Element neutru

În matematică , și în special algebra abstractă , elementul neutru este un element al unei bucle sau al unui monoid (și, prin urmare, al unui grup sau al suprastructurilor sale, cum ar fi inelele și, treptat, mai specifice) care „nu modifică nimic” dacă este setat atât stânga și dreapta într-o operație. Un element neutru pentru o operație este atât un element neutru la dreapta, cât și un element neutru la stânga acelei operații. Termenul unitate într-unul din sensurile sale este sinonim cu element neutru.

O proprietate pe care o poate avea o operație binară este existența elementului neutru.

Definiție

În mod formal, o operație binară internă $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ pe un platou $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se spune că posedă elementul neutru din dreapta $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ dacă satisface relația

a*u=a,

{\ displaystyle a * u = a,}

{\ displaystyle a * u = a,}

și un element neutru în stânga $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ de sine

q*a=a.

{\ displaystyle q * a = a.}

{\ displaystyle q * a = a.}

De sine $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ deține un element $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ neutru atât la dreapta cât și la stânga, adică

$a*e=e*a=a,$ ${\ displaystyle a * e = e * a = a,}$ ${\ displaystyle a * e = e * a = a,}$

$Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ se numește elementul neutru al $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ .

Proprietate

Unicitate

O operație binară poate să nu aibă elemente neutre. De exemplu, operațiunea

a*b:=a

{\ displaystyle a * b: = a}

{\ displaystyle a * b: = a}

nu are element neutru (dacă mulțimea este formată din cel puțin două elemente). Pe de altă parte, se arată cu ușurință că nu pot exista mai multe elemente neutre. De fapt, dacă ar fi doi $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , am avea

f=e*f=e,

{\ displaystyle f = e * f = e,}

{\ displaystyle f = e * f = e,}

prin urmare $e=f$ ${\ displaystyle e = f}$ ${\ displaystyle e = f}$ .

Structuri

Existența unui element neutru este una dintre axiomele care trebuie satisfăcute pentru ca operația binară să fie o buclă .

Existența unui element neutru este una dintre axiomele care trebuie satisfăcute pentru ca operația binară să fie un monoid și în special un grup . De exemplu, dacă luăm în considerare numere întregi cu operația produsului, nu obținem un grup (numerele întregi nu au în general invers), ci doar un monoid și elementul său neutru este dat de numărul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Elementele neutre tipice ale grupurilor sunt transformările identitare ale grupurilor de transformări .

În structurile algebrice cu două sau mai multe operații binare este posibil să existe elemente mai neutre. Într-un inel, de exemplu, există un element neutru pentru sumă și un element neutru pentru produs; în general se notează cu și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ respectiv. Într-o algebră de câmp , produsul poate avea sau nu un element neutru; în cazul prezenței elementului neutru vorbim de algebră unitală (sau, de asemenea, dar mai puțin oportun, de algebră unitară).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică