Ecuația Wheeler-DeWitt

Ecuația Wheeler - DeWitt este o ecuație funcțională care derivă din cuantificarea relativității generale conform formalismului canonic . Soluției i s-a dat numele sugestiv de funcțional de undă a universului .

Formalism canonic și superspațiul Wheeler

În formularea hamiltoniană cu variabile ADM , teoria relativității generale presupune apariția unui sistem dinamic constrâns cu constrângeri de primă clasă. Spațiul configurațiilor pe care sunt definite constrângerile este constituit de setul tuturor figurilor trimetrice Riemanniene posibile care formează grupul de difeomorfisme pe foliații $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ în care se împarte varietatea spațiu-timp ${\mathcal {M}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ $\ mathcal {M}$ :

$\{h_{ij}\}={\frac {\operatorname {Riem} (\Sigma )}{\operatorname {Diff} (\Sigma )}}$ ${\ displaystyle \ {h_ {ij} \} = {\ frac {\ operatorname {Riem} (\ Sigma)} {\ operatorname {Diff} (\ Sigma)}}}$ ${\ displaystyle \ {h_ {ij} \} = {\ frac {\ operatorname {Riem} (\ Sigma)} {\ operatorname {Diff} (\ Sigma)}}}$

unde este $h_{ij}$ ${\ displaystyle h_ {ij}}$ ${\ displaystyle h_ {ij}}$ reprezintă trimetricul spațial indus pe foliere $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ din metrici spațiu-timp $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ .

Trimetria rezultată formează un spațiu, numit Wheeler Superspace, infinit dimensional, dar cu un număr finit de grade de libertate în fiecare punct

Cuantificarea teoriei

Pentru a cuantifica un sistem constrâns de primă clasă, sunt posibile două moduri diferite:

Procedură de cuantificare redusă: constrângerile sunt rezolvate clasic în așa fel încât să se selecteze a priori doar stările fizice.
Procedura Dirac: constrângerile sunt implementate direct la nivel cuantic cu promovarea parantezelor Poisson la comutatoare și constrângerile la operatori, care acționând asupra stărilor teoriei selectează cele fizice. De fapt, o stare fizică trebuie să rămână nealterată în urma transformărilor generate de constrângerea însăși (la fel ca toate teoriile cu constrângeri de primă clasă, acestea pot fi văzute ca generatoare ale transformărilor de simetrie ale teoriei), deci operatorul ${\hat {C}}$ ${\ displaystyle {\ hat {C}}}$ ${\ hat {C}}$ , asociat cu constrângerea clasică $C=0$ ${\ displaystyle C = 0}$ $C = 0$ , acționând pe o stare fizică $|\Psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ Psi \ rangle}$ $| \ Psi \ rangle$ trebuie să-l anihileze: ${\hat {C}}|\Psi \rangle =0$ ${\ displaystyle {\ hat {C}} | \ Psi \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle {\ hat {C}} | \ Psi \ rangle = 0}$ .

Chiar dacă formal sunt proceduri echivalente, ele produc în general teorii diferite din cauza așa-numitelor probleme de ordonare; Mai mult, prima metodă prezintă deseori dificultăți semnificative chiar și cu modele foarte simple.

Prin urmare, urmând procedura Dirac promovăm parantezele Poisson la comutatoare

$[{\hat {h}}_{ij}(x,t),{\hat {h}}_{kl}(x',t)]=0$ ${\ displaystyle [{\ hat {h}} _ {ij} (x, t), {\ hat {h}} _ {kl} (x ', t)] = 0}$ ${\ displaystyle [{\ hat {h}} _ {ij} (x, t), {\ hat {h}} _ {kl} (x ', t)] = 0}$
$[{\hat {\pi }}^{ij}(x,t),{\hat {\pi }}^{kl}(x',t)]=0$ ${\ displaystyle [{\ hat {\ pi}} ^ {ij} (x, t), {\ hat {\ pi}} ^ {kl} (x ', t)] = 0}$ ${\ displaystyle [{\ hat {\ pi}} ^ {ij} (x, t), {\ hat {\ pi}} ^ {kl} (x ', t)] = 0}$
$[{\hat {h}}_{ij}(x,t),{\hat {\pi }}^{kl}(x',t)]=i\delta _{(i}^{k}\delta _{j)}^{l}\delta ^{3}(x-x')$ ${\ displaystyle [{\ hat {h}} _ {ij} (x, t), {\ hat {\ pi}} ^ {kl} (x ', t)] = i \ delta _ {(i} ^ {k} \ delta _ {j)} ^ {l} \ delta ^ {3} (xx ')}$ ${\ displaystyle [{\ hat {h}} _ {ij} (x, t), {\ hat {\ pi}} ^ {kl} (x ', t)] = i \ delta _ {(i} ^ {k} \ delta _ {j)} ^ {l} \ delta ^ {3} (xx ')}$

unde este ${\hat {\pi }}^{ij}(x,t)$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (x, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (x, t)}$ este momentul conjugat canonic cu trimetricul.

Observăm că:

relația (1) constituie un fel de condiție de microcausalitate care garantează că punctele foliației specifice $\Sigma _{t}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {t}}$ sunt asemănătoare spațiului
cererea ca operatorul ${\hat {h}}_{ij}(x,t)$ ${\ displaystyle {\ hat {h}} _ {ij} (x, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {h}} _ {ij} (x, t)}$ are un spectru pozitiv nu este compatibil cu regulile de comutare. Operatorul ${\hat {\pi }}^{ij}(x,t)$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (x, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ pi}} ^ {ij} (x, t)}$ este de fapt autoadjunct și acest lucru implică faptul că poate fi reprezentat ca un operator unitar, al cărui spectru include totuși și valori proprii negative, totuși, dacă restrângem spațiul Hilbert la stările pe care ${\hat {h}}_{ij}(x,t)$ ${\ displaystyle {\ hat {h}} _ {ij} (x, t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {h}} _ {ij} (x, t)}$ este pozitiv că am pierde proprietatea autoadjunctă pentru momentul operator. Pe de altă parte, statele proprii cu valori proprii negative prezintă o interpretare dificilă a naturii fizice.

Prin urmare, după promovarea constrângerilor secundare (superhamiltonian și supermoment) către operatori obținem:

${\begin{cases}{\hat {\mathcal {H}}}({\hat {h}},{\hat {\pi }})\Psi =0\\{\hat {\mathcal {H}}}_{i}({\hat {h}},{\hat {\pi }})\Psi =0\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {\ mathcal {H}}} ({\ hat {h}}, {\ hat {\ pi}}) \ Psi = 0 \\ {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {i} ({\ hat {h}}, {\ hat {\ pi}}) \ Psi = 0 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {\ mathcal {H}}} ({\ hat {h}}, {\ hat {\ pi}}) \ Psi = 0 \\ {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {i} ({\ hat {h}}, {\ hat {\ pi}}) \ Psi = 0 \ end {cases}}}$

unde este $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este unda funcțională a Universului. Presupunând că constrângerile primare sunt îndeplinite

${\begin{cases}C(x,t)\equiv \Pi (x,t)=0\\C^{i}(x,t)\equiv \Pi ^{i}(x,t)=0\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} C (x, t) \ equiv \ Pi (x, t) = 0 \\ C ^ {i} (x, t) \ equiv \ Pi ^ {i} (x, t ) = 0 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} C (x, t) \ equiv \ Pi (x, t) = 0 \\ C ^ {i} (x, t) \ equiv \ Pi ^ {i} (x, t ) = 0 \ end {cases}}}$

cu $\Pi (x,t),\Pi ^{i}(x,t)$ ${\ displaystyle \ Pi (x, t), \ Pi ^ {i} (x, t)}$ ${\ displaystyle \ Pi (x, t), \ Pi ^ {i} (x, t)}$ momentele conjugate respectiv cu funcția de lapse și cu vectorul de deplasare, ADM hamiltonian ia forma

$H=\int _{\Sigma }d^{3}x(N{\mathcal {H}}+N^{i}{\mathcal {H}}_{i})$ ${\ displaystyle H = \ int _ {\ Sigma} d ^ {3} x (N {\ mathcal {H}} + N ^ {i} {\ mathcal {H}} _ {i})}$ ${\ displaystyle H = \ int _ {\ Sigma} d ^ {3} x (N {\ mathcal {H}} + N ^ {i} {\ mathcal {H}} _ {i})}$

ceea ce implică într-o ipotetică ecuație de evoluție asemănătoare lui Schrödinger

${\hat {H}}\Psi =i{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =0$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ Psi = i {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi = 0}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} \ Psi = i {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi = 0}$

independența valului funcțional de timp. Acesta este așa-numitul formalism blocat: se pare că conceptul de evoluție în timp nu este prezent în teoria cuantică a relativității. Mai mult, în virtutea constrângerilor primare $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ se dovedește a fi doar o funcționalitate a trimetricului

$\Psi =\Psi [h_{ij}]$ ${\ displaystyle \ Psi = \ Psi [h_ {ij}]}$ ${\ displaystyle \ Psi = \ Psi [h_ {ij}]}$

Următorul pas este să alegeți o reprezentare pentru algebra canonică:

${\begin{cases}{\hat {h}}_{ij}\Psi =h_{ij}\Psi \\{\hat {\Pi }}^{ij}\Psi =-i{\frac {\delta \Psi }{\delta h_{ij}}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {h}} _ {ij} \ Psi = h_ {ij} \ Psi \\ {\ hat {\ Pi}} ^ {ij} \ Psi = -i {\ frac {\ delta \ Psi} {\ delta h_ {ij}}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {h}} _ {ij} \ Psi = h_ {ij} \ Psi \\ {\ hat {\ Pi}} ^ {ij} \ Psi = -i {\ frac {\ delta \ Psi} {\ delta h_ {ij}}} \ end {cases}}}$

care, totuși, prezintă dificultățile deja evidențiate: nu permite definirea operatorilor autoadjuncti și este incompatibilă cu cererea de pozitivitate a ${\hat {h}}_{ij}$ ${\ displaystyle {\ hat {h}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ hat {h}} _ {ij}}$ .

Prin intermediul acestei reprezentări putem rescrie constrângerea supermomentului ca

${\hat {\mathcal {H}}}_{i}\Psi =-2h_{ij}\nabla _{k}{\hat {\Pi }}^{jk}\Psi =2ih_{ij}\nabla _{k}{\frac {\delta \Psi }{\delta h_{jk}}}=0$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {i} \ Psi = -2h_ {ij} \ nabla _ {k} {\ hat {\ Pi}} ^ {jk} \ Psi = 2ih_ {ij } \ nabla _ {k} {\ frac {\ delta \ Psi} {\ delta h_ {jk}}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {i} \ Psi = -2h_ {ij} \ nabla _ {k} {\ hat {\ Pi}} ^ {jk} \ Psi = 2ih_ {ij } \ nabla _ {k} {\ frac {\ delta \ Psi} {\ delta h_ {jk}}} = 0}$

Deoarece supermomentul generează algebră $diff(\Sigma )$ ${\ displaystyle diff (\ Sigma)}$ ${\ displaystyle diff (\ Sigma)}$ a difereomorfismelor spațiale asupra foliației $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ , relația anterioară afirmă că valul funcțional $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este constantă de-a lungul orbitelor grupului de difeomorfism $Diff(\Sigma )$ ${\ displaystyle Diff (\ Sigma)}$ ${\ displaystyle Diff (\ Sigma)}$ . Urmează apoi că $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este definit pe întreaga clasă de trimetric:

$\Psi =\Psi [\{h_{ij}\}]$ ${\ displaystyle \ Psi = \ Psi [\ {h_ {ij} \}]}$ ${\ displaystyle \ Psi = \ Psi [\ {h_ {ij} \}]}$

Constrângerea supermomentului delimitează astfel spațiul cinematic Hilbert.

Dinamica și ecuația Wheeler-DeWitt

Dinamica este generată în schimb de constrângerea scalară (superhamiltoniană) care restricționează spațiul cinematic Hilbert la cel fizic, dând naștere ecuației Wheeler-DeWitt:

${\hat {\mathcal {H}}}\Psi =\left({\mathcal {G}}_{ijkl}{\hat {\Pi }}^{ij}{\hat {\Pi }}^{kl}-{\frac {\sqrt {h}}{2\kappa }}{\tilde {R}}\right)\Psi =\left(-\,{\mathcal {G}}_{ijkl}{\frac {\delta ^{2}}{\delta {\hat {h}}_{ij}\delta {\hat {h}}_{kl}}}-{\frac {\sqrt {h}}{2\kappa }}{\tilde {R}}\right)\Psi =0$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} \ Psi = \ left ({\ mathcal {G}} _ {ijkl} {\ hat {\ Pi}} ^ {ij} {\ hat {\ Pi} } ^ {kl} - {\ frac {\ sqrt {h}} {2 \ kappa}} {\ tilde {R}} \ right) \ Psi = \ left (- \, {\ mathcal {G}} _ { ijkl} {\ frac {\ delta ^ {2}} {\ delta {\ hat {h}} _ {ij} \ delta {\ hat {h}} _ {kl}}} - {\ frac {\ sqrt { h}} {2 \ kappa}} {\ tilde {R}} \ right) \ Psi = 0}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} \ Psi = \ left ({\ mathcal {G}} _ {ijkl} {\ hat {\ Pi}} ^ {ij} {\ hat {\ Pi} } ^ {kl} - {\ frac {\ sqrt {h}} {2 \ kappa}} {\ tilde {R}} \ right) \ Psi = \ left (- \, {\ mathcal {G}} _ { ijkl} {\ frac {\ delta ^ {2}} {\ delta {\ hat {h}} _ {ij} \ delta {\ hat {h}} _ {kl}}} - {\ frac {\ sqrt { h}} {2 \ kappa}} {\ tilde {R}} \ right) \ Psi = 0}$

unde am ales o ordonare în care momentele sunt în dreapta trimetricului, prezent în așa-numita supermetrică:

${\mathcal {G}}_{ijkl}={\frac {\kappa }{\sqrt {h}}}\,({\hat {h}}_{ik}{\hat {h}}_{jl}+{\hat {h}}_{il}{\hat {h}}_{jk}-{\hat {h}}_{ij}{\hat {h}}_{kl})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {ijkl} = {\ frac {\ kappa} {\ sqrt {h}}} \, ({\ hat {h}} _ {ik} {\ hat {h} } _ {jl} + {\ hat {h}} _ {il} {\ hat {h}} _ {jk} - {\ hat {h}} _ {ij} {\ hat {h}} _ {kl })}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {ijkl} = {\ frac {\ kappa} {\ sqrt {h}}} \, ({\ hat {h}} _ {ik} {\ hat {h} } _ {jl} + {\ hat {h}} _ {il} {\ hat {h}} _ {jk} - {\ hat {h}} _ {ij} {\ hat {h}} _ {kl })}$

Am notat asta:

Este o ecuație diferențială funcțională hiperbolică de ordinul doi, definită pe spațiul de configurare $\{h_{ij}\}$ ${\ displaystyle \ {h_ {ij} \}}$ ${\ displaystyle \ {h_ {ij} \}}$ pentru fiecare $x\in \Sigma$ ${\ displaystyle x \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle x \ in \ Sigma}$ .
Nu este nici polinom, nici analitic în trimetric și prezintă divergențele obișnuite datorate calculului operatorilor în același punct.
Ecuația necesită ca statul $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este un stat propriu al superhamiltonianului cu zero valoare proprie, dar teoria nu oferă informații despre condițiile limită care trebuie impuse.

Interpretarea funcțională a undei Universului

Interpretarea probabilistică a undei funcționale a Universului pare oarecum problematică. În mecanica cuantică obișnuită este posibil să se asocieze funcția de undă cu o densitate de probabilitate, raportată la natura previziunilor pe care teoria le poate face. În acest context, una dintre cerințele fundamentale ale teoriei este aceea că este posibilă separarea sistemului supus examinării, al cărui comportament este cuantic, de observatorul extern, cu caracteristici de tip clasic. Mai mult, observatorul trebuie să poată efectua propriile măsurători pe un set de sisteme pregătite în aceeași stare inițială sau cel puțin să poată repeta măsurătorile în timp pe un sistem în care este posibil să se restabilească aceleași condiții . Aceste considerații, aplicate la nivel cosmologic, întâmpină totuși serioase dificultăți conceptuale. Universul, de fapt, constituie tot ceea ce există: prin urmare, ca obiect a cărui stare este reprezentată de funcțional $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ , nu admite o subdiviziune în sistem cuantic și observator extern, deoarece nu există nimic extern Universului însuși. Mai mult, deoarece este unic, nu este susceptibil la măsuri repetate nici în timp, nici în număr.

O interpretare a unui tip probabilistic poate fi recuperată la nivel semiclasic în tratamentul cu grade reduse de libertate, în așa-numitele teorii minisuperspațiale.

Întrebarea timpului în formalismul Wheeler-DeWitt

După cum a apărut în discuția despre constrângerea superhamiltoniană, ecuația Wheeler-DeWitt nu conține în mod explicit o dependență de timp. Această caracteristică este comună tuturor procedurilor de cuantificare a teoriilor de câmp care se bucură de proprietatea invarianței pentru difeomorfisme: aceasta se datorează faptului că, în relativitatea generală, câmpul metric este o variabilă dinamică în sine și nu un scenariu de fond pe care evoluează. descris de teorie. Prin urmare, nu mai este posibil să se identifice în mod unic și consecvent un sistem de referință extern cu privire la care să se definească un concept de evoluție temporală. Cu toate acestea, este posibil, în anumite circumstanțe, să se construiască variabile care joacă un rol similar cu cel al timpului în mecanica clasică sau în mecanica cuantică obișnuită. Aceste variabile pot fi procesate atât înainte de procedura de cuantificare, cât și a posteriori, rămânând totuși deschise posibilității unui tratament fizic al teoriei care nu se referă deloc în mod explicit la o variabilă de timp.

Timp de precuantizare

Putem identifica două metode diferite:

Metoda multi-timp : constrângerile sunt rezolvate clasic și o variabilă temporală este construită pornind de la celelalte variabile canonice, în așa fel încât să rescrieți constrângerea dinamică ca $p_{A}+h_{A}=0$ ${\ displaystyle p_ {A} + h_ {A} = 0}$ ${\ displaystyle p_ {A} + h_ {A} = 0}$ și obțineți o ecuație de evoluție asemănătoare lui Schrödinger la nivelul cuantic $i{\frac {\delta \Psi }{\delta {\hat {q}}_{A}}}={\hat {h}}_{A}\Psi$ ${\ displaystyle i {\ frac {\ delta \ Psi} {\ delta {\ hat {q}} _ {A}}} = {\ hat {h}} _ {A} \ Psi}$ ${\ displaystyle i {\ frac {\ delta \ Psi} {\ delta {\ hat {q}} _ {A}}} = {\ hat {h}} _ {A} \ Psi}$
Metoda materiei de ceas : un câmp scalar de masă zero este introdus în teoria care induce o valoare proprie minimă non-zero pentru superhamiltonian

Timpul de post-cuantificare

Ideea este de a folosi similaritatea ecuației Wheeler-DeWitt cu ecuația Klein-Gordon , unde termenul de masă este înlocuit cu termenul proporțional cu trimetricul și scalarul curburii tridimensionale ${\sqrt {h}}{\tilde {R}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {h}} {\ tilde {R}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {h}} {\ tilde {R}}}$ . Cu toate acestea, această strategie prezintă mai multe dificultăți legate de dificultatea de a defini un spațiu Hilbert adecvat.

Alternativ, odată ce teoria a fost cuantificată, este posibil să se utilizeze construcția stărilor semiclasice, conform căreia timpul (și mai general spațiul-timp în sine) s-ar dovedi a fi o proprietate emergentă. Cu toate acestea, această aproximare devine neapărat inconsecventă odată cu atingerea regimului Planckian, unde efectele cuantice devin dominante.

Portalul de fizică

Portalul relativității