Atom de hidrogen

În mecanica cuantică atomul de hidrogen este unul dintre cele mai simple sisteme care pot fi studiate în 3 dimensiuni, deoarece are un nucleu cu proton și are un singur electron . Este exemplul tipic de mișcare într-un câmp central simetric , iar sistemul are proprietăți remarcabile de simetrie.

Masa inerțială a atomului de hidrogen este mai mică decât suma masei protonului și electronului care îl compune, considerată separat, pentru o diferență egală cu cantitatea de energie negativă ascunsă care trebuie furnizată atomului pentru a le separa, și depășește atracția electromagnetică electron-proton care menține atomul împreună, contracarând repulsia dintre masele lor gravitaționale .

Hamiltonian al atomului de hidrogen

Dacă miezul are masă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și taxă $+e$ ${\ displaystyle + e}$ ${\ displaystyle + e}$ cu $Z=1$ ${\ displaystyle Z = 1}$ ${\ displaystyle Z = 1}$ (care este numărul atomic al hidrogenului ) ed $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este sarcina electronului de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și taxă $-e$ ${\ displaystyle -e}$ ${\ displaystyle -e}$ deplasându-se într-un câmp atractiv Coulomb, hamiltonienul său este dat de:

H={\frac {1}{2M}}\left(p_{x,n}^{2}+p_{y,n}^{2}+p_{z,n}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p_{x,e}^{2}+p_{y,e}^{2}+p_{z,e}^{2}\right)-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\sqrt {(x_{n}-x_{e})^{2}+(y_{n}-y_{e})^{2}+(z_{n}-z_{e})^{2}}}}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2M}} \ left (p_ {x, n} ^ {2} + p_ {y, n} ^ {2} + p_ {z, n} ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {2m}} \ left (p_ {x, e} ^ {2} + p_ {y, e} ^ {2} + p_ {z, e} ^ {2} \ dreapta) - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {e ^ {2}} {\ sqrt {(x_ {n} -x_ {e}) ^ {2} + (y_ {n} -y_ {e}) ^ {2} + (z_ {n} -z_ {e}) ^ {2}}}}}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2M}} \ left (p_ {x, n} ^ {2} + p_ {y, n} ^ {2} + p_ {z, n} ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {2m}} \ left (p_ {x, e} ^ {2} + p_ {y, e} ^ {2} + p_ {z, e} ^ {2} \ dreapta) - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {e ^ {2}} {\ sqrt {(x_ {n} -x_ {e}) ^ {2} + (y_ {n} -y_ {e}) ^ {2} + (z_ {n} -z_ {e}) ^ {2}}}}}

unde este indicat cu indicele $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonatele nucleului și cu indicele $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ cele ale electronului, cu $\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon_0$ constanta dielectrică în vid.
Prin urmare, operatorul hamiltonian este:

{\mathcal {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{n}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla _{e}^{2}+V(|\mathbf {r} _{e}-\mathbf {r} _{n}|)

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2M}} \ nabla _ {n} ^ {2} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} { 2m}} \ nabla _ {e} ^ {2} + V (| \ mathbf {r} _ {e} - \ mathbf {r} _ {n} |)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2M}} \ nabla _ {n} ^ {2} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} { 2m}} \ nabla _ {e} ^ {2} + V (| \ mathbf {r} _ {e} - \ mathbf {r} _ {n} |)}

unde este $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ este laplacianul :

\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2 }}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2 }}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}}

Conform teoriei mecanicii cuantice, ecuația Schrödinger dependentă de timp:

{\mathcal {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}}}

admite soluții precum:

\Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}})\cdot e^{-iEt/\hbar }

{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ psi ({\ vec {r}}) \ cdot e ^ {- iEt / \ hbar}}

{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ psi ({\ vec {r}}) \ cdot e ^ {- iEt / \ hbar}}

unde exponențialul este dat de evoluția în timp a funcției de undă $\psi ({\vec {r}})$ ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}})}$ ${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}})}$ , soluția ecuației Schrödinger independente de timp :

{\mathcal {H}}\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ psi ({\ vec {r}}) = E \ psi ({\ vec {r}})}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ psi ({\ vec {r}}) = E \ psi ({\ vec {r}})}

Separarea mișcării centrului de masă și a mișcării relative

Același subiect în detaliu: Mișcarea într-un câmp central și problema cu două corpuri .

Hamiltonianul care descrie sistemul compus din electroni și protoni nu este separabil, adică nu poate fi descompus în mai multe probleme unidimensionale, deoarece potențialul depinde de diferența dintre pozițiile celor două corpuri. Devine necesară reducerea problemei cu două corpuri la două probleme distincte cu un corp decuplat, una descriind mișcarea liberă a centrului de masă și cealaltă descriind mișcarea relativă, care este determinată de un potențial relativ care depinde doar de distanță de la centrul de greutate și, prin urmare, este un potențial central.

Pentru a face acest lucru, se introduc coordonatele:

{\vec {R}}_{CM}={\frac {M{\vec {R}}+m_{e}{\vec {r}}_{e}}{M+m_{e}}}

{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {CM} = {\ frac {M {\ vec {R}} + m_ {e} {\ vec {r}} _ {e}} {M + m_ {e }}}}

{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {CM} = {\ frac {M {\ vec {R}} + m_ {e} {\ vec {r}} _ {e}} {M + m_ {e }}}}

{\vec {r}}={\vec {r}}_{e}-{\vec {R}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {e} - {\ vec {R}}}

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {e} - {\ vec {R}}}

respectiv a centrului de masă și a mișcării relative, în care ${\vec {R}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$ $\ vec {R}$ este coordonata nucleului și ${\vec {r}}_{e}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {e}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {e}}$ a electronului.
Introducerea masei reduse :

\mu ={\frac {Mm}{M+m}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {Mm} {M + m}}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {Mm} {M + m}}}

noul operator hamiltonian devine:

{\mathcal {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2(M+m)}}\nabla _{CM}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(x,y,z)

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 (M + m)}} \ nabla _ {CM} ^ {2} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (x, y, z)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 (M + m)}} \ nabla _ {CM} ^ {2} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (x, y, z)}

Primul termen al hamiltonienului reprezintă energia cinetică a centrului de masă, care depinde doar de coordonată ${\vec {R}}_{CM}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {CM}}$ ${\ displaystyle {\ vec {R}} _ {CM}}$ , al doilea termen reprezintă energia cinetică a masei reduse și al treilea termen energia potențială Coulomb la care este supusă masa redusă. Al doilea și al treilea termen depind doar de coordonată ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec {r}}$ , prin urmare, a fost posibil să se descompună hamiltonienul într-o mișcare a unei particule libere și o mișcare determinată de un potențial central, ambele ușor de rezolvat.

Folosind coordonatele centrului de masă este deci posibil să se factorizeze soluția ecuației Schrödinger într-o funcție de undă a centrului de masă și o funcție de undă a masei reduse:

\psi ({\vec {r}}_{CM},{\vec {r}})=\phi (x_{CM},y_{CM},z_{CM})\cdot \phi (x,y,z)

{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} _ {CM}, {\ vec {r}}) = \ phi (x_ {CM}, y_ {CM}, z_ {CM}) \ cdot \ phi ( x, y, z)}

{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}} _ {CM}, {\ vec {r}}) = \ phi (x_ {CM}, y_ {CM}, z_ {CM}) \ cdot \ phi ( x, y, z)}

Ecuația mișcării centrului de masă

Ecuația pentru mișcarea centrului de masă este derivată din ecuația relativă Schrödinger

{\mathcal {H_{cm}}}\phi ({\vec {r}}_{cm})=E_{cm}\phi ({\vec {r}}_{cm})

{\ displaystyle {\ mathcal {H_ {cm}}} \ phi ({\ vec {r}} _ {cm}) = E_ {cm} \ phi ({\ vec {r}} _ {cm})}

{\ displaystyle {\ mathcal {H_ {cm}}} \ phi ({\ vec {r}} _ {cm}) = E_ {cm} \ phi ({\ vec {r}} _ {cm})}

cu

{\mathcal {H_{cm}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2(M+m)}}\nabla _{cm}^{2}

{\ displaystyle {\ mathcal {H_ {cm}}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 (M + m)}} \ nabla _ {cm} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ mathcal {H_ {cm}}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 (M + m)}} \ nabla _ {cm} ^ {2}}

Soluția generală a acestei ecuații este cea a particulei libere :

\phi _{cm}=Ae^{i{\vec {k}}{\vec {r}}_{cm}}+Be^{-i{\vec {k}}{\vec {r}}_{cm}}

{\ displaystyle \ phi _ {cm} = Ae ^ {i {\ vec {k}} {\ vec {r}} _ {cm}} + Be ^ {- i {\ vec {k}} {\ vec { r}} _ {cm}}}

{\ displaystyle \ phi _ {cm} = Ae ^ {i {\ vec {k}} {\ vec {r}} _ {cm}} + Be ^ {- i {\ vec {k}} {\ vec { r}} _ {cm}}}

adică o undă plană cu energie

E_{cm}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2(M+m)}}

{\ displaystyle E_ {cm} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2 (M + m)}}}

{\ displaystyle E_ {cm} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2 (M + m)}}}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este vectorul de undă .

Ecuația mișcării relative

Același subiect în detaliu: operator de impuls unghiular .

Ecuația Schrödinger a mișcării relative a celor două corpuri este

(2)

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(x,y,z)\right)\phi (x,y,z)=E\phi (x,y,z)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (x, y, z) \ right) \ phi (x, y, z ) = E \ phi (x, y, z)}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ nabla ^ {2} + V (x, y, z) \ right) \ phi (x, y, z ) = E \ phi (x, y, z)}

Din moment ce potențialul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este sferic, putem folosi coordonatele sferice , noul operator hamiltonian devine:

(3)

{\mathcal {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]+V(r)

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac { \ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta }} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right] + V (r)}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac { \ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta }} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right] + V (r)}

Această ecuație poate fi tratată cu ușurință dacă se reconsideră impulsul unghiular orbital ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ în coordonate sferice:

(4)

{\mathcal {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left [{\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right]}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} = - \ hbar ^ {2} \ left [{\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} \ right]}

Deci putem rescrie ecuația Schrödinger pentru particula unică ca:

(5)

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {{\mathcal {L}}^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}\right]+V(r)\right)\phi (r,\theta ,\varphi )=E\phi (r,\theta ,\varphi )

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {{\ mathcal {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ { 2} r ^ {2}}} \ right] + V (r) \ right) \ phi (r, \ theta, \ varphi) = E \ phi (r, \ theta, \ varphi)}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {{\ mathcal {L}} ^ {2}} {\ hbar ^ { 2} r ^ {2}}} \ right] + V (r) \ right) \ phi (r, \ theta, \ varphi) = E \ phi (r, \ theta, \ varphi)}

Soluția acestei ecuații poate fi luată în considerare prin separarea părții radiale de partea unghiulară

(6)

\phi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\cdot \Theta (\theta )\cdot \Phi (\varphi )

{\ displaystyle \ phi (r, \ theta, \ varphi) = R (r) \ cdot \ Theta (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi)}

{\ displaystyle \ phi (r, \ theta, \ varphi) = R (r) \ cdot \ Theta (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi)}

în care partea unghiulară este reprezentată de armonicele sferice :

Y_{lm}(\theta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\theta )\cdot \Phi (\varphi )

{\ displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) = \ Theta _ {lm} (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi)}

{\ displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) = \ Theta _ {lm} (\ theta) \ cdot \ Phi (\ varphi)}

care sunt funcții proprii simultane de proiecție ${\mathcal {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ a momentului unghiular orbital de -a lungul axei z a ${\mathcal {L}}^{2}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2}}$ , unde sunt indicii $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ reprezintă numere cuantice unghiulare și magnetice.

Soluția completă este apoi:

(7)

\phi (r,\theta ,\varphi )=R_{E,l}(r)\cdot Y_{lm}(\theta ,\varphi )

{\ displaystyle \ phi (r, \ theta, \ varphi) = R_ {E, l} (r) \ cdot Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}

{\ displaystyle \ phi (r, \ theta, \ varphi) = R_ {E, l} (r) \ cdot Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}

Ecuația radială

Partea radială este o ecuație unidimensională a particulei unice cu masă mică $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ trecând la un potențial efectiv. Pentru a-și găsi expresia, scriem ecuația radială de Schrödinger

(8)

\left(-{\frac {1}{2\mu }}\left[{\frac {\hbar ^{2}}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d}{dr}}\right)-{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{r^{2}}}\right]+V(r)\right)R_{E,l}(r)=E\cdot R_{E,l}(r)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {1} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr} } \ left (r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} \ right) - {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right ] + V (r) \ right) R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {1} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr} } \ left (r ^ {2} {\ frac {d} {dr}} \ right) - {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right ] + V (r) \ right) R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

unde este $l(l+1)\hbar ^{2}$ ${\ displaystyle l (l + 1) \ hbar ^ {2}}$ ${\ displaystyle l (l + 1) \ hbar ^ {2}}$ sunt valorile proprii ale momentului unghiular orbital ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ . Vezi asta $R_{E,l}$ ${\ displaystyle R_ {E, l}}$ ${\ displaystyle R_ {E, l}}$ depinde și de $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ dar nu din $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , de fapt operatorul nu apare ${\mathcal {L}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {z}}$ .

Prin urmare, ecuația radială (8) poate fi rescrisă

(9)

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d}{dr}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\right]+V_{eff}\right)R_{E,l}(r)=E\cdot R_{E,l}(r)

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left ( r {\ frac {d} {dr}} \ right) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ right] + V_ {eff} \ right) R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ left ( r {\ frac {d} {dr}} \ right) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dr}} \ right] + V_ {eff} \ right) R_ {E, l} (r) = E \ cdot R_ {E, l} (r)}

unde cu

V_{eff}={\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}

{\ displaystyle V_ {eff} = {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {e ^ {2}} {r}}}

{\ displaystyle V_ {eff} = {\ frac {l (l + 1) \ hbar ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {e ^ {2}} {r}}}

este indicat potențialul efectiv ; primul termen este potențialul centrifugal. Introducerea variabilelor adimensionale:

\lambda ={\frac {1}{\sqrt {-2{\frac {\mu E}{\hbar ^{2}}}}}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {1} {\ sqrt {-2 {\ frac {\ mu E} {\ hbar ^ {2}}}}}}}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {1} {\ sqrt {-2 {\ frac {\ mu E} {\ hbar ^ {2}}}}}}}

Și

\rho ={\frac {2r}{\lambda }}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {2r} {\ lambda}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {2r} {\ lambda}}}

atunci ecuația radială (9) este rescrisă mai simplu:

(10)

{\frac {d^{2}R_{E,l}}{d\rho ^{2}}}+{\frac {2}{\rho }}{\frac {dR_{E,l}}{d\rho }}+\left[-{\frac {l(l+1)}{\rho ^{2}}}+{\frac {\lambda }{\rho }}-{\frac {1}{4}}\right]R_{E,l}(\rho )=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R_ {E, l}} {d \ rho ^ {2}}} + {\ frac {2} {\ rho}} {\ frac {dR_ {E, l }} {d \ rho}} + \ left [- {\ frac {l (l + 1)} {\ rho ^ {2}}} + {\ frac {\ lambda} {\ rho}} - {\ frac {1} {4}} \ right] R_ {E, l} (\ rho) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R_ {E, l}} {d \ rho ^ {2}}} + {\ frac {2} {\ rho}} {\ frac {dR_ {E, l }} {d \ rho}} + \ left [- {\ frac {l (l + 1)} {\ rho ^ {2}}} + {\ frac {\ lambda} {\ rho}} - {\ frac {1} {4}} \ right] R_ {E, l} (\ rho) = 0}

Pentru a rezolva această ecuație vedem comportamentul asimptotic.

Pentru $\rho \to 0$ ${\ displaystyle \ rho \ to 0}$ $\ rho \ la 0$ avem:

(11)

{\frac {d^{2}R}{d\rho ^{2}}}+{\frac {2}{\rho }}{\frac {dR}{d\rho }}-{\frac {l(l+1)}{\rho ^{2}}}R=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R} {d \ rho ^ {2}}} + {\ frac {2} {\ rho}} {\ frac {dR} {d \ rho}} - { \ frac {l (l + 1)} {\ rho ^ {2}}} R = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R} {d \ rho ^ {2}}} + {\ frac {2} {\ rho}} {\ frac {dR} {d \ rho}} - { \ frac {l (l + 1)} {\ rho ^ {2}}} R = 0}

și căutăm soluțiile formei:

(12)

R(\rho )=C\cdot \rho ^{s}

{\ displaystyle R (\ rho) = C \ cdot \ rho ^ {s}}

{\ displaystyle R (\ rho) = C \ cdot \ rho ^ {s}}

pe care îl înlocuiți în (11) dați ecuația:

(13)

s(s-1)+2s-l(l+1)=0\

{\ displaystyle s (s-1) + 2s-l (l + 1) = 0 \}

{\ displaystyle s (s-1) + 2s-l (l + 1) = 0 \}

aceasta este o soluție:

s_{1}=-(l+1)\

{\ displaystyle s_ {1} = - (l + 1) \}

{\ displaystyle s_ {1} = - (l + 1) \}

ceea ce nu este acceptabil deoarece duce la o funcție de sine divergentă în origine și la o soluție

s_{2}=l\

{\ displaystyle s_ {2} = l \}

{\ displaystyle s_ {2} = l \}

asa de:

(14)

R(\rho )\simeq \rho ^{l}\,\,\,\,\rho \to 0

{\ displaystyle R (\ rho) \ simeq \ rho ^ {l} \, \, \, \, \ rho \ to 0}

{\ displaystyle R (\ rho) \ simeq \ rho ^ {l} \, \, \, \, \ rho \ to 0}

Pentru $\rho \to \infty$ ${\ displaystyle \ rho \ to \ infty}$ ${\ displaystyle \ rho \ to \ infty}$ avem că (10) devine:

(15)

{\frac {d^{2}R}{d\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}R=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R} {d \ rho ^ {2}}} - {\ frac {1} {4}} R = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R} {d \ rho ^ {2}}} - {\ frac {1} {4}} R = 0}

cu soluție imediată:

(16)

R(\rho )=e^{\pm \rho /2}

{\ displaystyle R (\ rho) = e ^ {\ pm \ rho / 2}}

{\ displaystyle R (\ rho) = e ^ {\ pm \ rho / 2}}

dintre care doar soluția cu semn negativ este acceptabilă deoarece cealaltă soluție divergă în loc să meargă la zero. Deci, combinând (14) și (15) pentru soluția asimptotică, avem:

(17)

R(\rho )=\rho ^{l}\cdot e^{-\rho /2}\omega (\rho )

{\ displaystyle R (\ rho) = \ rho ^ {l} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ omega (\ rho)}

{\ displaystyle R (\ rho) = \ rho ^ {l} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ omega (\ rho)}

unde este $\omega (\rho )$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ este o funcție care urmează să fie determinată care merge la infinit nu mai repede decât o putere de $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ și trebuie să se fi terminat în origine.

Pentru a căuta funcția $\omega (\rho )$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ substituim (17) în (10) și executăm derivatele:

{\frac {dR}{d\rho }}=\rho ^{l-1}\cdot e^{-\rho /2}\left[l\omega -{\frac {1}{2}}\rho \omega +\rho \omega '\right]

{\ displaystyle {\ frac {dR} {d \ rho}} = \ rho ^ {l-1} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ left [l \ omega - {\ frac {1} {2 }} \ rho \ omega + \ rho \ omega '\ right]}

{\ displaystyle {\ frac {dR} {d \ rho}} = \ rho ^ {l-1} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ left [l \ omega - {\ frac {1} {2 }} \ rho \ omega + \ rho \ omega '\ right]}

{\frac {d^{2}R}{d\rho ^{2}}}=\rho ^{l-2}\cdot e^{-\rho /2}\left[\rho ^{2}\omega ''+(2l-\rho )\rho \omega '+\left(l(l-1)-l\rho +{\frac {1}{4}}\rho ^{2}\right)\omega \right]

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R} {d \ rho ^ {2}}} = \ rho ^ {l-2} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ left [\ rho ^ {2} \ omega '' + (2l- \ rho) \ rho \ omega '+ \ left (l (l-1) -l \ rho + {\ frac {1} {4}} \ rho ^ {2} \ right) \ omega \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} R} {d \ rho ^ {2}}} = \ rho ^ {l-2} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ left [\ rho ^ {2} \ omega '' + (2l- \ rho) \ rho \ omega '+ \ left (l (l-1) -l \ rho + {\ frac {1} {4}} \ rho ^ {2} \ right) \ omega \ right]}

și obținem ecuația pentru $\omega (\rho )$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ :

(18)

\rho \omega ''+(2l+2-\rho )\omega '+(\lambda -l-1)\omega =0\

{\ displaystyle \ rho \ omega '' + (2l + 2- \ rho) \ omega '+ (\ lambda -l-1) \ omega = 0 \}

{\ displaystyle \ rho \ omega '' + (2l + 2- \ rho) \ omega '+ (\ lambda -l-1) \ omega = 0 \}

Căutăm o soluție pe serii, adică să spunem:

(19)

\omega (\rho )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\rho ^{k}

{\ displaystyle \ omega (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} \ rho ^ {k}}

{\ displaystyle \ omega (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} \ rho ^ {k}}

și înlocuim în (18) pentru a determina coeficienții $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ :

\sum _{k=0}^{\infty }\left[a_{k+1}k(k+1)+(2l+2)(k+1)a_{k+1}-ka_{k}+(\lambda -l-1)a_{k}\right]\rho ^{k}=0

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left [a_ {k + 1} k (k + 1) + (2l + 2) (k + 1) a_ {k + 1} -ka_ {k} + (\ lambda -l-1) a_ {k} \ right] \ rho ^ {k} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left [a_ {k + 1} k (k + 1) + (2l + 2) (k + 1) a_ {k + 1} -ka_ {k} + (\ lambda -l-1) a_ {k} \ right] \ rho ^ {k} = 0}

și această ecuație este satisfăcută numai dacă:

a_{k+1}={\frac {k-\lambda +l+1}{(k+1)(k+2l+2)}}a_{k}

{\ displaystyle a_ {k + 1} = {\ frac {k- \ lambda + l + 1} {(k + 1) (k + 2l + 2)}} a_ {k}}

{\ displaystyle a_ {k + 1} = {\ frac {k- \ lambda + l + 1} {(k + 1) (k + 2l + 2)}} a_ {k}}

Comportamentul asimptotic la infinit al acestei ecuații recursive este:

{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\sim {\frac {1}{k}}

{\ displaystyle {\ frac {a_ {k + 1}} {a_ {k}}} \ sim {\ frac {1} {k}}}

{\ displaystyle {\ frac {a_ {k + 1}} {a_ {k}}} \ sim {\ frac {1} {k}}}

astfel încât să putem scrie:

a_{k+1}\simeq {\frac {a_{0}}{k!}}

{\ displaystyle a_ {k + 1} \ simeq {\ frac {a_ {0}} {k!}}}

{\ displaystyle a_ {k + 1} \ simeq {\ frac {a_ {0}} {k!}}}

și așa în cele din urmă soluția pentru $\omega (\rho )$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ :

(20)

\omega (\rho )=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\rho ^{k}\simeq a_{0}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{k}}{k!}}\simeq a_{0}e^{\rho }

{\ displaystyle \ omega (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} \ rho ^ {k} \ simeq a_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ rho ^ {k}} {k!}} \ simeq a_ {0} e ^ {\ rho}}

{\ displaystyle \ omega (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} \ rho ^ {k} \ simeq a_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ rho ^ {k}} {k!}} \ simeq a_ {0} e ^ {\ rho}}

Cu toate acestea, starea găsită nu satisface starea la infinit deoarece (20) nu este normalizabilă. Dacă nu $(\lambda -k-l-1)$ ${\ displaystyle (\ lambda -kl-1)}$ ${\ displaystyle (\ lambda -k-l-1)}$ nu este un număr întreg pozitiv sau nul, caz în care seria este întreruptă când și $\omega (\rho )$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ devine polinom de grad $(\lambda -l-1)$ ${\ displaystyle (\ lambda -l-1)}$ ${\ displaystyle (\ lambda -l-1)}$ . Adică avem condiția:

\lambda =n\geq l+1

{\ displaystyle \ lambda = n \ geq l + 1}

{\ displaystyle \ lambda = n \ geq l + 1}

Spectrul energetic

Simbolul n al ecuației anterioare este un număr întreg negativ care clasifică nivelurile de energie: reprezintă numărul cuantic principal . Amintindu-ne de definiția $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ vedem că energiile sunt clasificate pentru fiecare $n=1,2,\cdots$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ cdots}$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ cdots}$ :

(21)

E_{n}=-{\frac {\mu e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}n^{2}}}=-{\frac {E_{ha}}{2}}{\frac {\mu }{m_{e}}}{\frac {1}{n^{2}}}

{\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {\ mu e ^ {4}} {2 (4 \ pi \ varepsilon _ {0}) ^ {2} \ hbar ^ {2} n ^ {2}} } = - {\ frac {E_ {ha}} {2}} {\ frac {\ mu} {m_ {e}}} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

{\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {\ mu e ^ {4}} {2 (4 \ pi \ varepsilon _ {0}) ^ {2} \ hbar ^ {2} n ^ {2}} } = - {\ frac {E_ {ha}} {2}} {\ frac {\ mu} {m_ {e}}} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

unde este $E_{ha}$ ${\ displaystyle E_ {ha}}$ ${\ displaystyle E_ {ha}}$ este energia Hartree . Prin urmare, spectrul atomului de hidrogen este discret, iar nivelul fundamental este:

E_{1}=-{\frac {E_{ha}}{2}}=-13.6\,\,eV

{\ displaystyle E_ {1} = - {\ frac {E_ {ha}} {2}} = - 13,6 \, \, eV}

{\ displaystyle E_ {1} = - {\ frac {E_ {ha}} {2}} = - 13,6 \, \, eV}

Nivelurile ulterioare se apropie de creștere $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . De asemenea, vedem că numărul cuantic $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este supus condiției:

l=0,1,\cdots ,n-1

{\ displaystyle l = 0,1, \ cdots, n-1}

{\ displaystyle l = 0,1, \ cdots, n-1}

Mai mult, vedem că nivelurile de energie sunt caracterizate doar de numărul cuantic $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și, prin urmare, există o degenerare atât asupra valorilor $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ care reprezintă funcții de undă care au aceeași energie dată $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care se numește degenerare accidentală caracteristică doar câmpului Coulomb și o degenerare în raport cu numărul cuantic $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ datorită simetriei centrale, pentru care toate direcțiile sunt egale din punct de vedere energetic. Le aveți în total $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ $n ^ {2}$ stări degenerate. În cele din urmă, prin introducerea componentei funcționale a spinului și aplicarea principiului de excludere Pauli, stările degenerate devin $2n^{2}$ ${\ displaystyle 2n ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2n ^ {2}}$

Soluție radială

Același subiect în detaliu: polinoame Laguerre .

Soluția radială poate fi reprezentată de polinoamele Laguerre care reprezintă polinoamele obținute prin întreruperea seriei prin $\omega (\rho )$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ ${\ displaystyle \ omega (\ rho)}$ :

(18)

\rho \omega ''+(2l+2-\rho )\omega '+(n-l-1)\omega =0\

{\ displaystyle \ rho \ omega '' + (2l + 2- \ rho) \ omega '+ (nl-1) \ omega = 0 \}

{\ displaystyle \ rho \ omega '' + (2l + 2- \ rho) \ omega '+ (n-l-1) \ omega = 0 \}

are soluție:

\omega (\rho )=L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )

{\ displaystyle \ omega (\ rho) = L_ {nl-1} ^ {2l + 1} (\ rho)}

{\ displaystyle \ omega (\ rho) = L_ {n-l-1} ^ {2l + 1} (\ rho)}

deci soluția radială pentru atomul de hidrogen:

R_{E,l}(r)=R_{nl}(r)=\rho ^{l}\cdot e^{-\rho /2}\omega (\rho )=N_{n,l}\rho ^{l}\cdot e^{-\rho /2}L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )

{\ displaystyle R_ {E, l} (r) = R_ {nl} (r) = \ rho ^ {l} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ omega (\ rho) = N_ {n, l } \ rho ^ {l} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} L_ {nl-1} ^ {2l + 1} (\ rho)}

{\ displaystyle R_ {E, l} (r) = R_ {nl} (r) = \ rho ^ {l} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} \ omega (\ rho) = N_ {n, l } \ rho ^ {l} \ cdot e ^ {- \ rho / 2} L_ {nl-1} ^ {2l + 1} (\ rho)}

unde este

\rho ={\frac {2\mu re^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}n}}={\frac {2r}{na_{B}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {2 \ mu re ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2} n}} = {\ frac {2r} {na_ {B} }}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {2 \ mu re ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2} n}} = {\ frac {2r} {na_ {B} }}}

și

a_{B}=4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}/(\mu e^{2})

{\ displaystyle a_ {B} = 4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2} / (\ mu e ^ {2})}

{\ displaystyle a_ {B} = 4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2} / (\ mu e ^ {2})}

este raza Bohr modificată față de

a_{B}^{0}=4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}/(m_{e}e^{2})

{\ displaystyle a_ {B} ^ {0} = 4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2} / (m_ {e} e ^ {2})}

{\ displaystyle a_ {B} ^ {0} = 4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2} / (m_ {e} e ^ {2})}

unde se are în vedere masa redusă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ și nu masa efectivă a electronului $m_{e}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ $eu insumi}$ și $N_{nl}$ ${\ displaystyle N_ {nl}}$ ${\ displaystyle N_ {nl}}$ este o constantă de normalizare. Acesta din urmă se găsește prin condiția de normalizare:

\int _{0}^{\infty }\,r^{2}|R_{n,l}(r)|^{2}dr=1

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \, r ^ {2} | R_ {n, l} (r) | ^ {2} dr = 1}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \, r ^ {2} | R_ {n, l} (r) | ^ {2} dr = 1}

Categoric:

R_{nl}(r)=-a_{B}^{-3/2}{\frac {2}{n^{2}}}{\sqrt {\frac {(n-l-1)!}{[(n+l)!]^{3}}}}\left({\frac {2r}{na_{B}}}\right)^{l}\cdot e^{-r/na_{B}}\cdot L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2r}{na_{B}}}\right)

{\ displaystyle R_ {nl} (r) = - a_ {B} ^ {- 3/2} {\ frac {2} {n ^ {2}}} {\ sqrt {\ frac {(nl-1)! } {[(n + l)!] ^ {3}}}} \ left ({\ frac {2r} {na_ {B}}} \ right) ^ {l} \ cdot e ^ {- r / na_ { B}} \ cdot L_ {nl-1} ^ {2l + 1} \ left ({\ frac {2r} {na_ {B}}} \ right)}

{\ displaystyle R_ {nl} (r) = - a_ {B} ^ {- 3/2} {\ frac {2} {n ^ {2}}} {\ sqrt {\ frac {(nl-1)! } {[(n + l)!] ^ {3}}}} \ left ({\ frac {2r} {na_ {B}}} \ right) ^ {l} \ cdot e ^ {- r / na_ { B}} \ cdot L_ {nl-1} ^ {2l + 1} \ left ({\ frac {2r} {na_ {B}}} \ right)}

Primele soluții radiale ale atomului de hidrogen sunt:

R_{10}(r)=2a_{B}^{-3/2}\cdot e^{-r/a_{B}}

{\ displaystyle R_ {10} (r) = 2a_ {B} ^ {- 3/2} \ cdot e ^ {- r / a_ {B}}}

{\ displaystyle R_ {10} (r) = 2a_ {B} ^ {- 3/2} \ cdot e ^ {- r / a_ {B}}}

R_{20}(r)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}a_{B}^{-3/2}\cdot \left(2-{\frac {r}{a_{B}}}\right)\cdot e^{-r/2a_{B}}

{\ displaystyle R_ {20} (r) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} a_ {B} ^ {- 3/2} \ cdot \ left (2 - {\ frac { r} {a_ {B}}} \ right) \ cdot e ^ {- r / 2a_ {B}}}

{\ displaystyle R_ {20} (r) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} a_ {B} ^ {- 3/2} \ cdot \ left (2 - {\ frac { r} {a_ {B}}} \ right) \ cdot e ^ {- r / 2a_ {B}}}

R_{21}(r)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}}}a_{B}^{-3/2}\cdot {\frac {r}{a_{B}}}\cdot e^{-r/2a_{B}}

{\ displaystyle R_ {21} (r) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {6}}}} a_ {B} ^ {- 3/2} \ cdot {\ frac {r} {a_ { B}}} \ cdot e ^ {- r / 2a_ {B}}}

{\ displaystyle R_ {21} (r) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {6}}}} a_ {B} ^ {- 3/2} \ cdot {\ frac {r} {a_ { B}}} \ cdot e ^ {- r / 2a_ {B}}}

R_{30}(r)=2(3\cdot a_{B})^{-3/2}\left[1-{\frac {2r}{3a_{B}}}+{\frac {2r^{2}}{27a_{B}^{2}}}\right]\cdot e^{-r/3a_{B}}

{\ displaystyle R_ {30} (r) = 2 (3 \ cdot a_ {B}) ^ {- 3/2} \ left [1 - {\ frac {2r} {3a_ {B}}} + {\ frac {2r ^ {2}} {27a_ {B} ^ {2}}} \ right] \ cdot e ^ {- r / 3a_ {B}}}

{\ displaystyle R_ {30} (r) = 2 (3 \ cdot a_ {B}) ^ {- 3/2} \ left [1 - {\ frac {2r} {3a_ {B}}} + {\ frac {2r ^ {2}} {27a_ {B} ^ {2}}} \ right] \ cdot e ^ {- r / 3a_ {B}}}

R_{31}(r)={\frac {4{\sqrt {2}}}{9}}(3\cdot a_{B})^{-3/2}\left[{\frac {r}{a_{B}}}-{\frac {r^{2}}{6a_{B}^{2}}}\right]\cdot e^{-r/3a_{B}}

{\ displaystyle R_ {31} (r) = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {9}} (3 \ cdot a_ {B}) ^ {- 3/2} \ left [{\ frac {r} {a_ {B}}} - {\ frac {r ^ {2}} {6a_ {B} ^ {2}}} \ right] \ cdot e ^ {- r / 3a_ {B}}}

{\ displaystyle R_ {31} (r) = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {9}} (3 \ cdot a_ {B}) ^ {- 3/2} \ left [{\ frac {r} {a_ {B}}} - {\ frac {r ^ {2}} {6a_ {B} ^ {2}}} \ right] \ cdot e ^ {- r / 3a_ {B}}}

R_{32}(r)={\frac {2{\sqrt {2}}}{27{\sqrt {5}}}}(3\cdot a_{B})^{-3/2}\left({\frac {r}{a_{B}}}\right)^{2}\cdot e^{-r/3a_{B}}

{\ displaystyle R_ {32} (r) = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {27 {\ sqrt {5}}}} (3 \ cdot a_ {B}) ^ {- 3/2 } \ left ({\ frac {r} {a_ {B}}} \ right) ^ {2} \ cdot e ^ {- r / 3a_ {B}}}

{\ displaystyle R_ {32} (r) = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {27 {\ sqrt {5}}}} (3 \ cdot a_ {B}) ^ {- 3/2 } \ left ({\ frac {r} {a_ {B}}} \ right) ^ {2} \ cdot e ^ {- r / 3a_ {B}}}

Soluție completă

Soluția completă a funcției de undă a atomului de hidrogen este:

\psi _{n,l,m}=R_{nl}(r)\cdot Y_{lm}(\theta ,\varphi )

{\ displaystyle \ psi _ {n, l, m} = R_ {nl} (r) \ cdot Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}

{\ displaystyle \ psi _ {n, l, m} = R_ {nl} (r) \ cdot Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}

unde este $R_{n,l}(r)$ ${\ displaystyle R_ {n, l} (r)}$ ${\ displaystyle R_ {n, l} (r)}$ sunt funcțiile radiale și $Y_{lm}(\theta ,\varphi )$ ${\ displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ varphi)}$ sunt armonicele sferice. Deoarece am văzut că numărul cuantic principal poate lua $n=1,2,\cdots ,\infty$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ cdots, \ infty}$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ cdots, \ infty}$ , numărul cuantic azimut $l=0,1,\cdots ,n-1$ ${\ displaystyle l = 0,1, \ cdots, n-1}$ ${\ displaystyle l = 0,1, \ cdots, n-1}$ și numărul cuantic magnetic $m=-l,-l+1,\cdots ,l$ ${\ displaystyle m = -l, -l + 1, \ cdots, l}$ ${\ displaystyle m = -l, -l + 1, \ cdots, l}$ iar aceste trei numere cuantice definesc complet funcția de undă, conform interpretării probabilistice a funcției de undă integral:

|R_{nl}(r)|^{2}=P(r)\

{\ displaystyle | R_ {nl} (r) | ^ {2} = P (r) \}

{\ displaystyle | R_ {nl} (r) | ^ {2} = P (r) \}

dă probabilitatea ca electronul să fie în poziție $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din centrul masei. Dar există și:

|Y_{lm}(\theta ,\varphi )|^{2}=P(\theta ,\varphi )

{\ displaystyle | Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) | ^ {2} = P (\ theta, \ varphi)}

{\ displaystyle | Y_ {lm} (\ theta, \ varphi) | ^ {2} = P (\ theta, \ varphi)}

care este probabilitatea ca electronul să se afle într-un anumit punct de spațiu identificat prin unghiuri $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . Graficare $P(r)$ ${\ displaystyle P (r)}$ ${\ displaystyle P (r)}$ puteți vedea cu ușurință care sunt razele tipice ale orbitelor electronului în jurul nucleului (de fapt ar trebui să spunem mai probabil) și, de fapt, putem calcula:

\langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }dr\,r^{2+k}|R_{nl}|^{2}

{\ displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} dr \, r ^ {2 + k} | R_ {nl} | ^ {2}}

{\ displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} dr \, r ^ {2 + k} | R_ {nl} | ^ {2}}

de la care:

\langle r\rangle ={\frac {a_{B}}{2}}(3n^{2}-l(l+1))

{\ displaystyle \ langle r \ rangle = {\ frac {a_ {B}} {2}} (3n ^ {2} -l (l + 1))}

{\ displaystyle \ langle r \ rangle = {\ frac {a_ {B}} {2}} (3n ^ {2} -l (l + 1))}

din care vedem încă o dată dependența pătratică de număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , și dependența de număr $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ ceea ce nu este prevăzut de calculul lui Bohr pentru orbite $r=n^{2}a_{B}$ ${\ displaystyle r = n ^ {2} a_ {B}}$ ${\ displaystyle r = n ^ {2} a_ {B}}$ .

Corecții la ecuația Schrödinger

Același subiect în detaliu: Structura fină .

Datorită efectelor relativiste și a rotirii electronului, introducem câteva corecții hamiltoniene pentru electron:

H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}

{\ displaystyle H_ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}

{\ displaystyle H_ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} - {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}

Corecțiile sunt perturbări cu privire la $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$

H=H_{0}+H_{1}+H_{2}+H_{3}\

{\ displaystyle H = H_ {0} + H_ {1} + H_ {2} + H_ {3} \}

{\ displaystyle H = H_ {0} + H_ {1} + H_ {2} + H_ {3} \}

unde este

$H_{1}=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\;\;$ ${\ displaystyle H_ {1} = - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}}} \; \;}$ ${\ displaystyle H_ {1} = - {\ frac {p ^ {4}} {8m ^ {3} c ^ {2}}} \; \;}$ este corecția relativistă a energiei cinetice,

$H_{2}={\frac {1}{2m^{2}c^{2}r}}{\frac {dV}{dr}}{\vec {L}}\cdot {\vec {S}}\;\;$ ${\ displaystyle H_ {2} = {\ frac {1} {2m ^ {2} c ^ {2} r}} {\ frac {dV} {dr}} {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} \; \;}$ ${\ displaystyle H_ {2} = {\ frac {1} {2m ^ {2} c ^ {2} r}} {\ frac {dV} {dr}} {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} \; \;}$ è il termine di spin-orbita o spin-orbitale , dovuta all'introduzione dello spin o meglio alla sua interazione con il momento angolare orbitale ,

$H_{3}={\frac {\pi \hbar ^{2}}{2m^{2}c^{2}}}\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta (r)\;\;$ $H_{3}={\frac {\pi \hbar ^{2}}{2m^{2}c^{2}}}\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta (r)\;\;$ $H_{3}={\frac {\pi \hbar ^{2}}{2m^{2}c^{2}}}\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta (r)\;\;$ è il termine di Darwin .

Effetto Zeeman

Lo stesso argomento in dettaglio: Effetto Zeeman .

A queste correzioni va aggiunto il termine di interazione magnetica cioè l'interazione con il momento magnetico di spin, in definitiva:

H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}+H_{1}+H_{2}+H_{3}-\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B}

H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}+H_{1}+H_{2}+H_{3}-\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B}

H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}+H_{1}+H_{2}+H_{3}-\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B}

In generale però i termini che riguardano la correzione relativistica dell'hamiltoniano e quello di Darwin sono piccoli rispetto agli altri. Usando la teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo si può risolvere l'equazione di Schrödinger con approssimazioni di tipo diverso almeno per quanto riguarda i termini con campo magnetico. Innanzitutto vediamo come sono trattabili le prime tre correzioni all'hamiltoniano.

Bibliografia

( EN ) BH Bransden e Charles J. Joachain, Physics of atoms and molecules , Boston, Addison-Wesley, 2005, ISBN 978-05-82-35692-4 .
Jun J. Sakurai , Meccanica quantistica moderna , Bologna, Zanichelli, 2014, ISBN 978-88-08-26656-9 .
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic , Meccanica quantistica. Teoria non relativistica , Roma, Editori Riuniti, 2010, ISBN 978-88-64-73208-4 .
( EN ) Linus C. Pauling e Edgar Bright Wilson, Introduction to Quantum Mechanics , New York, MacGrawHill, 1935, ISBN 978-00-70-48960-8 .
Luca Sciortino, La vita di un atomo raccontata da sé medesimo , Trento, Editore Erickson, 2010, ISBN 978-88-61-37582-6 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull' atomo di idrogeno

Portale Quantistica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di quantistica