Entropia lui Tsallis

În fizică , entropia lui Tsallis este o generalizare a formulei Boltzmann-Gibbs pentru calcularea entropiei .

Prezentare generală

Fizicianul teoretic Constantine Tsallis a dezvoltat acest concept în 1988 ^[1] ca bază pentru generalizarea mecanicii statistice standard și este formal identic cu entropia α structurală din Havrda - Charvát ^[2] ^[3] , introdusă în 1967 în domeniul informației. Teorie . Importanța entropiei Tsallis în fizică a fost larg dezbătută în literatura științifică. ^[4] ^[5] ^[6] .

Cu toate acestea, din 2000, a fost identificat un spectru din ce în ce mai larg de sisteme complexe naturale, artificiale și sociale care confirmă faptele experimentale prevăzute și consecințele teoretice deduse din acest tip de entropie non-aditivă , cum ar fi mecanica statistică non-extinsă . , Care gestionează pentru a generaliza teoria Boltzmann-Gibbs.

Definiție

Având în vedere un set discret de probabilități $\{p_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {p_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {p_ {i} \}}$ unde este $\sum _{i}p_{i}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$ , și dat orice număr real $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , este definită entropia Tsallis :

S_{q}({p_{i}})={k \over q-1}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),

{\ displaystyle S_ {q} ({p_ {i}}) = {k \ peste q-1} \ left (1- \ sum _ {i} p_ {i} ^ {q} \ right),}

{\ displaystyle S_ {q} ({p_ {i}}) = {k \ peste q-1} \ left (1- \ sum _ {i} p_ {i} ^ {q} \ right),}

unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este un număr real numit indicele de entropie .

Cu limita pentru $q\to 1$ ${\ displaystyle q \ to 1}$ ${\ displaystyle q \ to 1}$ , găsim cea mai cunoscută entropie Boltzmann-Gibbs, și anume:

S_{BG}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}.

{\ displaystyle S_ {BG} = S_ {1} (p) = - k \ sum _ {i} p_ {i} \ ln p_ {i}.}

{\ displaystyle S_ {BG} = S_ {1} (p) = - k \ sum _ {i} p_ {i} \ ln p_ {i}.}

În schimb, pentru distribuții de probabilitate continue , entropia lui Tsallis este definită ca:

S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),

{\ displaystyle S_ {q} [p] = {1 \ peste q-1} \ left (1- \ int (p (x)) ^ {q} \, dx \ right),}

{\ displaystyle S_ {q} [p] = {1 \ peste q-1} \ left (1- \ int (p (x)) ^ {q} \, dx \ right),}

trebuie să $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este funcția de densitate a probabilității .
Entropia Tsallis a fost utilizată pentru a obține proprietățile distribuției probabilității Tsallis, prin Principiul entropiei maxime.

Relaţii

Entropia discretă a lui Tsallis satisface

S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}

{\ displaystyle S_ {q} = - \ lim _ {x \ rightarrow 1} D_ {q} \ sum _ {i} p_ {i} ^ {x}}

{\ displaystyle S_ {q} = - \ lim _ {x \ rightarrow 1} D_ {q} \ sum _ {i} p_ {i} ^ {x}}

unde D _q este derivata q față de x. Poate fi comparat cu formula de entropie standard:

S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}

{\ displaystyle S = - \ lim _ {x \ rightarrow 1} {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {i} p_ {i} ^ {x}}

{\ displaystyle S = - \ lim _ {x \ rightarrow 1} {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {i} p_ {i} ^ {x}}

Non-aditivitate

Având în vedere două sisteme A și B , pentru care funcția de densitate a probabilității comune îndeplinește

p(A,B)=p(A)p(B),\,

{\ displaystyle p (A, B) = p (A) p (B), \,}

{\ displaystyle p (A, B) = p (A) p (B), \,}

,

apoi, entropia lui Tsallis pentru acest sistem se satisface

S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,

{\ displaystyle S_ {q} (A, B) = S_ {q} (A) + S_ {q} (B) + (1-q) S_ {q} (A) S_ {q} (B). \ ,}

{\ displaystyle S_ {q} (A, B) = S_ {q} (A) + S_ {q} (B) + (1-q) S_ {q} (A) S_ {q} (B). \ ,}

unde este evident că $|1-q|$ ${\ displaystyle | 1-q |}$ ${\ displaystyle | 1-q |}$ este o măsură a cât de mult nu este aditiv.
În cazul limitativ al lui q = 1, devine

S(A,B)=S(A)+S(B),\,

{\ displaystyle S (A, B) = S (A) + S (B), \,}

{\ displaystyle S (A, B) = S (A) + S (B), \,}

ceea ce este de așteptat pentru un sistem aditiv.
Din acest motiv, această proprietate este uneori numită pseudo- aditivitate.

Familii de exponențiale

Multe distribuții de probabilitate comune, cum ar fi distribuția normală, conduc la familii de exponențiale. Entropia Tsallis pentru o familie exponențială poate fi scrisă ^[7] ca:

H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)

{\ displaystyle H_ {q} ^ {T} (p_ {F} (x; \ theta)) = {\ frac {1} {1-q}} \ left ((e ^ {F (q \ theta) - qF (\ theta)}) E_ {p} [e ^ {(q-1) k (x)}] - 1 \ dreapta)}

{\ displaystyle H_ {q} ^ {T} (p_ {F} (x; \ theta)) = {\ frac {1} {1-q}} \ left ((e ^ {F (q \ theta) - qF (\ theta)}) E_ {p} [e ^ {(q-1) k (x)}] - 1 \ dreapta)}

unde F este un log-normalizator și k termenul care indică măsurarea purtătorului .

Pentru distribuția normală multivariată , k este egal cu zero și, prin urmare, entropia Tsallis devine o expresie matematică în formă închisă (evaluabilă într-un număr finit de operații).

Generalizări ulterioare

Există un anumit număr de sisteme fizice relevante ^[8] care se referă la funcționale , care sunt capabile să generalizeze și mai mult entropia Tsallis. Cele mai importante două sunt: Superstatistica introdusă de C. Beck și EGD Cohen în 2003 ^[9] și Spectral Statistics, introdusă de GA Tsekouras și Constantino Tsallis în 2005. ^[10]
Entropia Tsallis și entropia Boltzmann-Gibbs pot fi obținute ca cazuri speciale din ambele două entropii. Mai mult, s-a arătat că formula superstatică poate fi derivată din statistici spectrale, ceea ce sugerează că prima poate conține și explica alte cazuri și fenomene.

Notă

^ C. Tsallis, Posibilă generalizare a statisticilor Boltzmann-Gibbs , în Journal of Statistical Physics , volumul 52, pp. 479–487, 1988, doi = 10.1007 / BF01016429
^ J. Havrda, F. Charvát, Metoda de cuantificare a proceselor de clasificare. Conceptul de α-entropie structurală , în Kybernetika , volumul 3 numărul = 1 pp. 30-35, 1967
^ S. Da Silva, P. Rathie, Shannon, Lévy și Tsallis: O notă , în Științe matematice aplicate , volumul 2 numărul 8 pp. 1359-1363, anul 2008
^ A. Cho, O nouă abordare a tulburării sau a științei dezordonate? , în Știință , volum = 297 număr = 5585 pp. 1268–1269, anul 2002, doi = 10.1126 / science.297.5585.1268
^ S. Abe, AK Rajagopal, Revisiting Disorder and Tsallis Statistics , în Știință , volum = 300 număr = 5617 pp. 249-251, anul 2003, doi = 10.1126 / science.300.5617.249d
^ S. Pressé, K. Ghosh, J. Lee, K. Dill, Nonadditive Entropies Yield Probability Distributions with Biases not Warranted by the Data , în Phys. Rev. Lett., Volum = 111 număr = 18 pp. 180604, anul 2013, doi = 10.1103 / PhysRevLett.111.180604, bibcode = 2013PhRvL.111r0604P, pmid = 24237501, arxiv = 1312.1186
^ F. Nielsen, R. Nock, O expresie în formă închisă pentru entropia Sharma - Mittal a familiilor exponențiale , în Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , volumul 45 numărul 3 pp. 032003, anul 2012, arxiv = 1112.4221, cod bib = 2012JPhA ... 45c2003N
^ V. García-Morales, K. Krischer, Superstatistics in nanoscale electrochemical systems , in PNAS, volume = 108 issue = 49 pp. 19535–19539, anul 2011, doi = 10.1073 / pnas.1109844108 | bibcode = 2011PNAS..10819535G, pmid = 22106266, pmc = 3241754
^ Cohen, Beck, Superstatistics , în Physica A: Statistical Mechanics and its Applications , volum = 322 pagini 267, anul 2003, doi = 10.1016 / S0378-4371 (03) 00019-0, arxiv = cond-mat / 0205097, bibcode = 2003PhyA..322..267B
^ Tsekouras, Tsallis, entropie generalizată care rezultă dintr-o distribuție de indici q , în Physical Review E , volum = 71 numărul = 4, anul 2005, doi = 10.1103 / PhysRevE.71.046144 | arxiv = cond-mat / 0412329, bibcode = 2005PhRvE. .71d6144T

Bibliografie

Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis, Eleutherius Symeonidis, On some properties of Tsallis hpoentropies and hypodivergences , in Entropy , 16 (10) (2014), 5377-5399; DOI : 10.3390 / e16105377
Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi, Inegalități matematice pentru unele divergențe , în Physica A 391 (2012), pp. 388-400, DOI : 10.1016 / j.physa.2011.07.052 ; ISSN 0378-4371 ( WC · ACNP )
Shigeru Furuichi, Nicușor Minculete, Flavia-Corina Mitroi, Some inequalities on generalized entropies , J. Inequal. Aplic., 2012, 2012: 226. DOI : 10.1186 / 1029-242X-2012-226

linkuri externe

Detalii despre rezultatele teoretice și experimentale
Statistici Tsallis, mecanici statistice pentru sisteme non-extinse și interacțiuni pe termen lung
Tomasz Maszczyk, Wlodzislaw Duch, Comparison of Shannon, Renyi and Tsallis Entropy used in Decision Trees , in Lecture Note in Computer Science , Vol. 5097 pp. 643-651, 2008, Departamentul de informatică, Universitatea Nicolaus Copernicus, Universitatea Grudzi¸adzka 5, 87-100 Toru´n, Polonia [1] .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] C. Tsallis, Posibilă generalizare a statisticilor Boltzmann-Gibbs , în Journal of Statistical Physics , volumul 52, pp. 479–487, 1988, doi = 10.1007 / BF01016429

[2] J. Havrda, F. Charvát, Metoda de cuantificare a proceselor de clasificare. Conceptul de α-entropie structurală , în Kybernetika , volumul 3 numărul = 1 pp. 30-35, 1967

[3] S. Da Silva, P. Rathie, Shannon, Lévy și Tsallis: O notă , în Științe matematice aplicate , volumul 2 numărul 8 pp. 1359-1363, anul 2008

[4] A. Cho, O nouă abordare a tulburării sau a științei dezordonate? , în Știință , volum = 297 număr = 5585 pp. 1268–1269, anul 2002, doi = 10.1126 / science.297.5585.1268

[5] S. Abe, AK Rajagopal, Revisiting Disorder and Tsallis Statistics , în Știință , volum = 300 număr = 5617 pp. 249-251, anul 2003, doi = 10.1126 / science.300.5617.249d

[6] S. Pressé, K. Ghosh, J. Lee, K. Dill, Nonadditive Entropies Yield Probability Distributions with Biases not Warranted by the Data , în Phys. Rev. Lett., Volum = 111 număr = 18 pp. 180604, anul 2013, doi = 10.1103 / PhysRevLett.111.180604, bibcode = 2013PhRvL.111r0604P, pmid = 24237501, arxiv = 1312.1186

[7] F. Nielsen, R. Nock, O expresie în formă închisă pentru entropia Sharma - Mittal a familiilor exponențiale , în Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , volumul 45 numărul 3 pp. 032003, anul 2012, arxiv = 1112.4221, cod bib = 2012JPhA ... 45c2003N

[8] V. García-Morales, K. Krischer, Superstatistics in nanoscale electrochemical systems , in PNAS, volume = 108 issue = 49 pp. 19535–19539, anul 2011, doi = 10.1073 / pnas.1109844108 | bibcode = 2011PNAS..10819535G, pmid = 22106266, pmc = 3241754

[9] Cohen, Beck, Superstatistics , în Physica A: Statistical Mechanics and its Applications , volum = 322 pagini 267, anul 2003, doi = 10.1016 / S0378-4371 (03) 00019-0, arxiv = cond-mat / 0205097, bibcode = 2003PhyA..322..267B

[10] Tsekouras, Tsallis, entropie generalizată care rezultă dintr-o distribuție de indici q , în Physical Review E , volum = 71 numărul = 4, anul 2005, doi = 10.1103 / PhysRevE.71.046144 | arxiv = cond-mat / 0412329, bibcode = 2005PhRvE. .71d6144T

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]