Ecuația Acuña-Romo

Ecuația Acuña-Romo ne permite să prezicem forma care trebuie dată celei de-a doua suprafețe a obiectivului pentru a obține o imagine complet clară chiar și în prezența unei prime suprafețe foarte complexe.

În optica geometrică și ingineria optică , ecuația Acuña-Romo reprezintă soluția la problema proiectării unui obiectiv fără defectul aberației sferice . Având în vedere forma primei dintre cele două suprafețe ale unei lentile (numite „dioptrii”), ecuația stabilește modul în care trebuie să fie forma celei de-a doua suprafețe pentru a corecta complet aberația sferică generată de prima suprafață, pentru un obiect punctat. plasat pe axa optică a obiectivului. Ecuația a fost publicată pentru prima dată în 2018 într-un articol apărut în revista Applied optics , publicat de Optical Society of America și scris de Rafael Guillermo González Acuña, de la Universitatea Națională Autonomă din Mexic , și de Héctor Alejandro Chaparro Romo, de la „ Institutul de Tehnologie Monterrey. ^[1]

Importanța ecuației

O comparație între un obiectiv Huygens și un obiectiv Acuña-Romo: primele două imagini din stânga fac parte din lucrarea lui Huygens Traité de la lumière , unde matematicianul olandez explică aceeași problemă rezolvată ulterior de Acuña-Romo. Imaginea din stânga este un obiectiv fără aberație sferică al cărui design a fost realizat folosind ecuațiile propuse de Acuña-Romo.

Fenomenul optic de aberație sferică, adică fenomenul prin care într-un obiectiv cu o suprafață sferică fasciculele de lumină cele mai îndepărtate de axa optică sunt focalizate la o distanță diferită de cele mai centrale, provocând un defect al clarității imaginii proiectate, a fost descoperit în urmă cu aproximativ două mii de ani de către matematicianul grec Diocles , care a trăit între secolele III și II î.Hr., care a scris despre aceasta în tratatul său Περὶ πυρέιων ( Despre oglinzi arzătoare). ^[2]

De-a lungul timpului, problema modului de a evita acest defect a fost întâmpinată de unii dintre cei mai mari matematicieni și oameni de știință din toate timpurile. În Traité de la lumière , publicat în 1690, de exemplu, pentru a elimina aberația sferică Christiaan Huygens a propus un sistem de lentile sferice comune, menționând, de asemenea, în introducerea lucrării, că atât Isaac Newton , cât și Gottfried Wilhelm Leibniz au avut s-a confruntat cu aceeași problemă. În al șaselea capitol al lucrării, Huygens încearcă, de asemenea, să rezolve problema numeric, subliniind modul în care Descartes , în trecut, eșuase în întreprindere. ^[3] ^[4]

În 1949, GD Wasserman și E. Wolf au propus să utilizeze două suprafețe asferice adiacente pentru a corecta aberațiile sferice și de comă (de la „cometă”, datorită efectului în formă de coadă), cu o soluție constând din două ecuații simultane diferențiale de ordinul întâi, care au fost rezolvate cu o analiză numerică nedefinitivă. ^[5] Deși nu au oferit de fapt o soluție analitică, rezultatul a fost inventarea și comercializarea lentilelor asferice (primii care au apărut pe piața de consum au fost, în 1956, Navitarul produs de compania americană Elgeet), care poate în mod optim corectați aberația permițând concentrarea razelor de lumină pe un singur punct ideal, garantând astfel imaginile focalizate de la centru la margini, dar care nu au un punct ideal de focalizare definit matematic. ^[6]
Ecuația Acuña-Romo, pe de altă parte, descrie o formulă pentru realizarea unui obiectiv bi-asferic fără aberații sferice. Prin aceasta, se stabilește matematic forma pe care a doua suprafață a lentilei asferice trebuie să o aibă în raport cu o formă a primei suprafețe oferită de utilizator și distanța obiectului imaginat.
Înaintea celor doi cercetători mexicani, o soluție analitică a problemei fusese propusă în 2014 de Juan Camilo Valencia Estrada, dar a fost valabilă doar pentru anumite cazuri particulare. ^[7]

Derivarea matematică

Având în vedere o primă suprafață $(r_{a},z_{a})$ ${\ displaystyle (r_ {a}, z_ {a})}$ ${\ displaystyle (r_ {a}, z_ {a})}$ , trebuie determinată forma celei de-a doua suprafețe a lentilei, $(r_{b},z_{b})$ ${\ displaystyle (r_ {b}, z_ {b})}$ ${\ displaystyle (r_ {b}, z_ {b})}$ , pentru a corecta aberația sferică generată de prima suprafață. Originea sistemului de coordonate cilindrice se află în centrul suprafeței de intrare $z_{a}(0)=0.$ ${\ displaystyle z_ {a} (0) = 0.}$ ${\ displaystyle z_ {a} (0) = 0.}$

Este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ indicele de refracție al obiectivului, definit ca simetric radial, e $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ grosimea lentilei din centru și sunt $t_{a}$ ${\ displaystyle t_ {a}}$ ${\ displaystyle t_ {a}}$ distanța obiectului față de prima suprafață e $t_{b}$ ${\ displaystyle t_ {b}}$ ${\ displaystyle t_ {b}}$ distanța dintre a doua suprafață și imagine, atunci prima ecuație fundamentală pentru acest model este forma vectorială a legii lui Snell :

$\displaystyle {{\boldsymbol {v}}_{2}={\frac {1}{n}}[{\boldsymbol {n}}_{a}\times (-{\boldsymbol {n}}_{a}\times {\boldsymbol {v}}_{1})]-{\boldsymbol {n}}_{a}{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}({\boldsymbol {n}}_{a}\times {\boldsymbol {v}}_{1})\cdot ({\boldsymbol {n}}_{a}\times {\boldsymbol {v}}_{1})}}},$ ${\ displaystyle \ displaystyle {{\ boldsymbol {v}} _ {2} = {\ frac {1} {n}} [{\ boldsymbol {n}} _ {a} \ times (- {\ boldsymbol {n} } _ {a} \ times {\ boldsymbol {v}} _ {1})] - {\ boldsymbol {n}} _ {a} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {n ^ {2} }} ({\ boldsymbol {n}} _ {a} \ times {\ boldsymbol {v}} _ {1}) \ cdot ({\ boldsymbol {n}} _ {a} \ times {\ boldsymbol {v} } _ {1})}}},}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {{\ boldsymbol {v}} _ {2} = {\ frac {1} {n}} [{\ boldsymbol {n}} _ {a} \ times (- {\ boldsymbol {n} } _ {a} \ times {\ boldsymbol {v}} _ {1})] - {\ boldsymbol {n}} _ {a} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {n ^ {2} }} ({\ boldsymbol {n}} _ {a} \ times {\ boldsymbol {v}} _ {1}) \ cdot ({\ boldsymbol {n}} _ {a} \ times {\ boldsymbol {v} } _ {1})}}},}$

unde este ${\boldsymbol {v}}_{1}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {1}}$ este vectorul unitar al razei incidente, ${\boldsymbol {v}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {2}}$ este vectorul unitar al razei refractate e ${\boldsymbol {n}}_{a}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {a}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} _ {a}}$ este vectorul normal de suprafață și sunt definite ca:

${\begin{cases}{\boldsymbol {v}}_{1}=\displaystyle {\frac {[r_{a},\,(z_{a}-t_{a})]}{\sqrt {r_{a}^{2}+(z_{a}-t_{a})^{2}}}},\\\\{\boldsymbol {v}}_{2}=\displaystyle {\frac {[r_{b}-r_{a},z_{b}-z_{a}]}{\sqrt {(r_{b}-r_{a})^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}},\\\\{\boldsymbol {n}}_{a}=\displaystyle {\frac {[z_{a}',-1]}{\sqrt {1+z_{a}'^{2}}}},\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ boldsymbol {v}} _ {1} = \ displaystyle {\ frac {[r_ {a}, \, (z_ {a} -t_ {a})]} {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (z_ {a} -t_ {a}) ^ {2}}}}, \\\\ {\ boldsymbol {v}} _ {2} = \ displaystyle {\ frac {[r_ {b} -r_ {a}, z_ {b} -z_ {a}]} {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2} + (z_ {b} - z_ {a}) ^ {2}}}}, \\\\ {\ boldsymbol {n}} _ {a} = \ displaystyle {\ frac {[z_ {a} ', - 1]} {\ sqrt { 1 + z_ {a} '^ {2}}}}, \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ boldsymbol {v}} _ {1} = \ displaystyle {\ frac {[r_ {a}, \, (z_ {a} -t_ {a})]} {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (z_ {a} -t_ {a}) ^ {2}}}}, \\\\ {\ boldsymbol {v}} _ {2} = \ displaystyle {\ frac {[r_ {b} -r_ {a}, z_ {b} -z_ {a}]} {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2} + (z_ {b} - z_ {a}) ^ {2}}}}, \\\\ {\ boldsymbol {n}} _ {a} = \ displaystyle {\ frac {[z_ {a} ', - 1]} {\ sqrt { 1 + z_ {a} '^ {2}}}}, \ end {cases}}}$

unde este $z_{a}'$ ${\ displaystyle z_ {a} '}$ ${\ displaystyle z_ {a} '}$ este derivatul cu privire la $r_{a}$ ${\ displaystyle r_ {a}}$ ${\ displaystyle r_ {a}}$ săgeată pe prima suprafață.
Înlocuind vectorii unitari în forma vectorială a legii lui Snell și grupând componentele carteziene pe care le obținem,

${\begin{cases}r_{i}\equiv \displaystyle {{\frac {r_{b}-r_{a}}{\sqrt {(r_{b}-r_{a})^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}}={\frac {(z_{a}-t_{a})z_{a}'+r_{a}}{n{\sqrt {r_{a}^{2}+(t_{a}-z_{a})^{2}}}(1+z_{a}'^{2})}}-z_{a}'{\frac {\sqrt {\displaystyle {1-{\frac {\left(r_{a}+(z_{a}-t_{a})z_{a}'\right)^{2}}{n^{2}\left(r_{a}^{2}+(t_{a}-z_{a})^{2}\right)\left(\displaystyle {1+z_{a}'^{\,2}}\right)}}}}}{\sqrt {\displaystyle {1+z_{a}'^{\,2}}}}}},\\\\z_{i}\equiv \displaystyle {{\frac {z_{b}-z_{a}}{\sqrt {(r_{b}-r_{a})^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}}={\frac {(r_{a}+(z_{a}-t_{a})z_{a}')z_{a}'}{n{\sqrt {r_{a}^{2}+(t_{a}-z_{a})^{2}}}(1+z_{a}'^{2})}}+{\frac {\sqrt {\displaystyle {1-{\frac {\left(r_{a}+(z_{a}-t_{a})z_{a}'\right)^{2}}{n^{2}\left(r_{a}^{2}+(t_{a}-z_{a})^{2}\right)\left(\displaystyle {1+z_{a}'^{\,2}}\right)}}}}}{\sqrt {\displaystyle {1+z_{a}'^{\,2}}}}}.}\\\\\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} r_ {i} \ equiv \ displaystyle {{\ frac {r_ {b} -r_ {a}} {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2 } + (z_ {b} -z_ {a}) ^ {2}}}} = {\ frac {(z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} '+ r_ {a}} {n { \ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2}}} (1 + z_ {a} '^ {2})}} - z_ {a}' {\ frac {\ sqrt {\ displaystyle {1 - {\ frac {\ left (r_ {a} + (z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} '\ right) ^ {2}} {n ^ {2} \ left (r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2} \ right) \ left (\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\ , 2}} \ right)}}}}} {\ sqrt {\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\, 2}}}}}}, \\\\ z_ {i} \ equiv \ displaystyle {{\ frac {z_ {b} -z_ {a}} {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2} + (z_ {b} -z_ {a}) ^ {2} }}} = {\ frac {(r_ {a} + (z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} ') z_ {a}'} {n {\ sqrt {r_ {a} ^ {2 } + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2}}} (1 + z_ {a} '^ {2})}} + {\ frac {\ sqrt {\ displaystyle {1 - {\ frac {\ left (r_ {a} + (z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} '\ right) ^ {2}} {n ^ {2} \ left (r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2} \ right) \ left (\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\, 2}} \ right)}}}}} {\ sqrt {\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\, 2}}}}}.} \\\\\ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} r_ {i} \ equiv \ displaystyle {{\ frac {r_ {b} -r_ {a}} {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2 } + (z_ {b} -z_ {a}) ^ {2}}}} = {\ frac {(z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} '+ r_ {a}} {n { \ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2}}} (1 + z_ {a} '^ {2})}} - z_ {a}' {\ frac {\ sqrt {\ displaystyle {1 - {\ frac {\ left (r_ {a} + (z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} '\ right) ^ {2}} {n ^ {2} \ left (r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2} \ right) \ left (\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\ , 2}} \ right)}}}}} {\ sqrt {\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\, 2}}}}}}, \\\\ z_ {i} \ equiv \ displaystyle {{\ frac {z_ {b} -z_ {a}} {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2} + (z_ {b} -z_ {a}) ^ {2} }}} = {\ frac {(r_ {a} + (z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} ') z_ {a}'} {n {\ sqrt {r_ {a} ^ {2 } + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2}}} (1 + z_ {a} '^ {2})}} + {\ frac {\ sqrt {\ displaystyle {1 - {\ frac {\ left (r_ {a} + (z_ {a} -t_ {a}) z_ {a} '\ right) ^ {2}} {n ^ {2} \ left (r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} -z_ {a}) ^ {2} \ right) \ left (\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\, 2}} \ right)}}}}} {\ sqrt {\ displaystyle {1 + z_ {a} '^ {\, 2}}}}}.} \\\\\ end {cases}}}$

Deoarece lentila este lipsită de aberații sferice, conform principiului Fermat, calea optică a oricărei raze necentrale trebuie să fie egală cu calea optică a razei axiale,

$-t_{a}+nt+t_{b}=-{\text{sgn}}(t_{a}){\sqrt {r_{a}^{2}+(z_{a}-t_{a})^{2}}}+n{\sqrt {(r_{b}-r_{a})^{2}+(z_{b}-z_{b})^{2}}}+{\text{sgn}}(t_{b}){\sqrt {r_{b}^{2}+(z_{b}-t-t_{b})^{2}}}$ ${\ displaystyle -t_ {a} + nt + t_ {b} = - {\ text {sgn}} (t_ {a}) {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (z_ {a} -t_ {a}) ^ {2}}} + n {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2} + (z_ {b} -z_ {b}) ^ {2}}} + {\ text {sgn}} (t_ {b}) {\ sqrt {r_ {b} ^ {2} + (z_ {b} -t-t_ {b}) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle -t_ {a} + nt + t_ {b} = - {\ text {sgn}} (t_ {a}) {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (z_ {a} -t_ {a}) ^ {2}}} + n {\ sqrt {(r_ {b} -r_ {a}) ^ {2} + (z_ {b} -z_ {b}) ^ {2}}} + {\ text {sgn}} (t_ {b}) {\ sqrt {r_ {b} ^ {2} + (z_ {b} -t-t_ {b}) ^ {2}}}}$

unde este ${\text{sgn}}(t_{a})$ ${\ displaystyle {\ text {sgn}} (t_ {a})}$ ${\ displaystyle {\ text {sgn}} (t_ {a})}$ Și ${\text{sgn}}(t_{b})$ ${\ displaystyle {\ text {sgn}} (t_ {b})}$ ${\ displaystyle {\ text {sgn}} (t_ {b})}$ sunt funcția semnului variabilei $t_{a}$ ${\ displaystyle t_ {a}}$ $t_a$ Și $t_{b}$ ${\ displaystyle t_ {b}}$ ${\ displaystyle t_ {b}}$ , respectiv.

Obținem astfel un sistem de ecuații în care cele două componente sunt forma vectorială a legii lui Snell și principiul lui Fermat.
Soluția unică a sistemului este ecuația Acuña-Romo dată de componentele sale:

${\begin{cases}z_{b}={\frac {\displaystyle {h_{0}\pm }{\sqrt {\begin{array}{l}z_{i}^{2}\left[-2nf_{i}\left(z_{i}\left(z_{a}-t_{b}+t\left(z_{i}-1\right)\right)+r_{a}r_{i}+tr_{i}^{2}\right)\right.\left.-\left(r_{i}\left(-z_{a}+t_{b}+t\right)+r_{a}z_{i}\right){}^{2}+f_{i}^{2}+h_{1}n^{2}\right]\end{array}}}}{\displaystyle {1-n^{2}}}},\\\\r_{b}=\displaystyle {r_{a}+{\frac {r_{i}(z_{b}-z_{a})}{z_{i}+r_{a}}}}.\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} z_ {b} = {\ frac {\ displaystyle {h_ {0} \ pm} {\ sqrt {\ begin {array} {l} z_ {i} ^ {2} \ left [-2nf_ {i} \ left (z_ {i} \ left (z_ {a} -t_ {b} + t \ left (z_ {i} -1 \ right) \ right) + r_ {a} r_ {i } + tr_ {i} ^ {2} \ right) \ right. \ left .- \ left (r_ {i} \ left (-z_ {a} + t_ {b} + t \ right) + r_ {a} z_ {i} \ right) {} ^ {2} + f_ {i} ^ {2} + h_ {1} n ^ {2} \ right] \ end {array}}}} {\ displaystyle {1-n ^ {2}}}}, \\\\ r_ {b} = \ displaystyle {r_ {a} + {\ frac {r_ {i} (z_ {b} -z_ {a})} {z_ {i} + r_ {a}}}}. \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} z_ {b} = {\ frac {\ displaystyle {h_ {0} \ pm} {\ sqrt {\ begin {array} {l} z_ {i} ^ {2} \ left [-2nf_ {i} \ left (z_ {i} \ left (z_ {a} -t_ {b} + t \ left (z_ {i} -1 \ right) \ right) + r_ {a} r_ {i } + tr_ {i} ^ {2} \ right) \ right. \ left .- \ left (r_ {i} \ left (-z_ {a} + t_ {b} + t \ right) + r_ {a} z_ {i} \ right) {} ^ {2} + f_ {i} ^ {2} + h_ {1} n ^ {2} \ right] \ end {array}}}} {\ displaystyle {1-n ^ {2}}}}, \\\\ r_ {b} = \ displaystyle {r_ {a} + {\ frac {r_ {i} (z_ {b} -z_ {a})} {z_ {i} + r_ {a}}}}. \ end {cases}}}$

The $\pm$ ${\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ derivă din faptul că, atunci când indicele de refracție este pozitiv (adică în cazul unui material natural), razele sunt reflectate în direcția opusă, în timp ce opusul apare atunci când indicele de refracție este negativ (adică în cazul unui metamaterial ). Variabilele auxiliare sunt:

${\begin{cases}\displaystyle {f_{i}=-{\text{sgn}}(t_{a}){\sqrt {r_{a}^{2}+(t_{a}-z_{a})^{2}}}+t_{a}-t_{b}},\\\\\displaystyle {h_{0}=nf_{i}z_{i}-n^{2}(tz_{i}+z_{a})+r_{i}^{2}z_{a}-r_{a}r_{i}z_{i}+z_{i}^{2}(t+t_{b})}\,,\\\\\displaystyle {h_{1}=r_{a}^{2}+2r_{a}r_{i}t+\left(t_{b}-z_{a}\right)^{2}+t^{2}\left(r_{i}^{2}+\left(-1+z_{i}\right)^{2}\right)-2t\left(t_{b}-z_{a}\right)\left(-1+z_{i}\right)}.\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {f_ {i} = - {\ text {sgn}} (t_ {a}) {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} - z_ {a}) ^ {2}}} + t_ {a} -t_ {b}}, \\\\\ displaystyle {h_ {0} = nf_ {i} z_ {i} -n ^ {2} ( tz_ {i} + z_ {a}) + r_ {i} ^ {2} z_ {a} -r_ {a} r_ {i} z_ {i} + z_ {i} ^ {2} (t + t_ { b})} \ ,, \\\\\ displaystyle {h_ {1} = r_ {a} ^ {2} + 2r_ {a} r_ {i} t + \ left (t_ {b} -z_ {a} \ right) ^ {2} + t ^ {2} \ left (r_ {i} ^ {2} + \ left (-1 + z_ {i} \ right) ^ {2} \ right) -2t \ left ( t_ {b} -z_ {a} \ right) \ left (-1 + z_ {i} \ right)}. \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {f_ {i} = - {\ text {sgn}} (t_ {a}) {\ sqrt {r_ {a} ^ {2} + (t_ {a} - z_ {a}) ^ {2}}} + t_ {a} -t_ {b}}, \\\\\ displaystyle {h_ {0} = nf_ {i} z_ {i} -n ^ {2} ( tz_ {i} + z_ {a}) + r_ {i} ^ {2} z_ {a} -r_ {a} r_ {i} z_ {i} + z_ {i} ^ {2} (t + t_ { b})} \ ,, \\\\\ displaystyle {h_ {1} = r_ {a} ^ {2} + 2r_ {a} r_ {i} t + \ left (t_ {b} -z_ {a} \ right) ^ {2} + t ^ {2} \ left (r_ {i} ^ {2} + \ left (-1 + z_ {i} \ right) ^ {2} \ right) -2t \ left ( t_ {b} -z_ {a} \ right) \ left (-1 + z_ {i} \ right)}. \ end {cases}}}$

Condițiile pentru validitatea ecuației Acuña-Romo sunt ca vectorul normal de suprafață să fie perpendicular pe planul tangent la suprafața de intrare la origine și că razele nu se intersectează în interiorul lentilei.

Notă

^ Rafael Guillermo González-Acuña și Héctor Alejandro Chaparro Romo, Formula generală pentru proiectarea lentilelor bi-asferice singlet fără aberații sferice , în Applied Optics , vol. 57, nr. 31, Editura OSA, noiembrie 2018, pp. 9341-9345. Adus la 22 august 2019 .
^ Toomer GJ, Diocles On Burning Mirrors, Sources in the History of Mathematics and the Physical Sciences 1 , New York, Springer, 1976.
^ Christiaan Huygens, Traité de la lumière , Leiden, 1690.
^ Fokko Jan Dijksterhuis, Lentile și undele: Christiaan Huygens și știința matematică a opticii în secolul al XVII-lea , Enschede, Springer, 2004, ISBN 978-1-4020-2697-3 .
^ GD Wasserman și E. Wolf, Despre teoria sistemelor asferice aplanatice , în Proceedings of the Physical Society , vol. 62, nr. 1. Accesat la 23 august 2019 .
^ Sergio Donato, Obiective fără aberații: formula matematică care rezolvă problema , în ziua de zi , zi, 9 iulie 2019. Accesat la 23 august 2019 .
^ Juan Camilo Valencia-Estrada, Ricardo Benjamín Flores-Hernández, Daniel și Malacara-Hernández, lentile singlet libere de toate ordinele de aberație sferică , în procedurile A , vol. 471, DOI : 10.1098 / rspa.2014.0608 . Adus la 22 august 2019 .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[osa-1] Rafael Guillermo González-Acuña și Héctor Alejandro Chaparro Romo, Formula generală pentru proiectarea lentilelor bi-asferice singlet fără aberații sferice , în Applied Optics , vol. 57, nr. 31, Editura OSA, noiembrie 2018, pp. 9341-9345. Adus la 22 august 2019 .

[Diocles-2] Toomer GJ, Diocles On Burning Mirrors, Sources in the History of Mathematics and the Physical Sciences 1 , New York, Springer, 1976.

[Huygens-3] Christiaan Huygens, Traité de la lumière , Leiden, 1690.

[Huygens2-4] Fokko Jan Dijksterhuis, Lentile și undele: Christiaan Huygens și știința matematică a opticii în secolul al XVII-lea , Enschede, Springer, 2004, ISBN 978-1-4020-2697-3 .

[Wolf-5] GD Wasserman și E. Wolf, Despre teoria sistemelor asferice aplanatice , în Proceedings of the Physical Society , vol. 62, nr. 1. Accesat la 23 august 2019 .

[6] Sergio Donato, Obiective fără aberații: formula matematică care rezolvă problema , în ziua de zi , zi, 9 iulie 2019. Accesat la 23 august 2019 .

[Camilo-7] Juan Camilo Valencia-Estrada, Ricardo Benjamín Flores-Hernández, Daniel și Malacara-Hernández, lentile singlet libere de toate ordinele de aberație sferică , în procedurile A , vol. 471, DOI : 10.1098 / rspa.2014.0608 . Adus la 22 august 2019 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]