Ecuația șirului vibrant

Vocea principală: șir vibrant .

Ecuația șirului vibrant este cazul unidimensional al ecuației undei și este utilizată pentru a descrie fenomenul șirului vibrant. Ecuația pentru vibrațiile libere ale șirului (ecuație omogenă) este:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} - a ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2 }}} = 0}

\ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} - a ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} = 0

în timp ce ecuația pentru corzi vibrante forțate (sau transversale) este:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=f

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} - a ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2 }}} = f}

\ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} - a ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} = f

În general, soluția depinde de două condiții inițiale:

u(x,t=0)=w_{1}

{\ displaystyle u (x, t = 0) = w_ {1}}

u (x, t = 0) = w_1

{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} (x, t = 0) = w_ {2}}

\ frac {\ partial u} {\ partial t} (x, t = 0) = w_2

că, în cazul unei coarde infinite, condițiile trebuie definite în orice $(-\infty ,+\infty )$ ${\ displaystyle (- \ infty, + \ infty)}$ $(- \ infty, + \ infty)$ . În cazul în care frânghia este finită și lungă $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ în schimb, condițiile suplimentare trebuie impuse variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

u(x=0,t)=0

{\ displaystyle u (x = 0, t) = 0}

u (x = 0, t) = 0

u(x=l,t)=0

{\ displaystyle u (x = l, t) = 0}

u (x = l, t) = 0

Soluția lui D'Alembert

Soluția lui D'Alembert constă în înlocuirea:

{\begin{cases}X=x-at\\Y=x+at\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} X = x-at \\ Y = x + at \ end {cases}}}

\ begin {cases} X = x - at \\ Y = x + at \ end {cases}

Ecuația omogenă se transformă în consecință; derivând pentru prima dată:

{\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial Y}}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=a\cdot \left({\frac {\partial u}{\partial Y}}-{\frac {\partial u}{\partial X}}\right)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial Y}} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = a \ cdot \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial Y}} - {\ frac {\ partial u} { \ partial X}} \ right) \ end {cases}}}

\ begin {cases} \ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial u} {\ partial X} + \ frac {\ partial u} {\ partial Y} \\ \ frac {\ partial u} {\ partial t} = a \ cdot \ left (\ frac {\ partial u} {\ partial Y} - \ frac {\ partial u} {\ partial X} \ right) \ end {cases}

și derivând a doua oară:

{\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}+2\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial Y^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}\cdot \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}-2\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial Y^{2}}}\right)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X ^ { 2}}} + 2 \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X \ partial Y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial Y ^ {2} }} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = a ^ {2} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} { \ partial X ^ {2}}} - 2 \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X \ partial Y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial Y ^ {2}}} \ right) \ end {cases}}}

\ begin {cases} \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} = \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X ^ {2}} + 2 \ cdot \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X \ partial Y} + \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial Y ^ {2}} \\ \ frac {\ partial ^ {2 } u} {\ partial t ^ {2}} = a ^ {2} \ cdot \ left (\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X ^ {2}} - 2 \ cdot \ frac { \ partial ^ {2} u} {\ partial X \ partial Y} + \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial Y ^ {2}} \ right) \ end {cases}

Asa de:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X \ partial Y}} = 0}

\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X \ partial Y} = 0

a cărei soluție generală este dată de:

u(X,Y)=g_{1}(X)+g_{2}(Y)=u(x,t)=g_{1}(x-at)+g_{2}(x+at)

{\ displaystyle u (X, Y) = g_ {1} (X) + g_ {2} (Y) = u (x, t) = g_ {1} (x-at) + g_ {2} (x + la)}

u (X, Y) = g_1 (X) + g_2 (Y) = u (x, t) = g_1 (x -at) + g_2 (x + at)

Sunt determinate cele două funcții generice $g_{1}$ ${\ displaystyle g_ {1}}$ $g_1$ Și $g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {2}}$ $g_2$ prin impunerea condițiilor inițiale:

{\begin{cases}u=g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=a\cdot \left(-g_{1}^{'}(x-at)+g_{2}^{'}(x+at)\right)=w_{2}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u = g_ {1} (x) + g_ {2} (x) = w_ {1} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = a \ cdot \ left (-g_ {1} ^ {'} (x-at) + g_ {2} ^ {'} (x + at) \ right) = w_ {2} \ end {cases}}}

\ begin {cases} u = g_1 (x) + g_2 (x) = w_1 \\ \ frac {\ partial u} {\ partial t} = a \ cdot \ left (- g_ {1} ^ {'} (x -at) + g_ {2} ^ {'} (x + at) \ right) = w_2 \ end {cases}

din care avem:

{\begin{cases}g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\-g_{1}^{'}(x)+g_{2}^{'}(x)={\frac {w_{2}}{a}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} g_ {1} (x) + g_ {2} (x) = w_ {1} \\ - g_ {1} ^ {'} (x) + g_ {2} ^ { '} (x) = {\ frac {w_ {2}} {a}} \ end {cases}}}

\ begin {cases} g_1 (x) + g_2 (x) = w_1 \\ - g_ {1} ^ {'} (x) + g_ {2} ^ {'} (x) = \ frac {w_2} {a } \ end {cases}

Al doilea sistem poate fi integrat (prin schimbarea semnului):

g_{1}(x)-g_{2}(x)=-{\frac {1}{a}}\int _{0}^{x}w_{2}(z)dz+C

{\ displaystyle g_ {1} (x) -g_ {2} (x) = - {\ frac {1} {a}} \ int _ {0} ^ {x} w_ {2} (z) dz + C }

g_ {1} (x) - g_ {2} (x) = - \ frac {1} {a} \ int_ {0} ^ {x} w_2 (z) dz + C

în care se impune $C=0$ ${\ displaystyle C = 0}$ $C = 0$ . Din sistem:

{\begin{cases}g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\g_{1}(x)-g_{2}(x)=-{\frac {1}{a}}\int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} g_ {1} (x) + g_ {2} (x) = w_ {1} \\ g_ {1} (x) -g_ {2} (x) = - {\ frac {1} {a}} \ int _ {0} ^ {x} w_ {2} (z) dz \ end {cases}}}

\ begin {cases} g_1 (x) + g_2 (x) = w_1 \\ g_ {1} (x) - g_ {2} (x) = - \ frac {1} {a} \ int_ {0} ^ { x} w_2 (z) dz \ end {cases}

care devine:

{\begin{cases}g_{1}(x)={\frac {1}{2}}w_{1}-{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\\g_{2}(x)={\frac {1}{2}}w_{1}+{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} g_ {1} (x) = {\ frac {1} {2}} w_ {1} - {\ frac {1} {2a}} \ cdot \ int _ {0} ^ {x} w_ {2} (z) dz \\ g_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} w_ {1} + {\ frac {1} {2a}} \ cdot \ int _ {0} ^ {x} w_ {2} (z) dz \ end {cases}}}

\ begin {cases} g_1 (x) = \ frac {1} {2} w_1 - \ frac {1} {2a} \ cdot \ int_ {0} ^ {x} w_2 (z) dz \\ g_ {2} (x) = \ frac {1} {2} w_1 + \ frac {1} {2a} \ cdot \ int_ {0} ^ {x} w_2 (z) dz \ end {cases}

avem soluția ecuației vibrației libere:

u(x,t)={\frac {w_{1}(x-at)+w_{1}(x+at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{x-at}^{x+at}w_{2}(z)dz

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {w_ {1} (x-at) + w_ {1} (x + at)} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ cdot \ int _ {x-at} ^ {x + at} w_ {2} (z) dz}

u (x, t) = \ frac {w_1 (x-at) + w_1 (x + at)} {2} + \ frac {1} {2a} \ cdot \ int_ {x-at} ^ {x + at } w_2 (z) dz

Cazuri speciale

Dacă condițiile inițiale sunt:

{\begin{cases}u(x,t=0)=w_{1}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u (x, t = 0) = w_ {1} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} (x, t = 0) = w_ {2} = 0 \ end {cases}}}

\ begin {cases} u (x, t = 0) = w_1 \\ \ frac {\ partial u} {\ partial t} (x, t = 0) = w_2 = 0 \ end {cases}

soluția devine:

u(x,t)={\frac {w_{1}(x-at)+w_{1}(x+at)}{2}}

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {w_ {1} (x-at) + w_ {1} (x + at)} {2}}}

u (x, t) = \ frac {w_1 (x-at) + w_1 (x + at)} {2}

Dacă condițiile inițiale sunt:

{\begin{cases}u(x,t=0)=w_{1}=0\\{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u (x, t = 0) = w_ {1} = 0 \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} (x, t = 0) = w_ { 2} \ end {cases}}}

\ begin {cases} u (x, t = 0) = w_1 = 0 \\ \ frac {\ partial u} {\ partial t} (x, t = 0) = w_2 \ end {cases}

soluția noastră devine:

u(x,t)={\frac {1}{2a}}\cdot \int _{x-at}^{x+at}w_{2}(z)dz

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {2a}} \ cdot \ int _ {x-at} ^ {x + at} w_ {2} (z) dz}

u (x, t) = \ frac {1} {2a} \ cdot \ int_ {x-at} ^ {x + at} w_2 (z) dz

Metoda Fourier

În cazul unei frânghii de lungime finită $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , cu condițiile suplimentare la limite, este intuitiv să se utilizeze metoda de separare a variabilelor sau „metoda Fourier”. Constă în căutarea unei soluții particulare a ecuației omogene a tipului:

u=T(t)\cdot X(x)

{\ displaystyle u = T (t) \ cdot X (x)}

u = T (t) \ cdot X (x)

adică cu produsul a doi termeni, dintre care unul depinde doar de variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar cealaltă numai din variabilă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Înlocuind în ecuația omogenă și derivând de două ori obținem:

X(x)\cdot T''(t)=a^{2}\cdot T(t)\cdot X''(x)

{\ displaystyle X (x) \ cdot T '' (t) = a ^ {2} \ cdot T (t) \ cdot X '' (x)}

X (x) \ cdot T "(t) = a ^ 2 \ cdot T (t) \ cdot X" (x)

de la care:

{\frac {T''(t)}{a^{2}\cdot T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}

{\ displaystyle {\ frac {T '' (t)} {a ^ {2} \ cdot T (t)}} = {\ frac {X '' (x)} {X (x)}}}

\ frac {T '' (t)} {a ^ 2 \ cdot T (t)} = \ frac {X '' (x)} {X (x)}

Pentru ca inegalitatea să existe, ambii membri trebuie să fie egali cu aceeași constantă:

{\frac {T''(t)}{a^{2}\cdot T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-K^{2}

{\ displaystyle {\ frac {T '' (t)} {a ^ {2} \ cdot T (t)}} = {\ frac {X '' (x)} {X (x)}} = - K ^ {2}}

\ frac {T '' (t)} {a ^ 2 \ cdot T (t)} = \ frac {X '' (x)} {X (x)} = -K ^ 2

din care obținem două ecuații într-o singură variabilă:

{\begin{cases}X''(x)+K^{2}\cdot X(x)=0\qquad K\neq 0\\T''(t)+a^{2}\cdot K^{2}\cdot T(t)=0\qquad K\neq 0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} X '' (x) + K ^ {2} \ cdot X (x) = 0 \ qquad K \ neq 0 \\ T '' (t) + a ^ {2} \ cdot K ^ {2} \ cdot T (t) = 0 \ qquad K \ neq 0 \ end {cases}}}

\ begin {cases} X '' (x) + K ^ 2 \ cdot X (x) = 0 \ qquad K \ ne 0 \\ T '' (t) + a ^ 2 \ cdot K ^ 2 \ cdot T ( t) = 0 \ qquad K \ ne 0 \ end {cases}

Soluțiile acestor ecuații sunt de tipul:

{\begin{cases}X(x)=A\cos(Kx)+B\sin(Kx)\\T(t)=C\cos(aKt)+D\sin(aKt)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} X (x) = A \ cos (Kx) + B \ sin (Kx) \\ T (t) = C \ cos (aKt) + D \ sin (aKt) \ end { cazuri}}}

\ begin {cases} X (x) = A \ cos (Kx) + B \ sin (Kx) \\ T (t) = C \ cos (aKt) + D \ sin (aKt) \ end {cases}

Prin urmare, soluția generală a ecuației omogene ar deveni:

u=\left[A\cos(Kx)+B\sin(Kx)\right]\cdot \left[C\cos(aKt)+D\sin(aKt)\right]

{\ displaystyle u = \ left [A \ cos (Kx) + B \ sin (Kx) \ right] \ cdot \ left [C \ cos (aKt) + D \ sin (aKt) \ right]}

{\ displaystyle u = \ left [A \ cos (Kx) + B \ sin (Kx) \ right] \ cdot \ left [C \ cos (aKt) + D \ sin (aKt) \ right]}

.

Coeficienții $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt calculate prin impunerea condițiilor la limite:

{\begin{cases}X(x=0)=A\cdot 1+B\cdot 0=0\\X(x=l)=A\cos(Kl)+B\sin(Kl)=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} X (x = 0) = A \ cdot 1 + B \ cdot 0 = 0 \\ X (x = l) = A \ cos (Kl) + B \ sin (Kl) = 0 \ end {cases}}}

\ begin {cases} X (x = 0) = A \ cdot 1 + B \ cdot 0 = 0 \\ X (x = l) = A \ cos (Kl) + B \ sin (Kl) = 0 \ end { cazuri}

de la care:

{\begin{cases}A=0\\B\sin(Kl)=0\qquad B\neq 0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} A = 0 \\ B \ sin (Kl) = 0 \ qquad B \ neq 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} A = 0 \\ B \ sin (Kl) = 0 \ qquad B \ neq 0 \ end {cases}}}

prin urmare:

K=\pm {\frac {n\pi }{l}}

{\ displaystyle K = \ pm {\ frac {n \ pi} {l}}}

K = \ pm \ frac {n \ pi} {l}

Soluția negativă este identică cu cea pozitivă, deci este luată în considerare doar cea pozitivă. Cunoașterea soluției este:

u=\left[C\cos(aKt)+D\sin(aKt)\right]\cdot \sin(Kx)

{\ displaystyle u = \ left [C \ cos (aKt) + D \ sin (aKt) \ right] \ cdot \ sin (Kx)}

{\ displaystyle u = \ left [C \ cos (aKt) + D \ sin (aKt) \ right] \ cdot \ sin (Kx)}

.

întrucât este o soluție, toate sumele sunt, de asemenea, soluții; de aceea puteți alege $K=n\pi /l$ ${\ displaystyle K = n \ pi / l}$ $K = n \ pi / l$ si adauga:

u=\sum _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\cos \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)+D_{n}\sin \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)\right]\cdot \sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)

{\ displaystyle u = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [C_ {n} \ cos \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) + D_ {n } \ sin \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) \ right] \ cdot \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {l}} \ right)}

{\ displaystyle u = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [C_ {n} \ cos \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) + D_ {n } \ sin \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) \ right] \ cdot \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {l}} \ right)}

Acum puteți găsi coeficienții $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ Și $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ pentru a satisface condițiile inițiale. Derivarea acestuia din urmă cu privire la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și impunător $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ primesti:

w_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}\qquad w_{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\pi a}{l}}\cdot D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}

{\ displaystyle w_ {1} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} C_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {l}} \ qquad w_ {2} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n \ pi a} {l}} \ cdot D_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {l}}}

w_1 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} C_n \ sin \ frac {n \ pi x} {l} \ qquad w_2 = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n \ pi a} {l} \ cdot D_n \ sin \ frac {n \ pi x} {l}

care sunt expansiunile seriei Fourier ale $w_{1},w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2}}$ $w_1, w_2$ în serie de sâni în $[0,l]$ ${\ displaystyle [0, l]}$ $[0, l]$ . Categoric:

C_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}w_{1}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\qquad D_{n}={\frac {2}{n\pi a}}\int _{0}^{l}w_{2}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz

{\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {2} {l}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {1} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz \ qquad D_ {n} = {\ frac {2} {n \ pi a}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {2} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz}

{\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {2} {l}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {1} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz \ qquad D_ {n} = {\ frac {2} {n \ pi a}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {2} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz}

care a înlocuit oferă soluția:

u=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}w_{1}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\right)\cos \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)+\left({\frac {2}{n\pi a}}\int _{0}^{l}w_{2}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\right)\sin \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)\right]\cdot \sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)

{\ displaystyle u = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [\ left ({\ frac {2} {l}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {1} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz \ right) \ cos \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) + \ left ({\ frac {2} {n \ pi a}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {2} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz \ right) \ sin \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) \ right] \ cdot \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {l}} \ right)}

{\ displaystyle u = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [\ left ({\ frac {2} {l}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {1} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz \ right) \ cos \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) + \ left ({\ frac {2} {n \ pi a}} \ int _ {0} ^ {l} w_ {2} \ sin {\ frac {n \ pi z} {l}} dz \ right) \ sin \ left ({\ frac {n \ pi at} {l}} \ right) \ right] \ cdot \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {l}} \ right)}

Bibliografie

( EN ) Molteno, TCA; NB Tufillaro (septembrie 2004). „O investigație experimentală asupra dinamicii unui șir”. American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
( EN ) Tufillaro, NB (1989). „Vibrații neliniare și haotice ale șirurilor”. American Journal of Physics 57 (5): 408.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Simulare Java a undelor pe un șir , pe falstad.com .
(EN) Fizica unui șir de clavecin , pe johnsankey.ca.
(EN) O explicație prietenoasă a undelor staționare și a frecvenței fundamentale , a acusticii.salford.ac.uk.
( RO ) „ The Vibrating String ” de Alain Goriely și Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project .

Portalul Electromagnetismului

Portalul de matematică