De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Reprezentarea unui elipsoid
În geometrie , prin elipsoid se înțelege tipul de cvadric care constituie analogul tridimensional al elipsei în două dimensiuni.
Definiție
Elipsoid
Ecuația elipsoidă standard într-un sistem de coordonate cartezian Oxyz este
- {\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1} ,
unde este {\ displaystyle a} , {\ displaystyle b} Și {\ displaystyle c} sunt numere reale fixe astfel încât {\ displaystyle a \ geq b \ geq c> 0} . Ele reprezintă semi-axele elipsoidului.
Această definiție face posibilă identificarea următoarelor cazuri:
- {\ displaystyle a> b> c} , avem un elipsoid scalen ;
- Dacă doi dintre acești parametri sunt egali, elipsoidul se numește sferoid sau elipsoid de rotație
- {\ displaystyle a> b = c} , avem un sferoid prolat
- {\ displaystyle a = b> c} , avem un sferoid oblat
- {\ displaystyle a = b = c} , ai o sferă
Axele centrale de inerție sunt definite ca axele de simetrie ale elipsoidului care formează un sistem de referință centrat în centrul de greutate al elipsoidului.
Parametrizare
Folosind coordonatele comune, unde {\ displaystyle \ beta} este un punct de reducere a latitudinii , sau parametric, și {\ displaystyle \ lambda} este longitudinea sa planografică, un elipsoid poate fi parametrizat după cum urmează:
- {\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ beta) \ cos (\ lambda) \\ y = b \ cos (\ beta) \ sin (\ lambda) \\ z = c \ sin (\ beta); \ end {cases}}}
- {\ displaystyle {\ begin {matrix} -90 ^ {\ circ} \ leq \ beta \ leq +90 ^ {\ circ}; \ quad -180 ^ {\ circ} \ leq \ lambda \ leq +180 ^ {\ circ}; \! {\ color {white} {\ big |}} \ end {matrix}}}
- (Rețineți că aceasta nu este parametrizarea 1-1 la poli, unde {\ displaystyle \ scriptstyle {\ beta = \ pm {90} ^ {\ circ}}} )
Sau, folosind sistemul de coordonate sferice , unde {\ displaystyle \ theta} este colatitudinea, numită și zenit , e {\ displaystyle \ varphi} este longitudinea de 360 °, numită și azimut :
- {\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi) \\ y = b \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi) \\ z = c \ cos (\ theta) \ end {cases}}}
- {\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 \ leq \ theta \ leq {180} ^ {\ circ}; \ quad {0} \ leq \ varphi \ leq {360} ^ {\ circ}; \! {\ color {white} {\ big |}} \ end {matrix}}}
Volum
Volumul unui elipsoid se obține pur și simplu din cel al unei sfere și din efectul homoteticii : {\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi abc.}
Suprafață
Suprafața, pe de altă parte, este asigurată de expresii mult mai elaborate. O expresie exactă este:
- {\ displaystyle 2 \ pi \ left (c ^ {2} + b {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} E (o \! \ varepsilon, m) + {\ frac {bc ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}} F (o \! \ Varepsilon, m) \ right),}
unde este:
- {\ displaystyle o \! \ varepsilon = \ arccos \ left ({\ frac {c} {a}} \ right)}
- {\ displaystyle \! m: = {\ frac {b ^ {2} -c ^ {2}} {b ^ {2} \ sin (sau \! \ varepsilon) ^ {2}}};}
in timp ce {\ displaystyle E (sau \! \ varepsilon, m)} , {\ displaystyle F (o \! \ varepsilon, m)} denotați integralele eliptice incomplete din primul și respectiv al doilea gen.
Sunt disponibile și expresii aproximative:
- elipsoid plat: {\ displaystyle = 2 \ pi \ left (ab \ right)}
- prolat sferoid: {\ displaystyle \ approx 2 \ pi \ left (c ^ {2} + ac {\ frac {o \! \ varepsilon} {\ sin (o \! \ varepsilon)}} \ right)}
- sferoid oblat: {\ displaystyle \ approx 2 \ pi \ left (a ^ {2} + c ^ {2} {\ frac {\ operatorname {arctanh} (\ sin (o \! \ varepsilon)))} {\ sin (o \ ! \ varepsilon)}} \ right)}
- elipsoid scalen: {\ displaystyle \ approx 4 \ pi \ left ({\ frac {a ^ {p} b ^ {p} + a ^ {p} c ^ {p} + b ^ {p} c ^ {p}} {3 }} \ dreapta) ^ {1 / p}}
Dacă se utilizează p = 1,6075, există o eroare relativă de peste 1,061% (formula lui Knud Thomsen ); o valoare p = 8/5 = 1,6 este optimă pentru elipsoizii aproape sferici și are o eroare relativă mai mică de 1,178% (formula lui David W. Cantrell ).
Manipulări liniare
Dacă aplicați o transformare liniară inversabilă unei sfere, obțineți un elipsoid; ca o consecință a teoremei spectrale acest elipsoid poate fi redus la forma standard.
Intersecția unui elipsoid cu un plan poate fi fie setul gol , fie un set care conține un singur punct, fie o elipsă.
Dimensiuni superioare
Un elipsoid în mai mult de 3 dimensiuni poate fi definit și ca o imagine a unei hipersfere care suferă o transformare liniară inversabilă. Teorema spectrală garantează încă posibilitatea obținerii unei ecuații standard a formei
- {\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} + {t ^ {2} \ over d ^ {2}} = 1} .
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe