Ecuația mișcării

În mecanica clasică , o ecuație a mișcării este o ecuație care descrie mișcarea unui sistem fizic în funcție de poziția în spațiu și timp . ^[1] În special, ecuația care exprimă o coordonată generalizată în funcție de variabila timp se numește lege orară .

Descriere

Un sistem mecanic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ gradele de libertate sunt de obicei descrise printr-un set de coordonate generalizate ${\textstyle q_{1},\dots ,q_{n}}$ ${\ textstyle q_ {1}, \ dots, q_ {n}}$ ${\ textstyle q_ {1}, \ dots, q_ {n}}$ . Cunoașterea coordonatelor generalizate și a vitezei generalizate la un moment dat în timp ${\textstyle {\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{n}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {1}, \ dots, {\ dot {q}} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {1}, \ dots, {\ dot {q}} _ {n}}$ , care sunt derivatele în ceea ce privește timpul coordonatelor generalizate, permite o caracterizare completă a stării mecanice a sistemului. Cu aceste informații, accelerațiile pot fi determinate în mod unic ${\textstyle {\ddot {q}}_{1},\dots ,{\ddot {q}}_{n}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {1}, \ dots, {\ ddot {q}} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {1}, \ dots, {\ ddot {q}} _ {n}}$ și, prin urmare, este posibil să se prezică evoluția sistemului într-un moment ulterior celui luat în considerare. Ecuația mișcării raportează cantități ${\textstyle q_{i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ , ${\textstyle {\dot {q}}_{i}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ textstyle {\ dot {q}} _ {i}}$ Și ${\textstyle {\ddot {q}}_{i}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {i}}$ ${\ textstyle {\ ddot {q}} _ {i}}$ , și dacă necunoscutul este ${\textstyle q_{i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ , așa cum se întâmplă adesea, este o ecuație diferențială de ordinul al doilea ale cărei soluții sunt legile orare posibile $q_{i}(t)$ ${\ displaystyle q_ {i} (t)}$ $q_ {i} (t)$ a unui punct material sau a unui corp, supus unei interacțiuni cunoscute. Ecuațiile mișcării sunt completate de definiția parametrilor inițiali, care definesc problema lui Cauchy și care, sub ipoteze adecvate, permit determinarea în mod unic a soluției.

De obicei, legea orară a unui obiect în mișcare este o ecuație care este derivată din aplicarea la sistemul legilor dinamic ale lui Newton sau legile conservării , cum ar fi legea conservării energiei mecanice sau a momentului unghiular . Legea orară a unui punct material poate fi dată atât cu privire la un sistem de referință, cât și cu privire la o abscisă curbiliniară . De exemplu, dacă un punct material este constrâns pe un ghid pentru a-i defini poziția, este posibil să se indice valorile proiecției punctului pe axe, precum și distanța de la un punct de referință luat pe ghid.

Definiție

În mecanica newtoniană, o ecuație de mișcare este o funcție $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ care are forma unei ecuații diferențiale obișnuite cu privire la funcția care descrie poziția ca o funcție a timpului $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ :

M\left[\mathbf {r} (t),\mathbf {\dot {r}} (t),\mathbf {\ddot {r}} (t),t\right]=0

{\ displaystyle M \ left [\ mathbf {r} (t), \ mathbf {\ dot {r}} (t), \ mathbf {\ ddot {r}} (t), t \ right] = 0}

M \ left [{\ mathbf {r}} (t), {\ mathbf {{\ dot {r}}}} (t), {\ mathbf {{\ ddot {r}}}} (t), t \ dreapta] = 0

Problema Cauchy este dată de atribuirea unei valori poziției și derivatei acesteia în momentul respectiv $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ :

\mathbf {r} (0)=\mathbf {r} _{0}\qquad \mathbf {\dot {r}} (0)={\dot {\mathbf {r} }}_{0}

{\ displaystyle \ mathbf {r} (0) = \ mathbf {r} _ {0} \ qquad \ mathbf {\ dot {r}} (0) = {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {0 }}

{\ mathbf {r}} (0) = {\ mathbf r} _ {0} \ qquad {\ mathbf {{\ dot {r}}}} (0) = {\ dot {\ mathbf r}} _ { 0}

Al doilea principiu al dinamicii poate fi formulat atât prin legea lui Newton, cât și prin prima ecuație a lui Euler . Aceasta din urmă reprezintă forma sa cea mai generală:

\mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}\mathbf {p} }{{\rm {d}}t}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {p}} {{\ rm {d}} t}}}

{\ mathbf {F}} = {\ frac {{{\ rm {d}}} {\ mathbf {p}}} {{{\ rm {d}}} t}}

unde este $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ este forța și $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ impuls și această ecuație are forma unei ecuații de mișcare. Deoarece masa constantă este presupusă, ea poate fi scrisă și folosind notația lui Newton $\mathbf {F} =m\mathbf {\ddot {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {\ ddot {x}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {\ ddot {x}}}$ iar în cazul unidimensional avem:

{\ddot {x}}={\frac {F(x,{\dot {x}})}{m}}

{\ displaystyle {\ ddot {x}} = {\ frac {F (x, {\ dot {x}})} {m}}}

{\ ddot x} = {\ frac {F (x, {\ dot x})} {m}}

Această ecuație are trei cazuri notabile:

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este nulă, se obține soluția de mișcare rectilinie uniformă : $x(t)=x(0)+v(0)t$ ${\ displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t}$ ${\ displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t}$

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este constantă mișcarea este accelerată uniform: $x(t)=x(0)+v(0)t+{\frac {F}{2m}}t^{2}$ ${\ displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t + {\ frac {F} {2m}} t ^ {2}}$ ${\ displaystyle x (t) = x (0) + v (0) t + {\ frac {F} {2m}} t ^ {2}}$

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este proporțional cu opusul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ mișcarea este cea a unui oscilator armonic : $x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\varphi \right)$ ${\ displaystyle x (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {k} {m}}} t + \ varphi \ right)}$ $x (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {k} {m}}} t + \ varphi \ right)$

unde este

LA

{\ displaystyle A}

LA

Și

\varphi

{\ displaystyle \ varphi}

\ varphi

sunt constante cunoscute pornind de la poziția inițială și viteza e

k

{\ displaystyle k}

k

este constanta proporționalității, cu semn pozitiv, între forță și deplasare.

Principiul variațional al lui Hamilton

Același subiect în detaliu: principiul variațional al lui Hamilton .

Legea lui Newton nu este singura modalitate de a descrie dinamica unui sistem. Luați în considerare un sistem fizic descris de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonate generalizate $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ mathbf q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})$ care evoluează între două stări $\mathbf {q} _{1}(t)=\mathbf {q} (t_{1})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1} (t) = \ mathbf {q} (t_ {1})}$ ${\ mathbf q} _ {1} (t) = {\ mathbf q} (t_ {1})$ Și $\mathbf {q} _{2}(t)=\mathbf {q} (t_{2})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2} (t) = \ mathbf {q} (t_ {2})}$ ${\ mathbf q} _ {2} (t) = {\ mathbf q} (t_ {2})$ în intervalul de timp dintre instante $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ . Mișcarea unui astfel de sistem, care este un sistem conservator , respectă principiul variațional al lui Hamilton, conform căruia calea parcursă minimizează acțiunea ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ , dat de integral :

{\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,\operatorname {d} \!t

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q} (t) , {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, \ operatorname {d} \! t}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q} (t) , {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, \ operatorname {d} \! t}

unde este ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal L}$ este Lagrangianul sistemului. Ecuațiile Euler-Lagrange :

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! t}} { \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! t}} { \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = 0}

sunt obținute direct pornind de la principiul variațional și sunt ecuații de mișcare. Ele descriu mișcarea unui obiect care respectă al doilea principiu al dinamicii , raportând poziția și viteza fiecărui element care alcătuiește sistemul. ^[2]

Constantele mișcării

Același subiect în detaliu: constanta mișcării și integrala primă .

Soluțiile ecuației mișcării sunt reprezentate prin orbite în spațiul de fază . O constantă de mișcare este o funcție constantă de-a lungul fiecărei orbite a sistemului. Având în vedere un sistem de ecuații diferențiale de prim ordin:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}

o funcție scalară $X(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {r})}$ este o constantă de mișcare sau o cantitate conservată dacă pentru toate condițiile inițiale avem:

{\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=0\qquad \forall t

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} = 0 \ qquad \ forall t}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} = 0 \ qquad \ forall t}

Soluția sistemului este tangentă la câmpul vectorial $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ , care poate fi de exemplu un câmp de viteză , și este intersecția a două suprafețe: ele sunt integralele primare ale sistemului de ecuații diferențiale. Folosind regula lanțului arătăm că câmpul vector $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ este ortogonală cu gradientul mărimii conservate $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Exemple

1 dimensiune

Un caz simplu al legii orare este cel al traiectoriei unei particule asemănătoare unui punct constrâns să rămână pe o linie dreaptă. Luată ca sistem de referință linia dreaptă în sine, orientată și cu o origine, legea orară este o funcție $x:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $x: {\ mathbb R} \ rightarrow {\ mathbb R}$ pe care îl asociază cu fiecare moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a liniei drepte (în acest caz sistemul ortonormal de referință și abscisa curbilinie coincid). De exemplu, să presupunem că aveți o particulă de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ împins de o forță constantă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în direcția pozitivă a liniei. Aplicând al doilea principiu al dinamicii avem ecuația mișcării:

{\ddot {x}}={\frac {F}{m}}

{\ displaystyle {\ ddot {x}} = {\ frac {F} {m}}}

{\ ddot x} = {\ frac {F} {m}}

din care, integrând de două ori (sau reamintind formula pentru mișcare rectilinie accelerată uniform ) avem legea orară:

x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}{\frac {F}{m}}t^{2}

{\ displaystyle x (t) = x_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ frac {F} {m}} t ^ {2}}

x (t) = x_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} {\ frac {F} {m}} t ^ {2}

2 dimensiuni

Mișcare pe un plan înclinat.

Un caz mai puțin banal, în care putem vedea, de asemenea, diferența dintre sistemul cartezian de referință și abscisa curbiliniară, este cel al unui corp asemănător unui punct pe un plan înclinat neted, cu o înclinare $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , supus forței gravitaționale , așa cum se arată în figură. Sistemul de referință este luat cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ orizontal de la stânga la dreapta și axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ vertical orientat în sus.

A doua lege a dinamicii, odată ce s-au adăugat toate forțele, inclusiv reacția de constrângere , dă următoarele două ecuații:

\left\{{\begin{aligned}&{\ddot {x}}=g\cos {\theta }\sin {\theta }\\&{\ddot {y}}=-g\sin ^{2}{\theta }\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & {\ ddot {x}} = g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \\ & {\ ddot {y}} = - g \ sin ^ {2} {\ theta} \ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & {\ ddot {x}} = g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \\ & {\ ddot {y}} = - g \ sin ^ {2} {\ theta} \ end {align}} \ right.}

care se rezolvă independent ca două mișcări uniform accelerate de-a lungul axelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ :

\left\{{\begin{aligned}&x(t)=x_{0}+v_{x}t+{\frac {1}{2}}\left(g\cos {\theta }\sin {\theta }\right)t^{2}\\&y(t)=y_{0}+v_{y}t-{\frac {1}{2}}\left(g\sin ^{2}{\theta }\right)t^{2}\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x (t) = x_ {0} + v_ {x} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2} \\ & y (t) = y_ {0} + v_ {y} t - {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin ^ {2} {\ theta} \ right) t ^ {2} \ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x (t) = x_ {0} + v_ {x} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ cos {\ theta} \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2} \\ & y (t) = y_ {0} + v_ {y} t - {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin ^ {2} {\ theta} \ right) t ^ {2} \ end {align}} \ right.}

Setul acestor două funcții este legea orară căutată: dată o valoare a timpului $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ poziția punctului poate fi cunoscută prin coordonatele sale carteziene. O altă expresie a poziției, totuși, poate fi dată în termeni de abscisă coincidentă cu planul și direcționată în jos: în acest fel mișcarea, care anterior era bidimensională, se reduce la o mișcare unidimensională de-a lungul planului. Cu acest sistem de referință, ecuația mișcării este:

{\ddot {r}}=g\sin {\theta }

{\ displaystyle {\ ddot {r}} = g \ sin {\ theta}}

{\ displaystyle {\ ddot {r}} = g \ sin {\ theta}}

și legea orară:

r(t)=r_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}\left(g\sin {\theta }\right)t^{2}

{\ displaystyle r (t) = r_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2}}

{\ displaystyle r (t) = r_ {0} + v_ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ left (g \ sin {\ theta} \ right) t ^ {2}}

Pentru a clarifica formalismul vectorial, poate fi definit un vector de poziție $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ ca:

\mathbf {r} (t)=\left(x(t),y(t)\right)

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ left (x (t), y (t) \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ left (x (t), y (t) \ right)}

iar legea orară este exprimată ca o funcție vectorială:

r\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle r \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

{\ displaystyle r \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

Acest vector este setat în planul vertical format de axe $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și indică poziția particulei moment cu moment. Deplasarea particulei între două instante $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ este dat pur și simplu de:

\Delta \mathbf {s} =\mathbf {s} (t_{2})-\mathbf {s} (t_{1})=\left(x(t_{2})-x(t_{1}),y(t_{2})-y(t_{1})\right)

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {s} = \ mathbf {s} (t_ {2}) - \ mathbf {s} (t_ {1}) = \ left (x (t_ {2}) - x (t_ { 1}), y (t_ {2}) - y (t_ {1}) \ right)}

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {s} = \ mathbf {s} (t_ {2}) - \ mathbf {s} (t_ {1}) = \ left (x (t_ {2}) - x (t_ { 1}), y (t_ {2}) - y (t_ {1}) \ right)}

Notă

^ Enciclopedia fizicii (ediția a doua), RG Lerner, GL Trigg, VHC Publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1 (VHC Inc.) 0-89573-752-3
^ Landau, Lifshits , p. 28 .

Bibliografie

Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Theoretical Physics 1 - Mechanics , Rome, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0 .
C. Mencuccini - V. Silvestrini, Fizica I - Mecanică și termodinamică ed. A III-a, 1996, Liguori Editore ISBN 8820714930
(EN) David Halliday, Robert Resnick și Jearl Walker, Fundamentals of Physics, 7 Sub, Wiley, 16 iunie 2004, ISBN 0-471-23231-9 .
( EN ) Val Hanrahan și R Porkess, Matematică suplimentară pentru OCR , Londra, Hodder & Stoughton, 2003, p. 219, ISBN 0-340-86960-7 .
( EN ) Keith Johnson, Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE , 4th, Nelson Thornes, 2001, p. 135, ISBN 978-0-7487-6236-1 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[Physics_1991-1] Enciclopedia fizicii (ediția a doua), RG Lerner, GL Trigg, VHC Publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1 (VHC Inc.) 0-89573-752-3

[def-2] Landau, Lifshits , p. 28 .

[1]

[2]