Energie kinetică

Vagoanele unui roller coaster ating energia maximă cinetică atunci când se află la sfârșitul căii. Pe măsură ce încep să crească, energia cinetică începe să fie transformată în energie potențială gravitațională. Suma energiei cinetice și potențiale din sistem rămâne constantă, ignorând pierderile prin frecare.

Energia cinetică este energia unui organism posedă datorită propriei sale de circulație . Prin teorema energia cinetică , energia cinetică a unui corp este echivalentă cu munca necesară pentru a accelera corpul de la zero de viteză la viteza și este egală cu munca necesară pentru a încetini organismul de la aceeași viteză la viteza zero. Unitatea de măsură a energiei cinetice în sistemul internațional este Joule .

Descriere

În mecanica newtoniană , evaluăm energia cinetică $E_{\rm {c}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ a unei particule de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care, într-un caz simplu, se mișcă pe o linie dreaptă conform legii orare $x=x(t)$ ${\ displaystyle x = x (t)}$ ${\ displaystyle x = x (t)}$ , cu viteză $v=v(t)={\mathrm {d} }x/{\mathrm {d} }t$ ${\ displaystyle v = v (t) = {\ mathrm {d}} x / {\ mathrm {d}} t}$ ${\ displaystyle v = v (t) = {\ mathrm {d}} x / {\ mathrm {d}} t}$ . $E_{\rm {c}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ va fi definit după cum urmează:

E_{\rm {c}}=\int _{x_{0}}^{x}F(x){\mathrm {d} }x

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) {\ mathrm {d}} x}

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) {\ mathrm {d}} x}

unde este $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ denotă punctul în care particula are viteză zero într-un anumit moment $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ punctul în care particula are viteză $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , instantaneu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , Și $F(x){\mathrm {d} }x$ ${\ displaystyle F (x) {\ mathrm {d}} x}$ ${\ displaystyle F (x) {\ mathrm {d}} x}$ reprezintă munca elementară realizată cu forța $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în deplasarea particulei de ${\mathrm {d} }x$ ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} x}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} x}$ , din punct de vedere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ până la punctul $x+{\mathrm {d} }x$ ${\ displaystyle x + {\ mathrm {d}} x}$ ${\ displaystyle x + {\ mathrm {d}} x}$ .

Pentru al doilea principiu al dinamicii, avem ${\mathrm {d} }p/{\mathrm {d} }t=F$ ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} p / {\ mathrm {d}} t = F}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {d}} p / {\ mathrm {d}} t = F}$ , unde este $p=mv$ ${\ displaystyle p = mv}$ ${\ displaystyle p = mv}$ este impulsul particulei.

Urmează:

{\begin{aligned}E_{\rm {c}}&=\int _{x_{0}}^{x}F(x)\mathrm {d} x=\int _{x_{0}}^{x}\left({\frac {{\mathrm {d} }p}{{\mathrm {d} }t}}\right){\mathrm {d} }x\\&=\int _{x_{0}}^{x}m\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\mathrm {d} }x=m\int _{0}^{v}{\mathrm {d} }v\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)\\&=m\int _{0}^{v}v{\,}{\mathrm {d} }v={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ rm {c}} & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {x_ { 0}} ^ {x} \ left ({\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x \\ & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} m \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x = m \ int _ {0} ^ {v} {\ mathrm {d}} v \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) \\ & = m \ int _ {0} ^ {v} v {\,} {\ mathrm {d}} v = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} E _ {\ rm {c}} & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} F (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {x_ { 0}} ^ {x} \ left ({\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x \\ & = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} m \ left ({\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ mathrm {d}} x = m \ int _ {0} ^ {v} {\ mathrm {d}} v \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) \\ & = m \ int _ {0} ^ {v} v {\,} {\ mathrm {d}} v = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \ end {align}}}

Pentru un punct material , energia cinetică poate fi întotdeauna exprimată în totalitate de semifabricatul din ei masa ori pătratul modulul său de viteză ; ^[1] , în cazul mai general de mișcare în trei dimensiuni, și cu ajutorul unui sistem de coordonate cartezian , energia cinetică este exprimată ca:

E_{\rm {c}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2})}

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2})}

Energia cinetică a unui corp rigid , cu simetrie axială , rotatie in jurul axei de simetrie cu viteza unghiulară $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ și care se mișcă în spațiu cu viteză $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ (viteza centrului de masă) este dată de suma energiei cinetice de translație, definită anterior și de energia cinetică de rotație:

E_{\rm {c}}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}}

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa totală a corpului e $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ momentul de inerție în raport cu axa de rotație.

Valoarea energiei cinetice a unui corp depinde de sistemul de referință inerțial în care este calculat. Pentru teorema vitezei relative Plasarea unui sistem de referință fix și un punct cu viteza v în raport cu sistemul fix, același punct va avea o viteză diferită în ceea ce privește un alt sistem de referință în mișcare, prin urmare , valoarea energiei cinetice se va schimba , de asemenea.

O relație utilă între energia cinetică $E_{\rm {c}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ rm {c}}}$ și modulul de impuls $p={\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}$ ${\ displaystyle p = {\ sqrt {p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle p = {\ sqrt {p_ {x} ^ {2} + p_ {y} ^ {2} + p_ {z} ^ {2}}}}$ este dat de următoarea relație:

E_{\rm {c}}={\frac {p^{2}}{2m}}\quad \Rightarrow \quad p={\sqrt {2mE_{\rm {c}}}}

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ quad \ Rightarrow \ quad p = {\ sqrt {2mE _ {\ rm {c}}}} }

{\ displaystyle E _ {\ rm {c}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ quad \ Rightarrow \ quad p = {\ sqrt {2mE _ {\ rm {c}}}} }

În anumite cazuri, poate fi util să se definească o energie cinetică specifică $\epsilon _{\rm {c}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}}}$ , definită ca energie cinetică pe unitate de volum:

\epsilon _{\rm {c}}={\frac {{\mathrm {d} }E_{\rm {c}}}{{\mathrm {d} }V}}={\frac {1}{2}}{\frac {{\mathrm {d} }m}{{\mathrm {d} }V}}v^{2}={\frac {1}{2}}\rho v^{2}

{\ displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} E _ {\ rm {c}}} {{\ mathrm {d}} V}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} m} {{\ mathrm {d}} V}} v ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2}}

{\ displaystyle \ epsilon _ {\ rm {c}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} E _ {\ rm {c}}} {{\ mathrm {d}} V}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} m} {{\ mathrm {d}} V}} v ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2}}

Exprimarea în coordonate generalizate

Același subiect în detaliu: Generalizat coordonate .

În analitice (non-relativiste) mecanica este posibilă extinderea conceptului de energie cinetică, menținând în același timp aspectul specific al funcției dependente de modulul pătrat al vitezei .

Pentru a face acest lucru, este necesar să se treacă de obicei coordonate carteziene unui sistem de coordonate generic: acestea sunt , prin urmare ,

\mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{n}(t))

{\ displaystyle \ mathbf {q} (t) = (q_ {1} (t), q_ {2} (t), ..., q_ {n} (t))}

{\ mathbf {q}} (t) = (q_ {1} (t), q_ {2} (t), ..., q_ {n} (t))

coordonatele generalizate, tot timpul dependente. Aceste coordonate identifică poziția unui punct material într - un spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional numit spațiu de configurare . Prin formalizarea conceptului, funcția este definită

\mathbf {q} :\mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,

{\ displaystyle \ mathbf {q}: \ mathbb {R} \ to {\ mathcal {C}} \ ,,}

{\ mathbf q}: \ mathbb {R} \ to {\ mathcal C} \ ,,

adică, care trimite un număr real în spațiul de configurare și care descrie traiectoria particulelor în spațiu. Trebuie remarcat faptul că nu vorbim despre traiectoriile particulei în spațiu-timp, ci în spațiul configurațiilor. O schimbare de coordonate este apoi o funcție

\mathbf {x} :{\mathcal {C}}\times \mathbb {R} \to {\mathcal {C}}\,,\qquad \mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {q} (t),t)

{\ displaystyle \ mathbf {x}: {\ mathcal {C}} \ times \ mathbb {R} \ to {\ mathcal {C}} \ ,, \ qquad \ mathbf {x} = \ mathbf {x} (\ mathbf {q} (t), t)}

{\ displaystyle \ mathbf {x}: {\ mathcal {C}} \ times \ mathbb {R} \ to {\ mathcal {C}} \ ,, \ qquad \ mathbf {x} = \ mathbf {x} (\ mathbf {q} (t), t)}

în general , depinde atât poziția vectorului și timpul, cu anumite caracteristici (un Difeomorfism ), care exprimă relația existentă între coordonatele vechi și cele noi.

Introducem energia cinetică

E_{c}(v^{2})={\frac {m}{2}}v^{2}

{\ displaystyle E_ {c} (v ^ {2}) = {\ frac {m} {2}} v ^ {2}}

E_ {c} (v ^ {2}) = {\ frac {m} {2}} v ^ {2}

care în acest moment are o formă diferită de cea utilizată de obicei: diferența derivă din noua formă pe care o ia viteza, care, deși este ca de obicei definită de

\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}},}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}},}

de data aceasta este o funcție compusă, atunci

\mathbf {v} (\mathbf {q} (t),t)={\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}(\mathbf {q} (t),t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}(\mathbf {q} (t),t)\cdot {\dot {q}}_{i}(t)+{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}(\mathbf {q} (t),t)\,.

{\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {q} (t), t) = {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {x}} {\ operatorname {d} t}} (\ mathbf {q } (t), t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} (\ mathbf {q} (t) , t) \ cdot {\ dot {q}} _ {i} (t) + {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} (\ mathbf {q} (t), t) \,.}

{\ mathbf {v}} ({\ mathbf {q}} (t), t) = {\ frac {\ operatorname {d} {\ mathbf {x}}} {\ operatorname {d} t}} ({ \ mathbf {q}} (t), t) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {\ partial {\ mathbf {x}}} {\ partial q_ {i}}} ({\ mathbf {q}} (t), t) \ cdot {\ dot {q}} _ {i} (t) + {\ frac {\ partial {\ mathbf {x}}} {\ partial t} } ({\ mathbf {q}} (t), t) \,.

Prin calcularea în mod explicit energia cinetică datorită liniaritatea și simetrie proprietăți ale standardului produsului scalar , avem

{\begin{aligned}(E_{c})&={\frac {m}{2}}\langle \mathbf {v} \,,\mathbf {v} \rangle =\\&={\frac {m}{2}}\left\{\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\cdot {\dot {q}}_{j}\right\rangle +2\left\langle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\cdot {\dot {q}}_{i}\,,{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \right\}=\\&={\frac {m}{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle {\dot {q}}_{j}+2\sum _{i=1}^{n}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle {\dot {q}}_{i}+\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\right\}=\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{c})_{(0)}\,.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (E_ {c}) & = {\ frac {m} {2}} \ langle \ mathbf {v} \ ,, \ mathbf {v} \ rangle = \\ & = { \ frac {m} {2}} \ left \ {\ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {j}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle +2 \ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} \ right \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} \ right \ rangle \ right \} = \\ & = {\ frac {m} {2}} \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {j}}} \ right \ rangle {\ punct {q}} _ {j} +2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}, { \ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} \ right \ rangle {\ dot {q}} _ {i} + \ left \ | {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} { \ parțial t}} \ right \ | ^ {2} \ right \} = \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q} } _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} \ ,. \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} (E_ {c}) & = {\ frac {m} {2}} \ langle \ mathbf {v} \ ,, \ mathbf {v} \ rangle = \\ & = { \ frac {m} {2}} \ left \ {\ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {j}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle +2 \ left \ langle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} \ ,, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} \ right \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} \ right \ rangle \ right \} = \\ & = {\ frac {m} {2}} \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {j}}} \ right \ rangle {\ punct {q}} _ {j} +2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}, { \ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} \ right \ rangle {\ dot {q}} _ {i} + \ left \ | {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} { \ parțial t}} \ right \ | ^ {2} \ right \} = \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q} } _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} \ ,. \ end {aliniat}}}

Astfel , am obținut o formă pătratică prin efectuarea substituțiilor

H_{ij}(E_{c})_{(0)}={\frac {m}{2}}\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{j}}}\right\rangle \,,\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}=m\left\langle {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}},{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\rangle \,,\quad (E_{c})_{(0)}={\frac {m}{2}}\left\|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right\|^{2}\,.

{\ displaystyle H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} = {\ frac {m} {2}} \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {j}}} \ right \ rangle \ ,, \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0 )} = m \ left \ langle {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}, {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}} \ right \ rangle \ ,, \ quad (E_ {c}) _ {(0)} = {\ frac {m} {2}} \ left \ | {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t }} \ right \ | ^ {2} \,.}

H _ {{ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} = {\ frac {m} {2}} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathbf {x}}} {\ partial q_ {i}}}, {\ frac {\ partial {\ mathbf {x}}} {\ partial q_ {j}}} \ right \ rangle \ ,, \ nabla _ {i} (E_ {c }) _ {{(0)}} = m \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathbf {x}}} {\ partial q_ {i}}}, {\ frac {\ partial {\ mathbf { x}}} {\ partial t}} \ right \ rangle \ ,, \ quad (E_ {c}) _ {{(0)}} = {\ frac {m} {2}} \ left \ | {\ frac {\ partial {\ mathbf {x}}} {\ partial t}} \ right \ | ^ {2} \,.

Rezultatul este cu adevărat remarcabil dacă luăm în considerare generalitatea de la care am pornit în discuție: a fost suficient să oferim unele condiții de regularitate (de obicei verificate în cazul condițiilor fizice) pentru a obține o formulă care extinde cea a utilizării comune. În cazul în care este o particulă liberă, prin urmare, putem scrie imediat Lagrangianului :

$(\mathbf {F} =\nabla U=0\rightarrow U(q_{i})=U)$ ${\ displaystyle (\ mathbf {F} = \ nabla U = 0 \ rightarrow U (q_ {i}) = U)}$ $({\ mathbf F} = \ nabla U = 0 \ rightarrow U (q_ {i}) = U)$

{\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+((E_{c})_{(0)}-U)\,=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{c})_{(0)}\,

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ { ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + ((E_ {c}) _ {(0)} - U) \, = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ punct {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q} } _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} \,}

{\ mathcal L} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ { {ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {i} + ((E_ {c}) _ {{(0)}} - U) \, = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ {{ij} } (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ nabla _ {i } (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {{(0)}} \,

în timp ce eventuala prezență a energiei potențiale $U(q_{i})$ ${\ displaystyle U (q_ {i})}$ $U (q_ {i})$ dependent doar de poziție, adaugă doar un termen:

{\mathcal {L}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}+\,\sum _{i=1}^{n}\nabla _{i}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{i}+(E_{c})_{(0)}-U(q_{i})\,.

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ { ij} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {(0)} - U (q_ {i}) \,.}

{\ mathcal L} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ { {ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} + \, \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ nabla _ {i} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {i} + (E_ {c}) _ {{(0)}} - U (q_ {the}) \ ,.

O altă caracteristică interesantă derivă din luarea în considerare a modificărilor coordonatelor independente de timp: în aceste cazuri energia cinetică devine pur și simplu un caz particular al celei deja găsite mai sus

T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\,H_{ij}(E_{c})_{(0)}\,{\dot {q}}_{j}\,,

{\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H_ {ij} (E_ {c }) _ {(0)} \, {\ dot {q}} _ {j} \ ,,}

T = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} {\ dot {q}} _ {i} \, H _ {{ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}} \, {\ dot {q}} _ {j} \ ,,

dar din moment coordonate vectorors ale spațiului de configurare sunt prin definiție

\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}\,,\;\forall \,i=1,2,\ldots ,n\,,

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} \ ,, \; \ forall \, i = 1,2, \ ldots, n \ ,,}

{\ mathbf e} _ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathbf x}} {\ partial q_ {i}}} \ ,, \; \ forall \, i = 1,2, \ ldots, n \ ,,

coeficienții $H_{ij}(E_{c})_{(0)}$ ${\ displaystyle H_ {ij} (E_ {c}) _ {(0)}}$ $H _ {{ij}} (E_ {c}) _ {{(0)}}$ ele constituie o matrice pătrată care reprezintă produsul scalar cu privire la ales baza de coordonate .

Extensia naturală la un sistem format din mai multe puncte se realizează prin atribuirea fiecăruia dintre ele a unui vector viteză și a unui vector de poziție: deci pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ se produc particule libere $2k$ ${\ displaystyle 2k}$ $2k$ transportatori, fiecare dintre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonatele și apoi procedăm așa cum am făcut pentru particula unică, obținând rezultatul că energia cinetică totală este suma energiilor cinetice ale particulelor unice:

T=\sum _{i=1}^{k}(E_{c})_{i}\,.

{\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (E_ {c}) _ {i} \,.}

T = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} (E_ {c}) _ {i} \,.

Mecanica relativistă

În mecanica relativistă a lui Einstein (utilizată în special la viteze apropiate de viteza luminii), masa este întotdeauna constantă, dar lucrarea necesară pentru a aduce o particulă de masă (adecvată) m inițial în repaus la o viteză v nu depinde de pătratul de viteza ca în cazul clasic, într-adevăr divergă de $v\rightarrow c$ ${\ displaystyle v \ rightarrow c}$ $v \ rightarrow c$ . Locuri:

$v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ modulul viteza corpului, $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii în vid,

$m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ masa invariantă a corpului,

$mc^{2}$ ${\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc ^ {2}$ energia corpului în repaus e $\gamma mc^{2}$ ${\ displaystyle \ gamma mc ^ {2}}$ $\ gamma mc ^ {2}$ energia corpului în mișcare

de lucru W necesară pentru a accelera o particulă de masă m inițial în repaus la o viteza v este egal cu:

W=\Delta E_{c}=\gamma mc^{2}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}

{\ displaystyle W = \ Delta E_ {c} = \ gamma mc ^ {2} -mc ^ {2} = (\ gamma -1) mc ^ {2}}

W = \ Delta E_ {c} = \ gamma mc ^ {2} -mc ^ {2} = (\ gamma -1) mc ^ {2}

in care $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este factorul Lorentz :

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}}}

\ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}}}

Extinderea în serie Taylor pentru mici ${\textstyle {\frac {v}{c}}}$ ${\ textstyle {\ frac {v} {c}}}$ ${\ textstyle {\ frac {v} {c}}}$ :

{\begin{aligned}W&=(\gamma -1)mc^{2}\\&=\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)mc^{2}\\&=\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}+\cdots -1\right)mc^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+\cdots \\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W & = (\ gamma -1) mc ^ {2} \\ & = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}}}}} - 1 \ dreapta) mc ^ {2} \\ & = \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} + \ cdots -1 \ right) mc ^ { 2} \\ & = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} m {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {2}} } + \ cdots \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} W & = (\ gamma -1) mc ^ {2} \\ & = \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}}}}} - 1 \ dreapta) mc ^ {2} \\ & = \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {4}}} + \ cdots -1 \ right) mc ^ { 2} \\ & = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} m {\ frac {v ^ {4}} {c ^ {2}} } + \ cdots \\\ end {align}}}

Dezvoltarea seriei arată clar că pentru valori mici ale vitezei $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ toți termenii deasupra primului sunt neglijabili, iar seria preia valoarea

W={\frac {1}{2}}mv^{2}

{\ displaystyle W = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}

W = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}

care, ținând seama de viteza inițială de zero, este tocmai expresia teorema energiei cinetice în mecanica clasică. Formula lui Einstein generalizează astfel energia cinetică la viteze mari.

Este imediat de la dezvoltarea în serie să observăm că atunci când $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ raportul dintre energia cinetică relativistă și energia newtoniană dat de tinde la 0 $mv^{2}/2$ ${\ displaystyle mv ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle mv ^ {2} / 2}$ aproximativ 1:

\lim _{v\rightarrow 0}{\frac {\left(\gamma -1\right)mc^{2}}{{\frac {1}{2}}mv^{2}}}=\lim _{v\rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}+{\mathcal {O}}\left(v^{4}\right)}{{\frac {1}{2}}mv^{2}}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {v \ rightarrow 0} {\ frac {\ left (\ gamma -1 \ right) mc ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = \ lim _ {v \ rightarrow 0} {\ frac {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ mathcal {O}} \ left (v ^ {4} \ right)} { {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = 1}

\ lim _ {{v \ rightarrow 0}} {\ frac {\ left (\ gamma -1 \ right) mc ^ {2}} {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = \ lim _ {{v \ rightarrow 0}} {\ frac {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ mathcal {O}} \ left (v ^ {4} \ right)} {{\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}} = 1

Teoria relativității afirmă că energia cinetică a unui obiect tinde spre infinit pentru viteze care se apropie de viteza luminii și, prin urmare, devine imposibilă accelerarea corpului la acea viteză. Cu alte cuvinte, viteza luminii nu poate fi atinsă de niciun corp material prin accelerație.

Notă

^(EN) IUPAC aur de carte, "energie cinetică"

Bibliografie

C. Mencuccini și V. Silvestrini, Fizică I (Mecanică și termodinamica), 3rd ed., Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0 .
Herbert Goldstein, Mecanică clasică, Zanichelli, 2005.
Robert Resnick, Introducere în teoria relativității speciale, Editura Ambrosiana, 2006 [1979].

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Kinetic Energy , în Enciclopedia Britannica , Encyclopaedia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 28640 · GND (DE) 4163880-3

Portalul Energiei

Portalul de fizică

[1] (EN) IUPAC aur de carte, "energie cinetică"

[1]