Electron degenerat

Electronul degenerat este o stare specială a gazului care alcătuiește o stea , care se abate de la tendința statistică normală numită echilibru termodinamic .

De fapt, în condiții normale, presiunea gazului este o funcție care depinde în esență de doi parametri ( temperatura și densitatea gazului). Cu toate acestea, în cazul degenerării, gazul tinde să urmeze o distribuție statistică diferită (nu mai este cea a echilibrului termodinamic Maxwell-Boltzmann ) care ia numele distribuției Fermi-Dirac .

Această distribuție include studiul unui gaz compus doar din electroni și a căror presiune, în acest caz, va fi o funcție care va depinde exclusiv de densitatea gazului în sine. Mai mult, dacă se dorește, ar putea fi luate în considerare două cazuri de degenerare: cel nerelativist și cel relativist , în funcție de momentul în care momentul momentului maxim ( momentul Fermi ) pe care îl pot ocupa particulele într-o distribuție degenerată este mult mai mic sau la aproximativ egală cu cantitatea $m_{e}\cdot c$ ${\ displaystyle m_ {e} \ cdot c}$ ${\ displaystyle m_ {e} \ cdot c}$ , unde este $m_{e}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ $eu insumi}$ este masa electronului e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii .

Gaz Fermi

Același subiect în detaliu: gazul Fermi .

Să luăm în considerare un sistem cuantic cu multe particule și să ne uităm la spațiul său de fază . Datorită principiului excluderii , spațiul de fază poate fi împărțit în multe celule discrete, fiecare cu volum

$V=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p_{x}\Delta p_{y}\Delta p_{z}\geq h^{3}$ ${\ displaystyle V = \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_ {x} \ Delta p_ {y} \ Delta p_ {z} \ geq h ^ {3}}$ ${\ displaystyle V = \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_ {x} \ Delta p_ {y} \ Delta p_ {z} \ geq h ^ {3}}$

și care poate conține cel mult s particule, s fiind numărul de stări de spin (s = 2 pentru electroni, protoni, neutroni).

Pentru o distribuție sferică a particulelor pe o rază maximă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și un moment maxim $p_{F}$ ${\ displaystyle p_ {F}}$ ${\ displaystyle p_ {F}}$ , numărul de particule va fi:

$N=s{\frac {4\pi }{3}}R^{3}{\frac {4\pi }{3}}p_{F}^{3}{\frac {1}{h^{3}}}$ ${\ displaystyle N = s {\ frac {4 \ pi} {3}} R ^ {3} {\ frac {4 \ pi} {3}} p_ {F} ^ {3} {\ frac {1} { h ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle N = s {\ frac {4 \ pi} {3}} R ^ {3} {\ frac {4 \ pi} {3}} p_ {F} ^ {3} {\ frac {1} { h ^ {3}}}}$

și, prin urmare, densitatea particulelor pe unitate de volum spațial va fi:

$n={\frac {N}{{\frac {4\pi }{3}}R^{3}}}=s{\frac {4\pi }{3}}\left({\frac {p_{F}}{h}}\right)^{3}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {N} {{\ frac {4 \ pi} {3}} R ^ {3}}} = s {\ frac {4 \ pi} {3}} \ left ({\ frac {p_ {F}} {h}} \ right) ^ {3}}$ ${\ displaystyle n = {\ frac {N} {{\ frac {4 \ pi} {3}} R ^ {3}}} = s {\ frac {4 \ pi} {3}} \ left ({\ frac {p_ {F}} {h}} \ right) ^ {3}}$

din care derivăm expresia momentului maxim $p_{F}$ ${\ displaystyle p_ {F}}$ ${\ displaystyle p_ {F}}$ , numit momentul Fermi

$p_{F}=\left({\frac {3}{4\pi }}{\frac {n}{s}}\right)^{\frac {1}{3}}h$ ${\ displaystyle p_ {F} = \ left ({\ frac {3} {4 \ pi}} {\ frac {n} {s}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} h}$ ${\ displaystyle p_ {F} = \ left ({\ frac {3} {4 \ pi}} {\ frac {n} {s}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} h}$

și din care derivă energia Fermi

$E_{F}={\frac {p_{F}^{2}}{2m}}={\frac {1}{2m}}\left({\frac {3}{4\pi }}{\frac {n}{s}}\right)^{\frac {2}{3}}h^{2}$ ${\ displaystyle E_ {F} = {\ frac {p_ {F} ^ {2}} {2m}} = {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {3} {4 \ pi} } {\ frac {n} {s}} \ right) ^ {\ frac {2} {3}} h ^ {2}}$ ${\ displaystyle E_ {F} = {\ frac {p_ {F} ^ {2}} {2m}} = {\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {3} {4 \ pi} } {\ frac {n} {s}} \ right) ^ {\ frac {2} {3}} h ^ {2}}$

iar energia medie a unui electron va fi

${\bar {E}}={\frac {\int _{0}^{p_{F}}{\frac {p^{2}}{2m}}4\pi p^{2}\,dp}{\int _{0}^{p_{F}}4\pi p^{2}\,dp}}={\frac {1}{2m}}{\frac {3p_{F}^{5}}{5p_{F}^{3}}}={\frac {3}{5}}E_{F}$ ${\ displaystyle {\ bar {E}} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {p_ {F}} {\ frac {p ^ {2}} {2m}} 4 \ pi p ^ {2} \, dp} {\ int _ {0} ^ {p_ {F}} 4 \ pi p ^ {2} \, dp}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {3p_ {F} ^ {5}} {5p_ {F} ^ {3}}} = {\ frac {3} {5}} E_ {F}}$ ${\ displaystyle {\ bar {E}} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {p_ {F}} {\ frac {p ^ {2}} {2m}} 4 \ pi p ^ {2} \, dp} {\ int _ {0} ^ {p_ {F}} 4 \ pi p ^ {2} \, dp}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {3p_ {F} ^ {5}} {5p_ {F} ^ {3}}} = {\ frac {3} {5}} E_ {F}}$

Deci, dacă toți electronii au o energie mai mică de $E_{F}$ ${\ displaystyle E_ {F}}$ ${\ displaystyle E_ {F}}$ se spune că gazul este degenerat și poate fi asociat cu o presiune definită într-un mod termodinamic (dacă luăm în considerare $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ coeficientul adiabatic e $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ densitatea energiei):

$p_{d}=(\gamma -1)\varepsilon ={\frac {2}{3}}n{\bar {E}}={\frac {1}{5m}}\left({\frac {3}{4\pi s}}\right)^{\frac {2}{3}}h^{2}n^{\frac {5}{3}}$ ${\ displaystyle p_ {d} = (\ gamma -1) \ varepsilon = {\ frac {2} {3}} n {\ bar {E}} = {\ frac {1} {5m}} \ left ({ \ frac {3} {4 \ pi s}} \ right) ^ {\ frac {2} {3}} h ^ {2} n ^ {\ frac {5} {3}}}$ ${\ displaystyle p_ {d} = (\ gamma -1) \ varepsilon = {\ frac {2} {3}} n {\ bar {E}} = {\ frac {1} {5m}} \ left ({ \ frac {3} {4 \ pi s}} \ right) ^ {\ frac {2} {3}} h ^ {2} n ^ {\ frac {5} {3}}}$

numită Presiune de degenerare .

Rolul presiunii în stele

Presiunea de degenerare este întotdeauna prezentă într-o stea, dar nu aduce o contribuție decisivă la susținerea ei, deoarece este de obicei mai mică decât presiunea $p=2nkT$ ${\ displaystyle p = 2nkT}$ ${\ displaystyle p = 2nkT}$ . Dacă steaua se află într-o fază de colaps gravitațional , se poate întâmpla ca presiunea de degenerare să crească atât de mult încât să depășească cu mult presiunea obișnuită, datorită creșterii densității stelei. Acest lucru se întâmplă atunci când densitatea atinge valoarea critică

$n\geq n_{Q}=\left({\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}$ ${\ displaystyle n \ geq n_ {Q} = \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {e} kT} {h ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}$ ${\ displaystyle n \ geq n_ {Q} = \ left ({\ frac {2 \ pi m_ {e} kT} {h ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}}$

din care se poate observa că, chiar și pentru temperaturi relativ ridicate, electronii sunt degenerați, cu condiția ca densitatea să fie suficient de mare.

Toate acestea sunt de o importanță fundamentală pentru susținerea piticilor albi și a stelelor de neutroni , ambele formându-se atunci când, în urma unui colaps, presiunea de degenerare (a electronilor din primul și a neutronilor din cel din urmă) devine suficient de mare. pentru a contracara presiunea gravitațională.

Elemente conexe

Portalul de astronomie

Portalul de fizică