Emisferele din Magdeburg

Emisferele originale și pompa de vid a lui von Guericke expuse la Deutsches Museum

Emisferele Magdeburg sunt un dispozitiv experimental creat în 1650 de către fizicianul german Otto von Guericke , conceput pentru a demonstra existența vidului și efectele presiunii atmosferice .

În configurația vremii, era o pereche de emisfere din alamă cu margini perfect potrivite și prevăzute cu un guler pentru a bloca mișcările tangențiale. Odată uniți, a fost posibil să se extragă aerul din interiorul sferei pe care au constituit-o și, odată ce s-a creat vidul , a fost imposibil să le separe chiar folosind forța a două rânduri de cai care trag în direcții opuse.

Emisferele originale sunt păstrate la Deutsches Museum din München .

Descriere

Emisferele au un diametru intern de aproximativ 60 de centimetri. Unul dintre ele are un furtun cu o supapă de închidere, care este conectat la pompă. Când aerul este extras și supapa este închisă, tubul poate fi detașat și emisferele rămân sudate împreună datorită presiunii atmosferice. Forța care îi menține în poziție este egală cu aria descrisă de marginea lor interioară (care pentru un cerc cu diametrul de 60 de centimetri este de aproximativ 0,2 m²), înmulțită cu diferența de presiune dintre interior și exterior (și mai mult, teoretic, egală cu presiunea atmosferică, care pe o suprafață de 1 m² exercită o forță de aproximativ 10.000 kg _f ; prin urmare, în cazul în cauză, aproximativ 2000 kg _{f sunt implicați} pe o suprafață de aproximativ 0,2 m²); aceasta implică o forță de aproximativ 20.000 N (fiind 1 kg _f egală cu aproximativ 10 N), echivalentul forței necesare pentru a trage o mașină sau un elefant mic.

Demonstrație

Demonstrarea acestui experiment necesită utilizarea calculului integral. În aproximarea aerului ca fluid inviscid (non-vâscos) în contactul său cu metalul (neted) al emisferelor, cele două emisfere unite sunt comparabile cu o sferă goală supusă doar forțelor normale de suprafață (presiune), imersate într-un fluid pe care are o presiune mai mică în interior (în teorie vidul). Având în vedere dimensiunea sferei care nu este prea mare, aceasta este supusă unei compresii uniforme (de asemenea, datorită unei temperaturi aproximativ constante). Diferența de presiune între interiorul și exteriorul învelișului sferic creează o forță care menține cele două părți împreună. Bineînțeles, doar componentele normale ale planului de contact dintre cele două emisfere acționează activ pentru a le menține împreună (tangențial sfera poate fi deschisă mai ușor, din care adânciturile se potrivesc celor două emisfere; gulerul (garnitura este în schimb necesară pentru a preveni din fizică știm că p = F / S, unde „F” este forța din Newton [N], „p” presiunea din Pascal [Pa] și „S” zona pe care se află forța acționează în metri pătrați [m²] Știm „p” și „S” și vrem să știm „F” $dF=\Delta pdS$ ${\ displaystyle dF = \ Delta pdS}$ ${\ displaystyle dF = \ Delta pdS}$ și luând în considerare numai componentele de-a lungul axei de interes (aici ortogonală la planul de secțiune, adică axa z (celelalte componente sunt echilibrate de forțele interne ale pereților), obținem $dF_{z}=\Delta pdS_{z}$ ${\ displaystyle dF_ {z} = \ Delta pdS_ {z}}$ ${\ displaystyle dF_ {z} = \ Delta pdS_ {z}}$ cu $dS_{z}=cos{\theta }dS$ ${\ displaystyle dS_ {z} = cos {\ theta} dS}$ ${\ displaystyle dS_ {z} = cos {\ theta} dS}$ . În acest moment putem scrie:

F_{z}=\iint _{S}\Delta p\,dS_{z}

{\ displaystyle F_ {z} = \ iint _ {S} \ Delta p \, dS_ {z}}

{\ displaystyle F_ {z} = \ iint _ {S} \ Delta p \, dS_ {z}}

, Cu o aproximare bună $\Delta p$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ este constant pe întreaga suprafață sferică, prin urmare:

F_{z}=\Delta p\iint _{S}\cos {\theta }\,dS

{\ displaystyle F_ {z} = \ Delta p \ iint _ {S} \ cos {\ theta} \, dS}

{\ displaystyle F_ {z} = \ Delta p \ iint _ {S} \ cos {\ theta} \, dS}

Trecând de la coordonatele carteziene la cele sferice, avem asta $dS=Jd\theta d\phi$ ${\ displaystyle dS = Jd \ theta d \ phi}$ ${\ displaystyle dS = Jd \ theta d \ phi}$ , unde J este Jacobianul transformării și în acest caz este egal cu $R^{2}sin{\theta }$ ${\ displaystyle R ^ {2} sin {\ theta}}$ ${\ displaystyle R ^ {2} sin {\ theta}}$ cu „R” raza internă a sferei. Prin urmare, obținem:

F_{z}=\Delta p\iint _{S}\cos {\theta }\,dS=\Delta p\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi /2}R^{2}sin{\theta }cos{\theta }\,d\theta

{\ displaystyle F_ {z} = \ Delta p \ iint _ {S} \ cos {\ theta} \, dS = \ Delta p \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, d \ phi \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} R ^ {2} sin {\ theta} cos {\ theta} \, d \ theta}

{\ displaystyle F_ {z} = \ Delta p \ iint _ {S} \ cos {\ theta} \, dS = \ Delta p \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, d \ phi \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} R ^ {2} sin {\ theta} cos {\ theta} \, d \ theta}

Eliminând constantele și folosind formula de duplicare a sânilor (rezultată din alegerea tăierii sferei în două capace identice), putem scrie:

F_{z}={\frac {R^{2}\Delta p}{4}}\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi /2}sin{2\theta }\,d2\theta ={\frac {R^{2}\Delta p}{4}}2\pi [-\cos {\pi }+\cos {0}]=\pi R^{2}\Delta p

{\ displaystyle F_ {z} = {\ frac {R ^ {2} \ Delta p} {4}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, d \ phi \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} sin {2 \ theta} \, d2 \ theta = {\ frac {R ^ {2} \ Delta p} {4}} 2 \ pi [- \ cos {\ pi} + \ cos {0 }] = \ pi R ^ {2} \ Delta p}

{\ displaystyle F_ {z} = {\ frac {R ^ {2} \ Delta p} {4}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, d \ phi \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} sin {2 \ theta} \, d2 \ theta = {\ frac {R ^ {2} \ Delta p} {4}} 2 \ pi [- \ cos {\ pi} + \ cos {0 }] = \ pi R ^ {2} \ Delta p}

adică un rezultat previzibil în ipoteza unui fluid inviscid: produsul dintre diferența de presiune și aria cercului interior maxim, a cărui circumferință coincide cu punctele de contact dintre cele două emisfere goale. Dacă luăm în considerare două emisfere mai mici decât cele din Magdeburg, de exemplu, cu o rază internă de 10 cm și, după unirea lor, putem aduce presiunea internă la 0,2 atm, o vom avea, presupunând că ne aflăm în condiții atmosferice standard:

F_{z}=\pi R^{2}\Delta p=\pi *0.1^{2}*0.8*1.013*10^{5}{\tilde {=}}2545N

{\ displaystyle F_ {z} = \ pi R ^ {2} \ Delta p = \ pi * 0.1 ^ {2} * 0.8 * 1.013 * 10 ^ {5} {\ tilde {=}} 2545N}

{\ displaystyle F_ {z} = \ pi R ^ {2} \ Delta p = \ pi * 0.1 ^ {2} * 0.8 * 1.013 * 10 ^ {5} {\ tilde {=}} 2545N}

care corespund la aproximativ 260 kg _F.

Experimentul

Ilustrație de Gaspar Schott despre experimentul emisferelor Magdeburg

Von Guericke a efectuat experimentul emisferelor la 8 mai 1654 la Regensburg în prezența Reichstagului și a împăratului Ferdinand al III-lea ; cu acea ocazie au fost folosiți 30 de cai, împărțiți în două grupuri de 15, care nu puteau împărți emisferele până când valva nu a fost redeschisă și astfel a fost eliminat vidul. În 1656 s- a repetat cu 16 cai în orașul său natal, Magdeburg , al cărui primar era. Gaspar Schott a fost primul care a descris experimentul în cartea Mechanica Hydraulico-Pneumatica din 1657 . În 1663 a avut loc o altă demonstrație cu 24 de cai la Berlin , la care a participat Frederick William I de Brandenburg .

Experimentul a fost raportat de von Guericke însuși în lucrarea sa Experimenta nova, ut vocant, Magdeburgica de vacuo spatio din 1672 , de unde și numele păstrat de emisferele sale.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe emisferele Magdeburg

linkuri externe

Cele două emisfere din Magdeburg în analiza lui Jean-Marc Lévy-Leblond
(EN) Emisferele Magdeburg , pe physics.kenyon.edu.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica