Factorizarea (teoria inelului)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În teoria inelului , factorizarea este descompunerea elementelor unui inel în produsul altor elemente considerate „de bază”, similar cu factorizarea numerelor întregi în numere prime sau descompunerea polinoamelor în polinoame ireductibile .

Pentru a obține o teorie „bună” a factorizării, în general se iau în considerare numai inelele comutative , unitare și fără divizoare zero (adică domenii de integritate ). Aceste ipoteze, în special comutativitatea, cu toate acestea, nu sunt absolute: Adolf Hurwitz , de exemplu, a folosit o formă de inel de factorizare unică necomutativă a cuaternionilor cu coeficienți întregi sau jumătate întregi (numiți cuaternionuri Hurwitz ) pentru a demonstra cele patru Lagrange. teorema pătrată în mod analog dovezii teoremei lui Fermat pe sumele a două pătrate prin numărul întreg Gauss . [1]

Origini

Prima demonstrație explicită a teoremei fundamentale a aritmeticii , adică că setul de numere întregi are o factorizare unică, se datorează lui Carl Friederich Gauss , care a inclus-o în Disquisitiones Arithmeticae , publicată în 1798. [2] Această proprietate, totuși, , era deja o notă pentru matematicienii anteriori: Euclid demonstrează în Elemente că orice număr poate fi scris ca produs al numerelor prime și ceea ce este acum cunoscut sub numele de lema lui Euclid (Cartea VII, propozițiile 30 și 31), rezultate din care proprietatea de factorizare este ușor derivat unic.

În secolul al XVIII-lea, în încercarea de a demonstra ultima teoremă a lui Fermat (care afirmă că ecuația diofantină nu are soluții întregi pentru x , y și z, altele decât 0 și n > 2), Euler a folosit câteva proprietăți care, văzute retrospectiv, se bazează pe faptul că unele inele de numere întregi algebrice posedă proprietatea de factorizare unică; metodele sale au fost extinse și generalizate în secolul al XIX-lea. În 1847, Gabriel Lamé a anunțat că lucrează la o dovadă generală, care se baza pe descompunerea (valabilă pentru n impar)

unde este este o rădăcină a unității a n-a primitivă; în raționamentul său, presupunând că există o soluție a ecuației, deoarece z n este o putere a n-a și factorii din dreapta sunt toți coprimi, el a dedus că fiecare a fost o putere a n-a și de aici a continuat spre o contradicție. Joseph Liouville a subliniat însă că acest rezultat depinde de faptul că inelul era o singură factoring, care nu fusese dovedită; de fapt, deja cu trei ani mai devreme, Ernst Kummer a subliniat că această proprietate nu a reușit pentru n = 23. [3] Kummer însuși a dezvoltat noi metode, care au făcut posibilă ocolirea problemei pentru mulți exponenți (cei pe care i-a numit primii obișnuiți ); ideile ei, sub forma pe care i-a dat-o mai târziu Richard Dedekind , au oferit baza pentru conceptul de ideal și pentru studiul inelelor .

Definiții fundamentale

Toate inelele considerate, dacă nu se specifică, sunt domenii de integritate .

Definițiile de bază nu sunt altceva decât transpunerea definițiilor analoge date în setul de numere întregi: spunem că a divide b dacă există un c astfel încât ac = b ; în acest caz scriem către | b . Proprietățile fundamentale ale divizibilității în continuați să aplicați:

  • dacă un | b și b | c , apoi a | c ;
  • dacă a împarte b , atunci a împarte fiecare multiplu al lui b ;
  • dacă a împarte două elemente, atunci împarte și suma și diferența lor.

Un element inversabil al lui A (adică un divizor de 1) se numește unitatea inelului; se spune că două elemente a și b sunt asociate dacă se divid reciproc sau, echivalent, dacă , unde u este o unitate a inelului.

Pentru a defini o factorizare este necesar să se definească care sunt elementele „de bază”, adică analogii numerelor prime dintre numere întregi; există două moduri diferite de extindere a definiției:

  • un element este ireductibil dacă nu este inversabil și nu poate fi scris ca produsul a două elemente care, de asemenea, nu sunt inversabile;
  • un element este prim dacă nu este inversabil și de fiecare dată când împarte produsul ab , atunci împarte a sau b .

În general, aceste două definiții nu sunt echivalente, dar fiecare element prim este ireductibil. O factorizare în ireductibile este scrierea unui element x ca produs al elementelor ireductibile; în mod similar, este definită o factorizare primă.

Un cel mai mare divizor comun între a și b este un element d care le împarte pe amândouă și care este împărțit la orice alt divizor comun; un multiplu cel mai puțin comun este un multiplu al lui a și b care împarte orice alt multiplu comun. În general, două elemente nu au neapărat cel mai mare divizor comun sau cel mai mic multiplu comun, dar, dacă există, sunt unice dacă nu sunt asociate; dacă au ultimul, au și un GCD, în timp ce inversul nu este adevărat: de exemplu, dacă K este un câmp și , elementele X 2 și X 3 au cel mai mare divizor comun (1) dar nu cel mai mic multiplu comun. Cu toate acestea, dacă toate perechile de elemente au un GCD, atunci au și un GCM; în acest caz inelul se numește domeniu MCD (sau domeniu MCD). Când cel mai mare divizor comun al lui a și b poate fi exprimat ca o combinație liniară a celor două elemente, avem o identitate Bézout ; dacă acest lucru se întâmplă pentru fiecare pereche de elemente, inelul se numește domeniul Bézout .

Aceste proprietăți pot fi traduse în termeni de idealuri principale : a divide b dacă și numai dacă idealul ( a ) conține idealul ( b ), în timp ce a și b sunt asociate dacă generează același ideal; un element este inversabil dacă idealul generat este întregul inel. Un element este prim dacă și numai dacă idealul pe care îl generează este un ideal prim , în timp ce este ireductibil dacă nu este conținut în mod corespunzător în niciun ideal principal non-trivial (poate fi totuși cuprins în idealuri non-principale). Două elemente a și b au un multiplu cel mai puțin comun dacă intersecția este principal și, în acest caz, generatorul său este cel mai mic multiplu comun; în consecință, A este un domeniu GCD dacă și numai dacă intersecția oricăror două idealuri principale este încă principală. Două elemente au identitate Bézout dacă și numai dacă idealul generat de acestea este principal; în acest caz, generatorul său este cel mai mare divizor comun. Cu toate acestea, existența unui GCD între a și b nu este suficient pentru a se asigura că idealul ( a , b ) este principal: de exemplu, în inel , unde K este un câmp, X și Y au un GCD (1), dar idealul ( X , Y ) nu este principal.

În cazul necomutativ, este necesar să se facă distincția între divizorii dreapta și stânga : a este un divizor stâng al lui b dacă ac = b pentru un c , în timp ce este un divizor drept dacă ca = b ; aceste două proprietăți nu sunt echivalente (adică a poate fi un divizor stâng al lui b fără a fi divizor drept și invers). În mod similar, trebuie făcută o distincție între elementele ireductibile din stânga și elementele ireductibile din dreapta (adică respectiv, care nu au divizoare stânga sau dreapta) și între un GCD în stânga și un GCD în dreapta. [1]

Existenţă

Domeniile în care este posibilă descompunerea fiecărui element în altele ireductibile se numesc atomice ; o proprietate puțin mai puternică este că idealurile principale verifică starea lanțului ascendent (în acest caz vorbim de domeniul ACCP ). Această ultimă proprietate, deși mai puțin generală, este totuși mai stabilă decât a fi un domeniu atomic: de exemplu, este conservată trecând la inelul polinoamelor și la cel al seriilor formale , spre deosebire de a fi un domeniu atomic. [4] Primul exemplu de dominație atomică care nu verifică starea lanțului ascendent asupra idealurilor principale a fost dat de Anne Grams în 1974. [5] [6]

Domeniile atomice sunt o gamă largă de inele, care include toate domeniile Noetherian și domeniile Krull , dar sunt departe de a include toate domeniile de integritate: de exemplu, inelul funcțiilor holomorfe pe întregul plan complex nu este un domeniu atomic. Acest lucru se datorează faptului că toate elementele ireductibile (cu excepția asociaților) sunt în formă , și, prin urmare, o funcție f ( x ) admite o factorizare dacă și numai dacă are un număr finit de zerouri; dacă în schimb are un număr infinit de zerouri (ca, de exemplu, funcția sinusoidală ) nu o are. Trebuie remarcat faptul că în acest caz atât existența, cât și unicitatea factorizării pot fi recuperate prin proceduri analitice: acest rezultat este cunoscut sub numelede teorema factorizării Weierstrass . Alte exemple de domenii non-atomice sunt toate inelele de evaluare non-noetheriene.

La extrema opusă, există domenii care, deși posedă elemente neinversibile (adică nu sunt câmpuri ), nu au niciun element ireductibil: de exemplu, inelul tuturor numerelor algebrice nu este un câmp, ci fiecare poate fi luat în calcul ca , precum și este un număr întreg algebric.

Unicitate

Odată stabilit în ce elemente de factorizat, se poate defini când două factorizări trebuie considerate echivalente: de exemplu factorizările Și ele nu se pot distinge și, prin urmare, „unicitatea” nu trebuie să țină cont de ordinea în care sunt luați în considerare factorii. O altă ambiguitate apare din cauza prezenței posibile a altor unități decât 1: de exemplu, dacă , apoi factorizările Și , în timp ce implică elemente diferite, ele se comportă în același mod în ceea ce privește, de exemplu, divizibilitatea: prin urmare, se poate admite, de asemenea, că ireductibilele (sau primele) sunt egale, cu excepția cazului în care sunt înmulțite cu o unitate. În setul de numere întregi , unitățile sunt 1 și -1 și, prin urmare, această ultimă condiție poate fi omisă impunând că ireductibilele sunt pozitive; într-un inel generic, totuși, nu este posibil să se facă o alegere „canonică”.

Prin urmare, se spune că două factorizări Și sunt egale dacă n = m și dacă, cu excepția cazului în care factorii sunt reordonați, x k și y k sunt asociați pentru fiecare k .

Deși este posibil să existe multiple factorizări în elemente ireductibile, existența unei factorizări în elemente prime garantează unicitatea acesteia: de fapt, dacă

sunt două factorizări, p 1 împarte produsul la dreapta și, prin urmare, trebuie să împartă unul dintre q i ; întrucât factorii din dreapta sunt de asemenea primi, p 1 și q i sunt asociați și, prin urmare, pot fi simplificate prin iterarea raționamentului.

Un domeniu de factorizare unic (UFD pe scurt, domeniul de factorizare unic în limba engleză ) este un domeniu în care fiecare element are o factorizare în ireductibil (adică un domeniu atomic), iar acesta din urmă este unic. În acest caz, elementele ireductibile și cele dintâi coincid; de fapt, A este un UFD dacă și numai dacă este atomic și fiecare ireductibil este prim și dacă și numai dacă fiecare element are o factorizare primă. Mai mult, UFD-urile verifică starea lanțului ascendent pe idealurile principale, deoarece fiecare element are un număr finit de divizori (dacă nu este asociat). Dacă, pe de altă parte, toate factorizările fiecărui element au același număr de factori, dar nu sunt neapărat toate echivalente, domeniul se numește jumătate factorială .

În domeniile cu factorizare unică există cel mai mare divizor comun, deoarece poate fi derivat din factorizare. Mai mult, în domeniile GCD, fiecare element ireductibil este prim, după cum se poate demonstra printr-un analog al lemei lui Euclid ; rezultă că, într-un domeniu GCD, dacă un element are o factorizare, atunci este unic, iar un UFD este exact un domeniu GCD atomic. Cu toate acestea, un domeniu GCD poate să nu fie atomic (de exemplu, inelul funcțiilor întregi este un domeniu GCD - într-adevăr, este de la Bézout - dar nu este atomic).

Fiecare domeniu cu idealuri principale are o factorizare unică; în plus, un UFD de mărimea 1 are idealuri principale. O proprietate și mai puternică este că este un domeniu euclidian , în care se poate efectua divizarea cu restul .

Factorizarea în idealuri

O factorizare în ireductibile sau în primii poate fi „tradusă” în limbajul idealurilor: dacă într-adevăr , apoi, la nivelul idealurilor : acest punct de vedere permite eliminarea ambiguității privind factorii asociați unul cu celălalt, deoarece aceștia generează același ideal. Dacă factorizarea este unică, adică dacă x i sunt prime, atunci idealurile ( x i ) sunt prime; deci dacă A este un domeniu cu factorizare unică, atunci fiecare ideal principal poate fi exprimat ca produs al idealurilor prime principale.

În această ordine de idei, putem lua în considerare legăturile în care idealurile pot fi exprimate ca produs al idealurilor prime: acestea sunt numite domenii Dedekind . Aici, deși idealurile principale sunt produsul primelor idealuri, acestea din urmă nu sunt neapărat principale; un domeniu este simultan un UFD și un Dedekind dacă și numai dacă este ideal principal . În caz contrar, poate fi „măsurată” atunci când A este departe de a fi o factorizare unică prin intermediul unui grup asociat acestuia, numit grupul de clase .

Aceste noțiuni ne permit să reparăm în limbajul modern dovada lui Kummer cu privire la ultima teoremă a lui Fermat: în acest caz, de fapt, este luată în considerare factorizarea în idealuri.

și ajungem la concluzia că fiecare ideal principal este egal cu I i n pentru un I i ideal. Dacă n este un prim regulat , adică dacă nu împarte cardinalitatea grupului de clase de (care în acest caz este finit) atunci ar trebui să fiu și eu principal; de aici ajungem apoi la o contradicție.

Notă

  1. ^ a b Ethan D. Bolker, Teoria numerelor elementare. An Algebraic Approach , Mineola, Dover Publications, 2007, pp. 127-133, ISBN 0-486-45807-5 .
  2. ^ Carl Benjamin Boyer , Istoria matematicii , Milano, Mondadori, 1990, p. 582, ISBN 978-88-04-33431-6 .
  3. ^ Sterwart, Tall , pp. 183-186 .
  4. ^ Clark , Teorema 17, pagina 8 .
  5. ^ Anne Grams, Inele atomice și condiția lanțului ascendent pentru idealurile principale , în Matematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 75, 1974, pp. 321-329.
  6. ^ Dan Anderson, David Anderson și Muhammad Zafrullah, Factorizarea în domenii integrale ( PDF ), în Journal of Pure and Applied Algebra , vol. 69, 1990, pp. 1-19.

Bibliografie

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică