Elipsă

a indică lungimea semiaxului major, b cea a semiaxului minor, F ₁ și F ₂ identifică cele două focare, c indică distanța oricărui focar față de centru și în final suma

\scriptstyle \mathbf {{\overline {F_{1}X}}+{\overline {XF_{2}}}}

{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {{\ overline {F_ {1} X}} + {\ overline {XF_ {2}}}}}

{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {{\ overline {F_ {1} X}} + {\ overline {XF_ {2}}}}}

este constantă prin definiția unei elipse și este egală cu 2a, lungimea axei majore.

Tipuri de secțiuni conice:
1. Pildă
2. Circumferința și elipsa
3. Hiperbola

În geometrie , elipsa (din grecescul ἔλλειψις , „lipsă”) ^[1] este o curbă plană obținută prin intersecția unui con cu un plan pentru a produce o curbă închisă .

Pentru ca secțiunea conică să producă o curbă închisă, înclinația planului trebuie să fie mai mare decât cea a generatoarelor conului față de axa sa. Pe de altă parte, cele două secțiuni conice obținute cu planuri cu o înclinație egală sau mai mică decât cea a liniei generatoare în raport cu axa conului dau naștere la alte două tipuri de curbe deschise și nelimitate: parabola și hiperbola .

Circumferința este un caz special al unei elipse care se obține atunci când intersecția se face cu un plan ortogonal față de axa conului. O elipsă este, de asemenea, locusul geometric al punctelor planului pentru care suma distanțelor de la două puncte fixe numite „focare” rămâne constantă.

Elipsa poate fi și proiecția verticală pe un plan orizontal al unei circumferințe aparținând unui plan înclinat: dacă planul înclinat formează un unghi $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ cu planul orizontal, proiecția verticală a circumferinței este o elipsă de excentricitate $\sin \varphi$ ${\ displaystyle \ sin \ varphi}$ $\ sin \ varphi$ .

După circumferință, este cea mai simplă dintre figurile Lissajous obținute din compoziția celor două mișcări sinusoidale verticale și orizontale cu aceeași frecvență. Conform legilor lui Kepler , orbita unei planete este o elipsă, Soarele ocupând unul dintre cele două focare ale sale.

Elemente ale unei elipse

Demonstrarea geometrică a faptului că suma, constantă prin definiție, a distanțelor oricărui punct al elipsei de la cele două focare este egală cu 2a, lungimea axei majore. Deoarece, prin definiție, suma de mai sus este constantă și aceasta, indiferent de punctul luat în considerare, se poate decide alegerea celui care este considerat mai convenabil în scopul probei. În special, dacă se alege punctul B, este cunoscut ca suma

\scriptstyle \mathbf {{\overline {F_{1}B}}+{\overline {F_{2}B}}}

{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {{\ overline {F_ {1} B}} + {\ overline {F_ {2} B}}}}

{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {{\ overline {F_ {1} B}} + {\ overline {F_ {2} B}}}}

este exact egală cu lungimea 2a a axei majore.

Elipsa este o curbă similară cu un cerc alungit într-o singură direcție: este un exemplu de secțiune conică și poate fi definit ca locusul punctelor planului pentru care suma distanțelor de la două puncte fixe, numite focare, ramane constant. Dacă cele două focare coincid, există o circumferință , care poate fi, prin urmare, considerată cazul particular al unei elipse cu excentricitate zero.

Este o curbă cu două axe de simetrie și un centru de simetrie. Distanța dintre punctele antipodale ale elipsei, adică între punctele simetrice față de centrul său, este maximă de-a lungul axei majore, care conține și cele două focare, și este minimă de-a lungul axei minore perpendiculare pe cea majoră. Axa semi-majoră este una dintre cele două jumătăți ale axei majore: începe de la centru, trece printr-un focar și ajunge la elipsă. În mod similar, axa semi-minoră este jumătate din axa minoră. Cele două axe sunt pentru elipsă echivalentul diametrului pentru circumferință, în timp ce cele două semi-arbori sunt echivalentul razei .

Mărimea și forma unei elipse sunt determinate de două constante reale pozitive, denumite în mod convențional $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Constanta majoră este lungimea semiaxului major, în timp ce constanta minoră este lungimea semiaxului minor.

Ecuații

Relația dintre parametrii a , b și c ai unei elipse. Dacă alegem punctul C în special, deoarece suma distanțelor celor două focare de la C trebuie să fie constantă și egală cu 2a și există simetrie față de punctul C , fiecare dintre cele două distanțe va fi egală cu a . Aplicând teorema lui Pitagora obținem că

\scriptstyle {a^{2}=b^{2}+c^{2}}

{\ displaystyle \ scriptstyle {a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}}}

\ scriptstyle {a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}}

Ecuația elipsei se găsește echivalând suma distanțelor dintre cele două focare $F_{1}(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle F_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ displaystyle F_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ Și $F_{2}(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle F_ {2} (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle F_ {2} (x_ {2}, y_ {2})}$ și un punct generic $P(x,y)$ ${\ displaystyle P (x, y)}$ $P (x, y)$ cu dublul axei semi-majore:

{\overline {PF_{1}}}+{\overline {PF_{2}}}=2a

{\ displaystyle {\ overline {PF_ {1}}} + {\ overline {PF_ {2}}} = 2a}

{\ displaystyle {\ overline {PF_ {1}}} + {\ overline {PF_ {2}}} = 2a}

care este echivalent cu:

{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}=2a

{\ displaystyle {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x-x_ {2}) ^ {2 } + (y-y_ {2}) ^ {2}}} = 2a}

{\ displaystyle {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x-x_ {2}) ^ {2 } + (y-y_ {2}) ^ {2}}} = 2a}

În această ecuație, pentru a obține o elipsă nedegenerată, trebuie să solicităm acest lucru $2a>d(F_{1},F_{2})$ ${\ displaystyle 2a> d (F_ {1}, F_ {2})}$ ${\ displaystyle 2a> d (F_ {1}, F_ {2})}$ ; de sine $2a=d(F_{1},F_{2})$ ${\ displaystyle 2a = d (F_ {1}, F_ {2})}$ ${\ displaystyle 2a = d (F_ {1}, F_ {2})}$ obțineți segmentul $F_{1}F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {1} F_ {2}}$ .

Pentru a găsi ecuația „canonică” (sau „normală”) a elipsei, cu centrul în origine și focarele pe axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (acesta este $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ ), se fac înlocuiri $y_{1}=0$ ${\ displaystyle y_ {1} = 0}$ ${\ displaystyle y_ {1} = 0}$ , $y_{2}=0$ ${\ displaystyle y_ {2} = 0}$ ${\ displaystyle y_ {2} = 0}$ , $x_{1}=-c$ ${\ displaystyle x_ {1} = - c}$ ${\ displaystyle x_ {1} = - c}$ , $x_{2}=c$ ${\ displaystyle x_ {2} = c}$ ${\ displaystyle x_ {2} = c}$ , $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$ . După câteva pasaje, constatăm că elipsa centrată în originea unui sistem de axe cartesiene cu axa majoră plasată de-a lungul axei abscisei este definită de ecuație:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

{\ frac {x ^ {{2}}} {a ^ {{2}}}} + {\ frac {y ^ {{2}}} {b ^ {{2}}}} = 1.

Aceeași elipsă este reprezentată și de ecuația parametrică:

{\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\\0\leq t<2\pi \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos t \\ y = b \ sin t \\ 0 \ leq t <2 \ pi \ end {cases}}}

{\ begin {cases} x = a \ cos t \\ y = b \ sin t \\ 0 \ leq t <2 \ pi \ end {cases}}

care folosește funcțiile trigonometrice sinus și cosinus .

Excentricitate

Excentricitate $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ a unei elipse este între și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și este raportul distanței dintre cele două focare $F_{1}=(-c;0)$ ${\ displaystyle F_ {1} = (- c; 0)}$ $F_ {1} = (- c; 0)$ și $F_{2}=(+c;0)$ ${\ displaystyle F_ {2} = (+ c; 0)}$ $F_ {2} = (+ c; 0)$ și lungimea axei majore $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ :

e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}.

{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) ^ {2}}}.}

Excentricitatea explică forma mai mult sau mai puțin aplatizată a elipsei: atunci când este egală cu, cele două focare coincid și elipsa degenerează într-o circumferință de rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Prin tensionarea excentricității a $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , elipsa este aplatizată din ce în ce mai mult și atunci când își asumă valoarea unitară degenerează într-un segment lung $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ a călătorit de două ori, deci perimetrul elipsei este egal cu $4a$ ${\ displaystyle 4a}$ $4a$ .

Drept semilat

Jumătatea dreaptă a unei elipse, de obicei notată cu litera $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , este distanța dintre fiecare dintre focarele elipsei și punctele de pe elipsă ale căror focare sunt proiecție ortogonală pe axa majoră. Este legat de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ din formula

l={\frac {b^{2}}{a}}.

{\ displaystyle l = {\ frac {b ^ {2}} {a}}.}

l = {\ frac {b ^ {2}} {a}}.

Frânghii și diametre

În ceea ce privește celelalte conice, următoarea proprietate se aplică și elipsei: punctele medii ale unui pachet de corzi paralele sunt aliniate.

Segmentul care unește punctele medii ale unui pachet de corzi paralele se numește diametrul elipsei. Punctele medii ale coardelor paralele cu un diametru al elipsei constituie diametrul conjugat cu diametrul dat. Două diametre conjugate se intersectează în centrul elipsei. Axele de simetrie ale elipsei sunt singurele diametre conjugate perpendiculare între ele. Linia tangentă la o elipsă în extremitatea unui diametru este întotdeauna paralelă cu diametrul conjugat.

Ecuația în coordonate polare în raport cu unul dintre focare

Coordonatele polare cu centrul într-unul dintre focare.

În coordonatele polare , o elipsă cu focalizarea la origine și cu coordonata unghiulară $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ măsurată din axa majoră este reprezentată de ecuația:

r(\theta )={\frac {l}{1-e\cos \theta }},

{\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {l} {1-e \ cos \ theta}},}

r (\ theta) = {\ frac {l} {1-e \ cos \ theta}},

unde este $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ denotă jumătatea dreaptă și coordonata unghiulară $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul prin care trece linia r $F_{1}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ formați cu axa majoră (a se vedea figura din lateral).

Dacă luăm în considerare linia dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ trecând prin foc $F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$ $F_ {2}$ și coordonata unghiulară $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul pe care linia $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ trecând prin $F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$ $F_ {2}$ forma cu axa majoră, ecuația devine:

r(\theta )={\frac {l}{1+e\cos \theta }}.

{\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}}.}

r (\ theta) = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}}.

Zonă

Zona închisă de o elipsă este dată de

A=\pi ab.

{\ displaystyle A = \ pi ab.}

A = \ pi ab.

Tangent la o elipsă la unul dintre punctele sale: formula de dublare

Tangent la o elipsă la unul dintre punctele sale P ₀ (x ₀ , y ₀ ). Coeficient unghiular:

\scriptstyle {m=-{\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}}

{\ displaystyle \ scriptstyle {m = - {\ frac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}}}

\ scriptstyle {m = - {\ frac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}}

Ecuaţie:

\scriptstyle {{\frac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{\frac {{yy}_{0}}{b^{2}}}=1}

{\ displaystyle \ scriptstyle {{\ frac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ frac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = 1} }

\ scriptstyle {{\ frac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ frac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = 1}

Ecuația liniei tangente la elipsă cu centrul său la origine într-unul din punctele sale $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ Și:

{\frac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{\frac {{yy}_{0}}{b^{2}}}=1.

{\ displaystyle {\ frac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ frac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = 1.}

{\ frac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ frac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = 1.

Coeficientul său unghiular este dat de:

m=-{\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}.

{\ displaystyle m = - {\ frac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}.}

m = - {\ frac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}.

Dovadă algebrică

Scrieți următorul sistem neliniar de trei ecuații: prima este ecuația elipsei, a doua impune apartenența la elipsa punctului $P_{0}(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ $P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})$ , al treilea impune trecerea tangentei pentru punct $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ cu înclinație $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a fi determinat:

{\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\{\dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1\\y-y_{0}=m(x-x_{0})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ {\ dfrac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ y-y_ {0} = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ {\ dfrac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ y-y_ {0} = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

În prima și a doua ecuație, al doilea membru este egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și, prin urmare, primii membri vor fi egali între ei:

{\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}={\dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}\\y-y_{0}=m(x-x_{0})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = {\ dfrac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}} \\ y-y_ {0} = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = {\ dfrac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}} \\ y-y_ {0} = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

{\begin{cases}{\dfrac {\left(x-x_{0}\right)\left(x+x_{0}\right)}{a^{2}}}+{\dfrac {\left(y-y_{0}\right)\left(y+y_{0}\right)}{b^{2}}}=0\\y-y_{0}=m(x-x_{0}).\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ left (x-x_ {0} \ right) \ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {\ left (y-y_ {0} \ right) \ left (y + y_ {0} \ right)} {b ^ {2}}} = 0 \\ y-y_ {0} = m (x-x_ {0}). \ End {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ left (x-x_ {0} \ right) \ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {\ left (y-y_ {0} \ right) \ left (y + y_ {0} \ right)} {b ^ {2}}} = 0 \\ y-y_ {0} = m (x-x_ {0}). \ End {cases}}}

Luați în considerare ecuația tangentă:

y-y_{0}=m(x-x_{0}),

{\ displaystyle y-y_ {0} = m (x-x_ {0}),}

{\ displaystyle y-y_ {0} = m (x-x_ {0}),}

y=m(x-x_{0})+y_{0}.

{\ displaystyle y = m (x-x_ {0}) + y_ {0}.}

{\ displaystyle y = m (x-x_ {0}) + y_ {0}.}

Înlocuind în prima ecuație:

{\begin{cases}{\dfrac {\left(x-x_{0}\right)\left(x+x_{0}\right)}{a^{2}}}+{\dfrac {\left[m(x-x_{0}\right]\left[m(x-x_{0})+2y_{0}\right]}{b^{2}}}=0\\y-y_{0}=m(x-x_{0})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ left (x-x_ {0} \ right) \ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {\ left [m (x-x_ {0} \ right] \ left [m (x-x_ {0}) + 2y_ {0} \ right]} {b ^ {2}}} = 0 \\ y- y_ {0} = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ left (x-x_ {0} \ right) \ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {\ left [m (x-x_ {0} \ right] \ left [m (x-x_ {0}) + 2y_ {0} \ right]} {b ^ {2}}} = 0 \\ y- y_ {0} = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

{\begin{cases}{\dfrac {\left(x-x_{0}\right)\left(x+x_{0}\right)}{a^{2}}}+{\dfrac {m^{2}(x-x_{0})^{2}+2y_{0}m(x-x_{0})}{b^{2}}}=0\\y-y_{0}=m(x-x_{0})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ left (x-x_ {0} \ right) \ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + 2y_ {0} m (x-x_ {0})} {b ^ {2}}} = 0 \\ y-y_ {0 } = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ left (x-x_ {0} \ right) \ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + 2y_ {0} m (x-x_ {0})} {b ^ {2}}} = 0 \\ y-y_ {0 } = m (x-x_ {0}) \ end {cases}}}

{\begin{cases}(x-x_{0})\left({\dfrac {\left(x+x_{0}\right)}{a^{2}}}+{\dfrac {m^{2}(x-x_{0})+2y_{0}m}{b^{2}}}\right)=0\\y-y_{0}=m(x-x_{0})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} (x-x_ {0}) \ left ({\ dfrac {\ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac { m ^ {2} (x-x_ {0}) + 2y_ {0} m} ​​{b ^ {2}}} \ right) = 0 \\ y-y_ {0} = m (x-x_ { 0}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} (x-x_ {0}) \ left ({\ dfrac {\ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac { m ^ {2} (x-x_ {0}) + 2y_ {0} m} ​​{b ^ {2}}} \ right) = 0 \\ y-y_ {0} = m (x-x_ { 0}) \ end {cases}}}

Pentru legea privind anularea produsului :

x-x_{0}=0,

{\ displaystyle x-x_ {0} = 0,}

{\ displaystyle x-x_ {0} = 0,}

x=x_{0}.

{\ displaystyle x = x_ {0}.}

{\ displaystyle x = x_ {0}.}

Ușor verificabil, deoarece punctul aparține elipsei.

În schimb, în al doilea factor:

{\dfrac {\left(x+x_{0}\right)}{a^{2}}}+{\dfrac {m^{2}(x-x_{0})+2y_{0}m}{b^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ dfrac {\ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2} (x-x_ {0}) + 2y_ {0 } m} {b ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ dfrac {\ left (x + x_ {0} \ right)} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2} (x-x_ {0}) + 2y_ {0 } m} {b ^ {2}}} = 0}

Atâta timp cât $(x-x_{0})=0$ ${\ displaystyle (x-x_ {0}) = 0}$ $(x-x_ {0}) = 0$ Și $x=x_{0}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ $x = x_ {0}$ :

{\dfrac {{2x}_{0}}{a^{2}}}+{\dfrac {{2y}_{0}m}{b^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ dfrac {{2x} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {{2y} _ {0} m} ​​{b ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ dfrac {{2x} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {{2y} _ {0} m} ​​{b ^ {2}}} = 0}

{m=-{\dfrac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}}

{\ displaystyle {m = - {\ dfrac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}}}

{\ displaystyle {m = - {\ dfrac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}}}

(coeficientul unghiular al liniei tangente la punctul

P_{0}

{\ displaystyle P_ {0}}

P_0

)

Înlocuiți panta $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în ecuația liniei:

y-y_{0}=-{\dfrac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}(x-x_{0})

{\ displaystyle y-y_ {0} = - {\ dfrac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}} (x-x_ {0})}

{\ displaystyle y-y_ {0} = - {\ dfrac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}} (x-x_ {0})}

a^{2}y_{0}y-a^{2}y_{0}^{2}=b^{2}x_{0}^{2}-b^{2}x_{0}x

{\ displaystyle a ^ {2} y_ {0} ya ^ {2} y_ {0} ^ {2} = b ^ {2} x_ {0} ^ {2} -b ^ {2} x_ {0} x }

{\ displaystyle a ^ {2} y_ {0} ya ^ {2} y_ {0} ^ {2} = b ^ {2} x_ {0} ^ {2} -b ^ {2} x_ {0} x }

{{\dfrac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{\dfrac {{yy}_{0}}{b^{2}}}={\dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}}.

{\ displaystyle {{\ dfrac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = {\ dfrac { x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle {{\ dfrac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = {\ dfrac { x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}}}.}

Prin ipoteză în sistem

{{\dfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}.

{\ displaystyle {{\ dfrac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} .}

{\ displaystyle {{\ dfrac {x_ {0} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {0} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} .}

Prin urmare:

{{\dfrac {{xx}_{0}}{a^{2}}}+{\dfrac {{yy}_{0}}{b^{2}}}=1}.

{\ displaystyle {{\ dfrac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = 1}.}

{\ displaystyle {{\ dfrac {{xx} _ {0}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {{yy} _ {0}} {b ^ {2}}} = 1}.}

Dovada diferențială

O dovadă alternativă poate fi făcută folosind derivata funcției elipse ^[2] ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ în sens $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ : de fapt este suficient să ne amintim că derivata unei funcții într-unul din punctele sale coincide cu coeficientul unghiular al liniei tangente în același punct. Realizând astfel derivatul cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din ecuația elipsei obținem:

{\frac {2x}{a^{2}}}+{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0.

{\ displaystyle {\ frac {2x} {a ^ {2}}} + {\ frac {2yy '} {b ^ {2}}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {2x} {a ^ {2}}} + {\ frac {2yy '} {b ^ {2}}} = 0.}

Atâta timp cât $y^{'}$ ${\ displaystyle y '}$ $tu$ cu coeficientul unghiular $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , primesti

m=y'=-{\frac {b^{2}x}{a^{2}y}},

{\ displaystyle m = y '= - {\ frac {b ^ {2} x} {a ^ {2} y}},}

{\ displaystyle m = y '= - {\ frac {b ^ {2} x} {a ^ {2} y}},}

care calculat în punct $P_{0}(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ $P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})$ oferă:

{m=-{\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}}.

{\ displaystyle {m = - {\ frac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}}.}

{\ displaystyle {m = - {\ frac {b ^ {2} x_ {0}} {a ^ {2} y_ {0}}}}.}

Proprietate tangențială

O tangentă la elipsă într-unul din punctele sale $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ formează unghiuri egale cu linii drepte prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ iar pentru fiecare dintre cele două incendii.

Pentru a demonstra această proprietate putem folosi teorema lui Heron conform căreia este dată o linie $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și colon $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ și $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ extern, punctul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a liniei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care minimizează suma ${\overline {PQ}}+{\overline {PR}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}} + {\ overline {PR}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}} + {\ overline {PR}}}$ pentru ce sunt segmentele ${\overline {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}}}$ Și ${\overline {PR}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PR}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PR}}}$ formează unghiuri egale cu linia $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

În acest scop considerăm o elipsă cu focare $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ și $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ : este orice punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ îndeplinește condiția

{\overline {PQ}}+{\overline {PR}}=2a.

{\ displaystyle {\ overline {PQ}} + {\ overline {PR}} = 2a.}

{\ displaystyle {\ overline {PQ}} + {\ overline {PR}} = 2a.}

Pentru orice punct $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în interiorul elipsei starea se menține

{\overline {SQ}}+{\overline {SR}}<2a.

{\ displaystyle {\ overline {SQ}} + {\ overline {SR}} <2a.}

{\ displaystyle {\ overline {SQ}} + {\ overline {SR}} <2a.}

Acum ia în considerare o linie care trece printr-un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a elipsei astfel încât să formeze unghiuri egale cu segmentele ${\overline {PQ}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}}}$ Și ${\overline {PR}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PR}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PR}}}$ : după teorema lui Heron , ideea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este punctul de pe linie care minimizează suma ${\overline {PQ}}+{\overline {PR}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}} + {\ overline {PR}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PQ}} + {\ overline {PR}}}$ . Aceasta implică faptul că linia este tangentă la elipsă: de fapt, dacă nu ar fi cazul, linia ar intra în elipsă și a spus $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un punct din interior ar merita condiția ${\overline {SQ}}+{\overline {SR}}<2a$ ${\ displaystyle {\ overline {SQ}} + {\ overline {SR}} <2a}$ ${\ displaystyle {\ overline {SQ}} + {\ overline {SR}} <2a}$ spre deosebire de teorema lui Heron pentru care în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și nu în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cea mai mică sumă ar fi trebuit înregistrată. Astfel, afirmația inițială rămâne demonstrată.

Din această afirmație rezultă că într-o masă de biliard în formă de elipsă o bilă aruncată fără efect dintr-unul din cele două focuri va fi reflectată de la margine și va trece în mod necesar prin celălalt foc. Același lucru se va întâmpla într-o oglindă concavă în formă de elipsă în care toate razele de lumină emise de unul dintre cele două focuri vor trece în mod necesar prin celălalt foc indiferent de direcția urmată: de unde și numele de focuri date acestor două puncte particulare.elipsei. În mod similar, într-o cameră în formă de elipsă undele sonore care pleacă de la unul dintre cele două focare vor ajunge la cealaltă din toate direcțiile și întrucât distanța parcursă în călătorie de la un focar la altul este întotdeauna aceeași, undele vor ajunge toate sincronizate : acest lucru explică de ce două persoane plasate în cele două focare ale unei camere eliptice pot comunica cu ușurință chiar și de la distanțe mari, spre deosebire de două persoane mai apropiate una de alta, dar care nu sunt situate în focare.

Tangent la o elipsă care trece printr-unul din punctele sale

Construcția liniei tangente la elipsă în punctul său P

Luați în considerare o elipsă de focare $F_{1}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ , $F_{1}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ și axa majoră $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ și un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ aparținând elipsei. Există două metode grafice pentru desenarea tangentei la un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a elipsei. ^[3]

Prima metodă

Desenați segmentele $PF_{1}$ ${\ displaystyle PF_ {1}}$ $PF_ {1}$ Și $PF_{2}$ ${\ displaystyle PF_ {2}}$ $PF_ {2}$ . Trageți bisectoarea $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ unghi ${\widehat {F_{1}PF_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {F_ {1} PF_ {2}}}}$ $\ widehat {F_ {1} PF_ {2}}$ . Desenați linia $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ perpendicular pe s în punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Linia $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este linia tangentă căutată.

Este suficient să se demonstreze că această linie îndeplinește proprietatea tangențială descrisă anterior. Într-adevăr colțurile $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ Și $\beta _{3}$ ${\ displaystyle \ beta _ {3}}$ $\ beta _ {3}$ sunt congruente ca diferență de unghiuri respectiv congruente: unghiurile sunt scăzute din cele două unghiuri drepte $\alpha _{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$ $\ alfa _ {1}$ Și $\alpha _{2}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$ $\ alfa _ {2}$ congruente pentru bisectoare.

A doua metodă

Trasați cercul central $F_{1}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ și raza $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ . Desenați segmentul $F_{1}P$ ${\ displaystyle F_ {1} P}$ $F_ {1} P$ și extindeți-l până când atingeți punctul $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ pe circumferință. A urmări $PF_{2}$ ${\ displaystyle PF_ {2}}$ $PF_ {2}$ . Desenați segmentul $EF_{2}$ ${\ displaystyle EF_ {2}}$ $EF_ {2}$ . Remediați punctul de mijloc $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ din $EF_{2}$ ${\ displaystyle EF_ {2}}$ $EF_ {2}$ . Linia $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ trecând prin puncte $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este linia tangentă căutată.

De fapt, este posibil să se demonstreze că această linie îndeplinește proprietatea tangențială descrisă anterior. $PF_{2}=PE$ ${\ displaystyle PF_ {2} = PE}$ $PF_ {2} = PE$ ca diferență de segmente congruente ( $EP+PF_{1}=2a$ ${\ displaystyle EP + PF_ {1} = 2a}$ $EP + PF_ {1} = 2a$ Și $PF_{1}+PF_{2}=2a$ ${\ displaystyle PF_ {1} + PF_ {2} = 2a}$ $PF_ {1} + PF_ {2} = 2a$ . De aici triunghiul $PEF_{2}$ ${\ displaystyle PEF_ {2}}$ $PEF_ {2}$ este isoscel și mediana $P. M.$ ${\ displaystyle PM}$ $P.M$ relativ la bază $EF_{2}$ ${\ displaystyle EF_ {2}}$ $EF_ {2}$ este și bisectoare și deci unghiurile $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ Și $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ sunt congruente. Pe de altă parte colțurile $\beta _{1}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$ $\ beta_1$ Și $\beta _{3}$ ${\ displaystyle \ beta _ {3}}$ $\ beta _ {3}$ sunt congruente spre deosebire de vârf. Prin urmare $\beta _{2}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ $\ beta _ {2}$ Și $\beta _{3}$ ${\ displaystyle \ beta _ {3}}$ $\ beta _ {3}$ sunt congruente pentru proprietatea tranzitivă.

Tangente la o elipsă printr-un punct extern

Tangente la o elipsă centrată la origine condusă de un punct P (x _p , y _p ) în afara acesteia. Coeficienții unghiulari ai celor două linii drepte se obțin rezolvând ecuația de gradul doi:

\scriptstyle {\left(a^{2}-x_{p}^{2}\right)m^{2}+2x_{p}y_{p}m+b^{2}-y_{p}^{2}=0}

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ left (a ^ {2} -x_ {p} ^ {2} \ right) m ^ {2} + 2x_ {p} y_ {p} m + b ^ {2} -y_ { p} ^ {2} = 0}}

\ scriptstyle {\ left (a ^ {2} -x_ {p} ^ {2} \ right) m ^ {2} + 2x_ {p} y_ {p} m + b ^ {2} -y_ {p} ^ {2} = 0}

Coeficienții unghiulari ai tangențelor la elipsă $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ : ${\frac {(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {C}) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {(y-y_ {C}) ^ {2}} {b ^ { 2}}} = 1}$ ${\ frac {(x-x_ {C}) ^ {{2}}} {a ^ {{2}}}} + {\ frac {(y-y_ {C}) ^ {{2}}} { b ^ {{2}}}} = 1$ condus din punct $P(x_{P},y_{P})$ ${\ displaystyle P (x_ {P}, y_ {P})}$ $P (x_ {P}, y_ {P})$ externe acesteia se obțin rezolvând următoarea ecuație de gradul doi:

\left(a^{2}-x_{i}^{2}\right)m^{2}+2x_{i}y_{i}m+b^{2}-y_{i}^{2}=0,

{\ displaystyle \ left (a ^ {2} -x_ {i} ^ {2} \ right) m ^ {2} + 2x_ {i} y_ {i} m + b ^ {2} -y_ {i} ^ {2} = 0,}

\ left (a ^ {2} -x_ {i} ^ {2} \ right) m ^ {2} + 2x_ {i} y_ {i} m + b ^ {2} -y_ {i} ^ {2} = 0,

cu $x_{i}=x_{P}-x_{C}$ ${\ displaystyle x_ {i} = x_ {P} -x_ {C}}$ $x_ {i} = x_ {P} -x_ {C}$ Și $y_{i}=y_{P}-y_{C}$ ${\ displaystyle y_ {i} = y_ {P} -y_ {C}}$ $y_ {i} = y_ {P} -y_ {C}$ .

Demonstrație

Elipsa este tradusă $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ și punctul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a unui vector $v=(-x_{C},-y_{C})$ ${\ displaystyle v = (- x_ {C}, - y_ {C})}$ $v = (- x_ {C}, - y_ {C})$ , pentru a obține elipsa $\Gamma _{i}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$ $\ Gamma _ {i}$ : ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ${\ frac {x ^ {{2}}} {a ^ {{2}}}} + {\ frac {y ^ {{2}}} {b ^ {{2}}}} = 1$ și punctul $P_{i}(x_{i},x_{i})$ ${\ displaystyle P_ {i} (x_ {i}, x_ {i})}$ $P_ {i} (x_ {i}, x_ {i})$ , cu $x_{i}=x_{P}-x_{C}$ ${\ displaystyle x_ {i} = x_ {P} -x_ {C}}$ $x_ {i} = x_ {P} -x_ {C}$ Și $y_{i}=y_{P}-y_{C}$ ${\ displaystyle y_ {i} = y_ {P} -y_ {C}}$ $y_ {i} = y_ {P} -y_ {C}$ . Știind că paralelismul este păstrat și în traducere, coeficienții unghiulari ai tangențelor a $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ trecători pentru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ sunt egale cu cele ale tangentelor a $\Gamma _{i}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$ $\ Gamma _ {i}$ trecând prin punct $P_{i}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$ . Sistemul a două ecuații este scris cu prima referitoare la ecuația elipsei și a doua referitoare la pachetul de linii drepte care trec prin punct $P_{i}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ $P_ {i}$

{\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\y-y_{i}=m(x-x_{i})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ y-y_ {i} = m (x-x_ {i}) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ y-y_ {i} = m (x-x_ {i}) \ end {cases}}}

{\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\y=mx-{mx}_{i}+\ y_{i}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ y = mx- {mx} _ {i} + \ y_ {i} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \\ y = mx- {mx} _ {i} + \ y_ {i} \ end {cases}}}

{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {m^{2}x^{2}+m^{2}x_{i}^{2}+y_{i}^{2}-2m^{2}x_{i\ }x+2my_{i}x-2mx_{i}y_{i}}{b^{2}}}-1=0

{\ displaystyle {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2} x ^ {2} + m ^ {2} x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2} -2m ^ {2} x_ {i \} x + 2my_ {i} x-2mx_ {i} y_ {i}} {b ^ {2}}} - 1 = 0}

{\ displaystyle {\ dfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2} x ^ {2} + m ^ {2} x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2} -2m ^ {2} x_ {i \} x + 2my_ {i} x-2mx_ {i} y_ {i}} {b ^ {2}}} - 1 = 0}

\left({\dfrac {1}{a^{2}}}+{\dfrac {m^{2}}{b^{2}}}\right)x^{2}+\left(-{\dfrac {2x_{i}m^{2}}{b^{2}}}+{\dfrac {2y_{i}m}{b^{2}}}\right)x+\left({\dfrac {x_{i}^{2}m^{2}}{b^{2}}}-{\dfrac {2x_{i}y_{i}m}{b^{2}}}+{\dfrac {y_{i}^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\right)=0.

{\ displaystyle \ left ({\ dfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) x ^ {2} + \ left (- {\ dfrac {2x_ {i} m ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {2y_ {i} m} {b ^ {2}}} \ right) x + \ left ({\ dfrac {x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {i} ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) = 0.}

{\ displaystyle \ left ({\ dfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) x ^ {2} + \ left (- {\ dfrac {2x_ {i} m ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {2y_ {i} m} {b ^ {2}}} \ right) x + \ left ({\ dfrac {x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {i} ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) = 0.}

Se impune condiția de tangență, adică discriminantul $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ este nul:

{\left(-{\dfrac {2x_{i}m^{2}}{b^{2}}}+{\dfrac {2y_{i}m}{b^{2}}}\right)}^{2}-4\left({\dfrac {1}{a^{2}}}+{\dfrac {m^{2}}{b^{2}}}\right)\left({\dfrac {x_{i}^{2}m^{2}}{b^{2}}}-{\dfrac {2x_{i}y_{i}m}{b^{2}}}+{\dfrac {y_{i}^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\right)=0

{\ displaystyle {\ left (- {\ dfrac {2x_ {i} m ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {2y_ {i} m} {b ^ {2}}} \ dreapta)} ^ {2} -4 \ left ({\ dfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) \ left ({\ dfrac {x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {i} ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ left (- {\ dfrac {2x_ {i} m ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {2y_ {i} m} {b ^ {2}}} \ dreapta)} ^ {2} -4 \ left ({\ dfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ dfrac {m ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) \ left ({\ dfrac {x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m} {b ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {i} ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} \ right) = 0}

{\cancel {\dfrac {4m^{4}x_{i}^{2}}{b^{4}}}}-{\cancel {\dfrac {8m^{3}x_{i}y_{i}}{b^{4}}}}+{\dfrac {4m^{2}y_{i}^{2}}{b^{4}}}-4\left({\dfrac {x_{i}^{2}m^{2}}{a^{2}b^{2}}}-{\dfrac {2x_{i}y_{i}m}{a^{2}b^{2}}}+{\dfrac {y_{i}^{2}-b^{2}}{a^{2}b^{2}}}+{\cancel {\dfrac {x_{i}^{2}m^{4}}{b^{4}}}}-{\cancel {\dfrac {2x_{i}y_{i}m^{3}}{b^{4}}}}+{\dfrac {\left(y_{i}^{2}-b^{2}\right)m^{2}}{b^{4}}}\right)=0

{\ displaystyle {\ cancel {\ dfrac {4m ^ {4} x_ {i} ^ {2}} {b ^ {4}}}} - {\ cancel {\ dfrac {8m ^ {3} x_ {i} y_ {i}} {b ^ {4}}}} + {\ dfrac {4m ^ {2} y_ {i} ^ {2}} {b ^ {4}}} - 4 \ left ({\ dfrac { x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} - {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m} {a ^ {2} b ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {i} ^ {2} -b ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} + {\ cancel {\ dfrac {x_ {i} ^ {2} m ^ {4}} {b ^ {4}}}} - {\ cancel {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m ^ {3}} {b ^ {4}}}} + {\ dfrac {\ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ {2} \ right) m ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ cancel {\ dfrac {4m ^ {4} x_ {i} ^ {2}} {b ^ {4}}}} - {\ cancel {\ dfrac {8m ^ {3} x_ {i} y_ {i}} {b ^ {4}}}} + {\ dfrac {4m ^ {2} y_ {i} ^ {2}} {b ^ {4}}} - 4 \ left ({\ dfrac { x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} - {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m} {a ^ {2} b ^ {2}}} + {\ dfrac {y_ {i} ^ {2} -b ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} + {\ cancel {\ dfrac {x_ {i} ^ {2} m ^ {4}} {b ^ {4}}}} - {\ cancel {\ dfrac {2x_ {i} y_ {i} m ^ {3}} {b ^ {4}}}} + {\ dfrac {\ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ {2} \ right) m ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) = 0}

{\dfrac {4y_{i}^{2}m^{2}}{b^{4}}}-{\dfrac {4x_{i}^{2}m^{2}}{a^{2}b^{2}}}-{\dfrac {4\left(y_{i}^{2}-b^{2}\right)m^{2}}{b^{4}}}+{\dfrac {8x_{i}y_{i}m}{a^{2}b^{2}}}-{\dfrac {4\left(y_{i}^{2}-b^{2}\right)}{a^{2}b^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ dfrac {4y_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {b ^ {4}}} - {\ dfrac {4x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} - {\ dfrac {4 \ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ {2} \ right) m ^ {2}} {b ^ {4}} } + {\ dfrac {8x_ {i} y_ {i} m} {a ^ {2} b ^ {2}}} - {\ dfrac {4 \ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ { 2} \ right)} {a ^ {2} b ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ dfrac {4y_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {b ^ {4}}} - {\ dfrac {4x_ {i} ^ {2} m ^ {2}} {a ^ {2} b ^ {2}}} - {\ dfrac {4 \ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ {2} \ right) m ^ {2}} {b ^ {4}} } + {\ dfrac {8x_ {i} y_ {i} m} {a ^ {2} b ^ {2}}} - {\ dfrac {4 \ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ { 2} \ right)} {a ^ {2} b ^ {2}}} = 0}

{\cancel {4a^{2}y_{i}^{2}m^{2}}}-4{b^{2}x}_{i}^{2}m^{2}-4a^{2}\left({\cancel {y_{i}^{2}}}-b^{2}\right)m^{2}+8{b^{2}x}_{i}y_{i}m-4b^{2}\left(y_{i}^{2}-b^{2}\right)=0

{\ displaystyle {\ cancel {4a ^ {2} y_ {i} ^ {2} m ^ {2}}} - 4 {b ^ {2} x} _ {i} ^ {2} m ^ {2} -4a ^ {2} \ left ({\ cancel {y_ {i} ^ {2}}} - b ^ {2} \ right) m ^ {2} +8 {b ^ {2} x} _ {i } y_ {i} m-4b ^ {2} \ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ {2} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ cancel {4a ^ {2} y_ {i} ^ {2} m ^ {2}}} - 4 {b ^ {2} x} _ {i} ^ {2} m ^ {2} -4a ^ {2} \ left ({\ cancel {y_ {i} ^ {2}}} - b ^ {2} \ right) m ^ {2} +8 {b ^ {2} x} _ {i } y_ {i} m-4b ^ {2} \ left (y_ {i} ^ {2} -b ^ {2} \ right) = 0}

-x_{i}^{2}m^{2}+a^{2}m^{2}\ +2x_{i}y_{i}m-y_{i}^{2}+b^{2}=0

-x_{i}^{2}m^{2}+a^{2}m^{2}\ +2x_{i}y_{i}m-y_{i}^{2}+b^{2}=0

-x_{i}^{2}m^{2}+a^{2}m^{2}\ +2x_{i}y_{i}m-y_{i}^{2}+b^{2}=0

\left(a^{2}-x_{i}^{2}\right)m^{2}+2x_{i}y_{i}m+b^{2}-y_{i}^{2}=0.

\left(a^{2}-x_{i}^{2}\right)m^{2}+2x_{i}y_{i}m+b^{2}-y_{i}^{2}=0.

\left(a^{2}-x_{i}^{2}\right)m^{2}+2x_{i}y_{i}m+b^{2}-y_{i}^{2}=0.

Costruzione geometrica delle rette tangenti ad un'ellisse condotte da un punto esterno

Rette tangenti ad un'ellisse condotte da un punto esterno

P

{\displaystyle P}

P

È data un'ellisse di fuochi $F_{1}$ $F_{1}$ $F_{1}$ , $F_{2}$ $F_{2}$ $F_{2}$ e asse maggiore $2a$ ${\displaystyle 2a}$ $2a$ , e un punto $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ esterno all'ellisse. Esistono due metodi per tracciare le rette tangenti all'ellisse condotte dal punto esterno $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ . ^[3]

Primo metodo

Tracciare la circonferenza di centro $F_{1}$ $F_{1}$ $F_{1}$ e raggio $2a$ ${\displaystyle 2a}$ $2a$ . Tracciare la circonferenza di centro $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ e raggio $PF_{2}$ $PF_{2}$ $PF_{2}$ . Le due circonferenze si intersecano nei punti $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ e $B$ ${\displaystyle B}$ $B$ . Tracciare i segmenti $F_{1}A$ $F_{1}A$ $F_{1}A$ e $F_{1}B$ $F_{1}B$ $F_{1}B$ . Fissare i punti $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ ed $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ di intersezione tra i due segmenti e l'ellisse. Le rette $P T$ ${\displaystyle PT}$ $PT$ e $P S$ ${\displaystyle PS}$ $PS$ sono le rette tangenti cercate.

Infatti basta dimostrare che tali rette soddisfano la proprietà tangenziale sopra descritta. Anzitutto si osserva che i triangoli $T A P$ ${\displaystyle TAP}$ $TAP$ e $TF_{2}P$ $TF_{2}P$ $TF_{2}P$ sono congruenti perché hanno i tre lati ordinatamente congruenti: $T P$ ${\displaystyle TP}$ $TP$ è in comune, $PA=PF_{2}$ $PA=PF_{2}$ $PA=PF_{2}$ perché raggi della stessa circonferenza e $TA=F_{2}T$ $TA=F_{2}T$ $TA=F_{2}T$ in quanto differenze di segmenti rispettivamente congruenti, infatti $TF_{1}+TF_{2}=2a$ $TF_{1}+TF_{2}=2a$ $TF_{1}+TF_{2}=2a$ e $TF_{1}+TA=2a$ $TF_{1}+TA=2a$ $TF_{1}+TA=2a$ . In particolare gli angoli ${\widehat {ATP}}={\widehat {F_{2}TP}}$ ${\widehat {ATP}}={\widehat {F_{2}TP}}$ $\widehat {ATP}=\widehat {F_{2}TP}$ . D'altra parte anche gli angoli ${\widehat {tTF_{1}}}={\widehat {ATP}}$ ${\widehat {tTF_{1}}}={\widehat {ATP}}$ $\widehat {tTF_{1}}=\widehat {ATP}$ e quindi la proprietà tangenziale è dimostrata.

Secondo metodo

Tracciare la circonferenza di centro $F_{1}$ $F_{1}$ $F_{1}$ e raggio $2a$ ${\displaystyle 2a}$ $2a$ . Tracciare la circonferenza di centro $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ e raggio $PF_{2}$ $PF_{2}$ $PF_{2}$ . Le due circonferenze si intersecano nei punti $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ e $B$ ${\displaystyle B}$ $B$ . Tracciare i segmenti $F_{2}A$ $F_{2}A$ $F_{2}A$ e $F_{2}B$ $F_{2}B$ $F_{2}B$ . Condurre per $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ la retta $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ perpendicolare al segmento $F_{2}A$ $F_{2}A$ $F_{2}A$ . Condurre per $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ la retta $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ perpendicolare al segmento $F_{2}B$ $F_{2}B$ $F_{2}B$ . Le rette $t$ ${\displaystyle t}$ $t$ ed $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ sono le rette tangenti cercate.

Dalla dimostrazione precedente si osserva che $T P$ ${\displaystyle TP}$ $TP$ è bisettrice dell'angolo al vertice del triangolo isoscele $ATF_{2}$ $ATF_{2}$ $ATF_{2}$ e quindi è anche altezza.

Equazione generale di un'ellisse

L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi $F_{1}(x_{F1},y_{F1})$ $F_{1}(x_{F1},y_{F1})$ $F_{1}(x_{F1},y_{F1})$ ed $F_{2}(x_{F2},y_{F2})$ $F_{2}(x_{F2},y_{F2})$ $F_{2}(x_{F2},y_{F2})$ posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ è data da

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0

dove i parametri $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ , $B$ ${\displaystyle B}$ $B$ , $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ , $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ , $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ ed $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ sono uguali a

A=16a^{2}-4(x_{F1}-x_{F2})^{2},

A=16a^{2}-4(x_{F1}-x_{F2})^{2},

A=16a^{2}-4(x_{F1}-x_{F2})^{2},

B=-8(x_{F1}-x_{F2})(y_{F1}-y_{F2}),

B=-8(x_{F1}-x_{F2})(y_{F1}-y_{F2}),

B=-8(x_{F1}-x_{F2})(y_{F1}-y_{F2}),

C=16a^{2}-4(y_{F1}-y_{F2})^{2},

C=16a^{2}-4(y_{F1}-y_{F2})^{2},

C=16a^{2}-4(y_{F1}-y_{F2})^{2},

D=4(x_{F1}-x_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(x_{F1}+x_{F2}),

D=4(x_{F1}-x_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(x_{F1}+x_{F2}),

D=4(x_{F1}-x_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(x_{F1}+x_{F2}),

E=4(y_{F1}-y_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(y_{F1}+y_{F2}),

E=4(y_{F1}-y_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(y_{F1}+y_{F2}),

E=4(y_{F1}-y_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(y_{F1}+y_{F2}),

F=4(x_{F1}^{2}+y_{F1}^{2})(x_{F2}^{2}+y_{F2}^{2})-(x_{F1}^{2}+x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}+y_{F2}^{2}-4a^{2})^{2}.

F=4(x_{F1}^{2}+y_{F1}^{2})(x_{F2}^{2}+y_{F2}^{2})-(x_{F1}^{2}+x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}+y_{F2}^{2}-4a^{2})^{2}.

F=4(x_{F1}^{2}+y_{F1}^{2})(x_{F2}^{2}+y_{F2}^{2})-(x_{F1}^{2}+x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}+y_{F2}^{2}-4a^{2})^{2}.

Queste equazioni si ricavano dalla definizione metrica di ellisse:

{\sqrt {(x-x_{F_{1}})^{2}+(y-y_{F_{1}})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{F_{2}})^{2}+(y-y_{F_{2}})^{2}}}=2a

{\sqrt {(x-x_{F_{1}})^{2}+(y-y_{F_{1}})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{F_{2}})^{2}+(y-y_{F_{2}})^{2}}}=2a

{\sqrt {(x-x_{F_{1}})^{2}+(y-y_{F_{1}})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{F_{2}})^{2}+(y-y_{F_{2}})^{2}}}=2a

Dalla precedente equazione si eliminano le due radici con due elevamenti al quadrato e infine si uguagliano i coefficienti a quelli dell'equazione generale delle coniche.

Lunghezza

La lunghezza dell'ellisse è:

p=4aE(e),

{\displaystyle p=4aE(e),}

p=4aE(e),

in cui la funzione $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ è l' integrale ellittico completo di seconda specie ed $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ è l'eccentricità.

Sono state proposte numerose formule approssimate per il calcolo della lunghezza dell'ellisse, che differiscono molto per complessità e accuratezza. ^[4]

Lo sviluppo in serie è:

p=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {2k+1}{2(k+1)}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right].

p=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {2k+1}{2(k+1)}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right].

p=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {2k+1}{2(k+1)}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right].

Una semplice ma poco raffinata approssimazione per la lunghezza è

p\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}},

p\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}},

p\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}},

che fornisce il risultato esatto quando l'ellisse è una circonferenza, cioè per $a=b$ ${\displaystyle a=b}$ $a=b$ , mentre dà un risultato approssimato per eccesso negli altri casi. Nel caso limite in cui $b=0$ ${\displaystyle b=0}$ $b=0$ la formula dà $p\approx 4,44a$ $p\approx 4,44a$ $p\approx 4,44a$ , mentre il valore esatto è $p=4a$ ${\displaystyle p=4a}$ $p=4a$ . La formula è più precisa per ellissi con bassa eccentricità. Utilizzare questa formula equivale ad assumere che l'ellisse abbia la stessa lunghezza di una circonferenza che ha raggio uguale alla media quadratica dei semiassi dell'ellisse.

Un'approssimazione migliore si ottiene con uno sviluppo in serie nel modo seguente: posto $h={\frac {(a-b)^{2}}{(a+b)^{2}}}$ $h={\frac {(ab)^{2}}{(a+b)^{2}}}$ $h={\frac {(a-b)^{2}}{(a+b)^{2}}}$ si ha

p=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\tfrac {1}{2}}{n}}^{2}h^{n}=\pi (a+b){\Bigl (}1+{\tfrac {1}{4}}h+{\tfrac {1}{64}}h^{2}+{\tfrac {1}{256}}h^{3}+\ldots {\Bigr )}.

p=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\tfrac {1}{2}}{n}}^{2}h^{n}=\pi (a+b){\Bigl (}1+{\tfrac {1}{4}}h+{\tfrac {1}{64}}h^{2}+{\tfrac {1}{256}}h^{3}+\ldots {\Bigr )}.

p=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\tfrac {1}{2}}{n}}^{2}h^{n}=\pi (a+b){\Bigl (}1+{\tfrac {1}{4}}h+{\tfrac {1}{64}}h^{2}+{\tfrac {1}{256}}h^{3}+\ldots {\Bigr )}.

Anche in questo caso l'approssimazione è migliore per le ellissi di bassa eccentricità.

Due formule approssimate sono dovute a Ramanujan ^[5] :

p\approx \pi \left(3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right)

p\approx \pi \left(3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right)

p\approx \pi \left(3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right)

p\approx \pi (a+b){\biggl (}1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}{\biggr )}.

p\approx \pi (a+b){\biggl (}1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}{\biggr )}.

p\approx \pi (a+b){\biggl (}1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}{\biggr )}.

Entrambe le formule danno il risultato esatto per una circonferenza e, nel caso generale, l'errore delle due formule è dell'ordine di $h^{3}$ $h^{3}$ $h^{3}$ e di $h^{5}$ $h^{5}$ $h^{5}$ , rispettivamente. Nel caso di ellisse degenere in un segmento ( $b=0$ ${\displaystyle b=0}$ $b=0$ , $h=1$ ${\displaystyle h=1}$ $h=1$ ) la prima dà $p\approx 3,983a$ $p\approx 3,983a$ $p\approx 3,983a$ , mentre la seconda dà $p\approx 3,998a$ $p\approx 3,998a$ $p\approx 3,998a$ , quando il risultato esatto è $p=4a$ ${\displaystyle p=4a}$ $p=4a$ .

Metodo della tangente

Fissare i due fuochi $F_{1}$ $F_{1}$ $F_{1}$ e $F_{2}$ $F_{2}$ $F_{2}$ e l'asse maggiore di lunghezza $2a$ ${\displaystyle 2a}$ $2a$ (con $2a>F_{1}F_{2}$ $2a>F_{1}F_{2}$ $2a>F_{1}F_{2}$ ). Costruire una circonferenza di centro $F_{1}$ $F_{1}$ $F_{1}$ e raggio $2a$ ${\displaystyle 2a}$ $2a$ . Fissare sulla circonferenza un punto generico $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ . Tracciare il raggio $F_{1}K$ $F_{1}K$ $F_{1}K$ . Tracciare il segmento $F_{2}K$ $F_{2}K$ $F_{2}K$ e l'asse di tale segmento (retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ ) che interseca $F_{1}K$ $F_{1}K$ $F_{1}K$ nel punto $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ . Il punto $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ è equidistante da $F_{2}$ $F_{2}$ $F_{2}$ e da $K$ ${\displaystyle K}$ $K$ in quanto sta sull'asse del segmento $F_{2}K$ $F_{2}K$ $F_{2}K$ . Dunque $PF_{2}=PK$ $PF_{2}=PK$ $PF_{2}=PK$ . D'altra parte $PF_{1}+PK=2a$ $PF_{1}+PK=2a$ $PF_{1}+PK=2a$ e quindi $PF_{1}+PF_{2}=2a$ $PF_{1}+PF_{2}=2a$ $PF_{1}+PF_{2}=2a$ . Quindi $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ è un punto dell'ellisse. Questo metodo viene detto della tangente in quanto la retta $M P$ ${\displaystyle MP}$ $MP$ è la tangente all'ellisse nel punto $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ , infatti gode della proprietà tangenziale, precedentemente descritta.

Metodo del giardiniere

Lo stesso argomento in dettaglio: Ellisse del giardiniere .

Tecnica del giardiniere per tracciare un'ellisse, utilizzando due pioli, una funicella ed un punteruolo

In questo caso sono note le lunghezze dei lati del rettangolo circoscritto all'ellisse. La linea rossa nella figura qui accanto sia la corda utilizzata dal "giardiniere" per tracciare l'ellisse.

Nel film Agorà del 2009 Ipazia, interpretata da Rachel Weisz , studiando l'orbita della Terra attorno al Sole traccia sulla sabbia un'ellisse con il metodo del giardiniere. In alcuni momenti si vede anche un cono di Apollonio .

Note

^ ellisse , in Treccani.it – Vocabolario Treccani on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
^ Una ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani non è una funzione in quanto ad ogni ascissa $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ interna all'ellisse corrispondono due valori di $y$ ${\displaystyle y}$ $y$ anziché uno e uno solo: sono però funzioni le due semiellissi che la compongono e il risultato è identico per ciascuna di esse.
^ ^a ^b Cfr. il sito Nabla, Publisher of books and software in mathematics and computer science Copia archiviata , su nabla.hr . URL consultato il 10 gennaio 2013 (archiviato dall' url originale il 22 giugno 2012) .
^ ( EN ) Stanislav Sýkora, Approximations of the Ellipse Perimeter and of the Complete Elliptic Integral. A Review of Known Formulae , 2005, DOI : 10.3247/sl1math05.004 . URL consultato il 2 gennaio 2019 .
^ ( EN ) Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Godfrey Harold Hardy e P. Veṅkatesvara Seshu Aiyar, Collected Papers of Srinivasa Ramanujan , American Mathematical Soc., 1º gennaio 1927, ISBN 9780821820766 . URL consultato il 14 febbraio 2016 .