Ecuația lui Boltzmann

Ecuația lui Boltzmann , cunoscută și sub numele de ecuația de transport a lui Boltzmann (în engleză Boltzmann Transport Equation sau BTE ), este o ecuație a mecanicii statistice , formulată de Ludwig Boltzmann în 1872 , ^[1] care descrie comportamentul statistic al unui sistem într-o stare de non- termodinamică. - echilibru .

Problema cunoașterii evoluției temporale a unui sistem de particule, fie ele atomi sau molecule , este legată de cunoașterea poziției în spațiul stărilor pentru fiecare dintre ele. Această abordare este impracticabilă dacă vă gândiți la numărul mare de particule implicate, de exemplu, într-un gaz puteți avea 10 ^{25 de} particule pentru fiecare m ³ . Din acest motiv, sunt introduse funcții de distribuție care permit, nu numai să cunoască mișcarea unei singure particule, ci și câte molecule într-un anumit moment au anumite valori de viteză sau energie . În multe cazuri, ecuația nu poate fi rezolvată exact și din acest motiv au fost introduse metode pentru a obține o soluție aproximativă.

Ecuația Boltzmann este utilizată pentru a studia modul în care particulele dintr-un fluid , atunci când, de exemplu, există o aplicație a unui gradient de temperatură sau a unui câmp electric , transportă cantități fizice, cum ar fi căldura și sarcina , și astfel derivă proprietățile transportului, cum ar fi electricitatea conductivitate, conductivitate Hall , vâscozitate și conductivitate termică .

Descriere

Având în vedere un sistem cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ grade de libertate , al căror spațiu de configurare este generat de $(q_{i})_{i=1,\dots ,k}$ ${\ displaystyle (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ coordonate generalizate , spațiul relativ de fază în coordonatele hamiltoniene este generat de perechi $(q_{i},p_{i})_{i=1,\dots ,k}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ . Este $f(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ o funcție de densitate a probabilității , a spus $\mathrm {d} V=\mathrm {d} \mathbf {q} ^{k}\mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ mathrm {d} \ mathbf {q} ^ {k} \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ mathrm {d} \ mathbf {q} ^ {k} \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k}}$ volumul infinitesimal, avem că:

N=\int f\ \mathrm {d} V\qquad n=\int f\ \mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}

{\ displaystyle N = \ int f \ \ mathrm {d} V \ qquad n = \ int f \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k}}

{\ displaystyle N = \ int f \ \ mathrm {d} V \ qquad n = \ int f \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k}}

unde este $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este numărul de particule care au poziție în interiorul volumului spațial infinitesimal $\mathrm {d} \mathbf {q} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {q} ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {q} ^ {k}}$ , in timp ce $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul densității . Prin urmare, rezultă ecuația generală: ^[2]

{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{convezione}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diffusione}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{collisioni}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {convecție }} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {diffusion}} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ dreapta) _ {\ text {coliziuni}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {convecție }} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {diffusion}} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ dreapta) _ {\ text {coliziuni}}}

Termenii convectivi și difuzivi

Presupunând că fiecare particulă descrisă de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ experiența forțelor externe care nu sunt cauzate de alte particule, a căror rezultat este $\mathbf {F} ^{(e)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)}}$ , ai asta instantaneu $t_{0}+\Delta t$ ${\ displaystyle t_ {0} + \ Delta t}$ ${\ displaystyle t_ {0} + \ Delta t}$ fiecare particulă va avea coordonate $\left(\mathbf {q} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\Delta t,\ \mathbf {p} +\mathbf {F} ^{(e)}\Delta t\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {q} + {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ Delta t, \ \ mathbf {p} + \ mathbf {F} ^ {(e)} \ Delta t \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {q} + {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ Delta t, \ \ mathbf {p} + \ mathbf {F} ^ {(e)} \ Delta t \ dreapta)}$ . Luând în considerare coliziunile, numărul de particule din $\mathrm {d} V$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} V}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} V}$ rezultă:

\mathrm {d} N_{\text{collisioni}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{collisioni}}\Delta t\,\mathrm {d} V=\Delta f\,\mathrm {d} V

{\ displaystyle \ mathrm {d} N _ {\ text {collisions}} = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} \ Delta t \ , \ mathrm {d} V = \ Delta f \, \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle \ mathrm {d} N _ {\ text {collisions}} = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} \ Delta t \ , \ mathrm {d} V = \ Delta f \, \ mathrm {d} V}

Deci derivata totală devine:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla _{\mathbf {q} }f\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}+\nabla _{\mathbf {p} }f\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\\&={\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla _{\mathbf {q} }f\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+\nabla _{\mathbf {p} }f\cdot \mathbf {F} ^{(e)}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{collisioni}}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ nabla _ { \ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {q}} {\ mathrm {d} t}} + \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = \\ & = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ nabla _ {\ mathbf {q} } f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e)} = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} & = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ nabla _ { \ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {q}} {\ mathrm {d} t}} + \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = \\ & = {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} + \ nabla _ {\ mathbf {q} } f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} + \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e)} = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} \\\ end {align}}}

pentru a obține în cele din urmă:

{\frac {\partial f}{\partial t}}=-\underbrace {\nabla _{\mathbf {q} }f\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}} _{\text{convettivo}}-\underbrace {\nabla _{\mathbf {p} }f\cdot \mathbf {F} ^{(e)}} _{\text{diffusivo}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{collisioni}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = - \ underbrace {\ nabla _ {\ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}}} _ {\ text {convective}} - \ underbrace {\ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e)}} _ {\ text {diffusive}} + \ left ({ \ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {coliziuni}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = - \ underbrace {\ nabla _ {\ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}}} _ {\ text {convective}} - \ underbrace {\ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e)}} _ {\ text {diffusive}} + \ left ({ \ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {coliziuni}}}

Termenul colizional

Una dintre formulările posibile pentru termenul de coliziune este în cazul ipotezei haosului molecular .

Notă

^ Enciclopedia fizicii (ediția a II-a), RG Lerner, GL Trigg, editori VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3.
^ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (ediția a doua), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Ecuația Boltzmann , din Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[Encyclopaediaof-1] Enciclopedia fizicii (ediția a II-a), RG Lerner, GL Trigg, editori VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3.

[McGrawHill-2] McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (ediția a doua), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 .

[1]

[2]