Ecuația undelor

În analiza matematică , ecuația undelor , cunoscută și sub numele de ecuația d'Alembert ^[1] , este o ecuație diferențială parțială hiperbolică de mare importanță în mai multe domenii ale fizicii , inclusiv acustica , electromagnetismul și dinamica fluidelor (variante ale ecuației se găsesc și în mecanica cuantică și relativitatea generală ), descriind de obicei propagarea unei unde , liniare și nedispersive , în variabile spațiale și temporale, inclusiv unde sonore și electromagnetice . Din punct de vedere istoric, prima problemă în care a fost derivată a fost aceea a coardei vibrante a unui instrument muzical , studiată de Jean le Rond d'Alembert , Euler , Daniel Bernoulli și Joseph-Louis Lagrange .

Ecuația

Forma generală a ecuației de undă privește o funcție $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ (în general $u(x,y,z,t)$ ${\ displaystyle u (x, y, z, t)}$ ${\ displaystyle u (x, y, z, t)}$ ) a locației $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (în general $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ ) si timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Este o ecuație diferențială parțială hiperbolică a cărei expresie generală este ^[2] :

\nabla ^{2}u-{\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}u \over {\partial t^{2}}}=0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} u - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ partial ^ {2} u \ over {\ partial t ^ {2}}} = 0}

\ nabla ^ 2u - \ frac {1} {v ^ 2} {\ partial ^ 2 u \ over {\ partial t ^ 2}} = 0

unde este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ reprezintă viteza de propagare a undei. Pentru o undă sonoră care se propagă în aer, viteza este de aproximativ 330 de metri pe secundă, în timp ce pentru o coardă vibrantă poate asuma valori foarte diferite (de exemplu, pentru un helicoid elastic slinky poate fi redus la un metru pe secundă ). Ecuația poate fi scrisă cu operatorul d'Alembert :

\square u=\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=0

{\ displaystyle \ square u = \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2} }} \ dreapta) u = 0}

{\ displaystyle \ square u = \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2} }} \ dreapta) u = 0}

Dacă unda se propagă într-un mediu dispersiv , viteza $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este dependent de frecvență și trebuie înlocuit cu viteza de fază , unde $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ indică numărul de undă:

v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}

{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}}

v_ \ mathrm {p} = \ frac {\ omega} {k}

În cazul mai puțin frecvent (de exemplu în unde marine sau în optică neliniară ), în care viteza este dependentă de amplitudine, este o funcție de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ iar ecuația devine neliniară. În acest caz, propagarea undelor este descrisă prin ecuații mai complicate, cum ar fi ecuația neliniară Schrodinger , ecuația sinus-Gordon , ecuația Boussinesq sau ecuația Korteweg-de Vries .

Funcția necunoscută $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ exprimă intensitatea undei într-o anumită poziție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la momentul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Pentru o undă sonoră care călătorește prin aer, de exemplu, $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ exprimă presiunea aerului în diferitele puncte ale spațiului. Pentru o coardă vibrantă, pe de altă parte, exprimă deplasarea fizică a coardei din poziția sa de repaus. Simbolul $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ denotă operatorul Laplace în raport cu poziția variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , în general un vector . De asemenea $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ poate consta dintr-o cantitate scalară sau vectorială.

Ecuația evidențiază, de asemenea, proporționalitatea directă între concavitatea funcției necunoscute $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ cu accelerarea sa. O undă poate suprapune o altă mișcare și, în acest caz, funcția scalară $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ conține un factor Mach (care are o valoare pozitivă pentru unda care se deplasează de-a lungul fluxului și o valoare negativă pentru unda reflectată).

Soluţie

Același subiect în detaliu: Wave (fizică) .

Ecuația undei poate fi scrisă ca ^[3] :

\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-v{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+v{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0

{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} - v {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + v {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] u = 0}

{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} - v {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + v {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] u = 0}

prin urmare:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-v{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+v{\frac {\partial u}{\partial x}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - v {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0 \ qquad {\ frac {\ partial u} {\ partial t} } + v {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - v {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0 \ qquad {\ frac {\ partial u} {\ partial t} } + v {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0}

Este suma a două unde care se propagă în direcții opuse, după cum arată Jean le Rond d'Alembert ^[4] ^[5] ^[6] .

Definire $\xi =t-{x \over v}$ ${\ displaystyle \ xi = t- {x \ over v}}$ $\ xi = t - {x \ peste v}$ și $\eta =t+{x \over v}$ ${\ displaystyle \ eta = t + {x \ peste v}}$ $\ age = t + {x \ over v}$ avem:

t={1 \over 2}(\eta +\xi )\qquad x={v \over 2}(\eta -\xi )

{\ displaystyle t = {1 \ over 2} (\ eta + \ xi) \ qquad x = {v \ peste 2} (\ eta - \ xi)}

t = {1 \ over 2} (\ eta + \ xi) \ qquad x = {v \ peste 2} (\ eta - \ xi)

din care obținem:

{\frac {\partial }{\partial \xi }}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial t}}-v{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\qquad {\frac {\partial }{\partial \eta }}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+v{\frac {\partial }{\partial x}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} = {1 \ over 2} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} - v {\ frac {\ partial} { \ partial x}} \ right) \ qquad {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} = {1 \ peste 2} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + v { \ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} = {1 \ over 2} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} - v {\ frac {\ partial} { \ partial x}} \ right) \ qquad {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} = {1 \ peste 2} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + v { \ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right)}

În acest fel, ecuația undei ia forma ^[7] :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} = 0}

{\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} = 0

a cărei soluție este:

u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )\qquad u(x,t)=F\left(t-{x \over v}\right)+G\left(t+{x \over v}\right)

{\ displaystyle u (\ xi, \ eta) = F (\ xi) + G (\ eta) \ qquad u (x, t) = F \ left (t- {x \ peste v} \ dreapta) + G \ stânga (t + {x \ peste v} \ dreapta)}

u (\ xi, \ eta) = F (\ xi) + G (\ eta) \ qquad u (x, t) = F \ left (t - {x \ over v} \ right) + G \ left (t + {x \ peste v} \ dreapta)

Acestea sunt două unde care se propagă în direcții opuse cu viteza $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ .

Funcții $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt determinate pornind de la condițiile inițiale:

u(x,0)=f(x)\qquad u_{t}(x,0)=g(x)\,

{\ displaystyle u (x, 0) = f (x) \ qquad u_ {t} (x, 0) = g (x) \,}

u (x, 0) = f (x) \ qquad u_t (x, 0) = g (x) \,

obținând formula d'Alembert ^[8] ^[9] :

u(x,t)={\frac {f(x-vt)+f(x+vt)}{2}}+{\frac {1}{2v}}\int _{x-vt}^{x+vt}g(s)ds

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {f (x-vt) + f (x + vt)} {2}} + {\ frac {1} {2v}} \ int _ {x-vt } ^ {x + vt} g (s) ds}

u (x, t) = \ frac {f (x-vt) + f (x + vt)} {2} + \ frac {1} {2v} \ int_ {x-vt} ^ {x + vt} g (s) ds

Dacă clasic $f(x)\in C^{k}$ ${\ displaystyle f (x) \ în C ^ {k}}$ ${\ displaystyle f (x) \ în C ^ {k}}$ Și $g(x)\in C^{k-1}$ ${\ displaystyle g (x) \ în C ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle g (x) \ în C ^ {k-1}}$ , asa de $u(t,x)\in C^{k}$ ${\ displaystyle u (t, x) \ în C ^ {k}}$ ${\ displaystyle u (t, x) \ în C ^ {k}}$ , in timp ce $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pot fi distribuții . De exemplu, dacă avem de-a face cu funcții deltiforme , soluția poate fi văzută ca un impuls care se propagă într-o singură direcție.

O modalitate echivalentă de a ajunge la soluție este obținută prin definirea variabilelor:

\xi =x+vt\qquad \eta =x-vt

{\ displaystyle \ xi = x + vt \ qquad \ eta = x-vt}

\ xi = x + v t \ qquad \ eta = x - v t

și luând în considerare ecuația undei:

u(x,t)={\tilde {u}}(x+vt,x-vt)

{\ displaystyle u (x, t) = {\ tilde {u}} (x + vt, x-vt)}

u (x, t) = \ tilde {u} (x + vt, x - vt)

Derivatele sunt apoi calculate:

{\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {\partial \eta }{\partial x}}=1\qquad {\frac {\partial \xi }{\partial t}}=v\qquad {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-v

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = 1 \ qquad {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} = v \ qquad {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = - v}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = 1 \ qquad {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} = v \ qquad {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = - v}

și derivatele lui $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ exprimată în funcție de $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ și $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ :

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} + {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} + {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}}}

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi }}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}\right){\frac {\partial \xi }{\partial x}}+\left({\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}\right){\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial \xi }}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \xi ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \eta ^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial { \ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} \ right) {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} + \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} \ right) {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial ^ { 2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta }} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial { \ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} \ right) {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} + \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} \ right) {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial ^ { 2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta }} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta ^ {2}}}}

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial t}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}=v\left({\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}-{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = v \ left ({\ frac { \ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} - {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = v \ left ({\ frac { \ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} - {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} \ right)}

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v\left({\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \xi ^{2}}}{\frac {\partial \xi }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \xi \partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \eta \partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \eta ^{2}}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \xi ^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \xi \partial \eta }}+{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \eta ^{2}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = v \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta \ partial \ xi}} { \ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ right) = v ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi ^ {2}}} -2 {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = v \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta \ partial \ xi}} { \ frac {\ partial \ xi} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} \ right) = v ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi ^ {2}}} -2 {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} + {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta ^ {2}}} \ right)}

Prin inserarea acestor expresii în ecuația undei, toți termenii sunt simplificați, cu excepția derivatei mixte:

{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial \xi \partial \eta }}={\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}\right)={\frac {\partial }{\partial \eta }}\left({\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} \ left ( {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} \ left ({\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} \ left ( {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial \ eta}} \ left ({\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} \ right) = 0}

Ultima ecuație implică faptul că:

{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \eta }}=G(\eta )\qquad {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial \xi }}=F(\xi )

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} = G (\ eta) \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} = F (\ xi)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ eta}} = G (\ eta) \ qquad {\ frac {\ partial {\ tilde {u}}} {\ partial \ xi}} = F (\ xi)}

Apoi soluția este dată de suma lui $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și revenind la variabilele originale avem:

u(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)\

{\ displaystyle u (x, t) = f (x + vt) + g (x-vt) \}

u (x, t) = f (x + vt) + g (x - vt) \

unde este:

F=f'\qquad G=g'

{\ displaystyle F = f '\ qquad G = g'}

F = f '\ qquad G = g'

și pentru a determina $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ trebuie impuse cele două condiții inițiale.

Ecuația șirului vibrant

Același subiect în detaliu: ecuația șirului vibrant și vibrația coardei .

Model pentru coarda vibratoare.

Ecuația undei în cazul unidimensional poate fi derivată după cum urmează. Imaginați-vă un rând de corpuscule de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care sunt interconectate prin intermediul unor bare flexibile mici, limitate, fiecare în lungime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ . Barele sunt caracterizate de o masă neglijabilă printr-o rigiditate (îndoire), adică o rezistență la forțele care tind să o îndoaie, care este măsurată prin $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Pentru acest model $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ măsoară distanța poziției de echilibru a corpusculului plasat în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la momentul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Ecuația mișcării corpusculului în poziție $x+h$ ${\ displaystyle x + h}$ $x + h$ Și:

m{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]

{\ displaystyle m {\ partial ^ {2} u (x + h, t) \ over \ partial t ^ {2}} = k [u (x + 2h, t) -u (x + h, t) - u (x + h, t) + u (x, t)]}

m {\ partial ^ 2u (x + h, t) \ over \ partial t ^ 2} = k [u (x + 2h, t) -u (x + h, t) -u (x + h, t) + u (x, t)]

Să presupunem că există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ dintre aceste obiecte distribuite uniform pe lungime $L=Nh$ ${\ displaystyle L = Nh}$ $L = N h$ . Au masa în general $M=Nm$ ${\ displaystyle M = Nm}$ $M = N m$ , în timp ce rigiditatea totală a rândului este $K=k/N$ ${\ displaystyle K = k / N}$ $K = k / N$ . Apoi putem scrie ecuația anterioară sub forma:

{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x + h, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ peste h ^ {2}}}

{\ partial ^ 2u (x + h, t) \ over \ partial t ^ 2} = {KL ^ 2 \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u ( x, t) \ peste h ^ 2}

Trecând la limita pentru $N\to \infty$ ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ $N \ to \ infty$ Și $h\to 0$ ${\ displaystyle h \ to 0}$ $h \ la 0$ și veți obține:

{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}}

{\ partial ^ 2 u (x, t) \ over \ partial t ^ 2} = {KL ^ 2 \ over M} {\ partial ^ 2 u (x, t) \ over \ partial x ^ 2}

unde este ${KL^{2} \over M}$ ${\ displaystyle {KL ^ {2} \ peste M}}$ ${KL ^ 2 \ peste M}$ este pătratul vitezei de propagare în acest caz particular.

Ecuație scalară în dimensiuni multiple

Soluția la problema valorilor inițiale ale ecuației în trei dimensiuni poate fi obținută din soluția pentru o undă sferică , iar acest rezultat poate fi utilizat pentru a obține soluția în două dimensiuni. Pentru spațiile cu dimensiuni generice, cazul dimensiunilor pare și impar este considerat separat.

Ecuație în trei dimensiuni

Același subiect în detaliu: Unda sferică .

Fronturi de undă caracteristice unei unde sferice .

Ecuația undei rămâne neschimbată în urma rotației coordonatelor spațiale, deoarece Laplacianul este invariant în rotație: vrem să exploatăm această simetrie pentru a obține o soluție care depinde doar de distanța radială de la punctul de observație. Soluțiile de acest tip trebuie să satisfacă relația ^[10] :

u_{tt}-v^{2}\left(u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right)=0

{\ displaystyle u_ {tt} -v ^ {2} \ left (u_ {rr} + {\ frac {2} {r}} u_ {r} \ right) = 0}

u_ {tt} - v ^ 2 \ left (u_ {rr} + \ frac {2} {r} u_r \ right) = 0

unde este $u_{t}$ ${\ displaystyle u_ {t}}$ $u_ {t}$ Și $u_{tt}$ ${\ displaystyle u_ {tt}}$ $u_ {tt}$ sunt prima și a doua derivată parțială cu privire la respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , și același lucru este valabil și pentru $u_{r}$ ${\ displaystyle u_ {r}}$ $u_r$ Și $u_{rr}$ ${\ displaystyle u_ {rr}}$ $u_ {rr}$ . Expresia poate fi scrisă ca:

(ru)_{tt}-v^{2}(ru)_{rr}=0

{\ displaystyle (ru) _ {tt} -v ^ {2} (ru) _ {rr} = 0}

(ru) _ {tt} -v ^ 2 (ru) _ {rr} = 0

unde cantitatea $r tu$ ${\ displaystyle ru}$ $ru$ satisface ecuația unidimensională. Prin urmare, există soluții care au forma:

u(t,r)={\frac {1}{r}}F(r-vt)+{\frac {1}{r}}G(r+vt)

{\ displaystyle u (t, r) = {\ frac {1} {r}} F (r-vt) + {\ frac {1} {r}} G (r + vt)}

u (t, r) = \ frac {1} {r} F (r-vt) + \ frac {1} {r} G (r + vt)

unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt funcții arbitrare, corespunzătoare a două unde care se propagă sferic în direcția opusă vitezei $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ .

Luați în considerare o sursă care emite la o frecvență fixă constantă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu fază nulă pentru $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ și cu o lățime vârf-la-vârf de $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ . Spus $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ distanța de la sursă, amplitudinea undei este dată de ^[11] :

u(t,r)=Re\left[{\frac {a}{r}}e^{i\left(\omega t-kr\right)}\right]

{\ displaystyle u (t, r) = Re \ left [{\ frac {a} {r}} e ^ {i \ left (\ omega t-kr \ right)} \ right]}

u (t, r) = Re \ left [\ frac {a} {r} e ^ {i \ left (\ omega t - kr \ right)} \ right]

O undă de acest tip, caracterizată printr-o singură frecvență de propagare, se numește monocromatică.

O sumă de unde sferice este încă soluția ecuației undelor și, în acest fel, se poate construi un număr arbitrar de soluții. Este $\varphi (\xi ,\eta ,\zeta )$ ${\ displaystyle \ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta)}$ $\ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta)$ o funcție arbitrară și să presupunem că forma $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ al valului este o Delta Dirac . Luați în considerare o familie de unde sferice cu un centru $(\xi ,\eta ,\zeta )$ ${\ displaystyle (\ xi, \ eta, \ zeta)}$ $(\ xi, \ eta, \ zeta)$ și fie $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ distanța radială de la acel punct. Avem:

r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}

{\ displaystyle r ^ {2} = (x- \ xi) ^ {2} + (y- \ eta) ^ {2} + (z- \ zeta) ^ {2}}

r ^ 2 = (x- \ xi) ^ 2 + (y- \ eta) ^ 2 + (z- \ zeta) ^ 2

si daca $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este o suprapunere a undelor de acest tip ponderate de funcție $\varphi (\xi ,\eta ,\zeta )$ ${\ displaystyle \ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta)}$ $\ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta)$ asa de:

u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi v}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta

{\ displaystyle u (t, x, y, z) = {\ frac {1} {4 \ pi v}} \ iiint \ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta) {\ frac {\ delta (r- ct)} {r}} d \ xi \, d \ eta \, d \ zeta}

u (t, x, y, z) = \ frac {1} {4 \ pi v} \ iiint \ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta) \ frac {\ delta (r-ct)} {r} d \ xi \, d \ eta \, d \ zeta

Din definiția funcției deltiforme:

u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+vt\alpha ,y+vt\beta ,z+vt\gamma )d\omega

{\ displaystyle u (t, x, y, z) = {\ frac {t} {4 \ pi}} \ iint _ {S} \ varphi (x + vt \ alpha, y + vt \ beta, z + vt \ gamma) d \ omega}

u (t, x, y, z) = \ frac {t} {4 \ pi} \ iint_S \ varphi (x + vt \ alpha, y + vt \ beta, z + vt \ gamma) d \ omega

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ Și $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ sunt coordonatele de pe sfera unității $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Se pare ca $u(t,x)$ ${\ displaystyle u (t, x)}$ $u (t, x)$ este t- ori valoarea medie a $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe o sferă de rază $v t$ ${\ displaystyle vt}$ $vt$ centrat în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

u(t,x,y,z)=tM_{vt}[\phi ]

{\ displaystyle u (t, x, y, z) = tM_ {vt} [\ phi]}

u (t, x, y, z) = t M_ {vt} [\ phi]

din care rezultă că:

u(0,x,y,z)=0\qquad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z)

{\ displaystyle u (0, x, y, z) = 0 \ qquad u_ {t} (0, x, y, z) = \ phi (x, y, z)}

u (0, x, y, z) = 0 \ qquad u_t (0, x, y, z) = \ phi (x, y, z)

Valoarea medie este o funcție uniformă a $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și, prin urmare, dacă:

V(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{vt}[\psi ]\right)

{\ displaystyle V (t, x, y, z) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (tM_ {vt} [\ psi] \ right)}

{\ displaystyle V (t, x, y, z) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (tM_ {vt} [\ psi] \ right)}

asa de:

V(0,x,y,z)=\psi (x,y,z)\qquad V_{t}(0,x,y,z)=0

{\ displaystyle V (0, x, y, z) = \ psi (x, y, z) \ qquad V_ {t} (0, x, y, z) = 0}

V (0, x, y, z) = \ psi (x, y, z) \ qquad V_t (0, x, y, z) = 0

care oferă soluția pentru problema valorii inițiale.

În conformitate cu principiul Huygens-Fresnel , fiecare element al unui front de undă poate fi considerat formal ca o sursă secundară de unde sferice în fază cu sursa primară și cu o amplitudine proporțională cu cea a undei primare și cu aria elementul '. Perturbarea produsă într-un punct al spațiului poate fi întotdeauna obținută ca o suprapunere a tuturor undelor sferice secundare care ajung la acel punct.

Ecuație în două dimensiuni

Într-un spațiu bidimensional, ecuația undei are forma:

u_{tt}=v^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)

{\ displaystyle u_ {tt} = v ^ {2} \ left (u_ {xx} + u_ {yy} \ right)}

u_ {tt} = v ^ 2 \ left (u_ {xx} + u_ {yy} \ right)

Dacă vine $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ ca funcție setată într-un spațiu tridimensional care este independent de a treia dimensiune:

u(0,x,y)=0\qquad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y)

{\ displaystyle u (0, x, y) = 0 \ qquad u_ {t} (0, x, y) = \ phi (x, y)}

u (0, x, y) = 0 \ qquad u_t (0, x, y) = \ phi (x, y)

formula soluției în trei dimensiuni devine:

u(t,x,y)=tM_{vt}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+vt\alpha ,\,y+vt\beta )d\omega

{\ displaystyle u (t, x, y) = tM_ {vt} [\ phi] = {\ frac {t} {4 \ pi}} \ iint _ {S} \ phi (x + vt \ alpha, \, y + vt \ beta) d \ omega}

u (t, x, y) = tM_ {vt} [\ phi] = \ frac {t} {4 \ pi} \ iint_S \ phi (x + vt \ alpha, \, y + vt \ beta) d \ omega

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt primele două coordonate pe sfera unității și $d\omega$ ${\ displaystyle d \ omega}$ $d \ omega$ este elementul de suprafață de pe sferă. Integrala poate fi scrisă ca o integrală pe disc $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ cu centru $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ și raza $c t$ ${\ displaystyle ct}$ $CT$ :

u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi v}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(vt)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta

{\ displaystyle u (t, x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi v}} \ iint _ {D} {\ frac {\ phi (x + \ xi, y + \ eta)} { \ sqrt {(vt) ^ {2} - \ xi ^ {2} - \ eta ^ {2}}}} d \ xi \, d \ eta}

u (t, x, y) = \ frac {1} {2 \ pi v} \ iint_D \ frac {\ phi (x + \ xi, y + \ eta)} {\ sqrt {(vt) ^ 2 - \ xi ^ 2 - \ eta ^ 2}} d \ xi \, d \ eta

Ecuație în dimensiune arbitrară

Vrem să obținem soluția ecuației:

u_{tt}-\Delta u=0

{\ displaystyle u_ {tt} - \ Delta u = 0}

u_ {tt} - \ Delta u = 0

pentru $u:\mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {n} \ times (0, \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $u: \ mathbb {R} ^ n \ times (0, \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R}$ , cu:

u(x,0)=g(x)\qquad u_{t}(x,0)=h(x)

{\ displaystyle u (x, 0) = g (x) \ qquad u_ {t} (x, 0) = h (x)}

u (x, 0) = g (x) \ qquad u_t (x, 0) = h (x)

Dimensiune ciudată

Este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un număr întreg ciudat și ambele $n\geq 3$ ${\ displaystyle n \ geq 3}$ $n \ geq 3$ . ^[12] Să presupunem $g\in C^{m+1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle g \ in C ^ {m + 1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $g \ in C ^ {m + 1} (\ mathbb {R} ^ n)$ Și $h\in C^{m}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle h \ in C ^ {m} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $h \ in C ^ m (\ mathbb {R} ^ n)$ pentru $m=(n+1)/2$ ${\ displaystyle m = (n + 1) / 2}$ $m = (n + 1) / 2$ . Definire $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ prin raport:

u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}\int _{\partial B_{t}(x)}^{average}gdS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}\int _{\partial B_{t}(x)}^{average}hdS\right)\right]\qquad \gamma _{n}=1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (n-2)

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {\ gamma _ {n}}} \ left [\ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-3} {2}} \ left (t ^ {n-2} \ int _ {\ partial B_ {t} (x)} ^ {average} gdS \ right ) + \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-3} {2}} \ left (t ^ {n-2} \ int _ {\ partial B_ {t} (x)} ^ {average} hdS \ right) \ right] \ qquad \ gamma _ {n} = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot \ dots \ cdot (n-2)}

u (x, t) = \ frac {1} {\ gamma_n} \ left [\ partial_t \ left (\ frac {1} {t} \ partial_t \ right) ^ {\ frac {n-3} {2}} \ left (t ^ {n-2} \ int ^ {average} _ {\ partial B_t (x)} g dS \ right) + \ left (\ frac {1} {t} \ partial_t \ right) ^ {\ frac {n-3} {2}} \ left (t ^ {n-2} \ int ^ {average} _ {\ partial B_t (x)} h dS \ right) \ right] \ qquad \ gamma_n = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot \ dots \ cdot (n-2)

avem asta $u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,\infty ))$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n} \ times [0, \ infty))}$ $u \ in C ^ 2 (\ mathbb {R} ^ n \ times [0, \ infty))$ si in $\mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times (0, \ infty)}$ $\ mathbb {R} ^ n \ times (0, \ infty)$ relația ^[13] deține:

{u_{t}}_{t}-\triangle u=0

{\ displaystyle {u_ {t}} _ {t} - \ triangle u = 0}

{u_t} _t - \ triangle u = 0

În plus:

\lim _{(x,t)\rightarrow (x^{0},0),x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}u(x,t)=g(x^{0})\qquad \lim _{(x,t)\rightarrow (x^{0},0),x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}\partial _{t}u(x,t)=h(x^{0})

{\ displaystyle \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ {0}, 0), x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, t> 0} u (x, t) = g ( x ^ {0}) \ qquad \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ {0}, 0), x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, t> 0} \ partial _ { t} u (x, t) = h (x ^ {0})}

{\ displaystyle \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ {0}, 0), x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, t> 0} u (x, t) = g ( x ^ {0}) \ qquad \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ {0}, 0), x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, t> 0} \ partial _ { t} u (x, t) = h (x ^ {0})}

Dimensiune uniformă

Este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un număr întreg și lăsați-l să fie $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ . ^[14] Să presupunem $g\in C^{m+1}$ ${\ displaystyle g \ in C ^ {m + 1}}$ $g \ în C ^ {m + 1}$ Și $h\in C^{m}$ ${\ displaystyle h \ in C ^ {m}}$ $h \ in C ^ m$ pentru $m=(n+2)/2$ ${\ displaystyle m = (n + 2) / 2}$ $m = (n + 2) / 2$ . Definire $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ prin raport:

u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}\int _{B_{t}(x)}^{average}{\frac {g}{\left(t^{2}-|y-x|^{2}\right)^{1/2}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}\int _{B_{t}(x)}^{average}{\frac {h}{\left(t^{2}-|y-x|^{2}\right)^{1/2}}}dy\right)\right]\qquad \gamma _{n}=2\cdot 4\cdot \dots \cdot n

{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {\ gamma _ {n}}} \ left [\ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ left (t ^ {n} \ int _ {B_ {t} (x)} ^ {average} {\ frac {g} { \ left (t ^ {2} - | yx | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}} dy \ right) + \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t } \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ left (t ^ {n} \ int _ {B_ {t} (x)} ^ {average} {\ frac {h} {\ left (t ^ {2} - | yx | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}} dy \ right) \ right] \ qquad \ gamma _ {n} = 2 \ cdot 4 \ cdot \ dots \ cdot n}

u (x, t) = \ frac {1} {\ gamma_n} \ left [\ partial_t \ left (\ frac {1} {t} \ partial_t \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ left (t ^ n \ int ^ {average} _ {B_t (x)} \ frac {g} {\ left (t ^ 2 - | y - x | ^ 2 \ right) ^ {1/2}} dy \ right) + \ left (\ frac {1} {t} \ partial_t \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ left (t ^ n \ int ^ {mediu} _ {B_t (x )} \ frac {h} {\ left (t ^ 2 - | yx | ^ 2 \ right) ^ {1/2}} dy \ right) \ right] \ qquad \ gamma_n = 2 \ cdot 4 \ cdot \ dots \ cdot n

avem asta $u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,\infty ))$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n} \ times [0, \ infty))}$ $u \ in C ^ 2 (\ mathbb {R} ^ n \ times [0, \ infty))$ si in $\mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times (0, \ infty)}$ $\ mathbb {R} ^ n \ times (0, \ infty)$ relația ^[15] deține:

\partial _{t}^{2}u-\Delta u=0

{\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} u- \ Delta u = 0}

\ partial_t ^ 2 u - \ Delta u = 0

În plus:

\lim _{(x,t)\rightarrow (x^{0},0),x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}u(x,t)=g(x^{0})\qquad \lim _{(x,t)\rightarrow (x^{0},0),x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}\partial _{t}u(x,t)=h(x^{0})

{\ displaystyle \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ {0}, 0), x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, t> 0} u (x, t) = g ( x ^ {0}) \ qquad \ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ {0}, 0), x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, t> 0} \ partial _ { t} u (x, t) = h (x ^ {0})}

\ lim _ {(x, t) \ rightarrow (x ^ 0,0), x \ in \ mathbb {R} ^ n, t> 0} u (x, t) = g (x ^ 0) \ qquad \ lim_ {(x, t) \ rightarrow (x ^ 0,0), x \ in \ mathbb {R} ^ n, t> 0} \ partial_t u (x, t) = h (x ^ 0)

Ecuația de undă neomogenă

Ecuația de undă neomogenă într-o dimensiune are forma:

v^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)=s(x,t)

{\ displaystyle v ^ {2} u_ {xx} (x, t) -u_ {tt} (x, t) = s (x, t)}

v ^ 2 u_ {x x} (x, t) - u_ {t t} (x, t) = s (x, t)

cu condiții inițiale:

u(x,0)=f(x)\qquad u_{t}(x,0)=g(x)

{\ displaystyle u (x, 0) = f (x) \ qquad u_ {t} (x, 0) = g (x)}

u (x, 0) = f (x) \ qquad u_t (x, 0) = g (x)

Functia $s(x,t)$ ${\ displaystyle s (x, t)}$ $s (x, t)$ se numește sursă deoarece descrie efectul surselor de undă asupra mediului în care se propagă. De exemplu, în electromagnetism radiația electromagnetică are ca termen sursă o sarcină și / sau o densitate de curent .

Pentru a obține soluția ecuației cu condiții inițiale date, este posibil să se exploateze faptul că respectă principiul cauzalității, adică în fiecare punct $(x_{i},t_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i}, t_ {i})}$ $(x_i, t_i)$ valoarea a $u(x_{i},t_{i})$ ${\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {i})}$ $tu (x_i, t_i)$ depinde doar de $f(x_{i}+vt_{i})$ ${\ displaystyle f (x_ {i} + vt_ {i})}$ $f (x_i + v t_i)$ Și $f(x_{i}-vt_{i})$ ${\ displaystyle f (x_ {i} -vt_ {i})}$ $f (x_i - v t_i)$ și valoarea funcției $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ între $(x_{i}-vt_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i} -vt_ {i})}$ $(x_i - v t_i)$ Și $(x_{i}+vt_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i} + vt_ {i})}$ $(x_i + v t_i)$ . Aceste cantități sunt , de fapt , cele prezente în formula soluție d'Alembert, iar starea este fizic datorită faptului că viteza luminii este maxima posibila propagare a vitezei : și acest lucru implică faptul că amplitudinea undei într - un punct de spațiul și într-un anumit moment de timp este legat de amplitudinea undei într-un punct îndepărtat de primul într-un alt moment, nu instantaneu. În ceea ce privește calculul soluției, acest lucru se traduce prin faptul că într-o anumită perioadă de timp pentru fiecare punct $(x_{i},t_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i}, t_ {i})}$ $(x_i, t_i)$ trebuie avută în vedere o zonă corespunzătoare $R_{C}$ ${\ displaystyle R_ {C}}$ $R_C$ care are legătură cauzală cu acesta. Prin urmare, integrând ecuația neomogenă în această regiune:

\iint \limits _{R_{C}}\left(v^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)dxdt=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

{\ displaystyle \ iint \ limits _ {R_ {C}} \ left (v ^ {2} u_ {xx} (x, t) -u_ {tt} (x, t) \ right) dxdt = \ iint \ limits _ {R_ {C}} s (x, t) dxdt}

\iint \limits_{R_C} \left ( v^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right ) dx dt = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt

ed usando il teorema di Green al membro di sinistra:

\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-v^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-v^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left ( - v^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt

si ottiene la somma di tre integrali di linea lungo i limiti della regione $R_{C}$ $R_{C}$ $R_C$ causalmente connessa. Si ha:

\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}-u_{t}(x,0)dx=-\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx

\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}-u_{t}(x,0)dx=-\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx

\int^{x_i + v t_i}_{x_i - v t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + v t_i}_{x_i - v t_i} g(x) dx

mentre il termine dell'espressione precedente integrato rispetto al tempo si annulla in quanto l'intervallo di tempo è nullo, sicché $dt=0$ ${\displaystyle dt=0}$ $d t = 0$ .

Per i restanti due limiti della regione si nota che $x\pm vt$ $x\pm vt$ $x \pm v t$ è costante, da cui si ottiene $dx\pm vdt=0$ $dx\pm vdt=0$ $dx \pm v dt = 0$ . Si ha nuovamente:

\int _{L_{1}}\left(-v^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=\int _{L_{1}}\left(vu_{x}(x,t)dx+vu_{t}(x,t)dt\right)=v\int _{L_{1}}du(x,t)=vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}+vt_{i})

\int _{L_{1}}\left(-v^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=\int _{L_{1}}\left(vu_{x}(x,t)dx+vu_{t}(x,t)dt\right)=v\int _{L_{1}}du(x,t)=vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}+vt_{i})

\int_{L_1} \left ( - v^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \int_{L_1} \left ( v u_x(x,t) dx + v u_t(x,t) dt \right) = v \int_{L_1} d u(x,t) = v u(x_i,t_i) - v f(x_i + v t_i)

ed in modo simile:

\int _{L_{2}}\left(-v^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=-\int _{L_{2}}\left(vu_{x}(x,t)dx+vu_{t}(x,t)dt\right)=

\int _{L_{2}}\left(-v^{2}u_{x}(x,t)dt-u_{t}(x,t)dx\right)=-\int _{L_{2}}\left(vu_{x}(x,t)dx+vu_{t}(x,t)dt\right)=

\int_{L_2} \left ( - v^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = - \int_{L_2} \left ( v u_x(x,t) dx + v u_t(x,t) dt \right ) =

=-v\int _{L_{2}}du(x,t)=-\left(vf(x_{i}-vt_{i})-vu(x_{i},t_{i})\right)=vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}-vt_{i})

=-v\int _{L_{2}}du(x,t)=-\left(vf(x_{i}-vt_{i})-vu(x_{i},t_{i})\right)=vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}-vt_{i})

= - v \int_{L_2} d u(x,t) = - \left ( v f(x_i - v t_i) - v u(x_i,t_i) \right ) = v u(x_i,t_i) - v f(x_i - v t_i)

Sommando i tre risultati ottenuti ed inserendoli nell'integrale iniziale:

-\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx+vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}+vt_{i})+vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}-vt_{i})=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

-\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx+vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}+vt_{i})+vu(x_{i},t_{i})-vf(x_{i}-vt_{i})=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

- \int^{x_i + v t_i}_{x_i - v t_i} g(x) dx + v u(x_i,t_i) - v f(x_i + v t_i) + v u(x_i,t_i) - v f(x_i - v t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt

2vu(x_{i},t_{i})-\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx-vf(x_{i}+vt_{i})-vf(x_{i}-vt_{i})=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

2vu(x_{i},t_{i})-\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx-vf(x_{i}+vt_{i})-vf(x_{i}-vt_{i})=\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

2 v u(x_i,t_i) - \int^{x_i + v t_i}_{x_i - v t_i} g(x) dx - v f(x_i + v t_i) - v f(x_i - v t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt

2vu(x_{i},t_{i})=\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx+vf(x_{i}+vt_{i})+vf(x_{i}-vt_{i})+\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

2vu(x_{i},t_{i})=\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx+vf(x_{i}+vt_{i})+vf(x_{i}-vt_{i})+\iint \limits _{R_{C}}s(x,t)dxdt

2 v u(x_i,t_i) = \int^{x_i + v t_i}_{x_i - v t_i} g(x) dx + v f(x_i + v t_i) + v f(x_i - v t_i) + \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt

u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+vt_{i})+f(x_{i}-vt_{i})}{2}}+{\frac {1}{2v}}\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2v}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-v\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+v\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)dxdt

u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+vt_{i})+f(x_{i}-vt_{i})}{2}}+{\frac {1}{2v}}\int _{x_{i}-vt_{i}}^{x_{i}+vt_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2v}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-v\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+v\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)dxdt

u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + v t_i) + f(x_i - v t_i)}{2} + \frac{1}{2 v}\int^{x_i + v t_i}_{x_i - v t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 v}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + v \left ( t_i - t \right )}_{x_i - v \left ( t_i - t \right )} s(x,t) dx dt

dove si è esplicitato il contorno dell'integrale sulla funzione sorgente. Tale soluzione è valida per ogni scelta di $(x_{i},t_{i})$ $(x_{i},t_{i})$ $(x_i,t_i)$ compatibile con l'equazione d'onda, ed i primi due termini sono la formula di d'Alembert soluzione dell'equazione omogenea. La differenza risiede quindi nel terzo termine, l'integrale sulla sorgente.

Esempi

In generale la velocità della propagazione ondosa varia con la frequenza dell'onda, fenomeno chiamato dispersione . Un'altra comune correzione del modello base consiste nel fatto che, nei sistemi realistici, la velocità può dipendere dall'ampiezza dell'onda, cosa che conduce a un'equazione nonlineare:

{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=v(u)^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)

{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=v(u)^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v(u)^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right )

La presenza di termini non lineari e dispersivi può dar luogo a comportamenti ondulatori particolari, come i solitoni , o la turbolenza d'onda.

In tre dimensioni, ad esempio per studiare la propagazione del suono nello spazio, si considera:

{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=v^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)

{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=v^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } + { \partial^2 u \over \partial z^2 }\right )

L'equazione delle onde elastiche in tre dimensioni descrive la propagazione delle onde in un mezzo isotropo omogeneo elastico . I materiali solidi in gran parte sono elastici, quindi questa equazione descrive fenomeni come le onde sismiche della Terra e le onde ultrasoniche usate per rivelare difetti nei materiali. Questa equazione è ancora lineare, ma ha forma più complessa di quella delle equazioni presentate in precedenza, in quanto deve rendere conto sia del moto longitudinale che del trasversale:

\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )

\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )

\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )

dove $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ e $\mu$ $\mu$ $\mu$ sono i cosiddetti moduli di Lamé che descrivono le proprietà elastiche del mezzo, $\rho$ $\rho$ $\rho$ esprime la densità, $\mathbf {f}$ $\mathbf {f}$ $\mathbf{f}$ è la funzione sorgente che esprimente la forza che causa il moto e $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf{u}$ è lo spostamento. Si noti che in questa equazione sia la forza che lo spostamento sonograndezze vettoriali , e pertanto essa viene anche chiamata equazione vettoriale delle onde .

Note

^ Landau e Lifšic , p. 148 .
^ ( EN ) Lawrence Craig Evans, Partial Differential Equations , Providence , American Mathematical Society , 1998, p. 65 , ISBN 0-8218-0772-2 .
^ Landau e Lifšic , p. 149 .
^ ( FR ) Jean le Rond d'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" , Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, pp. 214-219.
^ ( FR ) Jean le Rond d'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" , Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, pp. 220-249.
^ ( FR ) Jean le Rond d'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration," Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, pp. 355-360.
^ Landau e Lifšic , p. 150 .
^ Evans , p. 68 .
^ ( EN ) Eric W. Weisstein,d'Alembert's Solution , su mathworld.wolfram.com , MathWorld . URL consultato il 21 gennaio 2009 .
^ Evans , p. 72 .
^ ( EN ) RS Longhurst, Geometrical and Physical Optics , 1967, Longmans, Norwich
^ Evans , p. 74 .
^ Evans , p. 77 .
^ Evans , p. 78 .
^ Evans , p. 80 .

Bibliografia

Lev Landau e Evgenij Lifšic , Fisica teorica 2 - Teoria dei campi , Roma , Editori Riuniti / Edizioni Mir , 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
( EN ) Lawrence Craig Evans, Partial Differential Equations , Providence , American Mathematical Society , 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull' equazione delle onde

Collegamenti esterni

Linear Wave Equations in EqWorld
Nonlinear Wave Equations in EqWorld
MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions ( PDF file ) di William C. Lane in Project PHYSNET .

Controllo di autorità	NDL ( EN , JA ) 00562751

Portale Elettromagnetismo

Portale Matematica

Portale Meccanica

[1] Landau e Lifšic , p. 148 .

[2] ( EN ) Lawrence Craig Evans, Partial Differential Equations , Providence , American Mathematical Society , 1998, p. 65 , ISBN 0-8218-0772-2 .

[3] Landau e Lifšic , p. 149 .

[4] ( FR ) Jean le Rond d'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" , Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, pp. 214-219.

[5] ( FR ) Jean le Rond d'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" , Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, pp. 220-249.

[6] ( FR ) Jean le Rond d'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration," Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, pp. 355-360.

[7] Landau e Lifšic , p. 150 .

[8] Evans , p. 68 .

[9] ( EN ) Eric W. Weisstein,d'Alembert's Solution , su mathworld.wolfram.com , MathWorld . URL consultato il 21 gennaio 2009 .

[10] Evans , p. 72 .

[11] ( EN ) RS Longhurst, Geometrical and Physical Optics , 1967, Longmans, Norwich

[12] Evans , p. 74 .

[13] Evans , p. 77 .

[14] Evans , p. 78 .

[15] Evans , p. 80 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]