Corpuri geometrice necorespunzătoare

Cu termenul de entități geometrice necorespunzătoare vrem să indicăm grupul de elemente primitive care dau naștere unor figuri geometrice , atunci când luăm în considerare poziția lor la infinit, mai degrabă decât la o distanță finită. Definițiile acestor elemente ca entități necorespunzătoare corespund unei extensii necesare a conceptelor de geometrie elementară rezultate din evoluția pe care materia a suferit-o de-a lungul timpului. Evoluțiile în geometrie care au avut loc începând cu Renașterea , au condus, de fapt, la adăugarea conceptelor clasice de punct , linie și plan , cele corespunzătoare de punct necorespunzător, linie necorespunzătoare și plan necorespunzător . Ca o consecință a acestui fapt, entitățile geometrice fundamentale definite prin geometria elementară iau denumirile respective de „punct propriu”, „linie adecvată” și „plan propriu”, ca clarificări și distincții necesare.

În contextul ajustărilor efectuate în timpul procesului evolutiv menționat și ajuns la formularea geometriei proiective , cu numele de „punct necorespunzător” se obișnuiește desemnarea punctului la infinit al unei linii drepte, care determină direcția linia dreaptă în sine. Deoarece două sau mai multe linii paralele au aceeași direcție, rezultă că au același punct necorespunzător în comun; cu alte cuvinte se spune că liniile paralele se întâlnesc infinit în punctul lor necorespunzător. Concepte analoge se referă la plan: „linie necorespunzătoare” se numește linia infinită a unui plan, care determină poziția planului în sine; două sau mai multe planuri paralele între ele, având aceeași poziție, au aceeași linie necorespunzătoare în comun sau planurile paralele între ele se întâlnesc infinit de-a lungul liniei lor necorespunzătoare. În același context al geometriei proiective, termenii „direcție” și „poziție” sunt folosiți ca sinonime de punct necorespunzător și linie necorespunzătoare. Combinarea acestor elemente constituie planul necorespunzător. Noțiunile de paralelism dintre elementele omonime și non-omonime care derivă din geometria elementară sunt, așadar, scurte.

Referindu-ne la geometria afină , definim un plan afinar mărit ca fiind unirea unui set ne-gol de puncte proprii, care sunt elementele unui plan afin și a setului de puncte improprii. Pentru această geometrie, paralelismul este o relație de echivalență .

Istorie

Conceptele de entități improprii ilustrate mai sus, care nu pot fi urmărite în tratatele antice de geometrie, sunt necesare pentru elaborarea geometriei descriptive și proiective, chiar dacă aceste elaborări sunt dezvoltate în spațiul definibil cu principiile euclidiene . Sectoarele de activitate și cunoștințe care au contribuit cel mai mult la promovarea evoluției în acest domeniu sunt experiențele desfășurate pe tema perspectivei și studiile despre conice .

Deși artiștii erau aproape exclusiv interesați de problema reprezentării perspectivei în secolele XV și XVI , tocmai din aceasta a început căutarea unei noi geometrii, capabilă să ofere o justificare teoretică punctelor de dispariție și liniilor de dispariție, precum și aceea a întreaga schemă liniară constituind structura geometrică a unui desen în perspectivă. ^[1]

Primul care a introdus în mod explicit ideea unui punct necorespunzător în domeniul competenței matematicienilor a fost lionezul Girard Desargues (1593-1662), înrolat ca inginer militar în trupele cardinalului Richelieu (1585-1642). El a făcut-o în tratatul său cu titlul singular Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres d'un cône avec un plan (Paris, 1639), un studiu original despre conice în care acestea, chiar și cele deschise ca parabola și hiperbola , sunt considerate în esență ca transformări proiective ale cercului . Și tocmai în virtutea acestei lucrări, precum și pentru teorema sa a triunghiurilor omologice , este considerat pe deplin inițiatorul autentic al geometriei proiective. Cu toate acestea, meritele sale nu au fost recunoscute imediat, în afară de admirația acordată de René Descartes (1596-1650), datorită limbajului folosit în „Brogliaccio”, un limbaj informal, puțin abstrus și, de asemenea, dificil de interpretat, foarte departe de stilul matematicienilor clasici. El a fost, de asemenea, interesat de perspectivă , lăsând pe ea o scurtă scriere intitulată Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés réellement ( Paris , 1636). Acest lucru este valabil ca dovadă a relației strânse dintre metoda practicată de artiști și ilustratori și conceptul de punct necorespunzător care era în curs de formalizare.

Prin etape succesive, dintre care una a fost contribuția importantă a englezului Brook Taylor (1685-1731), opera fundamentală a lui Gaspard Monge (1746-1818) a fost atinsă la sfârșitul secolului al XVIII-lea, pe care el de proporții vaste cunoștințele geometrice maturate până atunci și utile pentru reprezentare. El a fondat, dându-i numele în sine, geometria descriptivă ca un corp de metode și reguli care fac posibilă obținerea de imagini plate ale figurilor spațiului cu operații de proiecție și secțiune . În același timp, el a stabilit cerințele conform cărora un set de reguli practice poate fi considerat o metodă de reprezentare , cerințe care rezidă în esență în substituibilitatea deplină dintre imagine și figura obiectivă. El a oferit viziunii sale coerente un suport didactic de mare valoare, și anume tratatul Géométrie Descriptive, leçons données aux Écoles Normales an 3 de la République , Ediția I, Paris, anul VII (1798), care a fost tradus în mai multe limbi și s-a răspândit rapid dincolo de granițele franceze.

În cel de-al doilea deceniu al secolului al XIX-lea, Jean Victor Poncelet (1788-1867), fost elev al lui Monge la politehnica École , a studiat proprietățile invariante ale figurilor, adică proprietățile care rămân neschimbate în ciuda transformărilor pe care figurile le-au avut supus prin operațiile de proiecție și secțiune, el a fondat geometria proiectivă ca un corp separat de celelalte structuri ale geometriei. Cercetările și studiile care timp de aproximativ două secole au continuat puternic împletite, desfășurate într-un mod complementar reciproc și fără distincții precise, au găsit astfel un aranjament bazat pe principii de coerență și apartenență. Poncelet este, de asemenea, responsabil pentru „metoda proiecției centrale”, care datorită abstractității sale relative trebuie să se distingă de procedura perspectivei, dar de aceasta, care este configurată ca aplicație, oferă toate aspectele teoretice.

Cu lucrarea lui Poncelet, sau în geometria proiectivă, entitățile geometrice necorespunzătoare capătă valoare deplină, care sunt considerate elemente primitive complet indistincte de propriile lor entități geometrice.

Notă

Bibliografie

• Carl B. Boyer, Istoria matematicii , Mondadori, Milano, 1980.
• Enciclopedia matematicii și complementelor elementare , editată de L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli, Volumul II, Partea 2, Ulrico Hoepli Editore, Milano, 1979.
• Istoria științei , regia Paolo Rossi, în 5 volume, UTET, Torino, 1988.

Elemente conexe

• Geometrie
• Geometrie proiectivă
• Perspectivă

linkuri externe

• ( EN ) Entități geometrice necorespunzătoare , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.