Inel (algebră)

În matematică , în special în algebra abstractă , un inel este o structură algebrică compusă dintr-un set pe care sunt definite două operații binare , numite sumă și produs , indicate respectiv cu $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ Și $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ , care se bucură de proprietăți similare cu cele verificate de numere întregi . Partea matematicii care le studiază se numește teoria inelului .

Definiție formală

Întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , echipat cu două operații binare $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ Și $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ , este un inel dacă se mențin următoarele proprietăți:

$(A,+)$ ${\ displaystyle (A, +)}$ $(A, +)$ este un grup abelian cu element neutru:

$(a+b)+c=a+(b+c),$ ${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c),}$ $(a + b) + c = a + (b + c),$
$a+b=b+a,$ ${\ displaystyle a + b = b + a,}$ $a + b = b + a,$
există un element $0\in A$ ${\ displaystyle 0 \ în A}$ $0 \ în A$ astfel încât $0+a=a+0=a,$ ${\ displaystyle 0 + a = a + 0 = a,}$ $0 + a = a + 0 = a,$
pentru fiecare $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ există un element $-a\in A$ ${\ displaystyle -a \ în A}$ $-a \ în A$ astfel încât $a+(-a)=(-a)+a=0.$ ${\ displaystyle a + (- a) = (- a) + a = 0.}$ $a + (- a) = (- a) + a = 0.$

$(A,\cdot )$ ${\ displaystyle (A, \ cdot)}$ $(A, \ cdot)$ este un semigrup :

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$ ${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c).}$ $(a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c).$

Înmulțirea este distributivă în raport cu suma:

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c),$ ${\ displaystyle a \ cdot (b + c) = (a \ cdot b) + (a \ cdot c),}$ $a \ cdot (b + c) = (a \ cdot b) + (a \ cdot c),$
$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c).$ ${\ displaystyle (a + b) \ cdot c = (a \ cdot c) + (b \ cdot c).}$ $(a + b) \ cdot c = (a \ cdot c) + (b \ cdot c).$

Relațiile trebuie să se aplice tuturor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Ca și în cazul numerelor, simbolul $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ pentru multiplicare este adesea omisă.

Adesea sunt studiate inele care posedă proprietăți suplimentare: dacă multiplicarea este și comutativă, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește inel comutativ , dacă admite un element neutru (indicat în general cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ; acesta este $(A,\cdot )$ ${\ displaystyle (A, \ cdot)}$ $(A, \ cdot)$ este un monoid ) atunci inelul este unitar ; atunci dacă inelul este comutativ și nu există divizori ai (adică dacă $ab=0$ ${\ displaystyle ab = 0}$ $ab = 0$ apoi cel puțin unul dintre $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ è) există un domeniu de integritate .

Un corp este un inel cu unități ale căror elemente diferite de zero au invers multiplicativ. Un câmp este un inel comutativ cu unități ale căror elemente nenule au invers multiplicativ, adică un corp comutativ. Cel mai important exemplu de corp necomutativ este corpul $\mathbb {H}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ mathbb {H}}$ a cuaternarilor , în timp ce decorurile $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ( numere raționale ), $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ( numere reale ) e $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ( numere complexe ) sunt exemple de câmpuri.

Uneori, definiția unui inel este ușor diferită. Cea mai importantă dintre aceste diferențe este cerința ca inelul să posede și unitate: printre matematicienii care adoptă această definiție se numără Bourbaki ^[1] și Serge Lang ^[2] . În acest caz, termenul pseudo- inel este folosit pentru a se referi la structura prezentată aici ca un inel. Alți autori nu necesită asociativitate produs ^[3] .

Exemple

Cel mai de bază exemplu al structurii inelului este ansamblul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi , cu suma obișnuită și operațiile de produs. Acest inel este comutativ și este un domeniu de integritate. Pe de altă parte, mulțimea numerelor naturale nu este un inel, deoarece nu există inversuri în ceea ce privește adunarea.

La fel, întregul $A[x]$ ${\ displaystyle A [x]}$ $A [x]$ polinoame cu variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și coeficienții într-un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este un inel cu suma obișnuită și operațiile produsului între polinoame. Acest inel moștenește multe proprietăți din cele ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , cum ar fi comutativitatea și absența divizorilor de 0. De asemenea, mulțimea $F(X,A)$ ${\ displaystyle F (X, A)}$ $F (X, A)$ funcții din orice set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ formează un alt inel cu suma obișnuită și operațiile produsului între funcțiile punct-la-punct, definite după cum urmează:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).

{\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (f \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x).}

(f + g) (x) = f (x) + g (x), \ quad (f \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x).

Un inel necomutativ este în schimb inelul matricial $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ (cu $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ ) la valorile dintr-un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (indicat cu $M(n,A)$ ${\ displaystyle M (n, A)}$ $M (n, A)$ ), cu operațiile de sumă și produs între matrice . În general, acest inel are, de asemenea, zero divizoare. De exemplu, în $M(2,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle M (2, \ mathbb {R})}$ $M (2, {\ mathbb {R}})$ relațiile sunt valabile:

{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\\\end{pmatrix}},

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \ \ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}},}

{\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \ \\ end {pmatrix}},

{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\\\end{pmatrix}},

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \ \ 1 & 1 \\\ end {pmatrix}},}

{\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \ \\ end {pmatrix}},

Și

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}

{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}.

Teoreme de bază

Pornind de la axiome, putem deduce imediat asta pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ într-un inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

$0a=a0=0,$ ${\ displaystyle 0a = a0 = 0,}$ $0a = a0 = 0,$
$(-a)b=a(-b)=-(ab).$ ${\ displaystyle (-a) b = a (-b) = - (ab).}$ $(-a) b = a (-b) = - (ab).$

Dacă atunci inelul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este unitar atunci

unitatea este unică,
$(-1)a=-a,$ ${\ displaystyle (-1) a = -a,}$ $(-1) a = -a,$
$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ ${\ displaystyle (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1}}$ $(ab) ^ {{- 1}} = b ^ {{- 1}} a ^ {{- 1}}$ de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ au invers cu privire la produs,
de sine $0=1$ ${\ displaystyle 0 = 1}$ $0 = 1$ atunci inelul este alcătuit dintr-un singur element,

O altă teoremă importantă, care nu necesită existența unității, este teorema binomială :

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k},

{\ displaystyle (x + y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {k} y ^ {nk},}

(x + y) ^ {n} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ alege k} x ^ {k} y ^ {{n-k}},

valabil pentru fiecare pereche de elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care fac naveta (adică astfel încât $xy=yx$ ${\ displaystyle xy = yx}$ $xy = yx$ ).

Substructuri

Un sub - inel al unui inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subgrup $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $(A,+)$ ${\ displaystyle (A, +)}$ $(A, +)$ că este închis în raport cu produsul. Cu alte cuvinte, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un subset ne vid de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , si daca $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , apoi și $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ Și $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$ sunt în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Deoarece axiomele enumerate mai sus continuă să rămână valabile $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , de asemenea, este o legătură cu operațiunile $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ Și $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Astfel construim cu ușurință alte exemple:

Numere întregi divizibile cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt un subinel al $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ .
Numerele raționale cu numitori impar sunt un subinel al $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .
Ansamblul tuturor numerelor reale ale formei $a+b{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {2}}}$ $a + b {\ sqrt {2}}$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere întregi este un subinel al $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .
Numărul întreg Gauss $a+bi$ ${\ displaystyle a + bi}$ $a + bi$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt întregi, sunt un subinel al $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .
Polinoamele din $A[x]$ ${\ displaystyle A [x]}$ $A [x]$ de tipul $p(x)=a_{0}+a_{1}x^{2}+a_{2}x^{4}+\dots +a_{n}x^{2n}$ ${\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x ^ {2} + a_ {2} x ^ {4} + \ dots + a_ {n} x ^ {2n}}$ $p (x) = a_ {0} + a_ {1} x ^ {2} + a_ {2} x ^ {4} + \ dots + a_ {n} x ^ {{2n}}$ sunt un subinel al $A[x]$ ${\ displaystyle A [x]}$ $A [x]$ .
Ansamblul fracțiilor diadice constituie un subinel de numere raționale .

Un subinel particular este centrul unui inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ : include toate elementele care fac naveta (multiplicativ) cu orice element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Coincide cu întregul inel dacă și numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel comutativ.

Începând cu un subinel $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și un subset $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , puteți construi cel mai mic subinel care conține $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : este indicat cu $S[X]$ ${\ displaystyle S [X]}$ $S X]$ , și este egal cu setul de combinații ale elementelor din $S\cup X$ ${\ displaystyle S \ cup X}$ $S \ cup X$ prin intermediul operațiilor inelare. Această operație se numește extensie de inele și este „generată finit” dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ s-a terminat.

Ideal

Același subiect în detaliu: Ideal (matematică) .

Cu toate acestea, de multe ori, în loc de această structură, se preferă să se utilizeze idealul mai puternic: este definit într-un inel comutativ ca un subinel particular, astfel încât toate produsele $la the$ ${\ displaystyle ai}$ $la$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un element al inelului și $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ aparține idealului, ele sunt încă elemente ale idealului. Dacă, pe de altă parte, inelul nu este comutativ, este necesar să se facă distincția între idealurile dreapta și stânga : primele sunt acelea care $the la$ ${\ displaystyle ia}$ $in absenta$ aparține idealului pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ în idealul e $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în ring, în timp ce pentru secunde, în același mod, $la the$ ${\ displaystyle ai}$ $la$ aparține idealului. Dacă un ideal este atât drept, cât și stâng, acesta se numește bilateral sau bilateral .

Importanța acestei structuri constă în faptul că nucleul unui homomorfism între două inele este întotdeauna un ideal bilateral al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și asta plecând de la un ideal bilateral $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este posibil să construim inelul coeficient $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ . În plus, prezența idealurilor ne permite să stabilim o proprietate importantă a inelului: este de fapt un câmp dacă și numai dacă este lipsit de idealuri non-banale (adică diferite de set $\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$ și din inelul în sine).

În funcție de relația idealului cu restul inelului, sunt posibile specificații suplimentare: un ideal primar $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal astfel încât, pentru fiecare produs ab care aparține $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , cel puțin unul dintre $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ aparține lui $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ (numele derivă din similitudinea acestei definiții cu lema lui Euclid privind numerele prime ); dacă, pe de altă parte, nu există idealuri „intermediare” între $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (adică dacă singurul ideal al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care contine $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în sine) vorbim despre idealul maxim . Aceste două tipuri de idealuri sunt deosebit de importante în raport cu coeficienții lor: într-un inel comutativ, de fapt, $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este primul dacă și numai dacă $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ este un domeniu al integrității , în timp ce dacă inelul este și unitar $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este maxim dacă și numai dacă $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ este un câmp . Aceasta implică, de asemenea, că, într-un inel comutativ unitar, fiecare ideal maxim este prim.

Lema lui Krull (a cărei dovadă se bazează pe lema lui Zorn ) afirmă că fiecare inel unitar are cel puțin un ideal maxim; dacă este unic, se spune că inelul este local . Ansamblul idealurilor prime ale unui inel comutativ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ formează așa-numitul spectru al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Elemente inversabile

Un element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ a unui inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu unitate este inversabilă dacă există o $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât $ab=ba=1$ ${\ displaystyle ab = ba = 1}$ $ab = ba = 1$ .

Elementele inversabile ale unui inel sunt adesea numite unități . În mod normal, contextul clarifică dacă vorbim de unitate înțeleasă ca element neutru multiplicativ sau de unitate înțeleasă ca element inversabil.

Setul de elemente inversabile din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este în general descrisă ca $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ . Întregul $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ formează un grup cu operația produsului, numit grup multiplicativ de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

De exemplu, în numerele întregi grupul multiplicativ este dat de cele două elemente $\{-1,1\}$ ${\ displaystyle \ {- 1,1 \}}$ $\ {- 1,1 \}$ . Într-un corp sau într-un câmp, grupul multiplicativ coincide cu întregul inel lipsit de elementul neutru.

Homomorfisme

Același subiect în detaliu: Homomorfismul inelelor .

Un homomorfism între două inele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o funcție care păstrează operațiile, adică o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât, pentru fiecare pereche de elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , da $f(a+b)=f(a)+f(b)$ ${\ displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)}$ $f (a + b) = f (a) + f (b)$ Și $f(ab)=f(a)f(b)$ ${\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)}$ $f (ab) = f (a) f (b)$ . Prin urmare, homomorfismele păstrează cumva structura algebrică; deosebit de importante printre acestea sunt izomorfismele , adică homomorfismele biunivoce , care îl păstrează complet: două inele izomorfe pot fi considerate „egale” pentru toate proprietățile algebrice.

Fiecare omomorfism mapează zero de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în zero din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , deși acest lucru nu se întâmplă pentru unitate, nici măcar dacă ambele inele sunt unitare: condiții suficiente pentru ca acest lucru să se întâmple este că omomorfismul este surjectiv sau că nu există divizori ai zero în interval. Nucleul unui homomorfism este un ideal bilateral al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și invers, fiecare ideal este nucleul unui homomorfism: în schimb imaginea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subinel al $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Homomorfismele păstrează, de asemenea, substructurile într-o anumită măsură: imaginea unui sub-inel este un sub-inel, în timp ce imaginea unui ideal este un ideal în imaginea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , dar nu neapărat în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

O relație foarte importantă este teorema fundamentală a homomorfismului , care permite găsirea izomorfismelor pornind de la homomorfisme: dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un homomorfism între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este nucleul său, apoi coeficientul $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ este izomorfă pentru imagine $f(A)$ ${\ displaystyle f (A)}$ $face)$ .

Un homomorfism surjectiv poate fi considerat o proiecție a unui inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe coeficientul său $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ (unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este nucleul); un homomorfism injectiv, pe de altă parte, poate fi considerat o incluziune a unui inel în celălalt, deoarece, prin teorema homomorfismului, există o imagine izomorfă în interval $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , care, prin urmare, poate fi considerat egal cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un câmp, în plus, toate omomorfismele nenule sunt injective, deoarece singurele idealuri sunt cele banale .

Produs direct

Produsul direct al două inele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este produsul cartezian $A\times B$ ${\ displaystyle A \ times B}$ $A \ ori B$ cu operațiunile definite de la un termen la altul:

(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) + (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} + a_ {2}, b_ {1} + b_ {2}),}

(a_ {1}, b_ {1}) + (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} + a_ {2}, b_ {1} + b_ {2}),

(a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}).

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} a_ {2}, b_ {1} b_ {2}).}

(a_ {1}, b_ {1}) (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} a_ {2}, b_ {1} b_ {2}).

Acest nou întreg formează un inel, în care se află cuplul $(0_{A},0_{B})$ ${\ displaystyle (0_ {A}, 0_ {B})}$ $(0_ {A}, 0_ {B})$ . Mai multe proprietăți ale acestui nou inel pot fi deduse din proprietățile inelelor de pornire: $A\times B$ ${\ displaystyle A \ times B}$ $A \ ori B$ este comutativ dacă și numai dacă ambii factori sunt comutativi, în timp ce dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt unitare atunci $(1_{A},1_{B})$ ${\ displaystyle (1_ {A}, 1_ {B})}$ $(1_ {A}, 1_ {B})$ este unitatea de $A\times B$ ${\ displaystyle A \ times B}$ $A \ ori B$ . O proprietate care nu trece la produs este absența divizorilor zero: de fapt produsul $(0_{A},a)(b,0_{B})$ ${\ displaystyle (0_ {A}, a) (b, 0_ {B})}$ $(0_ {A}, a) (b, 0_ {B})$ este întotdeauna egal cu $(0_{A},0_{B})$ ${\ displaystyle (0_ {A}, 0_ {B})}$ $(0_ {A}, 0_ {B})$ , totuși $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ nu sunt zerouri. Aceasta implică faptul că produsul direct al câmpurilor nu este niciodată un câmp, cu excepția cazului în care unul este redus la unul.

Această definiție poate fi extinsă în mod natural la produsul cartezian al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ inele.

Elemente prime și ireductibile

Același subiect în detaliu: Factorizarea (teoria inelului) .

Într-un domeniu de integritate este posibil ca și în $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ studiază factorizarea unui anumit element (neinversibil). În acest context, definiția divizibilității se extinde în mod natural la cazul oricărui domeniu: $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ împarte $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ dacă există un element $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ astfel încât $ar=b$ ${\ displaystyle ar = b}$ $ar = b$ . De sine $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este inversabil, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ei spun că sunt asociați .

Două definiții apar în mod natural în acest studiu:

un element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este ireductibil dacă, ori de câte ori $a=bc$ ${\ displaystyle a = bc}$ $a = bc$ , atunci sau $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sau $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este inversabil;
un element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este primul dacă, când $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ împarte produsul $b c$ ${\ displaystyle bc}$ $bc$ , asa de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ împarte cel puțin unul între $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

În $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , aceste două definiții sunt echivalente, dar acest lucru nu este adevărat în general: elementele prime sunt ireductibile, dar ireductibilele nu sunt întotdeauna prime. De exemplu, în ring

\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}~|~a,b\in \mathbb {Z} \}=\{a+ib{\sqrt {3}}~|~a,b\in \mathbb {Z} ,~i={\sqrt {-1}}\},

{\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}] = \ {a + b {\ sqrt {-3}} ~ | ~ a, b \ in \ mathbb {Z} \} = \ { a + ib {\ sqrt {3}} ~ | ~ a, b \ in \ mathbb {Z}, ~ i = {\ sqrt {-1}} \},}

{\ mathbb {Z}} [{\ sqrt {-3}}] = \ {a + b {\ sqrt {-3}} ~ | ~ a, b \ in {\ mathbb {Z}} \} = \ {a + ib {\ sqrt {3}} ~ | ~ a, b \ in {\ mathbb {Z}}, ~ i = {\ sqrt {-1}} \},

$2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ este ireductibil, dar nu prim, deoarece împarte produsul $(1-i{\sqrt {3}})(1+i{\sqrt {3}})=4$ ${\ displaystyle (1-i {\ sqrt {3}}) (1 + i {\ sqrt {3}}) = 4}$ $(1-i {\ sqrt {3}}) (1 + i {\ sqrt {3}}) = 4$ , dar nu împarte nici un factor, nici celălalt.

Această a doua implicație este totuși verificată în inelele cu factorizare unică sau în acele inele în care, având în vedere două factorizări în ireductibil

a=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=c_{1}c_{2}\cdots c_{m}

{\ displaystyle a = b_ {1} b_ {2} \ cdots b_ {n} = c_ {1} c_ {2} \ cdots c_ {m}}

a = b_ {1} b_ {2} \ cdots b_ {n} = c_ {1} c_ {2} \ cdots c_ {m}

asa de $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ și fiecare $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ este asociat cu un $c_{j}$ ${\ displaystyle c_ {j}}$ $c_ {j}$ . În fiecare domeniu cu factorizare unică există cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun între fiecare pereche de elemente.

Inelele cu proprietăți și mai mari sunt principalele inele ideale și inelele euclidiene , în care este posibil să se efectueze diviziunea euclidiană ca la numărul întreg. Inelele de polinoame aparțin, de asemenea, clasei din urmă $\mathbb {K} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} [X]}$ ${\ mathbb {K}} [X]$ , unde este $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ este un câmp .

Notă

^(EN) Elements of Mathematics, Vol. II Algebra, Cap. 1, Springer
^(EN) Algebra, ediția a III-a, Springer, cap. II
^ ( EN ) https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Non-associative_rings_and_algebras

Bibliografie

Israel Nathan Herstein , Algebra, Editori Riuniti University Press, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7
Michael Artin (1997): Algebra, Bollati Basic Books, ISBN 8833955869
Serge Lang , Algebra, (EN) Springer, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4
Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - o abordare algoritmică . Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0
Dikran Dikranjan și Maria Silvia Lucido , Aritmetică și algebră , Liguori , 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « inel »

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Ring , în MathWorld Wolfram Research.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 18029 · LCCN ( EN ) sh85114140 · GND ( DE ) 4128084-2 · BNF ( FR ) cb131630283 (data) · BNE ( ES ) XX531097 (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] (EN) Elements of Mathematics, Vol. II Algebra, Cap. 1, Springer

[2] (EN) Algebra, ediția a III-a, Springer, cap. II

[3] ( EN ) https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Non-associative_rings_and_algebras

[1]

[2]

[3]