Elasticitate

Primăvara în rezonanță

În fizică , elasticitatea este proprietatea care permite unui corp să se deformeze sub acțiunea unei forțe externe și să-și recapete, în cazul în care deformările nu sunt excesive, forma sa originală atunci când cauza stresului dispare. Dacă corpul, odată ce stresul a încetat, reia exact configurația inițială, se spune că este perfect elastic ^[1] .

Elasticitatea afectează atât corpurile solide, cât și fluidele . Primele au atât elasticitate de formă, cât și de volum , adică reacționează elastic la solicitările care tind să deformeze volumul corpului și să-i schimbe unghiurile; fluidele, pe de altă parte, au doar elasticitate volumică, deoarece reacționează elastic la o compresie sau expansiune, dar nu se opun rezistenței la schimbarea formei, care depinde de recipient ^[2] .

Descriere

Testul de tracțiune: curba tensiune-deformare. De la punctul 1 la punctul 3 există un comportament elastic. Legea lui Hooke (comportamentul liniar) este valabilă de la punctul 1 la punctul 2. Dincolo de punctul 3, numit limită elastică, există un comportament plastic al materialului

Stresul maxim care garantează comportamentul elastic al materialului se numește limită de elasticitate și, dacă este depășit, se intră în regiunea comportamentului plastic al piesei, care constă în randamentul sau fluxul materialului , în funcție de dacă este fragil sau respectiv ductil ^[3] . Deoarece este o presiune, limita de elasticitate este măsurată în Pascal , adică o forță pe unitate de suprafață:

${\ce {Pa}}={\frac {{\ce {N}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg.m}}}{{\ce {s^2}}}}\times {\frac {{\ce {1}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg}}}{{\ce {s^2.m}}}}$ ${\ displaystyle {\ ce {Pa}} = {\ frac {{\ ce {N}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg.m}}} {{\ ce {s ^ 2}}}} \ times {\ frac {{\ ce {1}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg}} } {{\ ce {s ^ 2.m}}}}}$ ${\ displaystyle {\ ce {Pa}} = {\ frac {{\ ce {N}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg.m}}} {{\ ce {s ^ 2}}}} \ times {\ frac {{\ ce {1}}} {{\ ce {m ^ 2}}}} = {\ frac {{\ ce {kg}} } {{\ ce {s ^ 2.m}}}}}$

Dacă materialul este ductil , adică permite plasticizarea , limita elastică este tensiunea de producție , în timp ce în cazul materialelor fragile , care nu au câmp plastic, limita elastică este ruperea materialului ^[1] .

Cel mai simplu model matematic de reprezentare a comportamentului elastic este cel liniar al legii lui Hooke (și al legii generalizate a lui Hooke în cazul stărilor de tensiune pluriaxială), care în cazul unei stări de solicitare uniaxială, tipică testelor de tracțiune , este: $\sigma =E\epsilon$ ${\ displaystyle \ sigma = E \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ sigma = E \ epsilon}$ unde este $\sigma ={\frac {F}{A_{0}}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {F} {A_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {F} {A_ {0}}}}$ este tensiunea care acționează în specimenul prezentat în figura cu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ forță aplicată la capetele sale și $A_{0}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ ${\ displaystyle A_ {0}}$ suprafața secțiunii transversale inițiale, $\epsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}$ deformarea specimenului sau alungirea sa relativă, cu $\Delta L=L_{f}-L_{0}$ ${\ displaystyle \ Delta L = L_ {f} -L_ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta L = L_ {f} -L_ {0}}$ alungirea absolută a specimenului, adică diferența dintre lungimea finală $L_{f}$ ${\ displaystyle L_ {f}}$ ${\ displaystyle L_ {f}}$ iar cea inițială $L_{0}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Modulul Young (sau elastic), care este constanta de proporționalitate între solicitări și tensiuni din câmpul elastic.

Acest model are un aspect fundamental atât în domeniul teoretic , pentru posibilitatea de a ajunge la un studiu matematic complet al problemelor formulate, cât și în domeniul ingineresc , pentru impactul pe care îl are în modelarea și rezolvarea problemelor tehnice și științifice. interes. Alte modele matematice mai complexe de elasticitate neliniară , importante pentru reprezentarea comportamentului cauciucurilor, se referă la modelul materialului hiperelastic , în timp ce pentru mediile poroase modelul este declinat în poroelasticitate .

Studiul corpurilor solide elastice este subiectul teoriei elasticității , o ramură a mecanicii solidelor .

Originea atomică a comportamentului elastic

Comportamentul elastic al diferitelor materiale are origini microscopice care se disting în funcție de tipul particular de material. De fapt, putem vorbi de „elasticitate entalpică” și „elasticitate entropică”.

Materiale cristaline

Elasticitatea entalpiei este caracteristică materialelor cristaline și derivă dintr-un fenomen care are loc la nivel atomic. Proprietățile elastice ale acestor materiale derivă din tipul de interacțiune care se stabilește între atomii lor constituenți, atunci când aceștia sunt supuși unei sarcini externe. Dacă aceste interacțiuni determină o deplasare conținută a atomilor, aceștia, odată ce sarcina a fost îndepărtată, sunt capabili să reocupe poziția lor inițială și materialul este numit elastic; în plus, dacă deplasarea este suficient de mică, proporționalitatea directă dintre deformare și sarcină este garantată și legea lui Hooke este deci valabilă ^[4] .

Rețeaua cristalină densă a acestor materiale permite doar mici deformări și deplasări locale, din care derivă limita mare de elasticitate și modulul elastic mare. Aceasta implică necesitatea exercitării unor tensiuni ridicate pentru a obține deformări semnificative. Dacă rămânem sub tensiunea de producție a materialului, relația dintre tensiune și tensiune este egală cu modulul elastic constant sau modulul lui Young , care reprezintă proporționalitatea dintre tensiune și tensiune în câmpul liniar al materialului, descris de legea lui Hooke , și determină panta secțiunii rectilinii în diagrama de tensiune-tensiune a testului uniaxial reprezentat în figura ^[5] ^[6] .

Prin urmare, elasticitatea depinde de structura microscopică a materialului și de forțele de interacțiune care acționează între atomii care îl compun. În special, trebuie luată în considerare energia potențială existentă între fiecare pereche de atomi, care poate fi exprimată în funcție de distanța lor. La o anumită distanță d ₀ cei doi atomi sunt în echilibru, adică rezultanta forțelor de interacțiune dintre cei doi este zero. Variația acestor forțe (datorită stresului extern) determină variația distanței reciproce dintre particule (determinând deformarea corpului la un nivel macroscopic: în cazul tracțiunii, de exemplu, există o „întindere” a legăturilor) . Pentru niveluri relativ scăzute de solicitări, lucrul mecanic necesar este acumulat ca energie elastică în interiorul materialului și este returnat în întregime atunci când cauza stresului dispare pe măsură ce particulele revin la poziția inițială (corpul își recapătă forma și dimensiunea originare). Energia stocată în material poate fi cuantificată prin următoarea relație: $L=\int _{0}^{\epsilon _{f}}\sigma (\epsilon )d\epsilon$ ${\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {\ epsilon _ {f}} \ sigma (\ epsilon) d \ epsilon}$ ${\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {\ epsilon _ {f}} \ sigma (\ epsilon) d \ epsilon}$ care este reprezentată grafic de zona de sub curba tensiune-deformare reprezentată în figură, unde $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este munca de deformare realizată, stocată în material ca energie elastică, $\sigma (\epsilon )$ ${\ displaystyle \ sigma (\ epsilon)}$ ${\ displaystyle \ sigma (\ epsilon)}$ este tendința stresului în funcție de deformare $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ , și $\epsilon _{f}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {f}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {f}}$ este deformarea finală la care se ajunge prin aplicarea sarcinii externe ^[7] .

Acest mecanism se află la baza comportamentului elastic macroscopic al diferitelor materiale, dar comportamente elastice diferite apar ca tip de material și, prin urmare, structura microscopică variază ^[5] .

Materiale necristaline

Elasticitatea entropică este caracteristică materialelor polimerice constituite la nivel molecular prin lanțuri; această elasticitate apare dintr-o mișcare a lanțurilor de la o stare de entropie ridicată (cea mai probabilă stare, în care lanțurile sunt încurcate) la o stare de entropie scăzută (o stare mai puțin probabilă, mai ordonată, în care lanțurile sunt aliniate), care apare în timpul întinderii materialului.

Materialele polimerice, cum ar fi cauciucul , fiind alcătuite la nivelul microscopic al moleculelor de lanț, permit alunecări și deformări mari și, prin urmare, se caracterizează prin limite reduse de elasticitate și un mic modul de elasticitate . Aceasta înseamnă că tensiunile și tensiunile relativ mici corespund deja unor deformări apreciabile macroscopic, precum și cu randamente foarte scăzute sau puncte de eșec. Aceste materiale se numesc elastomeri , cu un comportament așa-numit „ elasticitate ridicată ” în comparație cu „ adevărata elasticitate ” ^[5] a cristalinelor. Mai mult, datorită întinderii premature a lanțurilor, cauzată de o alungire suplimentară atunci când acestea au fost deja aliniate, elastomerii au un comportament elastic neliniar. ^[5]

Materiale celulare

Materialele celulare, cum ar fi lemnul , reacționează diferit la compresiune și tracțiune . Datorită prezenței cavităților în material, compresia prezintă rigiditate completă până când pereții acestor cavități nu sunt supuși deformării elastice, ceea ce permite o deformare considerabilă fără o creștere mare a stresului. Mai mult, aceste deformări sunt în mare măsură recuperabile, dar odată ce au avut loc, readuc corpul la o stare de rigiditate, anulând cavitățile. Pe de altă parte, acestea nu au aceeași influență asupra tracțiunii, ceea ce nu permite îndoirea elastică a pereților în același mod ^[5] .

Elasticitatea liniară a continuumului

Deformări

Pentru a-și studia comportamentul atunci când sunt supuși stresului, materialele pot fi modelate ca având nicio structură internă și alcătuite dintr-un continuu solid. Prin reprezentarea corpului într-un sistem cartezian de referință , poziția fiecărui punct poate fi indicată prin intermediul vectorului de poziție: $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ și deplasarea lor cu vectorul $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$ . Vectorul de deplasare descrie modul în care corpul se deformează sub sarcină, de fapt: $dl={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}$ ${\ displaystyle dl = {\ sqrt {dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle dl = {\ sqrt {dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}}$ este distanța carteziană între două puncte ale corpului e $dl'={\sqrt {(dx_{1}+du_{1})^{2}+(dx_{2}+du_{2})^{2}+(dx_{3}+du_{3})^{2}}}$ ${\ displaystyle dl '= {\ sqrt {(dx_ {1} + du_ {1}) ^ {2} + (dx_ {2} + du_ {2}) ^ {2} + (dx_ {3} + du_ { 3}) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle dl '= {\ sqrt {(dx_ {1} + du_ {1}) ^ {2} + (dx_ {2} + du_ {2}) ^ {2} + (dx_ {3} + du_ { 3}) ^ {2}}}}$ este aceeași distanță după ce corpul s-a deformat și este în mod clar o funcție de $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ ^[8] . Se introduce măreția $\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$ deformarea menționată, care atunci când variază $i,j=1,2,3$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ formează un tensor de rangul 2, respectivul tensor de deformare: ${\begin{pmatrix}\epsilon _{11}&\epsilon _{12}&\epsilon _{13}\\\epsilon _{21}&\epsilon _{22}&\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}&\epsilon _{32}&\epsilon _{33}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} & \ epsilon _ {12} & \ epsilon _ {13} \\\ epsilon _ {21} & \ epsilon _ {22} & \ epsilon _ {23 } \\\ epsilon _ {31} & \ epsilon _ {32} & \ epsilon _ {33} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} & \ epsilon _ {12} & \ epsilon _ {13} \\\ epsilon _ {21} & \ epsilon _ {22} & \ epsilon _ {23 } \\\ epsilon _ {31} & \ epsilon _ {32} & \ epsilon _ {33} \ end {pmatrix}}}$ unde termenii diagonali $\epsilon _{ii}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ii}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ii}}$ cu $i=1,2,3$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ $i = 1,2,3$ se numesc deformări normale și descriu alungirile sau contracțiile, restul $\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ cu $i\neq j$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ acestea sunt numite culisante și descriu variația formei, deci a unghiurilor, în raport cu referința carteziană ^[8] .

Tetraedrul lui Cauchy

Eforturi

Starea de efort este în general și, în majoritatea cazurilor, tridimensională ^[9] . Pentru a- l studiu, Cauchy Teorema este exploatat prin plasarea unui triplet cartezian pe punctul de $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ în studiu și tăierea corpului cu un plan înclinat al normalului ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ la o distanță infinitesimală $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ din $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , care identifică împreună cu cele trei planuri de referință un tetraedru , numit Cauchy, reprezentat în figură. Chipul normalului ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ are o suprafață egală cu $d LA$ ${\ displaystyle dA}$ $din$ , în timp ce celelalte, de normal $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , au o suprafață respectiv egală cu $n_{x}dA=dA_{1}$ ${\ displaystyle n_ {x} dA = dA_ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {x} dA = dA_ {1}}$ , $n_{y}dA=dA_{2}$ ${\ displaystyle n_ {y} dA = dA_ {2}}$ ${\ displaystyle n_ {y} dA = dA_ {2}}$ Și $n_{z}dA=dA_{3}$ ${\ displaystyle n_ {z} dA = dA_ {3}}$ ${\ displaystyle n_ {z} dA = dA_ {3}}$ unde este $n_{x}$ ${\ displaystyle n_ {x}}$ ${\ displaystyle n_ {x}}$ , $n_{y}$ ${\ displaystyle n_ {y}}$ ${\ displaystyle n_ {y}}$ Și $n_{z}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ sunt directorii cosinusilor ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ . Efortul generic care acționează în planul normalului ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ Și $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ , iar pe celelalte fețe $\mathbf {T^{(e_{1})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ , $\mathbf {T^{(e_{2})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ Și $\mathbf {T^{(e_{3})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ , care prin convenție sunt considerate pozitive dacă intră și, prin urmare, minusul indică faptul că părăsesc volumul infinitesimal . Pentru a studia starea generică de efort $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ a unui punct aparținând corpului este suficient să se impună echilibrul static în tetraedru (I ecuația cardinală a staticii ):

$\mathbf {T^{(n)}} dA-\mathbf {T^{(e_{1})}} dA_{1}-\mathbf {T^{(e_{2})}} dA_{2}-\mathbf {T^{(e_{3})}} dA_{3}=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} dA- \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} dA_ {1} - \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} dA_ {2} - \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} dA_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} dA- \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} dA_ {1} - \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} dA_ {2} - \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} dA_ {3} = 0}$

că în cazul în care sunt cunoscuți cei trei vectori $\mathbf {T^{(e_{1})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ , $\mathbf {T^{(e_{2})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ Și $\mathbf {T^{(e_{3})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ efortul poate fi determinat $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ oriunde pe corp.

Acum toți cei trei vectori pot fi proiectați $\mathbf {T^{(e_{1})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}}$ , $\mathbf {T^{(e_{2})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}}}$ Și $\mathbf {T^{(e_{3})}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}}$ în cele trei direcții $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x _ {{1}}$ , $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ Și $x_{3}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$ și vectorul $\mathbf {T^{(n)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}}}$ în direcția normală și tangențială a planului normal ${\textbf {n}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {n}}}$ , obținând:

$\mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {n} =\sigma _{n}\quad \mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {t} =\tau _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {n} = \ sigma _ {n} \ quad \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {t} = \ tau _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {n} = \ sigma _ {n} \ quad \ mathbf {T ^ {(n)}} \ cdot \ mathbf {t} = \ tau _ {n}}$

$\mathbf {T^{(e_{1})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{2})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{3})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {2})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {pmatrix}}}$

unde două dintre cele trei componente vor fi tangențiale faței de aplicare a stresului, iar restul va fi normal față. În cele din urmă, este compus tensorul de solicitare, care descrie starea generică de efort:

$\sigma _{ij}={\begin{pmatrix}{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2} )}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33 } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ begin {pmatrix} {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {1})}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {2} )}}} \\ {\ displaystyle \ mathbf {T ^ {(e_ {3})}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} & \ sigma _ {12} & \ sigma _ {13} \\\ sigma _ {21} & \ sigma _ {22} & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33 } \ end {pmatrix}}}$

Densitatea energiei de deformare

Densitatea energiei de deformare este energia elastică stocată de material pe unitate de volum, iar relația deține: $\operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ adică creșterea densității energiei de deformare $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este egal cu munca depusă prin eforturi $\sigma _{ij}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$ $\ sigma_ {ij}$ pentru a modifica deformările $\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij}}$ . Se deduce apoi că: $\sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ ^[8] .

Relația $\operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} U = \ sigma _ {ij} d \ epsilon _ {ij}}$ poate fi extins în serie cu Taylor în jur $U_{0}=0$ ${\ displaystyle U_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle U_ {0} = 0}$ în cazul unui solid liniar și al unei stări inițiale descărcate și nedeformate sau cu $\epsilon _{ij,0}=\sigma _{ij,0}=0$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij, 0} = \ sigma _ {ij, 0} = 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ij, 0} = \ sigma _ {ij, 0} = 0}$ , obținând:

$U={\frac {1}{2}}\sum _{ijkl}c_{ijkl}\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}$ ${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ijkl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {ij} \ epsilon _ {kl}}$ ${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ijkl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {ij} \ epsilon _ {kl}}$ la care dacă ne aplicăm $\sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ partial U \ over \ partial \ epsilon _ {ij}}}$ obținem legea generalizată a lui Hooke: $\sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\epsilon _{kl}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sum _ {kl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {kl}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sum _ {kl} c_ {ijkl} \ epsilon _ {kl}}$ care în cazul materialului izotrop devine ^[8] :

${\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}={\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{pmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&1-2\nu &0&0\\0&0&0&0&1-2\nu &0\\0&0&0&0&0&1-2\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}\\\epsilon _{12}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} \\\ sigma _ {12} \ end {pmatrix}} = {\ frac {E} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} {\ begin {pmatrix} 1- \ nu & \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & 1- \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & \ nu & 1- \ nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu \ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} \\\ epsilon _ {22} \\\ epsilon _ {33} \\\ epsilon _ {23} \\\ epsilon _ {31} \\ \ epsilon _ {12 } \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\\ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} \\\ sigma _ {12} \ end {pmatrix}} = {\ frac {E} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} {\ begin {pmatrix} 1- \ nu & \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & 1- \ nu & \ nu & 0 & 0 & 0 \\\ nu & \ nu & 1- \ nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-2 \ nu \ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} \ epsilon _ {11} \\\ epsilon _ {22} \\\ epsilon _ {33} \\\ epsilon _ {23} \\\ epsilon _ {31} \\ \ epsilon _ {12 } \ end {pmatrix}}}$

unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este modulul elastic e $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este raportul lui Poisson .

Notă

^ ^a ^b Encyclopaedia Britannica, Elasticity , pe britannica.com . Adus 14-05-2019 .
^ Elasticitate în Enciclopedia Treccani , pe treccani.it . Adus 17-05-2019 .
^ William L. Hosch, Elastic limit , de la britannica.com . Adus 14-05-2019 .
^ A. Cottrell, Enciclopedia materialelor: știință și tehnologie , Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526 . accesso necesită url ( ajutor )
^ ^a ^b ^c ^d ^e Wayne Hayden, William G. Moffatt și John Wulff, Structura și proprietățile materialelor - Vol. III Comportament mecanic , traducere de Dr. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Comportament mecanic, John Wiley și Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.
^ Alberto Taliercio, Introducere în mecanica solidelor , 15 iulie 2014, pp. 90-91, DOI : 10.15651 / 978-88-748-8778-1 . Adus pe 14 mai 2019 .
^ William D. Callister și David G. Rethwisch, Știința și ingineria materialelor , ediția a VIII-a, John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241 .
^ ^a ^b ^c ^d AM Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects , în Elsevier Science Ltd. , 2001.
^ Machine Building , McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080 .

Bibliografie

A. Cottrell, Enciclopedia materialelor: știință și tehnologie , Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526 . accesso necesită url ( ajutor )
William D. Callister și David G. Rethwisch, Știința și ingineria materialelor , ediția a VIII-a, John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241 .
Wayne Hayden, William G. Moffatt și John Wulff, Structura și proprietățile materialelor - Vol. III Comportament mecanic , traducere de dr. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Comportament mecanic, John Wiley și Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.
Machine Building , McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080 .
Encyclopaedia Britannica, Elasticity , pe britannica.com . Adus 14-05-2019 .
William L. Hosch, Elastic limit , de la britannica.com . Adus 14-05-2019 .
Alberto Taliercio, Introducere în mecanica solidelor , 15 iulie 2014, pp. 90-91, DOI : 10.15651 / 978-88-748-8778-1 .
AM Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects , în Elsevier Science Ltd. , 2001.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ elasticitate ”
Wikiversitatea conține resurse privind elasticitatea
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre elasticitate

linkuri externe

Elasticitate , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .
( EN ) Elasticity , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tesauro BNCF 19727 · LCCN (EN) sh85041516 · GND (DE) 4014159-7 · BNF (FR) cb11931958h (dată) · NDL (EN, JA) 00.561.255

Portal de inginerie

Portal mecanic

[:2-1] Encyclopaedia Britannica, Elasticity , pe britannica.com . Adus 14-05-2019 .

[2] Elasticitate în Enciclopedia Treccani , pe treccani.it . Adus 17-05-2019 .

[3] William L. Hosch, Elastic limit , de la britannica.com . Adus 14-05-2019 .

[4] A. Cottrell, Enciclopedia materialelor: știință și tehnologie , Elsevier Science Ltd., p. 2404, ISBN 0-08-0431526 . accesso necesită url ( ajutor )

[:0-5] Wayne Hayden, William G. Moffatt și John Wulff, Structura și proprietățile materialelor - Vol. III Comportament mecanic , traducere de Dr. Ing. Franco Sandrolini, Vol. III Comportament mecanic, John Wiley și Sons, Inc., pp. 26-28, 30-31.

[6] Alberto Taliercio, Introducere în mecanica solidelor , 15 iulie 2014, pp. 90-91, DOI : 10.15651 / 978-88-748-8778-1 . Adus pe 14 mai 2019 .

[7] William D. Callister și David G. Rethwisch, Știința și ingineria materialelor , ediția a VIII-a, John Wiley & Sons, Inc., p. 169, ISBN 9788879597241 .

[:1-8] AM Korsunsky, Elastic Behavior of Materials: Continuum Aspects , în Elsevier Science Ltd. , 2001.

[9] Machine Building , McGraw-Hill, 2011, p. 98, ISBN 9788838665080 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

V · D · M Mecanica clasică și mecanica continuumului
Cantități intensive	Densitate · Viteză macroscopică · Câmp mediu · Tensiune internă · Temperatură · Deformare · Densitate termică
Cantități mari	Masă · Debit · Moment · Forță externă · Energie internă · Căldură · Disipare · Lucrare termodinamică
Bilanțe contabile	Conservarea masei · Echilibrul impulsului · Echilibrul energiei interne
Aproximări	Ecuații Euler · Ecuații Navier-Stokes · Ecuații Burnett
Citit	Legea lui Pascal · Legea lui Newton · Legea Fourier · Stokes Legea · Legea lui Hooke
Mecanica solidelor	Solid · Teoria elasticității · Teoria plasticității · Reologie · Viscoelasticitate
Mecanica fluidelor	Fluid · statice ale fluidelor · Fluid · Vâscozitate · Fluid newtonian · Fluid non-newtonian