Ecuația Bernoulli

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea ecuației diferențiale omonime, consultați ecuația diferențială a lui Bernoulli .
Ecuația Bernoulli.
Apă care cade

În dinamica fluidelor , ecuația Bernoulli reprezintă un model simplificat al fluxului inviscid al unui fluid incompresibil în mișcare în stare staționară. [1] Ecuația Bernoulli este derivată prin intermediul teoremei omonime din integrarea ecuației Euler a impulsului de-a lungul unei linii de curgere și descrie mișcarea unui fluid de -a lungul acestei linii.

Descriere

Ecuația descrie matematic efectulBernoulli prin care într-un ideal fluid pe care nu se aplică o lucrare , pentru fiecare creștere a vitezei de deriva are simultan o scădere a presiunii sau o modificare a„ energiei potențiale a fluidului, nu neapărat gravitațional . Își ia numele de la Daniel Bernoulli , deși era deja cunoscut anterior de alți cărturari, inclusiv Euler .

Câmpul mai general de validitate al teoremei lui Bernoulli nu este de fapt cel al unui fluid inviscid, dar este suficient ca rezultatul acțiunilor vâscoase legate de rotorul vorticității să fie nul: de aceea este suficient ca fluidul să fie incompresibil, irotațional. (potențial) și staționar (derivată parțială în timp a vitezei zero).

În aceste ipoteze, ecuațiile Euler pot fi integrate de-a lungul unei linii de flux, ducând la ecuația Bernoulli, sub forma: [2]

in care:

Constanta găsită are dimensiunea unei presiuni și din acest motiv se mai numește presiune generalizată [2] . Ecuația Bernoulli arată, de asemenea, că dacă între oricare două puncte ale conductei există o diferență de presiune, atunci va exista o consecință a variației vitezei în aceleași puncte: dacă presiunea scade viteza crește și, invers, dacă presiunea creșterea vitezei trebuie să scadă. Acest fenomen se numește efect Venturi . [3]

Explicație simplificată

Teorema lui Bernoulli poate fi explicată fără a recurge la calculul integral: [4]

Munca efectuată de suprafață forțează să deplaseze fluidul cu o cursă este egal cu

unde este este presiunea care acționează asupra secțiunii , Și corespunde volumului de fluid prin care a trecut .

În mod similar, se va lucra pentru a muta fluidul prezent într-o secțiune în aval de . Această lucrare va fi:

Rezultă că lucrarea totală efectuată de forțele de suprafață este:

Munca efectuată de volum forțează să deplaseze fluidul de la înălțime La înălțimea va corespunde schimbării energiei potențiale gravitaționale:

Ne găsim în prezența doar a forțelor conservatoare, suma și va fi egal cu schimbarea energiei cinetice:

din care rezultă că:

care este echivalent cu:

Deoarece fluidul este incompresibil . Prin urmare, împărțind ambii membri la volumul pe care îl obținem:

adică:

in care:

  • p este presiunea
  • ρ este densitatea (constantă) a fluidului
  • u este viteza de deriva
  • g este accelerația datorată gravitației
  • h este înălțimea.

Aplicații ale teoremei lui Bernoulli

Legea lui Torricelli

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Legea lui Torricelli .

Cea mai faimoasă aplicație a teoremei lui Bernoulli este deducerea vitezei unui flux de fluid dintr-un vas într-un câmp uniform (de exemplu gravitațional). [5]

Luați în considerare un vas de orice formă umplut cu un fluid, pe care a fost făcută o gaură la înălțime . Având în vedere cum secțiunea containerului, înălțimea relativă la la care se află suprafața liberă a lichidului e secțiunea găurii se obține:

dar asa de:

De cand

Deoarece fluxul este constant, este neglijabil în comparație cu (atâta timp cât ), pentru care:

din care rezultă

sau

numită și legea lui Torricelli de când Torricelli a atins același rezultat în 1644 înainte de lucrările lui Bernoulli.

Lift

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Lift .
Efectul Bernoulli asupra unei foi aeriene

Ecuația Bernoulli este, de asemenea, capabilă să cuantifice (în anumite limite) ridicarea , adică componenta forței normale la mișcarea fluidului care acționează asupra unui corp care este scufundat în el.

Ridicarea este de fapt dată de diferența de viteză de derivație care se obține în mod deliberat din forma particulară a aripii, care este construită în așa fel încât viteza filetelor de aer de pe fața superioară să fie mai mare decât cele de pe fața inferioară . Această tehnică permite generarea unei forțe îndreptate în sus dată de o presiune pe fața inferioară mai mare decât cea de pe fața superioară.

  • : presiunea aerului pe fața inferioară
  • : viteza aerului pe fața inferioară
  • : presiunea aerului pe fața superioară
  • : viteza aerului pe fața superioară

Deci diferența de presiune între fața inferioară și superioară a aripii va fi:

Această diferență de presiune ( ) are pur și simplu efectul de apăsare de aceeași intensitate ca ( ): de fapt se produce o forță care este direct proporțională cu suprafața inferioară a aripii. De fapt, prin definiție :

deci forța rezultată va fi:

Cu toate acestea, principiul lui Bernoulli nu este suficient pentru a explica fenomenul ridicării; de asemenea, este necesar să se ia în considerare efectul curburii liniilor curente asupra profilului și abaterea lor în jos ( efect Coandă ).

Alte efecte care pot fi explicate cu ecuația Bernoulli

Există multe fenomene din viața de zi cu zi care pot fi explicate prin ecuația Bernoulli:

  • desprinderea și distrugerea acoperișurilor clădirilor care sunt lovite de vânturi foarte puternice (în timpul uraganelor sau evenimentelor atmosferice foarte violente): de fapt, în aceste cazuri, clădirile, care sunt aproximativ izolate în interior de exterior, sunt supuse unei presiuni mari diferență cauzată de viteza puternică a aerului extern, care produce o scădere a presiunii externe, în timp ce presiunea din interiorul casei rămâne neschimbată. Forța exercitată pe suprafața acoperișului de diferența de presiune (care merge de jos în sus) este capabilă să o dezvăluie;
  • ateroscleroza este o boală cauzată de acumularea de lipide (grăsimi) în stratul cel mai interior al arterelor. Pentru ecuația Bernoulli (sau mai simplu pentru ecuația de continuitate ) o scădere a secțiunii cavității în care curge lichidul (în acest caz sângele) corespunde unei creșteri a vitezei de deriva a acestuia din urmă, ceea ce determină o scădere a presiunii interne in acel moment. În consecință, presiunea externă va fi mai mare decât cea internă și va tinde să zdrobească artera astfel încât să scadă și mai mult fluxul de sânge;
  • închiderea unei uși într-o cameră traversată de vânt, chiar dacă vântul suflă în direcția în care ar trebui să se deschidă ușa: acest lucru se datorează faptului că viteza aerului provoacă o depresiune care induce mișcarea ușii în sine.
  • aripa unui avion este construită astfel încât aerul de deasupra aripii să aibă o viteză mai mare decât cea de dedesubt, astfel încât presiunea unde curge mai repede să fie mai mică. Această diferență de presiune determină decolarea vehiculului. Același principiu, dar invers, se aplică și spoilerului spate, care împinge în schimb vehiculul în jos, oferindu-i mai multă aderență pe asfalt; efectul în acest caz se numește forță de forță.

În cazurile menționate, este posibil să se neglijeze termenul gravitațional al ecuației Bernoulli, deoarece liniile de flux menționate au aproximativ aceeași energie potențială .

Notă

Bibliografie

  • Gian Paolo Parodi, Marco Ostili și Guglielmo Mochi Onori, Evoluția fizicii. Curs de fizică. Pentru liceul științific , vol. 1, Paravia, 2006, ISBN 8839516093 .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Mecanică Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică