Energia Fermi

În fizică , în special în mecanica cuantică , energia Fermi este energia de cel mai înalt nivel ocupat într-un sistem de fermioni la temperatura de zero absolut . Numele său provine de la fizicianul italian Enrico Fermi .

Termenul „energie Fermi” este, de asemenea, folosit pentru a se referi la conceptul de nivel Fermi , răspândit în fizica semiconductorilor . ^[1] Energia Fermi și potențialul electrochimic coincid la zero absolut, ^[2] dar diferă la temperaturi mai ridicate.

Introducere

Context

În mecanica cuantică , o clasă de particule denumite fermioni (de care aparțin, de exemplu, electronul , protonul și neutronul ) respectă principiul excluderii Pauli . Acest principiu afirmă că doi fermioni identici nu pot ocupa aceeași stare cuantică . Fiecare stare a unui sistem este caracterizată de valorile setului de numere cuantice caracteristice sistemului. Într-un sistem care conține mulți fermioni (cum ar fi electronii dintr-un metal), fiecare fermion are un set diferit de valori ale numărului cuantic.

Pentru a calcula energia minimă a unui sistem de fermioni, este posibil, prin urmare, să grupăm stările care au aceeași energie în mulțimi și apoi să ordonăm aceste mulțimi în ordinea creșterii energiei. Pornind de la sistemul gol (fără fermioni), putem, așadar, adăuga treptat un fermion după altul, ocupând astfel în ordine toate nivelurile inferioare de energie, crescând de fiecare dată. Când toate particulele au fost inserate în acest fel, energia Fermi coincide cu energia celei mai înalte stări cuantice ocupate.

Aceasta are consecința că, chiar dacă aducem un metal la zero absolut , electronii din interiorul metalului sunt încă în mișcare: cel mai rapid dintre ei, de fapt, se va mișca cu o viteză atât de mare încât energia sa cinetică să corespundă cu energia. Fermi. Această viteză se numește viteza Fermi .

Nivelurile de energie ale fermionilor sunt adesea cuantificate datorită formei energiei potențiale la care sunt supuși, de exemplu un electron de valență într-un metal vede variații mari ale energiei potențiale care este negativă în vecinătatea nucleelor și a propriului său atom și pozitiv în vecinătatea altor electroni aparținând diferiților atomi. Energia statelor variază continuu dacă este mai mare decât valoarea maximă a energiei potențiale văzute de fermionul în cauză și este cuantificată sub această valoare și, prin urmare, își asumă valori discrete treptat mai mari (negative dacă fermionul este legat, pozitiv dacă este gratuit) și întotdeauna mai îngroșat. Energia Fermi este ultimul dintre aceste niveluri discrete aparținând fermionului liber din ultima stare ocupată. Prezența altor fermioni din aceeași specie apropiată de cea luată în considerare duce la o creștere semnificativă a nivelurilor de energie cuantificată posibilă, astfel încât dacă înainte erau puțini, destul de bine definiți și bine separați, devin mulți și apropiați unul de celălalt, deși se mențin grupări împărțite care pentru aceasta este reprezentată în mod obișnuit pentru simplitate ca benzi continue ca în figură.

Structura electronică a benzii în cazul metalelor (a), izolatorilor (b) și semiconductoarelor (c). Este _indicată poziția nivelului Fermi E _f .

Energia Fermi este unul dintre conceptele fundamentale ale fizicii materiei condensate : este utilizată, de exemplu, pentru a descrie metale , izolatori și semiconductori . De asemenea, este important în fizica supraconductoarelor , în cea a lichidelor cuantice superfluide (cum ar fi ³ He la temperaturi scăzute), în fizica nucleară și în înțelegerea stabilității piticelor albe împotriva colapsului gravitațional .

Prezentări în context

Energia lui Fermi $E_{f}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ unui sistem de fermioni care nu interacționează este egal cu creșterea energiei totale a stării de valență atunci când particulele sunt adăugate doar una câte una în sistem. La fel, poate fi văzută ca energia unui singur fermion în ultimul nivel cel puțin parțial ocupat, adică cel cu energie maximă. Potențialul chimic la zero absolut coincide cu energia Fermi.

Cazul fântânii potențiale într-o dimensiune

Puțul potențial oferă un model pentru a reprezenta o cutie unidimensională: este un model tipic de mecanică cuantică pentru care sunt cunoscute soluțiile legate de cazul unei singure particule. Indicând cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numărul cuantic care distinge nivelurile sistemului, energia este dată de:

E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}

{\ displaystyle E_ {n} = {\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} n ^ {2}}

E_ {n} = {\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} n ^ {2}

.

Acum presupunem că, în loc de o singură particulă, sunt prezente în gaură $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ fermioni (de jumătate de centrifugă ). Pentru principiul excluderii Pauli, doar două particule pot avea aceeași energie; prin urmare, doar două particule vor putea avea energia:

E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}

{\ displaystyle E_ {1} = {\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}}}

E_ {1} = {\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}}

încă două energii:

E_{2}=4E_{1}\

{\ displaystyle E_ {2} = 4E_ {1} \}

E_ {2} = 4E_ {1} \

si asa mai departe. Trebuie menționat, de fapt, că, deoarece acestea sunt fermioni, cele două stări de spin +1/2 (spin up) și spin -1/2 (spin down) sunt posibile și, prin urmare, este posibil să aveți două particule cu aceeași energie care, totuși, în conformitate cu principiul Pauli, nu toate numerele cuantice au identice.

Dacă luăm acum în considerare energia totală a sistemului, este evident că situația în care energia totală este minimă (adică starea de bază) este una în care toate nivelurile până la $N/2$ ${\ displaystyle N / 2}$ ${\ displaystyle N / 2}$ -alea sunt ocupate (și toate cele cu energie superioară sunt goale). Prin urmare, energia Fermi a acestei stări fundamentale este:

E_{f}=E_{N/2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}(N/2)^{2}

{\ displaystyle E_ {f} = E_ {N / 2} = {\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} (N / 2) ^ {2}}

E_ {f} = E _ {{N / 2}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} (N / 2) ^ {2}

.

Cazul tridimensional

Cazul izotrop tridimensional este cunoscut sub numele de sfera Fermi .

Luați în considerare o cutie cubică tridimensională din lateral $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ (vezi și Gaura potențialului infinit ), care se dovedește a fi o aproximare excelentă pentru descrierea comportamentului electronilor dintr-un metal. Apoi, stările să fie numerotate cu trei numere cuantice diferite $n_{x},n_{y}$ ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}}$ ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}}$ Și $n_{z}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ . Energiile particulei unice sunt apoi:

E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)

{\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} \ left (n_ { x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} \ left (n_ { x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} \ right)}

unde este $n_{x},n_{y},n_{z}$ ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$ ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$ sunt numere întregi pozitive. Evident, există o multitudine de stări cu aceeași energie; de exemplu $E_{1,0,0}=E_{0,1,0}=E_{0,0,1}$ ${\ displaystyle E_ {1,0,0} = E_ {0,1,0} = E_ {0,0,1}}$ $E _ {{1,0,0}} = E _ {{0,1,0}} = E _ {{0,0,1}}$

Să presupunem că introducem acum $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ spin fermioni $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ , care nu interacționează, în caseta noastră. Pentru a calcula energia Fermi luăm în considerare cazul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ înalt. Dacă introducem vectorul:

{\vec {n}}=\{n_{x},n_{y},n_{z}\}

{\ displaystyle {\ vec {n}} = \ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \}}

{\ vec {n}} = \ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \}

apoi, fiecare stare cuantică va corespunde, în spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, la un punct cu energie:

E_{\vec {n}}={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|{\vec {n}}|^{2}

{\ displaystyle E _ {\ vec {n}} = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} | {\ vec {n}} | ^ {2} }

{\ displaystyle E _ {\ vec {n}} = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} | {\ vec {n}} | ^ {2} }

Numărul de stări cu energie mai mică de $E_{f}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ este egal cu numărul de stări din sfera razei $|{\vec {n}}_{f}|$ ${\ displaystyle | {\ vec {n}} _ {f} |}$ $| {\ vec {n}} _ {f} |$ , evident luând în considerare doar acea regiune a spațiului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional unde $n_{x},n_{y}$ ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}}$ ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}}$ Și $n_{z}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ ${\ displaystyle n_ {z}}$ toate sunt pozitive. În starea de bază, acest număr este egal cu numărul de fermioni prezenți în sistem.

N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{f}^{3}

{\ displaystyle N = 2 \ times {\ frac {1} {8}} \ times {\ frac {4} {3}} \ pi n_ {f} ^ {3}}

N = 2 \ times {\ frac {1} {8}} \ times {\ frac {4} {3}} \ pi n_ {f} ^ {3}

Fermionii liberi care ocupă cea mai scăzută stare energetică dau naștere unei sfere în spațiul momentului . Suprafața acestei sfere se numește suprafața Fermi .

unde factorul $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ se datorează, din nou, faptului că există două stări de centrifugare diferite în timp ce factorul $1/8$ ${\ displaystyle 1/8}$ ${\ displaystyle 1/8}$ apare din faptul că doar o optime din sfera cade în regiunea în care toate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt pozitivi. Se găsește astfel:

n_{f}=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}

{\ displaystyle n_ {f} = \ left ({\ frac {3N} {\ pi}} \ right) ^ {1/3}}

n_ {f} = \ left ({\ frac {3N} {\ pi}} \ right) ^ {{1/3}}

astfel încât energia Fermi este dată de:

E_{f}={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{f}^{2}

{\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} n_ {f} ^ {2}}

{\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} n_ {f} ^ {2}}

={\frac {h^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}

{\ displaystyle = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} \ left ({\ frac {3N} {\ pi}} \ right) ^ {2/3 }}

{\ displaystyle = {\ frac {h ^ {2} \ pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} \ left ({\ frac {3N} {\ pi}} \ right) ^ {2/3 }}

Prin urmare, următoarea relație dintre energia Fermi și numărul de particule pe unitate de volum (rețineți că $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ a fost înlocuit cu $V^{2/3}$ ${\ displaystyle V ^ {2/3}}$ ${\ displaystyle V ^ {2/3}}$ , fiind $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ volumul):

E_{f}={\frac {h^{2}}{2m}}\left({\frac {6\pi ^{2}N}{g_{s}V}}\right)^{2/3}

{\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {h ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {g_ {s} V}} \ right) ^ {2/3}}

{\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {h ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {g_ {s} V}} \ right) ^ {2/3}}

Energia totală a unei sfere Fermi cu $N_{0}$ ${\ displaystyle N_ {0}}$ $N_ {0}$ fermionii se dau după cum urmează:

E={\int _{0}}^{N_{0}}E_{f}(N)dN={3 \over 5}N_{0}E_{f}

{\ displaystyle E = {\ int _ {0}} ^ {N_ {0}} E_ {f} (N) dN = {3 \ peste 5} N_ {0} E_ {f}}

E = {\ int _ {0}} ^ {{N_ {0}}} E_ {f} (N) dN = {3 \ peste 5} N_ {0} E_ {f}

Energii tipice Fermi

Pitici albi

Stelele cunoscute sub numele de pitici albi au o masă comparabilă cu cea a Soarelui nostru, dar o rază de 100 de ori mai mică. Densitățile ridicate astfel obținute înseamnă că electronii nu mai sunt legați de nucleele individuale, ci formează în schimb un gaz electronic degenerat . Densitatea electronilor dintr-o pitică albă atinge ordinea 10 ³⁶ electroni / m ³ . Aceasta înseamnă că energia Fermi este:

E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV}

{\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {e}}} \ left ({\ frac {3 \ pi ^ {2} (10 ^ {36})} {1 \ \ mathrm {m} ^ {3}}} \ right) ^ {2/3} \ approx 3 \ times 10 ^ {5} \ \ mathrm {eV}}

E_ {f} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {e}}} \ left ({\ frac {3 \ pi ^ {2} (10 ^ {{36}})} {1 \ {\ mathrm {m}} ^ {3}}} \ right) ^ {{2/3}} \ approx 3 \ times 10 ^ {5} \ {\ mathrm {eV}}

Nucleii

Un alt exemplu tipic de energie Fermi este cel al particulelor prezente într-un nucleu atomic. Raza miezului este de aproximativ

R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}

{\ displaystyle R = \ left (1,25 \ times 10 ^ {- 15} \ mathrm {m} \ right) \ times A ^ {1/3}}

R = \ left (1,25 \ times 10 ^ {{- 15}} {\ mathrm {m}} \ right) \ times A ^ {{1/3}}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este numărul de nucleoni .

Prin urmare, densitatea nucleonilor dintr-un nucleu este:

n={\frac {A}{{\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m} ^{-3}

{\ displaystyle n = {\ frac {A} {{\ begin {matrix} {\ frac {4} {3}} \ end {matrix}} \ pi R ^ {3}}} \ approx 1,2 \ times 10 ^ {44} \ \ mathrm {m} ^ {- 3}}

n = {\ frac {A} {{\ begin {matrix} {\ frac {4} {3}} \ end {matrix}} \ pi R ^ {3}}} \ approx 1.2 \ times 10 ^ {{44 }} \ {\ mathrm {m}} ^ {{- 3}}

Deoarece energia Fermi se aplică numai fermionilor de același tip, este necesar să împărțim această densitate în două: acest lucru este posibil, deoarece prezența neutronilor nu afectează densitatea protonilor și invers.

În acest fel, energia Fermi a unui nucleu este:

E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{p}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 30\times 10^{6}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV}

{\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {p}}} \ left ({\ frac {3 \ pi ^ {2} (6 \ times 10 ^ {43}) } {1 \ \ mathrm {m} ^ {3}}} \ right) ^ {2/3} \ approx 30 \ times 10 ^ {6} \ \ mathrm {eV} = 30 \ \ mathrm {MeV}}

E_ {f} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {p}}} \ left ({\ frac {3 \ pi ^ {2} (6 \ times 10 ^ {{43}})} {1 \ {\ mathrm {m}} ^ {3}}} \ right) ^ {{2/3}} \ approx 30 \ times 10 ^ {6} \ {\ mathrm {eV}} = 30 \ {\ mathrm {MeV}}

Deoarece raza miezului poate varia în jurul valorii de mai sus, valoarea energiei Fermi acceptată în mod tipic este de 38 Mev .

Nivelul Fermi

Nivelul Fermi este nivelul ocupat cu cea mai mare energie la zero absolut: cu alte cuvinte, toate nivelurile de energie până la nivelul Fermi sunt ocupate de electroni. ^[2]

Deoarece fermionii nu pot coexista în stări de energie identice (a se vedea principiul excluderii ), la zero absolut electronii sunt capturați de nivelul cel mai scăzut de energie disponibil creând marea Fermi a stărilor de energie electronică. ^[3] În aceste condiții, energia medie $\left\langle {E}\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left \ langle {E} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {E} \ right \ rangle}$ unui electron poate fi calculat folosind formula:

\left\langle {E}\right\rangle ={\frac {\int _{0}^{E_{f}}g(E)E\,dE}{\int _{0}^{E_{f}}g(E)\,dE}}

{\ displaystyle \ left \ langle {E} \ right \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {E_ {f}} g (E) E \, dE} {\ int _ {0} ^ { E_ {f}} g (E) \, dE}}}

{\ displaystyle \ left \ langle {E} \ right \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {E_ {f}} g (E) E \, dE} {\ int _ {0} ^ { E_ {f}} g (E) \, dE}}}

unde este $g(E)$ ${\ displaystyle g (E)}$ ${\ displaystyle g (E)}$ este funcția densității stărilor (factorul $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ un numărător este dat de degenerarea electronilor, pe care aceștia le pot avea $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ posibilitatea de rotire) și se aplică următoarele: $g(E)={\frac {2m_{e}^{3/2}V{\sqrt {E}}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}$ ${\ displaystyle g (E) = {\ frac {2m_ {e} ^ {3/2} V {\ sqrt {E}}} {{\ sqrt {2}} \ pi ^ {2} \ hbar ^ {3 }}}}$ ${\ displaystyle g (E) = {\ frac {2m_ {e} ^ {3/2} V {\ sqrt {E}}} {{\ sqrt {2}} \ pi ^ {2} \ hbar ^ {3 }}}}$

Înlocuind expresia pentru energia medie se obține:

\left\langle {E}\right\rangle ={\frac {3}{5}}E_{f}

{\ displaystyle \ left \ langle {E} \ right \ rangle = {\ frac {3} {5}} E_ {f}}

{\ displaystyle \ left \ langle {E} \ right \ rangle = {\ frac {3} {5}} E_ {f}}

.

unde este $E_{f}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ $E_ {f}$ este energia Fermi.

Momentul Fermi și viteza Fermi sunt respectiv impulsul și viteza fermionilor de pe suprafața Fermi , care sunt calculate din energia cu expresiile obișnuite:

p_{F}={\sqrt {2m_{e}E_{f}}}

{\ displaystyle p_ {F} = {\ sqrt {2m_ {e} E_ {f}}}}

p_ {F} = {\ sqrt {2m_ {e} E_ {f}}}

Și

v_{f}={\sqrt {\frac {2E_{f}}{m_{e}}}}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ sqrt {\ frac {2E_ {f}} {m_ {e}}}}}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ sqrt {\ frac {2E_ {f}} {m_ {e}}}}}

,

unde este $m_{e}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ $eu insumi}$ este masa electronului.

Acum, similar cu ceea ce s-a făcut pentru energia medie, este posibil să se determine viteza medie a fermionilor:

$\left\langle {v}\right\rangle ={\frac {\int _{0}^{E_{f}}g(E)v(E)\,dE}{\int _{0}^{E_{f}}g(E)\,dE}}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {v} \ right \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {E_ {f}} g (E) v (E) \, dE} {\ int _ {0 } ^ {E_ {f}} g (E) \, dE}}}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {v} \ right \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {E_ {f}} g (E) v (E) \, dE} {\ int _ {0 } ^ {E_ {f}} g (E) \, dE}}}$ ,

unde este $v(E)={\sqrt {\frac {2E}{m_{e}}}}$ ${\ displaystyle v (E) = {\ sqrt {\ frac {2E} {m_ {e}}}}}$ ${\ displaystyle v (E) = {\ sqrt {\ frac {2E} {m_ {e}}}}}$

Prin urmare, obținem acest lucru $\left\langle {v}\right\rangle ={\frac {3}{4}}v_{f}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {v} \ right \ rangle = {\ frac {3} {4}} v_ {f}}$ ${\ displaystyle \ left \ langle {v} \ right \ rangle = {\ frac {3} {4}} v_ {f}}$ .

Impulsul Fermi este utilizat în mod normal în cazul relațiilor de dispersie dintre energie și impuls care nu depind de direcție. În cazul mai general, este necesar să se recurgă direct la energia Fermi. ^{[ neclar ]}

Sub așa-numita temperatură Fermi , substanțele evidențiază din ce în ce mai mult efectele cuantice ale răcirii. Această temperatură este definită de: ^[4]

T_{f}={\frac {E_{f}}{k}}

{\ displaystyle T_ {f} = {\ frac {E_ {f}} {k}}}

T_ {f} = {\ frac {E_ {f}} {k}}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este constanta lui Boltzmann .

Gaz liber de electroni

Într-un gaz cu electroni liberi (versiunea cuantică a unui gaz fermion ideal ), stările cuantice se pot distinge pe baza impulsului lor. Acest lucru este analog cu ceea ce se întâmplă în sistemele periodice, ca în cazul electronilor din interiorul structurii cristaline a unui metal , introducând conceptul de „cvasi-moment” sau „moment cristalin” (vezi Wave Bloch ). În ambele cazuri, stările corespunzătoare energiei Fermi se află, în spațiul impulsului, pe o suprafață numită suprafața Fermi . Pentru gazul liber de electroni, suprafața Fermi coincide cu suprafața unei sfere în timp ce, pentru sistemele periodice, este de obicei o suprafață mai complexă (vezi zona Brillouin ). Volumul închis de suprafața Fermi definește numărul de electroni din sistem, în timp ce topologia volumului este direct legată de proprietățile de transport ale metalului, cum ar fi conductivitatea electrică . Studiul suprafeței Fermi se numește uneori fermiologie . Suprafețele Fermi ale majorității metalelor au fost studiate pe larg atât teoretic, cât și experimental.

Energia Fermi a unui gaz electronic liber este legată de potențialul chimic prin relația: ^[5]

\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\cdots \right]

{\ displaystyle \ mu = E_ {F} \ left [1 - {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} \ left ({\ frac {kT} {E_ {F}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ pi ^ {4}} {80}} \ left ({\ frac {kT} {E_ {F}}} \ right) ^ {4} + \ cdots \ right]}

\ mu = E_ {F} \ left [1 - {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} \ left ({\ frac {kT} {E_ {F}}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ pi ^ {4}} {80}} \ left ({\ frac {kT} {E_ {F}}} \ right) ^ {4} + \ cdots \ right]

unde este $E_{f}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ ${\ displaystyle E_ {f}}$ este energia Fermi, $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este constanta Boltzmann e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura . În consecință, potențialul chimic este (aproximativ) egal cu energia Fermi la temperaturi mult mai mici decât temperatura Fermi $E_{f}/k$ ${\ displaystyle E_ {f} / k}$ ${\ displaystyle E_ {f} / k}$ . Valorile tipice ale temperaturii Fermi pentru metale sunt de ordinul 10 ⁵ K. În consecință, la temperatura camerei (300 K), energia Fermi și potențialul chimic sunt substanțial echivalente. Această echivalență este, de asemenea, importantă, deoarece potențialul chimic (și nu energia Fermi) este utilizat de statisticile Fermi-Dirac .

Notă

^ Vezi de exemplu: Electronică (elemente fundamentale și aplicații) de D. Chattopadhyay, Semiconductor Physics and Applications de Balkanski și Wallis.
^ ^a ^b Bube , p. 92 .
^ Nivelul Fermi pe hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
^ Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.130
^ Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.132

Bibliografie

( EN ) Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics , Orlando (SUA), Harcourt, 1976.
( EN ) Giuseppe Grosso, Giuseppe Pastori Parravicini, Solid State Physics , Cambridge (Marea Britanie).
(EN) Herbert Kroemer și Charles Kittel , Fizică termică (ediția a doua), WH Freeman and Company, 1980, ISBN 0-7167-1088-9 .
(EN) Richard H. Bube, Electroni în solide: o anchetă introductivă , ediția a III-a, Academic Press, 1992, ISBN 0-12-138553-1 .
( EN ) Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer , 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

Tabel cu energii, viteze și temperaturi Fermi pentru diferite elemente , pe hyperphysics.phy-astr.gsu.edu .
Discuție despre gazul Fermi și temperatura Fermi , pe physicsweb.org .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4304367-7

Portalul chimiei

Portal cuantic

[1] Vezi de exemplu: Electronică (elemente fundamentale și aplicații) de D. Chattopadhyay, Semiconductor Physics and Applications de Balkanski și Wallis.

[Bube92-2] Bube , p. 92 .

[3] Nivelul Fermi pe hyperphysics.phy-astr.gsu.edu

[4] Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.130

[5] Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.132

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]