E = mc²

A șasea și ultima sculptură din „Berliner Walk of Ideas”, creată pentru Cupa Mondială 2006 ( Berlin , Lustgarten , în fața Muzeului Altes )

E = mc ² este ecuația care stabilește relația dintre energia și masa unui sistem fizic . E denotă energia relativistă totală a unui corp, m masa relativistă a acestuia și c viteza constantă a luminii în vid.

A fost afirmat, într-o formă diferită (vezi secțiunea de derivare relativistă a lui Einstein ), de Albert Einstein în contextul relativității speciale. Cu toate acestea, nu a fost publicat în primul articol dedicat teoriei („ Despre electrodinamica corpurilor în mișcare ”), din iunie 1905, ci în cel intitulat „Inerția unui corp depinde de conținutul său de energie?”, ^{[ 1]} din septembrie a aceluiași an.

Elementul revoluționar al formulei constă în faptul că masa, considerată până atunci o mărime fizică independentă, este legată de energie prin viteza constantă a luminii într-un vid pătrat, stabilind echivalența masă-energie și, prin urmare, masa-energie principiul conservării . Este probabil cea mai faimoasă formulă din fizică, datorită împletirii noutății, simplității și eleganței.

Înțelesul ecuației

Până la dezvoltarea relativității speciale, se credea că masa și energia erau două mărimi fizice distincte. Echivalența dintre masă și energie a relativității speciale stabilește în schimb că aceste două mărimi sunt strâns legate de o constantă universală, pătratul vitezei luminii în vid (c²). Consecința acestei formule simple este că orice corp material sau particulă masivă, chiar și în repaus, are o energie proporțională cu masa sa. Prin urmare, este posibil să se formuleze o echivalență între aceste mărimi fizice în sensul că masa și energia pot fi considerate ca două proprietăți nedistinguibile.

Formula E = mc ² poate fi interpretată în două moduri, ambele corecte, în funcție de semnificația dată termenilor de masă și energie. Prima posibilitate, explorată în articolul lui Einstein din 1905 „Inerția unui corp depinde de conținutul său de energie?”, ^[1] se bazează pe conceptul de masă relativistă. $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , din care se deduce că energia totală a unui corp este $mc^{2}$ ${\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc ^ {2}$ . A doua posibilitate este interpretarea ecuației în termeni de masă în repaus $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ , adică masa obiectului din sistemul de referință în care se află în repaus: prin urmare $m_{0}c^{2}$ ${\ displaystyle m_ {0} c ^ {2}}$ $m_ {0} c ^ {2}$ exprimă energia în repaus $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ a unui corp.

Masa relativistă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este legat de masa în repaus prin factorul Lorentz $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ :

Masă relativistă	$m$ ${\ displaystyle m}$ $m$
Liturghie în repaus	$m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$
Energia totală	$E=mc^{2}=\gamma \,m_{0}c^{2}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2} = \ gamma \, m_ {0} c ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2} = \ gamma \, m_ {0} c ^ {2}}$
Energie în repaus	$E_{0}=m_{0}c^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}$

m=\gamma \,m_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;m_{0}

{\ displaystyle m = \ gamma \, m_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \; m_ {0}}

{\ displaystyle m = \ gamma \, m_ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \; m_ {0}}

și apare în versiunea relativistă a celei de-a doua legi a dinamicii

{\vec {F}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}{\vec {v}})={\frac {d}{dt}}(m{\vec {v}})

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m_ {0} {\ vec {v}}) = {\ frac {d} {dt}} (m { \ vec {v}})}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m_ {0} {\ vec {v}}) = {\ frac {d} {dt}} (m { \ vec {v}})}

.

Deoarece masa relativistă depinde de viteză, conceptul clasic de masă este modificat, nu mai coincide cu definiția newtoniană a constantei de proporționalitate între forța aplicată unui corp și accelerația rezultată, dar devenind o cantitate dinamică proporțională cu cea globală energia corpului.

Conservarea energiei mecanice include acum, pe lângă energia cinetică și energia potențială , și o contribuție proporțională cu masa de repaus m ₀ ca o altă formă de energie. Energia relativistă totală a corpului, dată de E = mc² , include atât energia cinetică K cât și cea relativă la masa în repaus, E ₀ = m ₀ c² .

În fizica clasică non-relativistă există două legi (sau principii) de conservare foarte distincte și separate: legea conservării masei , descoperită de Lavoisier ( „În natură, nimic nu este creat și nimic nu este distrus, dar totul este transformat” ) și legea conservării conservării în masă a energiei sau primul principiu al termodinamicii , la descoperirea căruia mai mulți oameni de știință ( Mayer , Joule , Carnot , Thomson , Clausius , Faraday ) au contribuit la descoperirea din secolul al XIX-lea.

Einstein a unificat cele două legi într-un singur principiu de conservare , care implică împreună toate procesele fizice de transformare a masei în energie și invers, întrucât una poate fi transformată în cealaltă conform relației E = mc² . Ceea ce rămâne mereu constant, atât în sistemele fizice individuale, cât și în întregul univers, este suma masei și energiei: principiul conservării masei - energie . Concepția einsteiniană aruncă o lumină unificatoare asupra realității fizice: odată cu echivalența masă - energie , masa devine o formă de energie. În anumite procese, masa poate fi transformată în alte forme de energie ( anihilarea particulelor - antiparticule , reacții nucleare , dezintegrări radioactive etc.), la fel cum energia poate fi transformată în masă, așa cum se întâmplă în acceleratoarele de particule și în producția de cuplu $(\gamma +\gamma \to e^{+}+e^{-})$ ${\ displaystyle (\ gamma + \ gamma \ to e ^ {+} + e ^ {-})}$ ${\ displaystyle (\ gamma + \ gamma \ to e ^ {+} + e ^ {-})}$ .

Ecuația lui Einstein a fost verificată atât pentru fenomenele fizice macroscopice, cum ar fi producerea de energie solară , cât și la nivel subatomic. Există șase clase de fenomene subatomice în care apare echivalența masă-energie:

Producția cuplului $(\gamma +\gamma \to e^{+}+e^{-})$ ${\ displaystyle (\ gamma + \ gamma \ to e ^ {+} + e ^ {-})}$ ${\ displaystyle (\ gamma + \ gamma \ to e ^ {+} + e ^ {-})}$
Particula - anihilarea antiparticulelor $(e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma \;;\quad q+{\bar {q}}\to \gamma +\gamma )$ ${\ displaystyle (e ^ {+} + e ^ {-} \ to \ gamma + \ gamma \ ;; \ quad q + {\ bar {q}} \ to \ gamma + \ gamma)}$ ${\ displaystyle (e ^ {+} + e ^ {-} \ to \ gamma + \ gamma \ ;; \ quad q + {\ bar {q}} \ to \ gamma + \ gamma)}$
Reacții nucleare , generic $A+B\to C+D$ ${\ displaystyle A + B \ to C + D}$ ${\ displaystyle A + B \ to C + D}$
Transmutații sau dezintegrări radioactive $(A\to C+D)$ ${\ displaystyle (A \ to C + D)}$ ${\ displaystyle (A \ to C + D)}$
Fisiunea nucleară (divizarea unui nucleu în două sau mai multe nuclee)
Fuziunea nucleară (unirea a doi nuclei într-unul)

În producția de cuplu este posibil să se realizeze o conversie totală a energiei în materie. Conversia completă a masei în energie are loc numai în anihilare $e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma$ ${\ displaystyle e ^ {+} + e ^ {-} \ to \ gamma + \ gamma}$ ${\ displaystyle e ^ {+} + e ^ {-} \ to \ gamma + \ gamma}$ . În general, în cazul anihilării particule-antiparticule, o singură pereche quark - antiquark anihilează $(q+{\bar {q}}\to \gamma +\gamma )$ ${\ displaystyle (q + {\ bar {q}} \ to \ gamma + \ gamma)}$ ${\ displaystyle (q + {\ bar {q}} \ to \ gamma + \ gamma)}$ , în timp ce resturile de quark formează particule noi ( mezoni ). Când un proton se ciocnește cu un antiproton (și, în general, atunci când orice barion se ciocnește cu un antibaryon), reacția nu este la fel de simplă ca anihilarea electron-pozitronii. Spre deosebire de electron, protonul nu este o particulă elementară: este compus din trei quarks de valență și un număr nedeterminat de quarks de mare , legați de gluoni . În ciocnirea dintre un proton și un antiproton, unul dintre quarcii de valență $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ a protonului se poate anihila cu un antiquark ${\bar {q}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ antiproton, în timp ce resturile de quark și antiquark se vor rearanja în mezoni (în principal pioni și kaoni ) care se vor îndepărta de punctul de anihilare. Mesonii creați sunt particule instabile care se vor descompune.

Cu excepția cazului $e^{+}+e^{-}\to \gamma +\gamma$ ${\ displaystyle e ^ {+} + e ^ {-} \ to \ gamma + \ gamma}$ ${\ displaystyle e ^ {+} + e ^ {-} \ to \ gamma + \ gamma}$ , conversia masei în energie nu este niciodată completă și energia produsă rezultă din calculul defectului de masă . În reacțiile care produc energie (exoenergetică), masele reactanților trebuie, prin urmare, să fie mai mari decât masele produselor . Folosind exemplul reacțiilor nucleare, care implică de obicei 2 reactanți ( A și B ) și 2 produse ( C și D ), echilibrul de masă determină care este defectul de masă Δ m :

\Delta m=(m_{A}+m_{B})-(m_{C}+m_{D})>0

{\ displaystyle \ Delta m = (m_ {A} + m_ {B}) - (m_ {C} + m_ {D})> 0}

{\ displaystyle \ Delta m = (m_ {A} + m_ {B}) - (m_ {C} + m_ {D})> 0}

Energia eliberată în procesul nuclear unic sub formă de energie cinetică , radiație electromagnetică , căldură sau altă formă de energie pare a fi

\Delta E=\Delta m\,c^{2}

{\ displaystyle \ Delta E = \ Delta m \, c ^ {2}}

{\ displaystyle \ Delta E = \ Delta m \, c ^ {2}}

.

Urmări

Prin măsurarea masei diferitelor nuclee atomice , se poate obține o estimare a energiei de legare disponibile într-un nucleu atomic. Prin urmare, este posibil să se estimeze cantitatea de energie de legare care poate fi eliberată într-un proces nuclear. Luați în considerare următorul exemplu: un nucleu de uraniu -238 se poate descompune în mod natural formând un toriu-234 și un nucleu de heliu-4 ( particulă alfa ). Prin adăugarea masei de repaus a celor două noi nuclee, se constată că este mai mică decât nucleul original de uraniu. Rezultatul este un defect de masă Δ m = 7,6 × 10 ⁻³⁰ kg , care s-a transformat în energie . Ecuația lui Einstein ne permite să determinăm câtă energie a fost eliberată de degradarea radioactivă a unui nucleu de uraniu: Δ E = Δ mc ² = ( 7,6 × 10 ⁻³⁰ kg ) × ( 9 × 10 ¹⁶ m² / s²) = 6,84 × 10 ⁻¹³ J.

Energia produsă într-o centrală nucleară de o singură fisiune este dată de diferența dintre masele nucleilor inițiali ( uraniu + neutron ) și masele nucleare ale produselor de fisiune. Conversia masă-energie a fost, de asemenea, crucială în dezvoltarea bombei atomice . Bomba Hiroshima a fost de 13 kilotone , egal cu 54,6 TJ (13 × 4,2 × 10 ¹² J). Această energie este echivalentă cu cea eliberată teoretic prin conversia completă a doar 0,60 grame de materie (54 TJ). Uraniul -238, în sine non-fissil, constituie peste 99% din uraniul găsit în natură; doar 0,7% din uraniul disponibil natural este uraniu-235, care este necesar pentru fisiunea nucleară. Din acest motiv, uraniul-238 este îmbogățit cu izotopul 235 înainte de a fi utilizat în scopuri civile (centrale nucleare) sau militare.

În timpul unei reacții nucleare, numărul de masă A (numărul de nucleoni = protoni + neutroni ) și numărul atomic Z (numărul de protoni ) sunt conservate, adică rămân constante. De exemplu, în reacția nucleară

\mathrm {^{14}_{~7}N} +\mathrm {^{4}_{2}He} \to \mathrm {^{17}_{~8}O} +\mathrm {^{1}_{1}p}

{\ displaystyle \ mathrm {^ {14} _ {~ 7} N} + \ mathrm {^ {4} _ {2} He} \ to \ mathrm {^ {17} _ {~ 8} O} + \ mathrm {^ {1} _ {1} p}}

{\ displaystyle \ mathrm {^ {14} _ {~ 7} N} + \ mathrm {^ {4} _ {2} He} \ to \ mathrm {^ {17} _ {~ 8} O} + \ mathrm {^ {1} _ {1} p}}

avem conservarea lui A : 14 + 4 = 17 + 1 și a lui Z : 7 + 2 = 8 + 1. În ciuda acestui fapt, suma maselor reactanților nu este conservată ca energia legăturii cu care nucleonii singulari sunt legate în interiorul diferitelor nuclee. Masele reactanților și produselor, exprimate în unități de masă atomică (dalton, Da ) sunt, respectiv:

m\mathrm {(_{~7}^{14}N)} +m\mathrm {(_{2}^{4}He)} =14{,}003074+4{,}002603=18{,}005677{\text{ Da}}

{\ displaystyle m \ mathrm {(_ {~ 7} ^ {14} N)} + m \ mathrm {(_ {2} ^ {4} He)} = 14 {,} 003074 + 4 {,} 002603 = 18 {,} 005677 {\ text {From}}}

{\ displaystyle m \ mathrm {(_ {~ 7} ^ {14} N)} + m \ mathrm {(_ {2} ^ {4} He)} = 14 {,} 003074 + 4 {,} 002603 = 18 {,} 005677 {\ text {From}}}

m\mathrm {(_{~8}^{17}O)} +m\mathrm {(_{1}^{1}p)} =16{,}999132+1{,}008665=18{,}007797{\text{ Da}}

{\ displaystyle m \ mathrm {(_ {~ 8} ^ {17} O)} + m \ mathrm {(_ {1} ^ {1} p)} = 16 {,} 999132 + 1 {,} 008665 = 18 {,} 007797 {\ text {From}}}

{\ displaystyle m \ mathrm {(_ {~ 8} ^ {17} O)} + m \ mathrm {(_ {1} ^ {1} p)} = 16 {,} 999132 + 1 {,} 008665 = 18 {,} 007797 {\ text {From}}}

În acest caz, defectul de masă este negativ:

\Delta m=m\mathrm {(_{~7}^{14}N)} +m\mathrm {(_{2}^{4}He)} -m\mathrm {(_{~8}^{17}O)} -m\mathrm {(_{1}^{1}p)} =-2,12\times 10^{-3}\;\mathrm {Da} =-3,52\times 10^{-30}\;\mathrm {kg}

{\ displaystyle \ Delta m = m \ mathrm {(_ {~ 7} ^ {14} N)} + m \ mathrm {(_ {2} ^ {4} He)} -m \ mathrm {(_ {~ 8} ^ {17} O)} -m \ mathrm {(_ {1} ^ {1} p)} = -2,12 \ times 10 ^ {- 3} \; \ mathrm {From} = -3, 52 \ ori 10 ^ {- 30} \; \ mathrm {kg}}

{\ displaystyle \ Delta m = m \ mathrm {(_ {~ 7} ^ {14} N)} + m \ mathrm {(_ {2} ^ {4} He)} -m \ mathrm {(_ {~ 8} ^ {17} O)} -m \ mathrm {(_ {1} ^ {1} p)} = -2,12 \ times 10 ^ {- 3} \; \ mathrm {From} = -3, 52 \ ori 10 ^ {- 30} \; \ mathrm {kg}}

Reacția este endoenergetică, adică are nevoie de energie externă pentru a avea loc. Pe lângă energia de barieră , necesară pentru a depăși repulsia Coulomb, energia minimă pentru ca această reacție să aibă loc este

\Delta E=\Delta m\,c^{2}=(-3,52\times 10^{-30}\;\mathrm {kg} )\times (9\times 10^{16}\;\mathrm {m^{2}/s^{2}} )=-3,17\times 10^{-13}\;\mathrm {J}

{\ displaystyle \ Delta E = \ Delta m \, c ^ {2} = (- 3,52 \ times 10 ^ {- 30} \; \ mathrm {kg}) \ times (9 \ times 10 ^ {16} \; \ mathrm {m ^ {2} / s ^ {2}}) = - 3,17 \ ori 10 ^ {- 13} \; \ mathrm {J}}

{\ displaystyle \ Delta E = \ Delta m \, c ^ {2} = (- 3,52 \ times 10 ^ {- 30} \; \ mathrm {kg}) \ times (9 \ times 10 ^ {16} \; \ mathrm {m ^ {2} / s ^ {2}}) = - 3,17 \ ori 10 ^ {- 13} \; \ mathrm {J}}

.

Această energie este furnizată de energia cinetică a nucleului de heliu (particula α) care se ciocnește cu nucleul de azot. Viteza minimă a particulei α trebuie să fie

v={\sqrt {\frac {-2\Delta E}{m\mathrm {(_{2}^{4}He)} }}}={\sqrt {\frac {6,34\times 10^{-13}}{4\times 1,67\times 10^{-27}}}}={\sqrt {95\times 10^{12}}}\simeq 9,75\times 10^{6}\;\mathrm {m/s}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {-2 \ Delta E} {m \ mathrm {(_ {2} ^ {4} He)}}}} = {\ sqrt {\ frac {6.34 \ times 10 ^ {- 13}} {4 \ ori 1,67 \ ori 10 ^ {- 27}}}} = {\ sqrt {95 \ ori 10 ^ {12}}} \ simeq 9,75 \ ori 10 ^ {6} \; \ mathrm {m / s}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {-2 \ Delta E} {m \ mathrm {(_ {2} ^ {4} He)}}}} = {\ sqrt {\ frac {6.34 \ times 10 ^ {- 13}} {4 \ ori 1,67 \ ori 10 ^ {- 27}}}} = {\ sqrt {95 \ ori 10 ^ {12}}} \ simeq 9,75 \ ori 10 ^ {6} \; \ mathrm {m / s}}

echivalent cu 3,25% din viteza luminii.

Chiar și procesul de fuziune nucleară , la fel ca toate procesele fizice de transformare a masei în energie și invers, are loc respectând principiul conservării energiei de masă . In Soare , care are o temperatură internă de 15 milioane de grade Kelvin , prin intermediul termonucleare reacții de fuziune ( proton fuziune prototon de nuclee de hidrogen), fiecare secundă 600 de milioane de tone de hidrogen sunt transformate în 595,5 milioane de tone de heliu . Prin urmare, după această transformare, lipsesc 4,5 milioane de tone în fiecare secundă (egal cu 0,75% din masa inițială). Acest defect de masă a fost transformat direct în radiație electromagnetică , adică în energie, conform ecuației E = mc ² . Toată puterea Soarelui se datorează transformării în energie a acestei mase lipsă, aproximativ comparabilă cu masa unui mic grup de munți de pe Pământ. Masa convertită în energie în timpul a 10 miliarde de ani de fuziune termonucleară este egală cu 1,26 × 10 ²⁷ kg. Deoarece masa Soarelui este de 2 × 10 ³⁰ kg, 10 miliarde de ani de fuziune consumă doar 0,063% din masa solară. Prin introducerea valorii masei lipsă în fiecare secundă în ecuația lui Einstein (unde energia este exprimată în jouli = Ws, masa în kg și c în m / s), se calculează că corespunde unei puteri egale cu (4, 5 × 10 ⁹ kg) × (9 × 10 ¹⁶ m ² / s ² ) / 1 s = 4 × 10 ²⁶ W ( wați ), adică la 4 × 10 ¹⁴ TW ( terawatt ). Pentru a înțelege enormitatea acestei energii, exprimată în wați-oră, este echivalentă cu 1,125 × 10 ¹¹ TWh , o cifră care poate servi drept termen de comparație este producția mondială de electricitate , care în 2005 era de 17 907 TWh (echivalent cu 716,28 kg de masă). Pentru a se potrivi cu energia produsă de Soare în doar o secundă, toate centralele de producție a energiei electrice ale planetei noastre ar trebui să funcționeze la capacitate maximă pentru următorii 6 282 459 de ani.

Conversia completă a unui kilogram de masă ar fi echivalentă cu:

89 875 517 873 681 764 jouli (aprox 90 000 TJ );
24 965 421 632 000 wați oră (aproximativ 25 TWh, echivalent cu consumul de energie electrică în Italia în 2017 în 4 săptămâni);
21.48076431 megatone ;
8,51900643 x 10 ¹³ BTU .

Viteza luminii ca limită

Viteza luminii nu poate fi atinsă sau depășită de un corp din cauza naturii termenului $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}

.

De fapt dacă

v\to c\;\;\Longrightarrow \;\;(v/c)^{2}\to 1\;\;\Longrightarrow \;\;{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\to 0

{\ displaystyle v \ to c \; \; \ Longrightarrow \; \; (v / c) ^ {2} \ to 1 \; \; \ Longrightarrow \; \; {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}} \ to 0}

{\ displaystyle v \ to c \; \; \ Longrightarrow \; \; (v / c) ^ {2} \ to 1 \; \; \ Longrightarrow \; \; {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}} \ to 0}

si in consecinta

\lim _{v\to c}\gamma (v)=\lim _{v\to c}{\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\infty

{\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} \ gamma (v) = \ lim _ {v \ to c} {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}} } = \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} \ gamma (v) = \ lim _ {v \ to c} {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}} } = \ infty}

.

La viteza luminii, masa relativistă și energia totală ar deveni infinite:

\lim _{v\to c}\,m(v)=\lim _{v\to c}\,\gamma (v)\,m_{0}=\infty

{\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} \, m (v) = \ lim _ {v \ to c} \, \ gamma (v) \, m_ {0} = \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} \, m (v) = \ lim _ {v \ to c} \, \ gamma (v) \, m_ {0} = \ infty}

\lim _{v\to c}\,E(v)=\lim _{v\to c}\,m(v)\,c^{2}=\lim _{v\to c}\,\gamma (v)\,m_{0}c^{2}=\infty

{\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} \, E (v) = \ lim _ {v \ to c} \, m (v) \, c ^ {2} = \ lim _ {v \ to c } \, \ gamma (v) \, m_ {0} c ^ {2} = \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} \, E (v) = \ lim _ {v \ to c} \, m (v) \, c ^ {2} = \ lim _ {v \ to c } \, \ gamma (v) \, m_ {0} c ^ {2} = \ infty}

Cu alte cuvinte, este necesară o cantitate infinită de energie pentru a accelera un corp la viteza luminii. Acest fapt este explicat din punct de vedere dinamic odată cu creșterea inerției pe măsură ce viteza crește.

Aproximare pentru viteze mici

Energia cinetică relativistă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este dat de diferența dintre energia totală $E=mc^{2}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2}}$ și energie în repaus $E_{0}=m_{0}c^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}$ :

K=E-E_{0}=mc^{2}-m_{0}c^{2}=\gamma \,m_{0}c^{2}-m_{0}c^{2}=\left(\gamma -1\right)\,m_{0}c^{2}

{\ displaystyle K = E-E_ {0} = mc ^ {2} -m_ {0} c ^ {2} = \ gamma \, m_ {0} c ^ {2} -m_ {0} c ^ {2 } = \ left (\ gamma -1 \ right) \, m_ {0} c ^ {2}}

{\ displaystyle K = E-E_ {0} = mc ^ {2} -m_ {0} c ^ {2} = \ gamma \, m_ {0} c ^ {2} -m_ {0} c ^ {2 } = \ left (\ gamma -1 \ right) \, m_ {0} c ^ {2}}

care pentru viteze mici ( v << c ) este aproximativ egal cu expresia clasică a energiei cinetice ,

K={\frac {1}{2}}\,mv^{2}

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} \, mv ^ {2}}

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} \, mv ^ {2}}

.

Se poate demonstra că cele două forme sunt de acord prin extindere $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ în seria Taylor :

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\simeq 1\,+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \ simeq 1 \, + \, {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \ simeq 1 \, + \, {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}

.

Inserându-l în ecuația originală, obținem o aproximare la expresia clasică a energiei cinetice:

K\simeq {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}m_{0}c^{2}\simeq {\frac {1}{2}}\,m_{0}v^{2}

{\ displaystyle K \ simeq {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2} m_ {0} c ^ {2} \ simeq {\ frac {1} {2}} \, m_ {0} v ^ {2}}

{\ displaystyle K \ simeq {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2} m_ {0} c ^ {2} \ simeq {\ frac {1} {2}} \, m_ {0} v ^ {2}}

.

Energia relativistă totală include și energia de repaus a corpului, dependentă doar de masa de repaus , care nu apare în schimb în definiția clasică a energiei . Expresia energiei cinetice relativiste este în schimb echivalentă cu cea clasică pentru viteze mici v față de c . Aceasta arată cum relativitatea este o teorie mai generală decât mecanica clasică, care se încadrează în mecanica relativistă ca un caz special.

Masă invariantă

Masă invariantă	$m$ ${\ displaystyle m}$ $m$
Energia totală	$E=\gamma \,mc^{2}$ ${\ displaystyle E = \ gamma \, mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = \ gamma \, mc ^ {2}}$
Energie în repaus	$E_{0}=mc^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}}$

Masa relativistă nu mai este folosită în limbajul relativist de astăzi, ca o potențială expresie a erorii conceptuale că masa , mai degrabă decât inerția singură, ^[2] variază în funcție de viteză. Din acest motiv astăzi m este masa invariantă la orice viteză v < c (care coincide numeric cu masa în repaus $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ ) într-un sistem de referință inerțial dat K și în orice alt sistem de referință inerțial K 'care se deplasează cu viteză constantă v' față de K. În consecință este scris $E=\gamma \,mc^{2}$ ${\ displaystyle E = \ gamma \, mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = \ gamma \, mc ^ {2}}$ pentru un obiect în mișcare sau $E_{0}=mc^{2}$ ${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {0} = mc ^ {2}}$ dacă este în repaus cu privire la un sistem de referință dat. ^[3] ^[4]

Aspecte istorice

Einstein nu a fost primul și nici singurul care a legat energia de masă, dar a fost primul care a prezentat această relație ca parte a unei teorii generale și care a dedus această formulă în cadrul relativității speciale. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că derivatele lui Einstein (1906 și 1907) , Planck (1907) , Einstein (1950) (vezi Secțiunea Masa radiației electromagnetice: Poincaré (1900-1904) ) și Rohrlich (1990) nu necesită orice concept relativist, fiind ecuația $E=mc^{2}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle E = mc ^ {2}}$ obținută și prin combinarea rezultatelor mecanicii clasice și electromagnetismului.

Lumina și materia de la Newton la Soldner (1704-1804)

Ideea echivalenței, convertibilității sau efectului materiei asupra radiațiilor datează de la Isaac Newton . În întrebarea 30 din Opticks ^{[5] el a} scris: „Corpurile grele și lumina sunt convertibile unul în celălalt”. ( „Corpurile brute și lumina sunt convertibile unul în celălalt.” ). ^[6] Tot în Opticks a spus că el crede că gravitația poate devia lumina. Aceste afirmații nu sunt surprinzătoare dacă ne gândim că Newton credea că lumina este formată din corpusculi materiali ( teoria corpusculară a luminii ).

În 1783 , lectorul Cambridge , John Michell, a sugerat într-o scrisoare către Henry Cavendish (publicată ulterior în conturile Societății Regale ^[7] ) că stelele suficient de masive și compacte ar păstra lumina datorită câmpului gravitațional intens. Viteza de evacuare din corpul ceresc ar fi putut deveni mai mare decât viteza luminii, rezultând ceea ce el a numit o „stea întunecată” (stea întunecată), cunoscută acum sub numele de gaura neagră . În 1798, Pierre-Simon de Laplace a raportat această idee în prima ediție a Traité de mécanique céleste . ^[8]

Johann von Soldner a fost printre primii care au prezentat ipoteza că lumina , conform teoriei corpusculare a lui Newton , poate suferi o abatere atunci când trece în vecinătatea unui corp ceresc. ^[6] Într-un articol din 1801, publicat în 1804, ^{[9] a} calculat valoarea deviației unui fascicul de lumină care vine de la o stea care trece în apropierea Soarelui. Valoarea unghiulară pe care a găsit-o a fost jumătate ^[10] din cea calculată de Einstein în 1915 folosind relativitatea generală . Cea mai importantă confirmare experimentală a relativității generale, obținută de Arthur Eddington în 1919, se va baza pe măsurarea acestui efect în timpul unei eclipse totale de soare.

Eterul ca cauză a echivalenței masă-energie (1851-1875)

Julius Robert von Mayer a folosit $mc^{2}$ ${\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc ^ {2}$ în 1851 pentru a exprima presiunea exercitată de eter asupra unui corp de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ : «Dacă o masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , inițial în repaus, în timp ce traversa spațiul efectiv $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , sub influența și în direcția presiunii $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , capătă viteză $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , avem $ps=mc^{2}$ ${\ displaystyle ps = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle ps = mc ^ {2}}$ . Cu toate acestea, din moment ce orice producție de mișcare implică existența unei presiuni (sau a unei tracțiuni) și a unui spațiu eficient (și, de asemenea, epuizarea a cel puțin unuia dintre acești factori, spațiul real), rezultă că mișcarea nu poate veni niciodată în existență. cu excepția costului acestui produs, $ps=mc^{2}$ ${\ displaystyle ps = mc ^ {2}}$ ${\ displaystyle ps = mc ^ {2}}$ . " ^[6] ^[11]

Samuel Tolver Preston (1844 - 1917), inginer și fizician englez, a publicat în 1875 cartea Physics of the Ether cu scopul de a înlocui noțiunea newtoniană de acțiune la distanță , considerată spiritualistă , cu conceptul mecanic de eter . Energia implicată în următorul exemplu citat de Preston este ^[6] a $mc^{2}$ ${\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc ^ {2}$ : „Pentru a da o idee, în primul rând, despre intensitatea enormă a depozitului de energie la care se poate ajunge prin intermediul acelei stări extinse de subdiviziune a materiei care face practicabilă o viteză normală mare, se poate calcula că [... ] o cantitate de materie care reprezintă masa unui bob echipat cu viteza particulelor de eter, conține o cantitate de energie care, dacă ar fi utilizată complet, ar fi capabilă să proiecteze o greutate de o sută de mii de tone la o înălțime de aproape două mile (1, 9 mile). " ^[6] ^[12]

Masa electromagnetică a electronului (1881-1906)

La începutul secolului al XX-lea, mulți fizicieni au aderat la o teorie electromagnetică a naturii , care a susținut legile electromagnetice ale lui Maxwell mai fundamentale decât cele mecanice ale lui Newton . ^[13] În acest context, s-au efectuat cercetări pentru a atribui originea masei de materie efectelor electromagnetice.

Obiectele încărcate au o inerție mai mare decât aceleași corpuri descărcate. Acest lucru se explică printr-o interacțiune a sarcinilor electrice în mișcare cu câmpul pe care ei înșiși îl generează, numit reacție de câmp ; efectul poate fi interpretat ca o creștere a masei inerțiale a corpului și poate fi derivat din ecuațiile lui Maxwell . În 1881 Joseph John Thomson , care a descoperit electronul în 1896, a făcut o primă încercare de a calcula contribuția electromagnetică la masă . ^[14] O sferă încărcată care se mișcă în spațiu (despre care se credea că este umplută de eterul luminifer , cu propria sa inductanță $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ) este mai dificil de pus în mișcare decât un corp neîncărcat (caz analog cu inerția corpurilor din fluide , ^[15] studiată de George Gabriel Stokes în 1843). Datorită autoinducției, energia electrostatică pare să-și prezinte propriul impuls și masa electromagnetică $m_{\rm {em}}$ ${\ displaystyle m _ {\ rm {em}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ rm {em}}}$ care mărește masa în repaus $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ a corpurilor încărcate în mișcare. Thomson a calculat câmpul magnetic generat de o sferă încărcată electric în mișcare, arătând că acest câmp induce o inerție ( masă ) asupra sferei în sine. Rezultatul Thomson depinde de raza, sarcina și permeabilitatea magnetică a sferei. În 1889 Oliver Heaviside a generalizat rezultatul lui Thomson, ^[16] arătând că masa electromagnetică se dovedește a fi

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

{\ displaystyle m _ {\ rm {em}} = {\ frac {4} {3}} \, {\ frac {E _ {\ rm {em}}} {c ^ {2}}}}

{\ displaystyle m _ {\ rm {em}} = {\ frac {4} {3}} \, {\ frac {E _ {\ rm {em}}} {c ^ {2}}}}

,

unde este $E_{\rm {em}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {em}}}$ $E_{\rm {em}}$ è l'energia del campo elettrico della sfera. Chiaramente questo risultato si applica solo ad oggetti carichi e in movimento, quindi non ad ogni corpo dotato di massa. Fu tuttavia il primo serio tentativo di connettere massa ed energia. ^[17] ^[18] Ulteriori lavori, che contribuirono a definire la massa elettromagnetica dell'elettrone (classicamente visto come una piccola sfera carica elettricamente), vennero da Joseph John Thomson (1893), George Frederick Charles Searle (1864 - 1954), fisico inglese, (1897), Walter Kaufmann (1901), Max Abraham (1902, 1904 e 1905) ed Hendrik Lorentz (1892, ^[19] 1899 e 1904).

Nel 1893 Joseph John Thomson notò che l'energia e quindi la massa dei corpi carichi dipendono dalla loro velocità, e che la velocità della luce costituisce una velocità limite: «una sfera carica che si muove alla velocità della luce si comporta come se la sua massa fosse infinita [...] in altre parole è impossibile aumentare la velocità di un corpo carico che si muove in un dielettrico oltre quella della luce.» ^[20] Nel 1897 il fisico inglese George Frederick Charles Searle (1864 - 1954) fornì una formula per l'energia elettromagnetica di una sfera carica in movimento, ^[21] confermando le conclusioni di Thomson. Walter Kaufmann ^[22] nel 1901 e Max Abraham ^[23] nel 1902 calcolarono la massa elettromagnetica di corpi carichi in movimento. Abraham si accorse però che tale risultato era valido solo nella direzione di moto longitudinale rispetto all' etere e definì quindi anche una massa elettromagnetica trasversale $m_{T}$ $m_{T}$ $m_{T}$ oltre a quella longitudinale $m_{L}$ $m_{L}$ $m_{L}$ . Hendrik Lorentz , nel 1899 ^[24] e nel 1904, ^[25] produsse due articoli sulla teoria dell'elettrone di Lorentz , che prevedeva una contrazione delle lunghezze nella direzione del moto. La massa longitudinale e quella trasversale dipendevano (Lorentz 1904 ^[25] ) dalla velocità in due modi diversi:

m_{L}={\gamma }^{3}\,m_{\rm {em}},\quad m_{T}=\gamma \,m_{\rm {em}}

m_{L}={\gamma }^{3}\,m_{\rm {em}},\quad m_{T}=\gamma \,m_{\rm {em}}

m_{L}={\gamma }^{3}\,m_{\rm {em}},\quad m_{T}=\gamma \,m_{\rm {em}}

dove $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ è il fattore di Lorentz

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}

.

Nell'ambito della teoria elettromagnetica della natura , Wilhelm Wien ^[26] (noto per i suoi lavori del 1896 sullo spettro del corpo nero ) nel 1900 e Max Abraham ^[23] nel 1902 giunsero indipendentemente alla conclusione che l' intera massa $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ dei corpi è dovuta ad effetti elettromagnetici, e coincide quindi con la massa elettromagnetica $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ . Nel 1906 Henri Poincaré sostenne ^[27] che la massa è un effetto del campo elettrico che agisce nell' etere luminifero , implicando che non esiste realmente alcuna massa. Quindi, siccome la materia è inseparabilmente connessa alla sua massa , secondo Poincaré anche la materia non esiste: gli elettroni sarebbero solamente concavità nell'etere . Tuttavia ben presto si dovette rinunciare all'idea di una massa puramente elettromagnetica dell'elettrone. Nel 1904 Max Abraham sostenne che era necessaria anche un'energia non elettromagnetica (in misura pari ad $(1/3)E_{\rm {em}}$ $(1/3)E_{\rm {em}}$ $(1/3)E_{\rm {em}}$ ) per evitare che l'elettrone contrattile di Lorentz esplodesse ^[28] . L'anno dopo - contraddicendo le sue tesi del 1902 - dubitò della possibilità di sviluppare un modello consistente dell'elettrone su basi esclusivamente elettromagnetiche. ^[29]

Per risolvere i problemi della teoria dell'elettrone di Lorentz, nel 1905 ^[30] e nel 1906 ^[31] Henri Poincaré introdusse un termine correttivo ("Poincaré stresses") di natura non elettromagnetica. Come già sostenuto da Abraham, il contributo non elettromagnetico secondo Poincaré risulta pari a

E_{\rm {po}}={\frac {1}{3}}\,E_{\rm {em}}={\frac {1}{4}}\,E_{0}

E_{\rm {po}}={\frac {1}{3}}\,E_{\rm {em}}={\frac {1}{4}}\,E_{0}

E_{\rm {po}}={\frac {1}{3}}\,E_{\rm {em}}={\frac {1}{4}}\,E_{0}

.

Lo stress di Poincaré - che risolve il problema dell'instabilità dell'elettrone di Lorentz - resta inalterato per trasformazioni di Lorentz (ovvero è Lorentz invariante). Era interpretato come la ragione dinamica della contrazione di Lorentz - FitzGerald della dimensione longitudinale dell'elettrone. Restava da capire l'origine del fattore 4/3 che compare nella massa elettromagnetica $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ di Heaviside , derivabile anche dalle equazioni di Abraham – Lorentz dell'elettrone. Se si calcola il contributo puramente elettrostatico alla massa elettromagnetica dell'elettrone, il termine 4/3 scompare:

m_{\rm {es}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {es}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {es}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

,

mettendo in luce l'origine dinamica del contributo non elettromagnetico $E_{\rm {po}}$ $E_{\rm {po}}$ $E_{\rm {po}}$ :

m_{\rm {em}}-m_{\rm {es}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}-{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {1}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {po}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}-m_{\rm {es}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}-{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {1}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {po}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}-m_{\rm {es}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}-{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {1}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {po}}}{c^{2}}}

.

Tenendo conto del termine non elettromagnetico di Poincaré, le relazioni tra le diverse masse ed energie diventano: ^[32] ^[33]

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,m_{\rm {es}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {em}}+{\frac {E_{\rm {em}}}{3}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {em}}+E_{\rm {po}}}{c^{2}}}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,m_{\rm {es}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {em}}+{\frac {E_{\rm {em}}}{3}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {em}}+E_{\rm {po}}}{c^{2}}}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,m_{\rm {es}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {em}}+{\frac {E_{\rm {em}}}{3}}}{c^{2}}}={\frac {E_{\rm {em}}+E_{\rm {po}}}{c^{2}}}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

.

Quindi il fattore 4/3 compare quando la massa elettromagnetica $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ viene riferita all'energia elettromagnetica $E_{\rm {em}}$ $E_{\rm {em}}$ $E_{\rm {em}}$ , mentre scompare se si considera l'energia a riposo $E_{0}$ $E_{0}$ $E_{0}$ :

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

Le formule precedenti - nonostante contengano il termine non elettromagnetico $E_{\rm {po}}$ $E_{\rm {po}}$ $E_{\rm {po}}$ - identificano, come sostenuto da Poincaré, ^[27] la massa a riposo dell'elettrone con la massa elettromagnetica: $m_{\rm {em}}=E_{0}/c^{2}$ $m_{\rm {em}}=E_{0}/c^{2}$ $m_{\rm {em}}=E_{0}/c^{2}$ e presentano quindi un evidente problema interpretativo, che richiederà molti anni per essere risolto.

Max von Laue nel 1911 ^[34] mostrò che, a causa del fattore 4/3, il quadrimpulso relativistico non si comporta come un quadrivettore nello spaziotempo di Minkowski . Anche von Laue utilizzò lo stress di Poincaré $E_{\rm {po}}$ $E_{\rm {po}}$ $E_{\rm {po}}$ , ma dimostrò con un formalismo rigorosamente relativistico che vi sono ulteriori componenti di stress e forze. Per sistemi spazialmente estesi come l'elettrone di Lorentz, in cui si hanno sia energie elettromagnetiche sia non elettromagnetiche, il risultato complessivo è che forze e momenti si trasformano correttamente come quadrivettori che formano un sistema chiuso . Nel formalismo di von Laue il fattore 4/3 si manifesta solo se si considera la massa elettromagnetica:

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

.

Invece nel sistema complessivo la massa a riposo $m_{0}$ $m_{0}$ $m_{0}$ e l'energia risultano connesse dalla formula di Einstein, ^[33] il cui fattore è uguale a 1:

m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}

.

La definitiva soluzione al problema dei 4/3 fu trovata, nell'arco di oltre 60 anni, da ben quattro autori diversi: Enrico Fermi (1922), ^[35] Paul Dirac (1938), ^[36] Fritz Rohrlich (1921 - 2018), fisico americano, (1960), ^[37] Julian Schwinger (1983). ^[38] Divenne chiaro che la stabilità dell'elettrone e la presenza del fattore 4/3 nella massa elettromagnetica sono problemi diversi. Venne inoltre dimostrato che le precedenti definizioni dei quadrimpulsi erano intrinsecamente non relativistiche. Ridefinendoli nella forma relativisticamente corretta di quadrivettori , anche la massa elettromagnetica viene scritta come

m_{\rm {em}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

e quindi il fattore 4/3 scompare completamente. ^[33] Ora non solo il sistema chiuso nella sua totalità, ma ogni parte del sistema si trasforma correttamente come un quadrivettore . Forze di legame come gli stress di Poincaré sono ancora necessarie per evitare che, per repulsione coulombiana, l'elettrone esploda. Ma si tratta ora di un problema di stabilità dinamica, del tutto distinto dalle formule d'equivalenza massa-energia.

La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900-1904)

Un altro modo di derivare l' equivalenza massa - energia è basato sulla pressione di radiazione o tensione del campo elettromagnetico, introdotta da James Clerk Maxwell nel 1874 e da Adolfo Bartoli nel 1876. Nel 1950 Albert Einstein attribuì l'origine della formula $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ alle equazioni di campo di Maxwell. ^[39] La pressione di radiazione è

P={\frac {\phi (E)}{c}}

P={\frac {\phi (E)}{c}}

P={\frac {\phi (E)}{c}}

dove $\phi (E)$ $\phi (E)$ $\phi (E)$ è il flusso d' energia elettromagnetica. Siccome

P={\frac {F}{S}}={\frac {1}{cS}}\,{\frac {dE}{dt}}={\frac {\phi (E)}{c}}

P={\frac {F}{S}}={\frac {1}{cS}}\,{\frac {dE}{dt}}={\frac {\phi (E)}{c}}

P={\frac {F}{S}}={\frac {1}{cS}}\,{\frac {dE}{dt}}={\frac {\phi (E)}{c}}

con $dE/dt$ ${\displaystyle dE/dt}$ $dE/dt$ tasso di variazione dell' energia ricevuta dal corpo, la forza $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ esercitata su un corpo assorbente della radiazione elettromagnetica risulta essere

F={\frac {1}{c}}\,{\frac {dE}{dt}}

F={\frac {1}{c}}\,{\frac {dE}{dt}}

F={\frac {1}{c}}\,{\frac {dE}{dt}}

.

D'altra parte, per la quantità di moto $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ assorbita dal corpo, vale

F={\frac {dp}{dt}}

F={\frac {dp}{dt}}

F={\frac {dp}{dt}}

.

Dal confronto tra le due equazioni si ricava

{\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{c}}\,{\frac {dE}{dt}}\quad \Longrightarrow \quad p={\frac {E}{c}}

{\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{c}}\,{\frac {dE}{dt}}\quad \Longrightarrow \quad p={\frac {E}{c}}

{\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{c}}\,{\frac {dE}{dt}}\quad \Longrightarrow \quad p={\frac {E}{c}}

Se la quantità di moto $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ viene scritta come prodotto della massa $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ acquisita dal corpo assorbendo la radiazione per la velocità $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ della radiazione incidente (ipotesi ad hoc necessaria per ottenere il risultato voluto), si ricava

p=mc={\frac {E}{c}}\quad \Longrightarrow \quad m={\frac {E}{c^{2}}}

p=mc={\frac {E}{c}}\quad \Longrightarrow \quad m={\frac {E}{c^{2}}}

p=mc={\frac {E}{c}}\quad \Longrightarrow \quad m={\frac {E}{c^{2}}}

Va specificato che l'implicazione sopra indicata non costituisce una prova della relazione $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ e che l'equivalenza ad hoc $p=mc$ ${\displaystyle p=mc}$ $p=mc$ non si trova né in Maxwell né in Bartoli, ma è stata proposta solo a posteriori (nel 1950) da Einstein.

Nel 1895 Hendrik Lorentz riconobbe che tali tensioni del campo elettromagnetico si debbono manifestare anche nella teoria dell' etere luminifero stazionario da lui proposta. ^[40] Ma se l'etere è in grado di mettere in moto dei corpi, per il principio d'azione e reazione anche l'etere deve essere messo in moto dai corpi materiali. Tuttavia il moto di parti dell'etere è in contraddizione con la caratteristica fondamentale dell'etere, che deve essere immobile. Quindi, per mantenere l'immobilità dell'etere, Lorentz ammetteva esplicitamente un'eccezione al principio d'azione e reazione .

Nel 1900 Henri Poincaré analizzò il conflitto tra il principio d'azione e reazione e l'etere di Lorentz. ^[41] Cercò di capire se il baricentro o centro di massa di un corpo si muova ancora a velocità uniforme quando sono coinvolti campo elettromagnetico e radiazione. Notò che il principio d'azione e reazione non vale per la sola materia, in quanto il campo elettromagnetico ha un sua quantità di moto (già derivata anche da Joseph John Thomson nel 1893, ^[42] ma in maniera più complicata). Poicaré concluse che il campo elettromagnetico agisce come un fluido fittizio con una massa equivalente a

m_{\rm {em}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

m_{\rm {em}}={\frac {E_{\rm {em}}}{c^{2}}}

.

Se il centro di massa è definito usando sia la massa m della materia sia la massa $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ del fluido fittizio , e se quest'ultimo non viene né creato né distrutto, allora il moto del centro di massa risulta uniforme. Ma il fluido elettromagnetico non è indistruttibile, in quanto può essere assorbito dalla materia (per questo motivo Poincaré aveva chiamato il fluido fittizio anziché reale ). Quindi il principio d'azione e reazione verrebbe ancora violato dall'etere di Lorentz. La soluzione al problema (equivalenza massa - energia ) sarà trovata da Einstein col suo articolo ^[1] del 1905: la massa del campo elettromagnetico viene trasferita alla materia nel processo d'assorbimento. Ma Poincaré formulò invece una diversa ipotesi, assumendo che in ogni punto dello spazio esista un fluido immobile d'energia non-elettromagnetica, dotato di una massa proporzionale alla sua energia. Quando il fluido fittizio elettromagnetico è emesso o assorbito, la sua massa/energia non è emessa o assorbita dalla materia, ma viene invece trasferita al fluido non-elettromagnetico, rimanendo esattamente nella stessa posizione. Con questa improbabile ipotesi, il moto del centro di massa del sistema (materia + fluido fittizio elettromagnetico + fluido fittizio non-elettromagnetico) risulta uniforme.

Tuttavia - siccome solo la materia e la radiazione elettromagnetica, ma non il fluido non-elettromagnetico, sono direttamente osservabili in un esperimento - quando si considera empiricamente un processo d'emissione o assorbimento, la soluzione proposta da Poicaré viola ancora il principio d'azione e reazione . Ciò conduce ad esiti paradossali quando si cambia il sistema di riferimento . Studiando l'emissione di radiazione da un corpo e il rinculo dovuto alla quantità di moto del fluido fittizio , Poincaré notò che una trasformazione di Lorentz (al primo ordine in v/c ) dal sistema di riferimento del laboratorio al sistema di riferimento del corpo in movimento risulta conservare l' energia , ma non la quantità di moto . Ciò comporterebbe la possibilità di un moto perpetuo , ovviamente impossibile. Inoltre le leggi di natura sarebbero differenti nei due diversi sistemi di riferimento , ed il principio di relatività sarebbe violato. Concluse quindi che nell' etere debba agire un altro sistema di compensazione, diverso da quello dei fluidi fittizi . ^[32] ^[43] Poincaré tornò sull'argomento nel 1904, ^[44] rifiutando la soluzione da lui proposta nel 1900 che movimenti nell' etere possano compensare il moto di corpi materiali, perché simili ipotesi sono sperimentalmente inosservabili e quindi scientificamente inutili. Abbandonò inoltre l'idea di un'equivalenza massa - energia ea proposito del rinculo dei corpi materiali che emettono radiazione elettromagnetica scrisse: «L'apparato rinculerà come se un cannone avesse sparato un proiettile, contraddicendo il principio di Newton , poiché il proiettile in questo caso non è massa , è energia .»

La massa della radiazione di corpo nero: Hasenöhrl (1904-1905) e Planck (1907)

L'idea di Poincaré d'associare una massa e una quantità di moto alla radiazione elettromagnetica si dimostrò feconda. Nel 1902 Max Abraham introdusse ^[23] il termine "momento elettromagnetico" con densità di campo pari a $E_{\rm {em}}/c^{2}$ $E_{\rm {em}}/c^{2}$ $E_{\rm {em}}/c^{2}$ per cm³ e $E_{\rm {em}}/c$ $E_{\rm {em}}/c$ $E_{\rm {em}}/c$ per cm ² . Al contrario di Lorentz e Poincaré, che lo consideravano fittizio , Abraham sostenne che fosse un ente fisico reale , che consentiva la conservazione complessiva della quantità di moto.

Nel 1904 Friedrich Hasenöhrl , studiando la dinamica di un corpo nero in movimento, associò il concetto d' inerzia alla radiazione elettromagnetica della cavità. ^[45] Hasenöhrl suggerì che parte della massa del corpo (che denominò massa apparente ) può essere attribuita alla radiazione che rimbalza dentro la cavità. Siccome ogni corpo riscaldato emette radiazione elettromagnetica, la massa apparente della radiazione dipende dalla temperatura e risulta proporzionale alla sua energia : $m_{\rm {ap}}=(8/3)E/c^{2}$ $m_{\rm {ap}}=(8/3)E/c^{2}$ $m_{\rm {ap}}=(8/3)E/c^{2}$ . Abraham corresse questo risultato di Hasenöhrl: in base alla definizione del "momento elettromagnetico" e della massa elettromagnetica longitudinale $m_{L}={\gamma }^{3}\,m_{\rm {em}}$ $m_{L}={\gamma }^{3}\,m_{\rm {em}}$ $m_{L}={\gamma }^{3}\,m_{\rm {em}}$ , il valore della costante di proporzionalità avrebbe dovuto essere 4/3:

m_{\rm {ap}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E}{c^{2}}}

m_{\rm {ap}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E}{c^{2}}}

m_{\rm {ap}}={\frac {4}{3}}\,{\frac {E}{c^{2}}}

,

come per la massa elettromagnetica $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ di un corpo elettricamente carico in movimento. Nel 1905 Hasenöhrl rifece i calcoli, confermando il risultato di Abraham. Notò inoltre la similarità tra la massa apparente $m_{\rm {ap}}$ $m_{\rm {ap}}$ $m_{\rm {ap}}$ di un corpo nero e quella elettromagnetica $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ $m_{\rm {em}}$ di un corpo carico. ^[46] ^[47] Circa il termine 4/3 e la sua successiva eliminazione, si veda la parte finale della SezioneLa massa elettromagnetica dell'elettrone (1881-1906) .

Nel 1907 Max Planck , generalizzando il lavoro di Hasenöhrl, fornì una derivazione non relativistica della formula $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ : «mediante ogni assorbimento o emissione di calore la massa inerziale di un corpo si modifica, e l'incremento di massa è sempre uguale alla quantità di calore [...] divisa per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.» ^[48]

Derivazione relativistica di Einstein (1905)

Nel suo articolo del 1905 " L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? " ^[1] (entrato a far parte della raccolta chiamata Annus Mirabilis Papers ), Einstein non utilizzò i simboli con cui oggi conosciamo la sua equazione, ma lo fece solo successivamente. In quel suo primo articolo esaminò dapprima il caso della diminuzione di energia di un corpo sotto forma di radiazione in un sistema di riferimento in cui il corpo è in movimento e della conseguente perdita di massa, giungendo all'equazione nella forma:

\Delta m={\frac {L}{c^{2}}}

\Delta m={\frac {L}{c^{2}}}

\Delta m={\frac {L}{c^{2}}}

dove $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ (invece di $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ ) rappresentava l'energia irraggiata dal corpo di cui una parte $\Delta m$ $\Delta m$ $\Delta m$ della massa veniva convertita in luce, mentre $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ era usato nella dimostrazione per rappresentare l'energia totale.

Generalizzò quindi il concetto affermando che: «Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c². Il fatto che l'energia sottratta al corpo diventi energia di radiazione non fa alcuna differenza, perciò siamo portati alla più generale conclusione che la massa di qualunque corpo è la misura del suo contenuto di energia; se l'energia varia di L, la massa varia nello stesso senso di $L\,/\,(9\times 10^{20})$ $L\,/\,(9\times 10^{20})$ $L\,/\,(9\times 10^{20})$ , misurando l'energia in erg e la massa in grammi.» . In queste parole c'è la chiara consapevolezza di Einstein sulla validità universale della sua scoperta.

Nella parte finale dell'articolo, Einstein suggerì d'indagare il radio , un elemento radioattivo, per verificare l'equivalenza massa-energia nel caso d' emissione radioattiva : «Non è impossibile che nei corpi nei quali il contenuto in energia sia variabile in sommo grado (per esempio nei sali di radio ) la teoria possa essere sperimentata con successo.» . In effetti, sarà proprio nel campo della fisica nucleare che si avranno sistematiche conferme della validità dell'equazione $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ .

Derivazioni non relativistiche di Einstein (1906 e 1907)

Nel 1906 Einstein fornì una derivazione non relativistica, ^[49] che si basava solo sulle leggi della meccanica e dell'elettromagnetismo, della formula $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ pubblicata l'anno precedente. Tale risultato era valido solo al primo ordine in (v/c). Nel 1907 pubblicò una derivazione analoga, ma valida a tutti gli ordini. ^[50] La derivazione del 1906 fu semplificata e pubblicata da Max Born nel suo libro Vorlesungen über Atommechanik ( Lezioni sulla meccanica atomica ) del 1925, tradotto in italiano col titolo Fisica atomica . ^[51] Tale dimostrazione viene qui riportata in una versione modificata dai fisici italiani Enrico Smargiassi ^[52] e Gianluca Introzzi (intermittenza dell'emettitore $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ ), in modo da introdurre il moto perpetuo come esito paradossale che richiede l'equivalenza massa-energia $m=E/c^{2}$ $m=E/c^{2}$ $m = E/c^2$ per essere eliminato.

Si abbia una scatola a forma di parallelepipedo isolata, non soggetta a forze o attriti esterni e ferma rispetto ad un riferimento inerziale. All'interno sono fissati, sulle due pareti minori, un emettitore direzionale di luce intermittente $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ a sinistra ed un assorbitore $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ a destra, di ugual massa e distanti $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ tra loro. La massa complessiva del sistema scatola, emettitore e assorbitore sia $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ . Se $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ è l'energia di un segnale luminoso, il momento associato risulta essere $p=E/c$ ${\displaystyle p=E/c}$ $p=E/c$ (vedi Sezione La massa della radiazione elettromagnetica: Poincaré (1900-1904) ). L'emissione verso destra del segnale luminoso da parte della sorgente $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ produce un rinculo della scatola verso sinistra, a causa del momento della scatola $q=Mv$ ${\displaystyle q=Mv}$ $q=Mv$ , dove $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ è la velocità di spostamento della scatola verso sinistra. La scatola continuerà a muoversi verso sinistra, fino a che il segnale luminoso non sarà assorbito dall'assorbitore $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ . Il momento $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ trasferito dalla luce all'assorbitore compenserà esattamente quello $q$ ${\displaystyle q}$ $q$ della scatola, arrestando il movimento del sistema. Il risultato netto sarà uno spostamento della scatola verso sinistra di una distanza $x=v\,t$ $x=v\,t$ $x=v\,t$ .

Dalla conservazione della quantità di moto ( $q-p=0$ ${\displaystyle qp=0}$ $q-p=0$ ) scritta esplicitamente:

Mv-{\frac {E}{c}}=0

Mv-{\frac {E}{c}}=0

Mv-{\frac {E}{c}}=0

si ricava la velocità:

v={\frac {E}{cM}}

v={\frac {E}{cM}}

v={\frac {E}{cM}}

.

Il tempo $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ è quello di volo del segnale luminoso dalla sorgente $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ all'assorbitore $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ . A meno di termini correttivi dell'ordine di $v/c$ ${\displaystyle v/c}$ $v/c$ , il suo valore è

t={\frac {l}{c}}

t={\frac {l}{c}}

t={\frac {l}{c}}

.

Quindi

x=v\,t={\frac {l}{c^{2}}}\,{\frac {E}{M}}

x=v\,t={\frac {l}{c^{2}}}\,{\frac {E}{M}}

x=v\,t={\frac {l}{c^{2}}}\,{\frac {E}{M}}

.

Questo risultato è paradossale: un sistema isolato fermo in un riferimento inerziale non può spostare il proprio centro di massa (sarebbe equivalente ad uscire dalle sabbie mobili tirandosi per i propri capelli, come raccontava d'aver fatto il barone di Münchhausen ). L'emissione di un secondo segnale luminoso sposterà ulteriormente la scatola a sinistra di una lunghezza $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ . Continuando l'emissione e l'assorbimento di segnali luminosi nella scatola, sembrerebbe possibile ottenerne lo spostamento per distanze arbitrariamente grandi, senza che nessun altro cambiamento avvenga dentro la scatola o nelle sue vicinanze. Sarebbe la realizzazione del moto perpetuo , ovviamente impossibile. I due apparenti paradossi (spostamento del centro di massa e moto perpetuo) scompaiono se si tien conto dell'equivalenza massa-energia di Einstein. Con l'emissione del segnale luminoso, l'emettitore $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ perde l'energia $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ , e quindi una massa $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ (per ora incognita). Similmente, l'energia e quindi la massa dell'assorbitore $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ aumentano delle stesse quantità. Per la conservazione della quantità di moto, il momento totale dovuto allo spostamento delle due masse $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ ed $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ durante il tempo di volo della luce $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ è

Mv-mc=0

{\displaystyle Mv-mc=0}

Mv-mc=0

,

da cui si ricava

m={\frac {M}{c}}\,v

m={\frac {M}{c}}\,v

m={\frac {M}{c}}\,v

.

Sostituendo in questa relazione il valore precedentemente trovato per $v$ ${\displaystyle v}$ $v$ , si ottiene infine

m={\frac {E}{c^{2}}}

m={\frac {E}{c^{2}}}

m={\frac {E}{c^{2}}}

.

Derivazione non relativistica di Rohrlich (1990)

Il fisico americano Fritz Rohrlich (1921 - 2018) è riuscito a dimostrare nel 1990 la formula $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ $E=mc^{2}$ senza servirsi di relazioni di tipo relativistico, basandosi esclusivamente sulle leggi della fisica classica, quali il principio di conservazione della quantità di moto e l' effetto Doppler . ^[53]

Si consideri un corpo materiale $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ di massa $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ che si muova rispetto a un osservatore $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ con la velocità costante $v_{1}$ $v_{1}$ $v_1$ molto bassa rispetto a quella della luce. Inoltre si prenda in considerazione un secondo osservatore $O_{c}$ $O_{c}$ $O_{c}$ in quiete rispetto a $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ . Si supponga che a un certo istante $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ il corpo $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ emetta due fotoni con la stessa energia $E=h\nu$ $E=h\nu$ $E=h\nu$ , dove $h$ ${\displaystyle h}$ $h$ è la costante di Planck e $\nu$ $\nu$ $\nu$ la frequenza dei fotoni osservata da $O_{c}$ $O_{c}$ $O_{c}$ , in quiete rispetto a $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ . I due fotoni sono emessi uno nella direzione del moto, l'altro in direzione opposta. Tenendo conto dell'effetto Doppler, l'osservatore $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ misurerà invece una frequenza pari a

\nu '=\nu \left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)

\nu '=\nu \left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)

\nu '=\nu \left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)

per il fotone emesso in direzione del moto e pari a

\nu ''=\nu \left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)

\nu ''=\nu \left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)

\nu ''=\nu \left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)

per quello emesso in direzione opposta.

L'energia radiante $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ emessa all'istante $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ che è osservata da $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ sarà dunque

E=h\nu \left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)+h\nu \left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)=2h\nu

E=h\nu \left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)+h\nu \left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)=2h\nu

E=h\nu \left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)+h\nu \left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)=2h\nu

Inoltre, per il principio di conservazione, la quantità di moto del corpo $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ osservata da $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ prima dell'emissione deve essere pari alla somma delle quantità di moto di $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ e dei due fotoni dopo l'emissione (si noti che la quantità di moto del secondo fotone, poiché emesso in direzione contraria al moto, va presa col segno negativo), quindi:

m_{1}v_{1}=m_{2}v_{2}+q'-q''=m_{2}v_{2}+{\frac {h\nu }{c}}\left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)-{\frac {h\nu }{c}}\left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)=m_{2}v_{2}+v_{1}\,{\frac {2h\nu }{c^{2}}}

m_{1}v_{1}=m_{2}v_{2}+q'-q''=m_{2}v_{2}+{\frac {h\nu }{c}}\left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)-{\frac {h\nu }{c}}\left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)=m_{2}v_{2}+v_{1}\,{\frac {2h\nu }{c^{2}}}

m_{1}v_{1}=m_{2}v_{2}+q'-q''=m_{2}v_{2}+{\frac {h\nu }{c}}\left(1+{\frac {v_{1}}{c}}\right)-{\frac {h\nu }{c}}\left(1-{\frac {v_{1}}{c}}\right)=m_{2}v_{2}+v_{1}\,{\frac {2h\nu }{c^{2}}}

dove:

$m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ = massa del corpo C prima dell'emissione
$v_{1}$ $v_{1}$ $v_1$ = velocità del corpo C prima dell'emissione
$m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ = massa del corpo C dopo l'emissione
$v_{2}$ $v_{2}$ $v_{2}$ = velocità del corpo C dopo l'emissione
$q^{'}$ ${\displaystyle q'}$ $q'$ = quantità di moto del fotone emesso in direzione del moto
$q^{″}$ ${\displaystyle q''}$ $q''$ = quantità di moto del fotone emesso in direzione contraria a quella del moto

Data la natura simmetrica dell'effetto, l'osservatore $O_{c}$ $O_{c}$ $O_{c}$ non rileverà dopo l'emissione dei due fotoni alcun cambiamento di moto del corpo $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ , che continuerà quindi a trovarsi in quiete rispetto a lui. Quindi per l'osservatore $O$ ${\displaystyle O}$ $O$ dopo l'emissione sia l'osservatore $O_{c}$ $O_{c}$ $O_{c}$ , sia il corpo $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ continueranno a muoversi con velocità $v_{1}$ $v_{1}$ $v_1$ invariata. Perciò si conclude che $v_{1}=v_{2}$ $v_{1}=v_{2}$ $v_{1}=v_{2}$ . Sostituendo $v_{2}$ $v_{2}$ $v_{2}$ con $v_{1}$ $v_{1}$ $v_1$ nell'equazione sulla quantità di moto ed introducendo la riduzione di massa $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ del corpo $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ dopo l'emissione pari a $m=m_{1}-m_{2}$ $m=m_{1}-m_{2}$ $m=m_{1}-m_{2}$ , dopo facili passaggi algebrici dalla si ottiene:

m=m_{1}-m_{2}={\frac {1}{v_{1}}}\,v_{1}\,{\frac {2h\nu }{c^{2}}}={\frac {2h\nu }{c^{2}}}

m=m_{1}-m_{2}={\frac {1}{v_{1}}}\,v_{1}\,{\frac {2h\nu }{c^{2}}}={\frac {2h\nu }{c^{2}}}

m=m_{1}-m_{2}={\frac {1}{v_{1}}}\,v_{1}\,{\frac {2h\nu }{c^{2}}}={\frac {2h\nu }{c^{2}}}

da cui, tenendo presente che $E=2h\nu$ $E=2h\nu$ $E=2h\nu$ , si ottiene:

E=mc^{2}

E=mc^{2}

E=mc^{2}

ovvero che l'energia $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ irradiata dal corpo $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ è pari alla perdita di massa subita da $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ in seguito all'emissione, moltiplicata per il quadrato della velocità della luce nel vuoto.

Note

^ ^a ^b ^c ^d A. Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? [ L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? ], in Annalen der Physik , vol. 18, 1905, pp. 639-641. Traduzione italiana in A. Einstein, Opere scelte , a cura di E. Bellone, Torino, Bollati Boringhieri, 1988, pp. 178-180.
^ Per inerzia si intende la resistenza di un corpo a mutare la propria accelerazione a per effetto di una forza esterna F . Con l'introduzione del concetto di massa invariante , la massa m non dipende più dalla velocità del corpo, come accadeva per la massa relativistica . Invece l'inerzia, definita ora come $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ , risulta essere una funzione della velocità v tramite il fattore di Lorentz $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ .
^ ( EN ) Lev B. Okun, The concept of mass ( PDF ), in Physics Today , vol. 42, 1989, pp. 31-36.
^ Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica ( PDF ), in La Fisica nella Scuola , vol. 14, n. 25, 1981.
^ ( EN ) I. Newton, Opticks: or, a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light , 3 volumi, London, 1704.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ( EN ) The Origin of the Equation E = mc2 , su naturalphilosophy.org . URL consultato il 4 giugno 2019 .
^ ( EN ) J. Michell, On the means of discovering the distance, magnitude etc. of the fixed stars , in Philosophical Transactions of the Royal Society , 1784.
^ ( FR ) P.-S. Laplace, Traité de mécanique céleste [ Trattato di meccanica celeste ], 5 volumi, Paris, 1798–1825.
^ ( DE ) J. von Soldner, Über die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung [ Sulla deflessione di un raggio di luce dal suo movimento rettilineo ], in Berliner Astronomisches Jahrbuch , 1804, pp. 161-172.
^ Soldner: la relatività generale a metà , su infinitoteatrodelcosmo.it . URL consultato il 14 maggio 2020 .
^ ( DE ) JR von Mayer, Bemerkungen über das mechanische Aequivalent der Wärme [ Osservazioni sull'equivalente meccanico del calore ], in Pamphlet , Heilbronn, Leipzig, 1851.
^ ( EN ) ST Preston, Physics of the ether , London, E. & FN Spon, 1875, p. 165.
^ C. Tarsitani, Il dilemma onda-corpuscolo da Maxwell a Planck e Einstein , Torino, Loescher, 1983, pp. 173-178.
^ ( EN ) JJ Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies , in Philosophical Magazine , 5, vol. 11, n. 68, 1881, pp. 229-249, DOI : 10.1080/14786448108627008 .
^ ( EN ) GG Stokes, On some cases of fluid motion , in Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol. 8, n. 1, 1844, pp. 105-137.
^ ( EN ) O.Heaviside, On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric , in Philosophical Magazine , 5, vol. 27, n. 167, 1889, pp. 324-339, DOI : 10.1080/14786448908628362 .
^ ( EN ) Was Einstein the First to Invent E = mc^2? , su scientificamerican.com . URL consultato il 5 giugno 2019 .
^ ( EN ) T. Rothman, Did Einstein Really Invent E = mc^2? , in Scientific American , vol. 313, n. 3, Settembre 2015.
^ ( FR ) HA Lorentz, La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants [ La teoria elettromagnetica di Maxwell e la sua applicazione ai corpi in movimento ], in Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles , vol. 25, 1892, pp. 363-552.
^ ( EN ) JJ Thomson, Notes on recent researches in electricity and magnetism , Oxford, Clarendon Press, 1893, p. 21.
^ ( EN ) GFC Searle, On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid , in Philosophical Magazine , 5, vol. 44, n. 269, 1897, pp. 329-341, DOI : 10.1080/14786449708621072 .
^ ( DE ) W. Kaufmann, Die elektromagnetische Masse des Elektrons [ La massa elettromagnetica degli elettroni ], in Physikalische Zeitschrift , vol. 4, 1b, 1902, pp. 54-56.
^ ^a ^b ^c ( DE ) M. Abraham, Prinzipien der Dynamik des Elektrons [ Principi della dinamica degli elettroni ] , in Annalen der Physik , vol. 315, n. 1, 1903, pp. 105-179, DOI : 10.1002/andp.19013100703 .
^ ( EN ) HA Lorentz, Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems , in Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences , vol. 1, 1899, pp. 427-442.
^ ^a ^b ( EN ) HA Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light , in Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences , vol. 6, 1904, pp. 809-831.
^ ( DE ) W. Wien, Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik [ Sulla possibilità di una fondazione elettromagnetica della meccanica ] , in Annalen der Physik , vol. 310, n. 7, 1900, pp. 501-513, DOI : 10.1002/andp.19013100703 .
^ ^a ^b ( FR ) H. Poincaré, La fin de la matière [ La fine della materia ], in Athenæum , 1906.
^ ( DE ) M. Abraham, Die Grundhypothesen der Elektronentheorie [ Le ipotesi fondamentali della teoria degli elettroni ], in Physikalische Zeitschrift , vol. 5, 1904, pp. 576-579.
^ ( DE ) M. Abraham, Theorie der Elektrizität: Elektromagnetische Theorie der Strahlung [ Teoria dell'elettricità: teoria elettromagnetica della radiazione ] , Leipzig, Teubner, 1905, pp. 201-208.
^ ( FR ) H. Poincaré, Sur la dynamique de l'électron [ Sulla dinamica dell'elettrone ], in Comptes Rendus , vol. 140, 1905, pp. 1504-1508.
^ ( FR ) H. Poincaré, Sur la dynamique de l'électron [ Sulla dinamica dell'elettrone ] , in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 21, 1906, pp. 129-176, DOI : 10.1007/BF03013466 .
^ ^a ^b ( EN ) AI Miller, Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911) , Reading, Addison–Wesley, 1981, pp. 382-383, ISBN 978-0-201-04679-3 .
^ ^a ^b ^c ( EN ) M. Janssen e M. Macklenburg, From classical to relativistic mechanics: Electromagnetic models of the electron , a cura di VF Hendricks, Interactions: Mathematics, Physics and Philosophy , Dordrecht, Springer, 2007, pp. 65-134.
^ ( DE ) M. von Laue, Das Relativitätsprinzip [ Il principio di relatività ], Braunschweig, Vieweg, 1911.
^ ( DE ) E. Fermi, Über einen Widerspruch zwischen der elektrodynamischen und relativistischen Theorie der elektromagnetischen Masse [ A proposito di una contraddizione tra l'elettrodinamica e la teoria relativistica della massa elettromagnetica ], in Physikalische Zeitschrift , vol. 23, 1922, pp. 340-344.
^ ( EN ) PAM Dirac, Classical Theory of Radiating Electrons , in Proceedings of the Royal Society of London A , vol. 167, n. 929, 1938, pp. 148-169, DOI : 10.1098/rspa.1938.0124 .
^ ( EN ) F. Rohrlich, Fritz, Self-Energy and Stability of the Classical Electron , in American Journal of Physics , vol. 28, n. 7, 1960, pp. 639-643, DOI : 10.1119/1.1935924 .
^ ( EN ) J. Schwinger, Electromagnetic mass revisited , in Foundations of Physics , vol. 13, n. 3, 1983, pp. 373-383, DOI : 10.1007/BF01906185 .
^ ( EN ) A. Einstein, Out of My Later Years , New York, Philosophical Library, 1950.
^ ( DE ) HA Lorentz, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern [ Tentativo di una teoria dei fenomeni elettrici e ottici nei corpi in movimento ], Leiden, EJ Brill, 1895.
^ ( FR ) H. Poincaré, La théorie de Lorentz et le principe de réaction [ La teoria di Lorentz e il principio di reazione ], in Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles , vol. 5, 1900, pp. 252-278. Vedi anche la traduzione inglese .
^ ( EN ) JJ Thomson, Notes on recent researches in electricity and magnetism , Oxford, Clarendon Press, 1893.
^ ( EN ) O. Darrigol, The Genesis of the theory of relativity ( PDF ), in Séminaire Poincaré , vol. 1, 2005, pp. 1-22, DOI : 10.1007/3-7643-7436-5_1 , ISBN 978-3-7643-7435-8 .
^ ( EN ) H. Poincaré, The Principles of Mathematical Physics , in Congress of arts and science, universal exposition, St. Louis, 1904 , vol. 1, Boston and New York, Houghton, Mifflin and Co., 1904, pp. 604-622.
^ ( DE ) F. Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern [ Sulla teoria della radiazione nei corpi in movimento ], in Annalen der Physik , vol. 320, n. 12, 1904, pp. 344-370.
^ ( DE ) F. Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung [ Sulla teoria della radiazione nei corpi in movimento. Correzione ], in Annalen der Physik , vol. 321, n. 3, 1905, pp. 589-592.
^ ( EN ) AI Miller, Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911) , Reading, Addison–Wesley, 1981, pp. 359-360, ISBN 978-0-201-04679-3 .
^ ( DE ) M. Planck, Sitzung der preusse Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalische und Mathematische Klasse (13 Juni, 1907) [ Seduta dell'Accademia prussiana delle Scienze (Berlino), Classi di Fisica e Matematica (13 giugno 1907) ], 1907, pp. 542-570; in particolare 566.
^ A. Einstein, Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie [ Il principio di conservazione del moto del centro di gravità e l'inerzia dell'energia ], in Annalen der Physik , vol. 20, 1906, pp. 627-633. Traduzione inglese in A. Einstein, The principle of conservation of motion of the center of gravity and the inertia of energy , su einsteinpapers.press.princeton.edu . URL consultato il 6 ottobre 2020 .
^ A. Einstein, Die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie [ L'inerzia dell'energia richiesta dal principio di relatività ], in Annalen der Physik , vol. 23, 1907, pp. 371-384. Traduzione inglese in A. Einstein, On the inertia of energy required by the relativity principle , su einsteinpapers.press.princeton.edu . URL consultato il 30 ottobre 2020 .
^ M. Born, Fisica atomica , Torino, Boringhieri, 1968, pp. 78-79 e 403.
^ E. Smargiassi, È possibile ricavare l'equazione E = mc^2 dalla fisica classica ? , su www-dft.ts.infn.it . URL consultato il 14 luglio 2020 .
^ ( EN ) F. Rohrlich, An elementary derivation of E=mc² , in American Journal of Physics , vol. 58, n. 4, aprile 1990, p. 348.

Bibliografia

V. Barone, Relatività - Principi e applicazioni , Bollati Boringhieri, Torino 2004.
V. Barone, E=mc² - La formula più famosa , il Mulino, Bologna 2019.
D. Bodanis, E=mc²: Biografia dell'equazione che ha cambiato il mondo , Mondadori, Milano 2005.
G. Chinnici, Assoluto e relativo - La relatività da Galileo ad Einstein e oltre , Hoepli, Milano 2015.
A. Einstein, E. Bellone (a cura di), Opere scelte , Bollati Boringhieri, Torino 1988.
A. Einstein, Relatività - Esposizione divulgativa e scritti classici su spazio geometria fisica , Bollati Boringhieri, Torino 2011.
C. Garfald, Come capire E=mc² , Bollati Boringhieri, Torino 2019.
M. Guillen, Le 5 equazioni che hanno cambiato il mondo - Potere e poesia della matematica , TEA, Milano 2018.
I. Stewart, Le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo , Einaudi, Torino 2018.
L. Susskind, Relatività ristretta e teoria classica dei campi - Il minimo indispensabile per fare della (buona) fisica , Raffaello Cortina, Milano 2018.

Voci correlate

Altri progetti

Wikiquote contiene citazioni di o su E=mc²
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su E=mc²

Collegamenti esterni

( EN ) E=mc² / E=mc² (altra versione) / E=mc² (altra versione) , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Happy 100th Birthday E=mc² BBC
( EN )Einstein's E=mc² inspires ballet BBC
( EN ) Rampart Dance Company: Constant Speed E=mc² , su rambert.org.uk (archiviato dall' url originale il 4 gennaio 2006) .
( EN ) Edward Muller's Homepage > Antimatter Calculator , su edwardmuller.com (archiviato dall' url originale il 25 dicembre 2005) .
( EN ) Energy of a Nuclear Explosion , su hypertextbook.com .
( EN ) Albert Einstein's Sep. 27, 1905 paper , su fourmilab.ch .
( EN ) Einstein's 1912 manuscript page displaying E=mc² , su symmetrymag.org .
( EN ) NOVA - Einstein's Big Idea (PBS Television)
Presentazione del libro di Umberto Bartocci , su cartesio-episteme.net .

Portale Energia

Portale Relatività

[einstein-1] A. Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? [ L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia? ], in Annalen der Physik , vol. 18, 1905, pp. 639-641. Traduzione italiana in A. Einstein, Opere scelte , a cura di E. Bellone, Torino, Bollati Boringhieri, 1988, pp. 178-180.

[2] Per inerzia si intende la resistenza di un corpo a mutare la propria accelerazione a per effetto di una forza esterna F . Con l'introduzione del concetto di massa invariante , la massa m non dipende più dalla velocità del corpo, come accadeva per la massa relativistica . Invece l'inerzia, definita ora come $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ $\gamma \,m$ , risulta essere una funzione della velocità v tramite il fattore di Lorentz $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ .

[3] ( EN ) Lev B. Okun, The concept of mass ( PDF ), in Physics Today , vol. 42, 1989, pp. 31-36.

[4] Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica ( PDF ), in La Fisica nella Scuola , vol. 14, n. 25, 1981.

[5] ( EN ) I. Newton, Opticks: or, a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light , 3 volumi, London, 1704.

[ricker-6] ( EN ) The Origin of the Equation E = mc2 , su naturalphilosophy.org . URL consultato il 4 giugno 2019 .

[7] ( EN ) J. Michell, On the means of discovering the distance, magnitude etc. of the fixed stars , in Philosophical Transactions of the Royal Society , 1784.

[8] ( FR ) P.-S. Laplace, Traité de mécanique céleste [ Trattato di meccanica celeste ], 5 volumi, Paris, 1798–1825.

[9] ( DE ) J. von Soldner, Über die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung [ Sulla deflessione di un raggio di luce dal suo movimento rettilineo ], in Berliner Astronomisches Jahrbuch , 1804, pp. 161-172.

[10] Soldner: la relatività generale a metà , su infinitoteatrodelcosmo.it . URL consultato il 14 maggio 2020 .

[11] ( DE ) JR von Mayer, Bemerkungen über das mechanische Aequivalent der Wärme [ Osservazioni sull'equivalente meccanico del calore ], in Pamphlet , Heilbronn, Leipzig, 1851.

[12] ( EN ) ST Preston, Physics of the ether , London, E. & FN Spon, 1875, p. 165.

[13] C. Tarsitani, Il dilemma onda-corpuscolo da Maxwell a Planck e Einstein , Torino, Loescher, 1983, pp. 173-178.

[thomson-14] ( EN ) JJ Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies , in Philosophical Magazine , 5, vol. 11, n. 68, 1881, pp. 229-249, DOI : 10.1080/14786448108627008 .

[15] ( EN ) GG Stokes, On some cases of fluid motion , in Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol. 8, n. 1, 1844, pp. 105-137.

[16] ( EN ) O.Heaviside, On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric , in Philosophical Magazine , 5, vol. 27, n. 167, 1889, pp. 324-339, DOI : 10.1080/14786448908628362 .

[rothman_1-17] ( EN ) Was Einstein the First to Invent E = mc^2? , su scientificamerican.com . URL consultato il 5 giugno 2019 .

[rothman_2-18] ( EN ) T. Rothman, Did Einstein Really Invent E = mc^2? , in Scientific American , vol. 313, n. 3, Settembre 2015.

[19] ( FR ) HA Lorentz, La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants [ La teoria elettromagnetica di Maxwell e la sua applicazione ai corpi in movimento ], in Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles , vol. 25, 1892, pp. 363-552.

[20] ( EN ) JJ Thomson, Notes on recent researches in electricity and magnetism , Oxford, Clarendon Press, 1893, p. 21.

[21] ( EN ) GFC Searle, On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid , in Philosophical Magazine , 5, vol. 44, n. 269, 1897, pp. 329-341, DOI : 10.1080/14786449708621072 .

[22] ( DE ) W. Kaufmann, Die elektromagnetische Masse des Elektrons [ La massa elettromagnetica degli elettroni ], in Physikalische Zeitschrift , vol. 4, 1b, 1902, pp. 54-56.

[abraham-23] ( DE ) M. Abraham, Prinzipien der Dynamik des Elektrons [ Principi della dinamica degli elettroni ] , in Annalen der Physik , vol. 315, n. 1, 1903, pp. 105-179, DOI : 10.1002/andp.19013100703 .

[24] ( EN ) HA Lorentz, Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems , in Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences , vol. 1, 1899, pp. 427-442.

[elet_lorentz-25] ( EN ) HA Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light , in Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences , vol. 6, 1904, pp. 809-831.

[wien-26] ( DE ) W. Wien, Über die Möglichkeit einer elektromagnetischen Begründung der Mechanik [ Sulla possibilità di una fondazione elettromagnetica della meccanica ] , in Annalen der Physik , vol. 310, n. 7, 1900, pp. 501-513, DOI : 10.1002/andp.19013100703 .

[poinc-27] ( FR ) H. Poincaré, La fin de la matière [ La fine della materia ], in Athenæum , 1906.

[28] ( DE ) M. Abraham, Die Grundhypothesen der Elektronentheorie [ Le ipotesi fondamentali della teoria degli elettroni ], in Physikalische Zeitschrift , vol. 5, 1904, pp. 576-579.

[29] ( DE ) M. Abraham, Theorie der Elektrizität: Elektromagnetische Theorie der Strahlung [ Teoria dell'elettricità: teoria elettromagnetica della radiazione ] , Leipzig, Teubner, 1905, pp. 201-208.

[30] ( FR ) H. Poincaré, Sur la dynamique de l'électron [ Sulla dinamica dell'elettrone ], in Comptes Rendus , vol. 140, 1905, pp. 1504-1508.

[31] ( FR ) H. Poincaré, Sur la dynamique de l'électron [ Sulla dinamica dell'elettrone ] , in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 21, 1906, pp. 129-176, DOI : 10.1007/BF03013466 .

[miller-32] ( EN ) AI Miller, Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911) , Reading, Addison–Wesley, 1981, pp. 382-383, ISBN 978-0-201-04679-3 .

[macklenburg-33] ( EN ) M. Janssen e M. Macklenburg, From classical to relativistic mechanics: Electromagnetic models of the electron , a cura di VF Hendricks, Interactions: Mathematics, Physics and Philosophy , Dordrecht, Springer, 2007, pp. 65-134.

[34] ( DE ) M. von Laue, Das Relativitätsprinzip [ Il principio di relatività ], Braunschweig, Vieweg, 1911.

[35] ( DE ) E. Fermi, Über einen Widerspruch zwischen der elektrodynamischen und relativistischen Theorie der elektromagnetischen Masse [ A proposito di una contraddizione tra l'elettrodinamica e la teoria relativistica della massa elettromagnetica ], in Physikalische Zeitschrift , vol. 23, 1922, pp. 340-344.

[36] ( EN ) PAM Dirac, Classical Theory of Radiating Electrons , in Proceedings of the Royal Society of London A , vol. 167, n. 929, 1938, pp. 148-169, DOI : 10.1098/rspa.1938.0124 .

[37] ( EN ) F. Rohrlich, Fritz, Self-Energy and Stability of the Classical Electron , in American Journal of Physics , vol. 28, n. 7, 1960, pp. 639-643, DOI : 10.1119/1.1935924 .

[38] ( EN ) J. Schwinger, Electromagnetic mass revisited , in Foundations of Physics , vol. 13, n. 3, 1983, pp. 373-383, DOI : 10.1007/BF01906185 .

[39] ( EN ) A. Einstein, Out of My Later Years , New York, Philosophical Library, 1950.

[40] ( DE ) HA Lorentz, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern [ Tentativo di una teoria dei fenomeni elettrici e ottici nei corpi in movimento ], Leiden, EJ Brill, 1895.

[41] ( FR ) H. Poincaré, La théorie de Lorentz et le principe de réaction [ La teoria di Lorentz e il principio di reazione ], in Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles , vol. 5, 1900, pp. 252-278. Vedi anche la traduzione inglese .

[42] ( EN ) JJ Thomson, Notes on recent researches in electricity and magnetism , Oxford, Clarendon Press, 1893.

[43] ( EN ) O. Darrigol, The Genesis of the theory of relativity ( PDF ), in Séminaire Poincaré , vol. 1, 2005, pp. 1-22, DOI : 10.1007/3-7643-7436-5_1 , ISBN 978-3-7643-7435-8 .

[44] ( EN ) H. Poincaré, The Principles of Mathematical Physics , in Congress of arts and science, universal exposition, St. Louis, 1904 , vol. 1, Boston and New York, Houghton, Mifflin and Co., 1904, pp. 604-622.

[45] ( DE ) F. Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern [ Sulla teoria della radiazione nei corpi in movimento ], in Annalen der Physik , vol. 320, n. 12, 1904, pp. 344-370.

[46] ( DE ) F. Hasenöhrl, Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung [ Sulla teoria della radiazione nei corpi in movimento. Correzione ], in Annalen der Physik , vol. 321, n. 3, 1905, pp. 589-592.

[47] ( EN ) AI Miller, Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911) , Reading, Addison–Wesley, 1981, pp. 359-360, ISBN 978-0-201-04679-3 .

[48] ( DE ) M. Planck, Sitzung der preusse Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalische und Mathematische Klasse (13 Juni, 1907) [ Seduta dell'Accademia prussiana delle Scienze (Berlino), Classi di Fisica e Matematica (13 giugno 1907) ], 1907, pp. 542-570; in particolare 566.

[49] A. Einstein, Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie [ Il principio di conservazione del moto del centro di gravità e l'inerzia dell'energia ], in Annalen der Physik , vol. 20, 1906, pp. 627-633. Traduzione inglese in A. Einstein, The principle of conservation of motion of the center of gravity and the inertia of energy , su einsteinpapers.press.princeton.edu . URL consultato il 6 ottobre 2020 .

[50] A. Einstein, Die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie [ L'inerzia dell'energia richiesta dal principio di relatività ], in Annalen der Physik , vol. 23, 1907, pp. 371-384. Traduzione inglese in A. Einstein, On the inertia of energy required by the relativity principle , su einsteinpapers.press.princeton.edu . URL consultato il 30 ottobre 2020 .

[51] M. Born, Fisica atomica , Torino, Boringhieri, 1968, pp. 78-79 e 403.

[smargiassi-52] E. Smargiassi, È possibile ricavare l'equazione E = mc^2 dalla fisica classica ? , su www-dft.ts.infn.it . URL consultato il 14 luglio 2020 .

[53] ( EN ) F. Rohrlich, An elementary derivation of E=mc² , in American Journal of Physics , vol. 58, n. 4, aprile 1990, p. 348.

[ 1]

[2]

[3]

[4]

[5] el a

[6]

[7]

[8]

[9] a

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]