnale in uscita dall'interferometro produrrà una figura d'interferenza da cui si può ricavare la visibilità a posteriori $V_{o}$ $V_{o}$ $V_o$ , mentre l'informazione registrata nei due WWD permetterà di ricostruire, sempre a posteriori , da quale cammino è passato il fotone, mediante una grandezza statistica definita distinguibilità $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ .

Sia $V_{o}$ $V_{o}$ $V_o$ sia $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ sono numeri reali compresi tra 0 ed 1:

0\leq V_{o}\leq 1

0\leq V_{o}\leq 1

0\leq V_{o}\leq 1

0\leq D\leq 1

0\leq D\leq 1

0\leq D\leq 1

Berthold-Georg Englert ha dimostrato ^[22] nel 1996 che esiste una disuguaglianza, apparentemente molto simile ma sostanzialmente molto diversa da quella di Greenberger e Yasin, che correla la misura $V_{o}$ $V_{o}$ $V_o$ del comportamento ondulatorio a quella $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ del comportamento corpuscolare, dopo che dei fotoni hanno attraversato l'interferometro:

(3)

\quad V_{o}^{2}+D^{2}\leq 1

\quad V_{o}^{2}+D^{2}\leq 1

\quad V_{o}^{2}+D^{2}\leq 1

L'uguaglianza vale se il sistema quantistico è uno stato puro , mentre la disuguaglianza si realizza per uno stato misto . La disuguaglianza di Englert non si riferisce al singolo fotone: siccome $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ è definito solo statisticamente mediante una funzione di verosimiglianza , è ottenibile solo per un insieme di fotoni identici misurati mediante lo stesso apparato. Questa disuguaglianza, al contrario di quella di Greenberger e Yasin, non dice quindi nulla sull' ontologia dei quantoni, ma illustra l'effetto dello strumento nella determinazione, post misura , delle caratteristiche dei fotoni che lo hanno attraversato.

Per uno stato puro risultano possibili tutte le combinazioni di $V_{o}^{2}$ $V_{o}^{2}$ $V_{o}^{2}$ e $D^{2}$ $D^{2}$ $D^{2}$ che, sommate, diano l'unità:

(4)

\quad V_{o}^{2}+D^{2}=1

\quad V_{o}^{2}+D^{2}=1

\quad V_{o}^{2}+D^{2}=1

Ad esempio:

(V_{o}^{2}=0.3\quad ;\quad D^{2}=0.7)\quad \quad (V_{o}^{2}=0.5\quad ;\quad D^{2}=0.5)\quad \quad (V_{o}^{2}=0.8\quad ;\quad D^{2}=0.2)

(V_{o}^{2}=0.3\quad ;\quad D^{2}=0.7)\quad \quad (V_{o}^{2}=0.5\quad ;\quad D^{2}=0.5)\quad \quad (V_{o}^{2}=0.8\quad ;\quad D^{2}=0.2)

(V_{o}^{2}=0.3\quad ;\quad D^{2}=0.7)\quad \quad (V_{o}^{2}=0.5\quad ;\quad D^{2}=0.5)\quad \quad (V_{o}^{2}=0.8\quad ;\quad D^{2}=0.2)

Un interferometro di Mach-Zehnder modificato può fornire contemporaneamente informazioni parziali sugli aspetti ondulatori e particellari dei fotoni che lo attraversano, ma più informazioni fornisce su un aspetto, meno ne darà sull'altro. Gli specifici valori di $V_{o}^{2}$ $V_{o}^{2}$ $V_{o}^{2}$ si possono modificare variando la differenza di fase $\Delta \phi$ $\Delta \phi$ $\Delta \phi$ tra i due bracci dell'interferometro mediante il PS. Si vede quindi che la composizione relativa delle proprietà onda/particella non dipende dal quantone che attraversa l'apparato ma è una caratteristica dell'apparato stesso, come sostenuto da Bohr.

Può apparire strano che valgano entrambe le uguaglianze (2) e (4), dato che la visibilità a posteriori $V_{o}^{2}$ $V_{o}^{2}$ $V_{o}^{2}$ risulta solitamente minore di quella a priori $V^{2}$ $V^{2}$ $V^{2}$ . Ma se da una parte $V_{o}\leq V$ $V_{o}\leq V$ $V_{o}\leq V$ , dall'altra si ha che $D\geq P$ $D\geq P$ $D\geq P$ e le differenze tra i termini corrispondenti si compensano, di modo che risultano verificate sia l'uguaglianza (2) sia la (4). La disuguaglianza di Englert è stata sperimentalmente controllata per la prima volta nel 1998 con fasci atomici ^[23] e quindi nel 1999 con fotoni singoli polarizzati. ^[24]

Piazza, Lummen e Quiñonez (2015)

Uno articolo del 2015, basato sull'osservazione di un impulso laser (collimato su un nanofilo di metallo) mediante elettroni incidenti riporta d'aver fotografato, nel comportamento del sistema fotonico perturbato dagli elettroni , sia la particella sia l'onda. ^[25]

Tale affermazione è stata contestata nel 2017, facendo notare che la frazione della luce che si è comportata come fotoni entrando in collisione con gli elettroni non esibiva natura ondosa e non partecipava più all'onda stazionaria. Viceversa, l'onda stazionaria era formata dalla rimanente frazione della luce, che non ha mai subito alcuna collisione da parte degli elettroni incidenti. ^[26]

Si tratta quindi di due fenomeni simultanei ma indipendenti, di breve durata perché - come previsto per l'effetto quantistico d'interazione/ disturbo - le collisioni elettroniche comportano la progressiva e rapida distruzione dell'onda stazionaria.

Note

^ ^a ^b L. Mihich, Natura della luce ( PDF ), su fisica.unipv.it . URL consultato il 27 maggio 2021 ( archiviato il 10 ottobre 2017) .
^ ( DE ) Max Planck, "Ueber die Elementarquanta der Materie und der Eletricität" , in Annalen der Physik , vol. 2, 1900, p. 564.
^ ( DE ) A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Su un punto di vista euristico riguardo alla produzione e alla trasformazione della luce) ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 17, 1905, pp. 132-148. URL consultato il 5 maggio 2021 ( archiviato il 22 agosto 2014) .
^ ^a ^b ( FR ) Louis De Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta , in Annales de Physique , vol. 10, n. 3, 1925, pp. 22-128, DOI : 10.1051/anphys/192510030022 .
^ CJ Davisson , LH Germer , The Scattering of Electrons by a Single Crystal of Nickel , in Nature , vol. 119, n. 2998, aprile 1927, pp. 558-560, DOI : 10.1038/119558a0 . URL consultato il 12 giugno 2010 . .
^ ^a ^b N. Bohr, The quantum postulate and the recent development of atomic theory , in Nature , vol. 121, 1928, pp. 580-590.
^ L'enfasi sul ruolo dello strumento, della misurazione e quindi sul rapporto tra sistema microscopico e rivelatore macroscopico è un tratto distintivo dell'approccio di Bohr. Fu ripreso e divulgato da Pauli , ad esempio ne Il significato filosofico dell'idea di complementarità in W. Pauli, Fisica e conoscenza , Bollati Boringhieri, Torino 1964¹ 2007² 2016³.
^ J. Hilgevoord, J. Uffink, The Uncertainty Principle , su plato.stanford.edu , Paragrafo 3.2: Bohr's view on the uncertainty relations , The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2016. URL consultato il 16 giugno 2020 ( archiviato il 3 giugno 2020) .
^ ( DE ) C. Jönsson, Elektroneninterferenzen an mehreren künstlich hergestellten Feinspalten , in Zeitschrift für Physik , vol. 161, n. 4, agosto 1961, pp. 454-474, DOI : 10.1007/BF01342460 . URL consultato il 12 giugno 2010 .
^ PG Merli , G. Missiroli, G. Pozzi , Electron interferometry with the Elmiskop 101 electron microscope , in Journal of Physics E: Scientific Instruments , vol. 7, n. 9, settembre 1974, pp. 729-732, DOI :10.1088/0022-3735/7/9/016 . URL consultato il 12 giugno 2010 .
^ A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa, Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern , in American Journal of Physics , vol. 57, n. 2, febbraio 1989, pp. 117-120, DOI : 10.1119/1.16104 . URL consultato il 12 giugno 2010 .
^ The double-slit experiment , in Physics World , 1º settembre 2002. URL consultato il 24 maggio 2021 ( archiviato il 24 maggio 2021) .
^ H. Rauch, W. Treimer, U. Bonse, Test of a single crystal neutron interferometer , in Physics Letters A , vol. 47, n. 5, 22 aprile 1974, pp. 369-371, DOI : 10.1016/0375-9601(74)90132-7 . URL consultato il 12 giugno 2010 .
^ A. Zeilinger , M. Arndt, O. Nairz, J. Vos-Andreae, C. Keller, G. van der Zouw, Wave-particle duality of C ₆₀ molecules , in Nature , vol. 401, n. 6754, 14 ottobre 1999, pp. 680-682, DOI : 10.1038/44348 . URL consultato il 12 giugno 2010 .
^ A. Zeilinger , M. Arndt, L. Hackermüller, S. Uttenthaler, K. Hornberger, E. Reiger, B. Brezger, Wave Nature of Biomolecules and Fluorofullerenes , in Physical Review Letters , vol. 91, n. 9, 28 agosto 2003, p. 090408, DOI : 10.1103/PhysRevLett.91.090408 . URL consultato il 12 giugno 2010 .
^ A. Venugopalan, Quantum interference of molecules Probing the wave nature of matter , in Resonance , vol. 15, n. 1, 2010, pp. 16-31, DOI : 10.1007/s12045-010-0002-z .
^ ^a ^b ^c ^d T. Juffmann, A. Milic, M. Müllneritsch, P. Asenbaum, A. Tsukernik, J. Tüxen, M. Mayor, O. Cheshnovsky, M. Arndt,Real-time single-molecule imaging of quantum interference Archiviato il 30 maggio 2021 in Internet Archive ., Nature Nanotechnology , 7, 2012, pp. 297-300 DOI : 10.1038/nnano.2012.34
^ Single molecules in a quantum interference movie Archiviato il 30 maggio 2021 in Internet Archive ., QuantumNanoVienna
^ S. Sala, A. Ariga, A. Ereditato, R. Ferragut, M. Giammarchi, M. Leone, C. Pistillo, P. Scampoli, First demonstration of antimatter wave interferometry , in Science Advances , vol. 5, n. 5, 2019-05, DOI : 10.1126/sciadv.aav7610 . URL consultato il 30 agosto 2019 ( archiviato il 30 maggio 2021) .
^ RP Feynman, RB Leighton, M. Sands, La Fisica di Feynman - 3 Meccanica quantistica , Zanichelli, Bologna 2007², p. I.1.
^ DM Greenberger, A. Yasin, Simultaneous wave and particle knowledge in a neutron interferometer , in Physics Letters , A 128, n. 8, 1988, pp. 391–394, Bibcode : 1988PhLA..128..391G , DOI : 10.1016/0375-9601(88)90114-4 .
^ B.-G. Englert, Fringe visibility and which-way information: An inequality , in Physical Review Letters , vol. 77, n. 11, 1996, pp. 2154–2157, Bibcode : 1996PhRvL..77.2154E , DOI : 10.1103/PhysRevLett.77.2154 .
^ S. Dürr, T. Nonn, G. Rempe, Fringe visibility and which-way information in an atom interferometer , in Physical Review , A 60, 1998, pp. 4285-4290.
^ PDD Schwindt, PG Kwiat, B.-G. Englert, Quantitative wave-particle duality and non-erasing quantum erasure , in Physics Review Letters , vol. 81, 1999, pp. 5705-5710.
^ L. Piazza, TTA Lummen e E. Quiñonez, Simultaneous observation of the quantization and the interference pattern of a plasmonic near-field , in Nature Communications , vol. 6, 2 marzo 2015, p. 6407, DOI : 10.1038/ncomms7407 . URL consultato il 28 giugno 2016 ( archiviato il 30 agosto 2016) .
^ S. Devashankar1 e N. Gurappa, A Simple Experiment for Simultaneous Observation of Wave-Particle Duality of Light ( PDF ), in IJERT (International Journal of Engineering Research & Technology) , vol. 6, n. 11, 2017-11-1. URL consultato il 23 maggio 2021 ( archiviato il 24 marzo 2020) .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su dualismo onda-particella

Collegamenti esterni

La natura ondulatoria della materia , su manentscripta.wordpress.com .

Controllo di autorità	GND ( DE ) 4189560-5

Portale Quantistica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di quantistica

[mihich-1] L. Mihich, Natura della luce ( PDF ), su fisica.unipv.it . URL consultato il 27 maggio 2021 ( archiviato il 10 ottobre 2017) .

[planck_quantum-2] ( DE ) Max Planck, "Ueber die Elementarquanta der Materie und der Eletricität" , in Annalen der Physik , vol. 2, 1900, p. 564.

[einsteineuristico-3] ( DE ) A. Einstein, "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Su un punto di vista euristico riguardo alla produzione e alla trasformazione della luce) ( PDF ), in Annalen der Physik , vol. 17, 1905, pp. 132-148. URL consultato il 5 maggio 2021 ( archiviato il 22 agosto 2014) .

[dB_1925-4] ( FR ) Louis De Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta , in Annales de Physique , vol. 10, n. 3, 1925, pp. 22-128, DOI : 10.1051/anphys/192510030022 .

[5] CJ Davisson , LH Germer , The Scattering of Electrons by a Single Crystal of Nickel , in Nature , vol. 119, n. 2998, aprile 1927, pp. 558-560, DOI : 10.1038/119558a0 . URL consultato il 12 giugno 2010 . .

[bohr1928-6] N. Bohr, The quantum postulate and the recent development of atomic theory , in Nature , vol. 121, 1928, pp. 580-590.

[7] L'enfasi sul ruolo dello strumento, della misurazione e quindi sul rapporto tra sistema microscopico e rivelatore macroscopico è un tratto distintivo dell'approccio di Bohr. Fu ripreso e divulgato da Pauli , ad esempio ne Il significato filosofico dell'idea di complementarità in W. Pauli, Fisica e conoscenza , Bollati Boringhieri, Torino 1964¹ 2007² 2016³.

[Uffink2016_sez.3.2-8] J. Hilgevoord, J. Uffink, The Uncertainty Principle , su plato.stanford.edu , Paragrafo 3.2: Bohr's view on the uncertainty relations , The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2016. URL consultato il 16 giugno 2020 ( archiviato il 3 giugno 2020) .

[joensson-9] ( DE ) C. Jönsson, Elektroneninterferenzen an mehreren künstlich hergestellten Feinspalten , in Zeitschrift für Physik , vol. 161, n. 4, agosto 1961, pp. 454-474, DOI : 10.1007/BF01342460 . URL consultato il 12 giugno 2010 .

[pozzi-10] PG Merli , G. Missiroli, G. Pozzi , Electron interferometry with the Elmiskop 101 electron microscope , in Journal of Physics E: Scientific Instruments , vol. 7, n. 9, settembre 1974, pp. 729-732, DOI :10.1088/0022-3735/7/9/016 . URL consultato il 12 giugno 2010 .

[tonomura-11] A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki, H. Ezawa, Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern , in American Journal of Physics , vol. 57, n. 2, febbraio 1989, pp. 117-120, DOI : 10.1119/1.16104 . URL consultato il 12 giugno 2010 .

[12] The double-slit experiment , in Physics World , 1º settembre 2002. URL consultato il 24 maggio 2021 ( archiviato il 24 maggio 2021) .

[rauch-13] H. Rauch, W. Treimer, U. Bonse, Test of a single crystal neutron interferometer , in Physics Letters A , vol. 47, n. 5, 22 aprile 1974, pp. 369-371, DOI : 10.1016/0375-9601(74)90132-7 . URL consultato il 12 giugno 2010 .

[zeilinger-14] A. Zeilinger , M. Arndt, O. Nairz, J. Vos-Andreae, C. Keller, G. van der Zouw, Wave-particle duality of C ₆₀ molecules , in Nature , vol. 401, n. 6754, 14 ottobre 1999, pp. 680-682, DOI : 10.1038/44348 . URL consultato il 12 giugno 2010 .

[zeilinger2-15] A. Zeilinger , M. Arndt, L. Hackermüller, S. Uttenthaler, K. Hornberger, E. Reiger, B. Brezger, Wave Nature of Biomolecules and Fluorofullerenes , in Physical Review Letters , vol. 91, n. 9, 28 agosto 2003, p. 090408, DOI : 10.1103/PhysRevLett.91.090408 . URL consultato il 12 giugno 2010 .

[16] A. Venugopalan, Quantum interference of molecules Probing the wave nature of matter , in Resonance , vol. 15, n. 1, 2010, pp. 16-31, DOI : 10.1007/s12045-010-0002-z .

[nnano.2012.34-17] T. Juffmann, A. Milic, M. Müllneritsch, P. Asenbaum, A. Tsukernik, J. Tüxen, M. Mayor, O. Cheshnovsky, M. Arndt,Real-time single-molecule imaging of quantum interference Archiviato il 30 maggio 2021 in Internet Archive ., Nature Nanotechnology , 7, 2012, pp. 297-300 DOI : 10.1038/nnano.2012.34

[18] Single molecules in a quantum interference movie Archiviato il 30 maggio 2021 in Internet Archive ., QuantumNanoVienna

[19] S. Sala, A. Ariga, A. Ereditato, R. Ferragut, M. Giammarchi, M. Leone, C. Pistillo, P. Scampoli, First demonstration of antimatter wave interferometry , in Science Advances , vol. 5, n. 5, 2019-05, DOI : 10.1126/sciadv.aav7610 . URL consultato il 30 agosto 2019 ( archiviato il 30 maggio 2021) .

[20] RP Feynman, RB Leighton, M. Sands, La Fisica di Feynman - 3 Meccanica quantistica , Zanichelli, Bologna 2007², p. I.1.

[yasin-21] DM Greenberger, A. Yasin, Simultaneous wave and particle knowledge in a neutron interferometer , in Physics Letters , A 128, n. 8, 1988, pp. 391–394, Bibcode : 1988PhLA..128..391G , DOI : 10.1016/0375-9601(88)90114-4 .

[englert-22] B.-G. Englert, Fringe visibility and which-way information: An inequality , in Physical Review Letters , vol. 77, n. 11, 1996, pp. 2154–2157, Bibcode : 1996PhRvL..77.2154E , DOI : 10.1103/PhysRevLett.77.2154 .

[23] S. Dürr, T. Nonn, G. Rempe, Fringe visibility and which-way information in an atom interferometer , in Physical Review , A 60, 1998, pp. 4285-4290.

[24] PDD Schwindt, PG Kwiat, B.-G. Englert, Quantitative wave-particle duality and non-erasing quantum erasure , in Physics Review Letters , vol. 81, 1999, pp. 5705-5710.

[25] L. Piazza, TTA Lummen e E. Quiñonez, Simultaneous observation of the quantization and the interference pattern of a plasmonic near-field , in Nature Communications , vol. 6, 2 marzo 2015, p. 6407, DOI : 10.1038/ncomms7407 . URL consultato il 28 giugno 2016 ( archiviato il 30 agosto 2016) .

[26] S. Devashankar1 e N. Gurappa, A Simple Experiment for Simultaneous Observation of Wave-Particle Duality of Light ( PDF ), in IJERT (International Journal of Engineering Research & Technology) , vol. 6, n. 11, 2017-11-1. URL consultato il 23 maggio 2021 ( archiviato il 24 marzo 2020) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]