ecuația Dirac

Ecuația Dirac este ecuația de undă care descrie mișcarea fermioni într - un relativist invariant mod.

Acesta a fost formulată în 1928 de către Paul Dirac în încercarea de a depăși dezavantajele generate de ecuația Klein-Gordon (cea mai imediată formularea relativistă a ecuației Schrödinger ), care prezintă o dificultate în interpretarea funcției de undă care duce la o densitate de probabilități care poate fi , de asemenea , negativ sau zero , precum și admiterea negativ de energie soluții.

Ecuația Dirac descrie particule cu ajutorul unui Spinor format din patru funcții de undă ( Spinor lui Dirac ), o extensie naturală a Spinor non-relativistic două componente. A fost un pas fundamental spre o teorie unificată a principiilor mecanicii cuantice și speciale relativității (așa-numitele mecanicii cuantice relativistă ), care permite de a defini o densitate de probabilitate , care este întotdeauna pozitiv. De asemenea , a permis să explice structura fină a spectrului atomului de hidrogen și factorul giromagnetic al electronului .

Ecuația Dirac admite soluții energetice negative. Dirac a emis ipoteza existenței unui mare infinit de particule care ocupă statele de energie negativă, inaccesibile din cauza principiului de excludere al lui Pauli ( Dirac mare ). După dezvoltarea teoriei câmpului cuantice aceste state au fost identificate cu antiparticule , legate de particule obișnuite prin intermediul CPT de simetrie , rezolvarea unor paradoxuri provenind de la ipoteza mare Dirac.

Ecuația Gordon - Klein

Același subiect în detaliu: ecuația Klein-Gordon .

Klein - ecuația Gordon a fost prima încercare de a face ecuația Schrödinger relativist , care este de a insera formalismul speciale relativitatii in cadrul mecanicii cuantice . Cu toate acestea, nu admite o interpretare naturală probabilist, precum și luând în considerare nu una dintre caracteristicile fundamentale ale unei particule cuantice, și anume de spin .

Formulare

Folosind relația lui Einstein dintre energie și impuls în formă operatorului

{\hat {E}}^{2}\psi =\left({\hat {p}}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi

{\ Displaystyle {\ hat {E}} ^ {2} \ psi = \ stânga ({\ hat {p}} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} \ dreapta) \ psi}

{\ Displaystyle {\ hat {E}} ^ {2} \ psi = \ stânga ({\ hat {p}} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} \ dreapta) \ psi}

vom ajunge la ecuația ^[1]

\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0

{\ Displaystyle \ parțial _ {\ mu} \ parțial ^ {\ mu} \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = 0}

{\ Displaystyle \ parțial _ {\ mu} \ parțial ^ {\ mu} \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = 0}

Dezavantaje

Avantajul ecuația Klein-Gordon este de a trata timp și spațiu în funcție de geometria spațiului Minkowski, în timp ce operatorul Alembertian se dovedește a fi un invariant transformări Lorentz. Pe de altă parte, cu toate acestea, există unele „dezavantaje“: în primul rând, că statele energetice negative , pot exista , de asemenea , ca soluții și că interpretarea probabilistă a funcției de undă este problematică. Conform interpretării de la Copenhaga , de fapt, pătrat modulul funcției de undă reprezintă probabilitatea densitatea :

|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=\rho \left({\vec {r}},t\right)_{S}

{\ Displaystyle | \ psi \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) | ^ {2} = \ rho \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) _ {S}}

{\ Displaystyle | \ psi \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) | ^ {2} = \ rho \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) _ {S}}

și, prin urmare, trebuie să fim siguri de a găsi particula, dacă luăm în considerare tot spațiul, adică, integrala a densității de probabilitate trebuie să fie egală cu una

\int \operatorname {d} ^{3}r|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}=1

{\ Displaystyle \ int \ operatorname {d} ^ {3} r | \ psi \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) | ^ {2} = 1}

{\ Displaystyle \ int \ operatorname {d} ^ {3} r | \ psi \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) | ^ {2} = 1}

Densitate satisface nu numai condiția de normalizare, dar , de asemenea , o ecuație de continuitate . Probabilitatea de a găsi particula într-un volum dat în spațiu trebuie să fie totuși relativist invarianta: în timp ce în expresia de mai sus $|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}$ ${\ Displaystyle | \ psi \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle | \ psi \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) | ^ {2}}$ volumul nu transformă $d^{3}r$ ${\ Displaystyle d ^ {3} r}$ ${\ Displaystyle d ^ {3} r}$ nu este invariantă sub transformări Lorentz.

Prin urmare, putem introduce o densitate de probabilitate:

\rho \left({\vec {r}},t\right)_{KG}={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left[{\bar {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\psi }{\frac {\partial {\bar {\psi }}}{\partial t}}\right]

{\ Displaystyle \ rho \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) _ {KG} = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ stânga [{\ bar {\ psi }} {\ frac {\ parțial \ psi} {\ t parțial}} - {\ psi} {\ frac {\ parțial {\ bar {\ psi}}} {\ t parțial}} \ right]}

{\ Displaystyle \ rho \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) _ {KG} = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ stânga [{\ bar {\ psi }} {\ frac {\ parțial \ psi} {\ t parțial}} - {\ psi} {\ frac {\ parțial {\ bar {\ psi}}} {\ t parțial}} \ right]}

ca o componentă temporală a unui vector cu patru

J_{\mu }\left({\vec {r}},t\right)={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left[{\bar {\psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial x_{\mu }}}-{\psi }{\frac {\partial {\bar {\psi }}}{\partial x_{\mu }}}\right]

{\ J displaystyle _ {\ mu} \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ stânga [{\ bar {\ psi }} {\ frac {\ parțial \ psi} {\ parțial x _ {\ mu}}} - {\ psi} {\ frac {\ parțial {\ bar {\ psi}}} {\ x parțial _ {\ mu }}} \ dreapta]}

{\ J displaystyle _ {\ mu} \ stânga ({\ vec {r}}, t \ dreapta) = {\ frac {i \ hbar} {2mc ^ {2}}} \ stânga [{\ bar {\ psi }} {\ frac {\ parțial \ psi} {\ parțial x _ {\ mu}}} - {\ psi} {\ frac {\ parțial {\ bar {\ psi}}} {\ x parțial _ {\ mu }}} \ dreapta]}

care satisface ecuația de continuitate

\partial ^{\mu }J_{\mu }=0

{\ Displaystyle \ parțiali ^ {\ mu} J _ {\ mu} = 0}

{\ Displaystyle \ parțiali ^ {\ mu} J _ {\ mu} = 0}

.

Cu toate acestea, densitatea ρ _KG nu este întotdeauna pozitiv definită, dar poate fi , de asemenea , negativ sau zero , deoarece norma unui vector în spațiu Hilbert nu mai este legat ca și în cazul densității de probabilitate non-relativistic derivată din ecuația Schrödinger.

Se observă bosonii masive cu spin - 1, ecuațiile de câmp sunt descrise de Lagrangianului de Proca .

ecuația Dirac

Formulare

Noi folosim notația:

g^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)

{\ Displaystyle g ^ {\ mu \ Nu} = \ stânga ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {matrix}} \ dreapta) = {\ text {diag}} (1, -1, -1, -1)}

g ^ {\ mu \ Nu} = \ stânga (\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {matrix} \ dreapta) = \ text {diag} (1, -1, -1, -1)

și unități naturale ( $\hbar =1,c=1$ ${\ Displaystyle \ hbar = 1, c = 1}$ $\ Hbar = 1, c = 1$ ).

Dirac , pornind de la ecuația Klein-Gordon :

\left(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}\right)\Phi =0

{\ Displaystyle \ stânga (\ parțiale _ {\ mu} \ parțial ^ {\ mu} + m ^ {2} \ dreapta) \ Phi = 0}

\ Left (\ partial_ \ mu \ parțial ^ \ mu + m ^ 2 \ dreapta) \ Phi = 0

propune un fel de rădăcină pătrată a acestuia din urmă.

De fapt, să presupunem că se poate scrie:

E=\alpha _{i}\cdot p_{i}+m\cdot \beta =\alpha _{x}\cdot p_{x}+\alpha _{y}\cdot p_{y}+\alpha _{z}\cdot p_{z}+m\cdot \beta

{\ Displaystyle E = \ alpha _ {i} \ cdot P_ {i} + m \ cdot \ beta = \ alpha _ {x} \ cdot P_ {x} + \ alpha _ {y} \ cdot P_ {y} + \ alpha _ {z} \ cdot P_ {z} + m \ cdot \ beta}

E = \ alpha_i \ cdot p_i + m \ cdot \ beta = \ alpha_x \ cdot p_x + \ alpha_y \ cdot p_y + \ alpha_z \ cdot p_z + m \ cdot \ beta

(în al doilea membru am folosit notația lui Einstein și convenția că literele i, j, k indică însumări de la 1 la 3 pentru componentele spațiale)

al cărui pătrat dă:

p^{2}+m^{2}=E^{2}=\left(\alpha _{i}\cdot p_{i}+m\cdot \beta \right)^{2}

{\ Displaystyle p ^ {2} + m ^ {2} = E ^ {2} = \ stânga (\ alpha _ {i} \ cdot P_ {i} + m \ cdot \ beta \ dreapta) ^ {2}}

p ^ 2 + m ^ 2 = E ^ 2 = \ stânga (\ alpha_i \ cdot p_i + m \ cdot \ beta \ dreapta) ^ 2

face calculele pe care le primim

\left(\alpha _{i}\cdot p_{i}+m\cdot \beta \right)^{2}=\alpha _{i}\cdot p_{i}\cdot \alpha _{j}\cdot p_{j}+\alpha _{i}\cdot p_{i}\cdot m\cdot \beta +m\cdot \beta \cdot \alpha _{i}\cdot p_{i}+m^{2}\cdot \beta ^{2}

{\ Displaystyle \ stânga (\ alpha _ {i} \ cdot P_ {i} + m \ cdot \ beta \ dreapta) ^ {2} = \ alpha _ {i} \ cdot P_ {i} \ cdot \ alpha _ { j} \ cdot P_ {j} + \ alpha _ {i} \ cdot P_ {i} \ cdot m \ cdot \ beta + m \ cdot \ beta \ cdot \ alpha _ {i} \ cdot P_ {i} + m ^ {2} \ cdot \ beta ^ {2}}

\ Stânga (\ alpha_i \ cdot p_i + m \ cdot \ beta \ dreapta) ^ 2 = \ alpha_i \ cdot p_i \ cdot \ alpha_j \ cdot p_j + \ alpha_i \ cdot p_i \ cdot m \ cdot \ beta + m \ cdot \ beta \ cdot \ alpha_i \ cdot p_i + m ^ 2 \ cdot \ beta ^ 2

p_{i}

{\ displaystyle p_ {i}}

p_ {i}

,

p_{j}

{\ displaystyle p_ {j}}

pijamale}

și m sunt numere, astfel încât acestea fac naveta cu toate cantitățile din ecuație, obținem

p^{2}+m^{2}=E^{2}=\alpha _{i}\cdot \alpha _{j}\cdot p_{i}\cdot p_{j}+(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})m\cdot p_{i}+m^{2}\cdot \beta ^{2}=

{\ Displaystyle p ^ {2} + m ^ {2} = E ^ {2} = \ alpha _ {i} \ cdot \ alpha _ {j} \ cdot P_ {i} \ cdot P_ {j} + (\ alfa _ {i} \ beta + \ beta \ alpha _ {i}) m \ cdot P_ {i} + m ^ {2} \ cdot \ beta ^ {2} =}

p ^ 2 + m ^ 2 = E ^ 2 = \ alpha_i \ cdot \ alpha_j \ cdot p_i \ cdot p_j + (\ alpha_i \ beta + \ beta \ alpha_i) m \ cdot p_i + m ^ 2 \ cdot \ beta ^ 2 =

={1 \over 2}\left(\{\alpha _{i},\alpha _{j}\}+\left[\alpha _{i},\alpha _{j}\right]\right)p_{i}\cdot p_{j}+m^{2}\cdot \beta ^{2}+\{\beta ,\alpha _{i}\}m\cdot p_{i}

{\ Displaystyle = {1 \ peste 2} \ stânga (\ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j} \} + \ stânga [\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j} \ right] \ dreapta) P_ {i} \ cdot P_ {j} + m ^ {2} \ cdot \ beta ^ {2} + \ {\ beta, \ alpha _ {i} \} m \ cdot P_ {i}}

= {1 \ peste 2} \ stânga (\ {\ alpha_i, \ alpha_j \} + \ stânga [\ alpha_i, \ alpha_j \ dreapta] \ dreapta) p_i \ cdot p_j + m ^ 2 \ cdot \ beta ^ 2 + \ {\ beta, \ alpha_i \} m \ cdot p_i

(În ultimul pasaj am folosit definiția anticommutator și faptul că produsul a două tensori poate fi scris ca jumatate din suma anticommutator)

Tensorul $p_{i}p_{j}$ ${\ Displaystyle P_ {i} P_ {j}}$ $p_j p_i$ este simetric, motiv pentru care anulează comutatorul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Prin urmare, rămâne

p^{2}+m^{2}=E^{2}={1 \over 2}\{\alpha _{i},\alpha _{j}\}p_{i}\cdot p_{j}+m^{2}\beta ^{2}+\{\beta ,\alpha _{i}\}\cdot m\cdot p_{i}

{\ Displaystyle p ^ {2} + m ^ {2} = E ^ {2} = {1 \ peste 2} \ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j} \} P_ {i} \ cdot P_ {j} + m ^ {2} \ beta ^ {2} + \ {\ beta, \ alpha _ {i} \} \ cdot m \ cdot P_ {i}}

p ^ 2 + m ^ 2 = E ^ 2 = {1 \ peste 2} \ {\ alpha_i, \ alpha_j \} p_i \ cdot p_j + m ^ 2 \ beta ^ 2 + \ {\ beta, \ alpha_i \} \ cdot m \ cdot p_i

Această egalitate duce la unele condiții privind coeficienții:

\alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=1

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = 1}

\ Alpha_i ^ 2 = \ beta ^ 2 = 1

\{\beta ,\alpha _{i}\}=0

{\ Displaystyle \ {\ beta, \ alpha _ {i} \} = 0}

\ {\ Beta, \ alpha_i \} = 0

\{\alpha _{i},\alpha _{j}\}=2\delta _{i,j}

{\ Displaystyle \ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j} \} = 2 \ delta _ {i, j}}

\ {\ Alpha_i, \ alpha_j \} = 2 \ delta_ {i, j}

Prin urmare , este evident că acești coeficienți sunt de fapt matrici și nu numere . Prima alegere ar putea fi matricele Pauli , care însă sunt trei, în timp ce matricele care urmează să fie determinate sunt 4. Se poate spune, apoi, pentru a crea o matrice de bază compusă din cele trei matrice Pauli cu adăugarea a identității : aceasta este o bază completă a spațiului matrice 2 x 2, dar dacă am setat β = I , de exemplu, putem verifica dacă, de exemplu, α _x β + βα _x = 2 α _x = 0, dar acest lucru nu este posibil, deoarece matricea α _x nu este cu siguranta zero. Pentru a depăși acest neajuns a fost apoi necesar să se mute la o dimensiune mai mare, construirea de 4 × 4 matrici. Cei care au ales Dirac au fost (reprezentarea chirale a matrici y):

\alpha _{x}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{x}\\\sigma _{x}&0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ alpha _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma _ {x} \\\ sigma _ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}

\ Alpha_x = \ begin {pmatrix} 0 & \ sigma_x \\ \ sigma_x & 0 \ end {pmatrix}

\alpha _{y}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{y}\\\sigma _{y}&0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ alpha _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma _ {y} \\\ sigma _ {y} & 0 \ end {pmatrix}}}

\ Alpha_y = \ begin {pmatrix} 0 & \ sigma_y \\ \ sigma_y & 0 \ end {pmatrix}

\alpha _{z}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ alpha _ {z} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma _ {z} \\\ sigma _ {z} & 0 \ end {pmatrix}}}

\ Alpha_z = \ begin {pmatrix} 0 & \ sigma_z \\ \ sigma_z & 0 \ end {pmatrix}

\beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ beta = {\ begin {pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \ end {pmatrix}}}

\ Beta = \ începe {pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \ end {pmatrix}

unde este

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

\ Sigma_x = \ începe {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}

\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & \\ i & -i 0 \ end {pmatrix}}}

\ Sigma_y = \ begin {pmatrix} 0 & \\ i & -i 0 \ end {pmatrix}

\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

\ Sigma_z = \ begin {pmatrix} \\ 0 & -1 \ end 1 & 0 {pmatrix}

I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle I = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

I = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}

Apoi, introducerea:

\gamma ^{0}\equiv \beta ,\gamma ^{i}\equiv \beta \alpha ^{i}

{\ Displaystyle \ gamma ^ {0} \ echiv \ beta, \ gamma ^ {i} \ echiv \ beta \ alfa ^ {i}}

\ Gamma ^ 0 \ echiv \ beta, \ gamma ^ i \ echiv \ beta \ alfa ^ i

ecuația este scris cu gamma sau Dirac matricelor :

\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0

{\ Displaystyle \ stânga (i \ gamma ^ {\ mu} \ parțial _ {\ mu} -m \ dreapta) \ psi = 0}

\ Stânga (i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu -m \ dreapta) \ psi = 0

unde este

\partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}

{\ Displaystyle \ parțial _ {\ mu} \ echiv {\ frac {\ partial} {\ parțial x ^ {\ mu}}}}

\ Partial_ \ mu \ echivalent \ frac {\ parțial} {\ parțial x ^ \ mu}

în timp ce i este unitatea imaginară .

În acest fel soluțiile ecuației de mișcare sunt vectori cu patru componente: o anumită soluție se numește Spinor Dirac . Mai mult decât atât, densitatea de probabilitate, în acest fel, este întotdeauna pozitiv:

\rho \left({\vec {x}},t\right)=\sum _{i=1}^{4}\left|\psi _{i}\left({\vec {x}},t\right)\right|^{2}\geq 0

{\ Displaystyle \ rho \ stânga ({\ vec {x}}, t \ dreapta) = \ sum _ {i = 1} ^ {4} \

din

stânga | \ psi _ {i} \ stânga ({\ vec {x }}, t \ dreapta) \ dreapta | ^ {2} \ geq 0}

{\ Displaystyle \ rho \ stânga ({\ vec {x}}, t \ dreapta) = \ sum _ {i = 1} ^ {4} \ din stânga | \ psi _ {i} \ stânga ({\ vec {x }}, t \ dreapta) \ dreapta | ^ {2} \ geq 0}

Cu toate acestea, nu este posibil de a elimina energiile negative, care, prin urmare, rămân ca posibile valori proprii ale ecuației. Pentru a interpreta acest rezultat al ecuației, Dirac a propus o interpretare potrivit căreia există o mare de fermioni , dintre care unele sunt într - un excitat de nivel și , prin urmare , au o energie pozitivă, dar în această mare există lacune , care sunt , prin urmare , negativ energie.; când o particulă într-o stare excitată întâlnește o gaură, aceasta cade într-o stare de non-excitat prin care emit radiații electromagnetice (fenomen similar cu de-excitarea unui atom, în care un electron se încadrează într-un nivel de energie la mai puțină energie prin emiterea unui foton , cu condiția ca în norul electronic al atomului există un decalaj). Acest fenomen este foarte similar cu anihilarea unei particule cu o antiparticulă , cum ar fi anihilarea unui electron cu un pozitron , având ca rezultat emisia de doi fotoni, care poate fi descrisă de ecuația Dirac, unde antiparticula este descrisă de soluție de ecuația lui Dirac cu energie negativa. Deci, într - un sens, se poate spune că Dirac a prezis existența antimateriei și fenomenul de anihilare cu materia, cu toate că ideile sale cu privire la existența mare de fermioni au fost respinse de către comunitatea științifică , deoarece acestea au dus la incoerențe în cadrul teoriei.

Proprietățile Dirac hamiltonianul

Hamiltonian Dirac pentru o particulă liberă, $H=\alpha _{n}p_{n}+m\beta$ ${\ Displaystyle H = \ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta}$ $H = \ alpha_n p_n + m \ beta$ , Nu fac naveta cu momentul cinetic orbital sau chiar cu momentul cinetic de spin , cu toate acestea, comuta cu operatorul total de impuls unghiular și cu helicitate operatorul.

Trecerea cu impuls unghiular orbital

Momentul cinetic orbital poate fi scris ca ${\vec {L}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ wedge {\ vec {p}}}$ $\ L vec = \ vec r \ pană \ vec p$ Putem rescrie i-lea component al momentului ca $L_{i}=\varepsilon _{i,j,k}r_{j}\cdot p_{k}$ ${\ L_ displaystyle {i} = \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} \ cdot P_ {k}}$ $L_i = \ varepsilon_ {i, j, k} r_j \ cdot p_k$ , În această expresie notație a lui Einstein și $\varepsilon _{i,j,k}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {i, j, k}}$ $\ Varepsilon_ {i, j, k}$ este tensorul complet antisimetric (sau Levi-Civita tensorul ) cu trei indici (i, j, k).

Calculăm comutatorul cu o componentă de impuls unghiular:

[H,L_{i}]=[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\varepsilon _{i,j,k}r_{j}p_{k}]=[\alpha _{n}p_{n},\varepsilon _{i,j,k}r_{j}p_{k}]+[m\beta ,\varepsilon _{i,j,k}r_{j}p_{k}]

{\ Displaystyle [H, L_ {i}] = [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} P_ {k}] = [\ alfa _ {n} P_ {n}, \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} P_ {k}] + [m \ beta, \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} P_ {k}]}

[H, L_i] = [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ varepsilon_ {i, j, k} r_j p_k] = [\ alpha_n p_n, \ varepsilon_ {i, j, k} r_j p_k] + [m \ beta , \ varepsilon_ {i, j, k} r_j p_k]

În ultima etapă am folosit următoarea proprietate de comutare $[a+b,c]=[a,c]+[b,c]$ ${\ Displaystyle [a + b, c] = [a, c] + [b, c]}$ $[A + b, c] = [a, c] + [b, c]$ .

Toate cantitățile din ecuațiile sunt operatori, astfel încât nu este de comutare imediată.

Al doilea termen este nul, deoarece $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ nu este în același spatiu Hilbert ca reprezentant, sau să fie mai riguroase, termenul cu rep este multiplicat cu o matrice de identitate în spațiul $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ apoi comutați cu $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ la fel.

Primul termen, exploatarea proprietăților comutatorului, poate fi scrisă ca

[\alpha _{n}p_{n},\varepsilon _{i,j,k}r_{j}p_{k}]=\alpha _{n}[p_{n},\varepsilon _{i,j,k}r_{j}p_{k}]+[\alpha _{n},\varepsilon _{i,j,k}r_{j}p_{k}]p_{n}

{\ Displaystyle [\ alpha _ {n} P_ {n}, \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} P_ {k}] = \ alpha _ {n} [P_ {n}, \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} P_ {k}] + [\ alpha _ {n}, \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} P_ {k}] P_ {n}}

[\ Alpha_n p_n, \ varepsilon_ {i, j, k} r_j p_k] = \ alpha_n [p_n, \ varepsilon_ {i, j, k} r_j p_k] + [\ alpha_n, \ varepsilon_ {i, j, k} r_j p_k] p_n

Cu același argument utilizat pentru $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ putem elimina al doilea termen.

Rămâne

[H,L_{i}]=\alpha _{n}[p_{n},\varepsilon _{i,j,k}r_{j}p_{k}]=\alpha _{n}\varepsilon _{i,j,k}^{*}[p_{n},r_{j}p_{k}-r_{k}p_{j}]

{\ Displaystyle [H, L_ {i}] = \ alpha _ {n} [P_ {n}, \ varepsilon _ {i, j, k} R_ {j} P_ {k}] = \ alpha _ {n} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} [P_ {n}, R_ {j} P_ {k} -r_ {k} P_ {j}]}

[H, L_i] = \ alpha_n [p_n, \ varepsilon_ {i, j, k} r_j p_k] = \ alpha_n \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} [p_n, r_j p_k-r_k p_j]

în cazul în care ne-am făcut în mod explicit scrierea momentului cinetic. Cu privire la asterisc $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ne indică faptul că nu vom mai folosi notația Einstein pentru acest simbol și indicii săi, dar încă se aplică tuturor celorlalte simboluri și indicii lor.

Semnul minus $r_{j}p_{k}-r_{k}p_{j}$ ${\ Displaystyle R_ {j} P_ {k} -r_ {k} P_ {j}}$ $r_j p_k-r_k p_j$ vine de la faptul că tensorul antisimetric într-un singur caz, ar fi pozitive și negative în celălalt, nu ne pasă care dintre cei doi, deoarece o alegere corespunzătoare a tensorului comun factor ar corecta semnul.

Folosind anti-simetrie a comutatorului $[a,b]=-[b,a]$ ${\ displaystyle [a, b] = - [b, a]}$ $[a, b] = - [b, a]$ putem scrie:

[H,L_{i}]=-\alpha _{n}\varepsilon _{i,j,k}^{*}[r_{j}p_{k}-r_{k}p_{j},p_{n}]=-\alpha _{n}\varepsilon _{i,j,k}^{*}([r_{j}p_{k},p_{n}]-[r_{k}p_{j},p_{n}])

{\ Displaystyle [H, L_ {i}] = - \ alpha _ {n} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} [R_ {j} P_ {k} -r_ {k} P_ {j }, P_ {n}] = - \ alpha _ {n} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} ([R_ {j} P_ {k}, P_ {n}] - [R_ {k } P_ {j}, P_ {n}])}

[H, L_i] = - \ alpha_n \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} [r_j p_k-r_k p_j, p_n] = - \ alpha_n \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} ([r_j p_k , p_n] - [r_k p_j, p_n])

Acum să pauza de jos switch-uri așa cum am făcut-o înainte de:

[H,L_{i}]=-\alpha _{n}\varepsilon _{i,j,k}^{*}([r_{j}p_{k},p_{n}]-[r_{k}p_{j},p_{n}])=-\alpha _{n}\varepsilon _{i,j,k}^{*}(r_{j}[p_{k},p_{n}]+[r_{j},p_{n}]p_{k}-r_{k}[p_{j},p_{n}]-[r_{k},p_{n}]p_{j})

{\ Displaystyle [H, L_ {i}] = - \ alpha _ {n} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} ([R_ {j} P_ {k}, P_ {n}] - [R_ {k} P_ {j}, P_ {n}]) = - \ alpha _ {n} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} (R_ {j} [P_ {k}, P_ {n}] + [R_ {j}, P_ {n}] P_ {k} -r_ {k} [P_ {j}, P_ {n}] - [R_ {k}, P_ {n}] P_ { j})}

[H, L_i] = - \ alpha_n \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} ([r_j p_k, p_n] - [r_k p_j, p_n]) = - \ alpha_n \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} (r_j [p_k, p_n] + [r_j, p_n] p_k -r_k [p_j, p_n] - [r_k, p_n] p_j)

Să folosim acum relațiile de comutare $[x_{i},p_{j}]=i\delta _{i,j}$ ${\ Displaystyle [X_ {i}, P_ {j}] = i \ delta _ {i, j}}$ $[X_i, p_j] = i \ delta_ {i, j}$ Și $[x_{i},x_{j}]=[p_{i},p_{j}]=0$ ${\ Displaystyle [X_ {i}, {X_ j}] = [P_ {i}, {j} P_] = 0}$ $[X_i, x_j] = [p_i, p_j] = 0$ . Făcând calculele

[H,L_{i}]=-\alpha _{n}\varepsilon _{i,j,k}^{*}([r_{j},p_{n}]p_{k}-[r_{k},p_{n}]p_{j})=-\alpha _{n}\varepsilon _{i,j,k}^{*}i(\delta _{j,n}p_{k}-\delta _{k,n}p_{j})=\varepsilon _{i,j,k}^{*}i(\alpha _{k}p_{j}-\alpha _{j}p_{k})

{\ Displaystyle [H, L_ {i}] = - \ alpha _ {n} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} ([R_ {j}, P_ {n}] P_ {k} - [R_ {k}, P_ {n}] P_ {j}) = - \ alpha _ {n} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} i (\ delta _ {j, n} P_ { k} - \ delta _ {k, n} P_ {j}) = \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} i (\ alpha _ {k} P_ {j} - \ alpha _ {j} P_ {k})}

[H, L_i] = - \ alpha_n \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} ([r_j, p_n] p_k- [r_k, p_n] p_j) = - \ alpha_n \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} i (\ delta_ {j, n} p_k- \ delta_ {k, n} p_j) = \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} i (\ alpha_k p_j- \ alpha_j p_k)

Acum observăm că în ultimul termen avem o scădere care inversează indicilor, acest lucru este echivalent cu adăugarea de indicii repetate pe tensorul Levi-Civita.

Comutatorul căutat este, prin urmare:

[H,L_{i}]=i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j}

{\ Displaystyle [H, L_ {i}] = i \ varepsilon _ {i, j, k} \ alpha _ {k} P_ {j}}

[H, L_i] = i \ varepsilon_ {i, j, k} \ alpha_k p_j

De exemplu, vom calcula: $[H,L_{3}]=[H,L_{z}]$ ${\ Displaystyle [H, L_ {3}] = [H, L_ {z}]}$ $[H, L_3] = [H, L_z]$

Asta o să fie:

[H,L_{3}]=[H,L_{z}]=i\varepsilon _{3,j,k}\alpha _{k}p_{j}=i(\varepsilon _{3,1,2}\alpha _{2}p_{1}+\varepsilon _{3,2,1}\alpha _{1}p_{2})=i(\alpha _{2}p_{1}-\alpha _{1}p_{2})

{\ Displaystyle [H, L_ {3}] = [H, L_ {z}] = i \ varepsilon _ {3, j, k} \ alpha _ {k} P_ {j} = i (\ varepsilon _ {3 , 1,2} \ alpha _ {2} P_ {1} + \ varepsilon _ {3,2,1} \ alpha _ {1} P_ {2}) = i (\ alpha _ {2} P_ {1} - \ alpha _ {1} P_ {2})}

[H, L_3] = [H, L_z] = i \ varepsilon_ {3, j, k} \ alpha_k p_j = i (\ varepsilon_ {3,1,2} \ alpha_2 p_1 + \ varepsilon_ {3,2,1} \ alpha_1 p_2) = i (\ alpha_2 p_1- \ alpha_1 p_2)

Comutarea cu momentul cinetic de spin

Dirac Hamiltonianul nu fac naveta cu momentul cinetic de spin.

Componenta k a momentului cinetic spinului poate fi scris ca o matrice bloc

\Sigma _{k}=\left({\begin{matrix}\sigma _{k}&0\\0&\sigma _{k}\end{matrix}}\right)

{\ Displaystyle \ Sigma _ {k} = \ stânga ({\ begin {matrix} \ sigma _ {k} & 0 \\ 0 & \ sigma _ {k} \ end {matrix}} \ dreapta)}

\ Sigma_k = \ stânga (\ begin {matrice} \ sigma_k & 0 \\ 0 & \ sigma_k \ end {matrix} \ dreapta)

Reamintind regulile de comutare ale matricele Pauli putem scrie

\sigma _{k}=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}[\sigma _{i},\sigma _{j}]

{\ Displaystyle \ sigma _ {k} = - {i \ peste 2} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}]}

\ Sigma_k = - {i \ peste 2} \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} [\ sigma_i, \ sigma_j]

(a aduce $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ la primul membru ne - am multiplicat pe ambele părți ale tensorul Levi-Civita , în plus , precizăm că notația lui Einstein nu trebuie să fie aplicate)

Substituind în matricea $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ găsim

\Sigma _{k}=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left({\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&0\\0&[\sigma _{i},\sigma _{j}]\end{matrix}}\right)

{\ Displaystyle \ Sigma _ {k} = - {i \ peste 2} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} \ stânga ({\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & 0 \\ 0 & [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] \ end {matrix}} \ dreapta)}

\ Sigma_k = - {i \ peste 2} \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} \ stânga (\ begin {matrix} [\ sigma_i, \ sigma_j] & 0 \\ 0 & [\ sigma_i, \ sigma_j] \ end {matrix} \ dreapta)

Lasam calculul în curs și care provin colectorul $[\alpha _{i},\alpha _{j}]$ ${\ Displaystyle [\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}]}$ $[\ Alpha_i, \ alpha_j]$

[\alpha _{i},\alpha _{j}]=\left[\left({\begin{matrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{matrix}}\right)\right]=\left({\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&0\\0&[\sigma _{i},\sigma _{j}]\end{matrix}}\right)

{\ Displaystyle [\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}] = \ stânga [\ stânga ({\ begin {matrix} 0 & \ sigma _ {i} \\\ sigma _ {i} & 0 \ end {matrix}} \ dreapta) \ stânga ({\ begin {matrix} 0 & \ sigma _ {j} \\\ sigma _ {j} & 0 \ end {matrix}} \ dreapta) \ right] = \ stânga ({\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & 0 \\ 0 & [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] \ end {matrix}} \ dreapta)}

[\ Alpha_i, \ alpha_j] = \ stânga [\ stânga (\ begin {matrix} 0 & \ sigma_i \\ \ sigma_i & 0 \ end {matrix} \ dreapta) \ stânga (\ begin {matrix} 0 & \ sigma_j \\ \ sigma_j & 0 \ end {matrix} \ dreapta) \ right] = \ stânga (\ begin {matrix} [\ sigma_i, \ sigma_j] & 0 \\ 0 & [\ sigma_i, \ sigma_j] \ end {matrice } \ dreapta)

constatăm că ne dă înapoi matricea anterioară

Apoi vom găsi definiția momentului cinetic de spin a scris prin matricile $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$

\Sigma _{k}=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}[\alpha _{i},\alpha _{j}]

{\ Displaystyle \ Sigma _ {k} = - {i \ peste 2} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} [\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}]}

\ Sigma_k = - {i \ peste 2} \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} [\ alpha_i, \ alpha_j]

Acum, să calculeze comutatorul

[H,\Sigma _{k}]=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}[H,\alpha _{i}\alpha _{j}-\alpha _{j}\alpha _{i}]=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left([H,\alpha _{i}\alpha _{j}]-[H,\alpha _{j}\alpha _{i}]\right)=

{\ Displaystyle [H \ Sigma _ {k}] = - {i \ peste 2} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} [H, \ alpha _ {i} \ alpha _ {j} - \ alpha _ {j} \ alpha _ {i}] = - {i \ peste 2} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} \ stânga ([H, \ alpha _ {i} \ alpha _ {j}] - [H, \ alpha _ {j} \ alpha _ {i}] \ dreapta) =}

[H, \ Sigma_k] = - {i \ peste 2} \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} [H, \ alpha_i \ alpha_j- \ alpha_j \ alpha_i] = - {i \ peste 2} \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} \ stânga ([H, \ alpha_i \ alpha_j] - [H, \ alpha_j \ alpha_i] \ dreapta) =

=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left(\alpha _{i}[H,\alpha _{j}]+[H,\alpha _{i}]\alpha _{j}-[H,\alpha _{j}]\alpha _{i}-\alpha _{j}[H,\alpha _{i}]\right)

{\ Displaystyle = - {i \ peste 2} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} \ stânga (\ alpha _ {i} [H, \ alpha _ {j}] + [H, \ alpha _ {i}] \ alpha _ {j} - [H, \ alpha _ {j}] \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j} [H, \ alpha _ {i}] \ dreapta)}

= - {i \ peste 2} \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} \ stânga (\ alpha_i [H \ alpha_j] + [H, \ alpha_i] \ alpha_j- [H \ alpha_j] \ alpha_i- \ alpha_j [H, \ alpha_i] \ dreapta)

Pentru a efectua aceste calcule am folosit regulile de comutare . În următoarea evoluție vom folosi aceste egalități care descind direct de anti-comutatoarelor ale matricelor $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$

{\begin{matrix}{\alpha _{i},\alpha _{j}}=2\delta _{i,j}&[\alpha _{i},\alpha _{j}]=2(\alpha _{i}\alpha _{j}-\delta _{i,j})\\{\beta ,\alpha _{i}}=0&[\beta ,\alpha _{i}]=2\beta \alpha _{i}\end{matrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}} = 2 \ delta _ {i, j} & [\ alpha _ {i}, \ alpha _ {j}] = 2 (\ alpha _ {i} \ alpha _ {j} - \ delta _ {i, j}) \\ {\ beta, \ alpha _ {i}} = 0 & [\ beta, \ alpha _ {i }] = 2 \ beta \ alpha _ {i} \ end {matrice}}}

\ Begin {matrix} {\ alpha_i, \ alpha_j} = 2 \ delta_ {i, j} & [\ alpha_i, \ alpha_j] = 2 (\ alpha_i \ alpha_j- \ delta_ {i, j}) \\ {\ beta , \ alpha_i} = 0 & [\ beta \ alpha_i] = 2 \ beta \ alpha_i \ end {matrix}

Noi scrie în mod explicit Dirac hamiltonianul

[H,\Sigma _{k}]=

{\ Displaystyle [H \ Sigma _ {k}] =}

[H, \ Sigma_k] =

=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left(\alpha _{i}[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{j}]+[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{i}]\alpha _{j}-[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{j}]\alpha _{i}-\alpha _{j}[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{i}]\right)

{\ Displaystyle = - {i \ peste 2} \ varepsilon _ {i, j, k} ^ {*} \ stânga (\ alpha _ {i} [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {j}] + [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {i}] \ alpha _ {j} - [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {j}] \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j} [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {i}] \ dreapta) }

= - {i \ peste 2} \ varepsilon ^ * _ {i, j, k} \ stânga (\ alpha_i [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_j] + [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_i] \ alpha_j - [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_j] \ alpha_i - \ alpha_j [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_i] \ dreapta)

Pentru claritate, trebuie să împărțim ultimul termen în patru membri și se procedează separat. Calculeaza Să primul termen

\alpha _{i}[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{j}]=\alpha _{i}[\alpha _{n}p_{n},\alpha _{j}]+\alpha _{i}[m\beta ,\alpha _{j}]=\alpha _{i}\alpha _{n}[p_{n},\alpha _{j}]+\alpha _{i}[\alpha _{n},\alpha _{j}]p_{n}+m\alpha _{i}[\beta ,\alpha _{j}]

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {j}] = \ alpha _ {i} [\ alpha _ {n} P_ {n} , \ alpha _ {j}] + \ alpha _ {i} [m \ beta, \ alpha _ {j}] = \ alpha _ {i} \ alpha _ {n} [P_ {n}, \ alpha _ { j}] + \ alpha _ {i} [\ alpha _ {n}, \ alpha _ {j}] P_ {n} + m \ alpha _ {i} [\ beta, \ alpha _ {j}]}

\ Alpha_i [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_j] = \ alpha_i [\ alpha_n p_n, \ alpha_j] + \ alpha_i [m \ beta, \ alpha_j] = \ alpha_i \ alpha_n [p_n, \ alpha_j] + \ alpha_i [\ alpha_n, \ alpha_j] p_n + m \ alpha_i [\ beta, \ alpha_j]

Ne amintim asta $p_{n}$ ${\ displaystyle p_ {n}}$ $p_n$ este un număr, deoarece este componenta nth a pulsului, deci cu o comutator matrice este zero. Pentru celelalte switch-uri folosim regulile de comutare enumerate mai sus

\alpha _{i}[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{j}]=2\alpha _{i}(\alpha _{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j})p_{n}+2m\alpha _{i}\beta \alpha _{j}

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {j}] = 2 \ alpha _ {i} (\ alpha _ {n} \ alpha _ {j} - \ delta _ {n, j}) P_ {n} + 2m \ alpha _ {i} \ beta \ alpha _ {j}}

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {j}] = 2 \ alpha _ {i} (\ alpha _ {n} \ alpha _ {j} - \ delta _ {n, j}) P_ {n} + 2m \ alpha _ {i} \ beta \ alpha _ {j}}

Calculați Să-al doilea termen

[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{i}]\alpha _{j}=[\alpha _{n}p_{n},\alpha _{i}]\alpha _{j}+[m\beta ,\alpha _{i}]\alpha _{j}=\alpha _{n}[p_{n},\alpha _{i}]\alpha _{j}+[\alpha _{n},\alpha _{i}]p_{n}\alpha _{j}+m[\beta ,\alpha _{i}]\alpha _{j}=0+2(\alpha _{n}\alpha _{i}-\delta _{n,i})p_{n}\alpha _{j}+2m\beta \alpha _{i}\alpha _{j}

{\ Displaystyle [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {i}] \ alpha _ {j} = [\ alpha _ {n} P_ {n}, \ alpha _ {i }] \ alpha _ {j} + [m \ beta, \ alpha _ {i}] \ alpha _ {j} = \ alpha _ {n} [P_ {n}, \ alpha _ {i}] \ alpha _ {j} + [\ alpha _ {n}, \ alpha _ {i}] P_ {n} \ alpha _ {j} + m [\ beta, \ alpha _ {i}] \ alpha _ {j} = 0 +2 (\ alpha _ {n} \ alpha _ {i} - \ delta _ {n, i}) P_ {n} \ alpha _ {j} + 2m \ beta \ alpha _ {i} \ alpha _ {j }}

[\ Alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_i] \ alpha_j = [\ alpha_n p_n, \ alpha_i] \ alpha_j + [m \ beta, \ alpha_i] \ alpha_j = \ alpha_n [p_n, \ alpha_i] \ alpha_j + [\ alpha_n, \ alpha_i] p_n \ alpha_j + m [\ beta, \ alpha_i] \ alpha_j = 0 + 2 (\ alpha_n \ alpha_i - \ delta_ {n, i}) p_n \ alpha_j + 2 m \ beta \ alpha_i \ alpha_j

Calculați Să al treilea termen

-[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{j}]\alpha _{i}=-[\alpha _{n}p_{n},\alpha _{j}]\alpha _{i}-[m\beta ,\alpha _{j}]\alpha _{i}=-[\alpha _{n},\alpha _{j}]p_{n}\alpha _{i}-\alpha _{n}[p_{n},\alpha _{j}]\alpha _{i}-m[\beta ,\alpha _{j}]\alpha _{i}=-2(\alpha _{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j})p_{n}\alpha _{i}-0-2m\beta \alpha _{j}\alpha _{i}

{\ Displaystyle - [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {j}] \ alpha _ {i} = - [\ alpha _ {n} P_ {n}, \ alpha _ {j}] \ alpha _ {i} - [m \ beta, \ alpha _ {j}] \ alpha _ {i} = - [\ alpha _ {n}, \ alpha _ {j}] P_ {n} \ alpha _ {i} - \ alpha _ {n} [P_ {n}, \ alpha _ {j}] \ alpha _ {i} -m [\ beta, \ alpha _ {j}] \ alpha _ {i } = - 2 (\ alpha _ {n} \ alpha _ {j} - \ delta _ {n, j}) P_ {n} \ alpha _ {i} -0-2m \ beta \ alpha _ {j} \ alfa _ {i}}

- [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_j] \ alpha_i = - [\ alpha_n p_n, \ alpha_j] \ alpha_i- [m \ beta, \ alpha_j] \ alpha_i = - [\ alpha_n, \ alpha_j] p_n \ alpha_i - \ alpha_n [p_n, \ alpha_j] \ alpha_i-m [\ beta, \ alpha_j] \ alpha_i = -2 (\ alpha_n \ alpha_j- \ delta_ {n, j}) p_n \ alpha_i - 0 -2 m \ beta \ alpha_j \ alpha_i

Calculați Să al patrulea termen

-\alpha _{j}[\alpha _{n}p_{n}+m\beta ,\alpha _{i}]=-\alpha _{j}[\alpha _{n}p_{n},\alpha _{i}]-\alpha _{j}[m\beta ,\alpha _{i}]=-\alpha _{j}[\alpha _{n},\alpha _{i}]p_{n}-\alpha _{j}\alpha _{n}[p_{n},\alpha _{i}]-\alpha _{j}m[\beta ,\alpha _{i}]=-2\alpha _{j}(\alpha _{n}\alpha _{i}-\delta _{n,i})p_{n}-\alpha _{j}\alpha _{n}0-2\alpha _{j}m\beta \alpha _{i}=-2\alpha _{j}(\alpha _{n}\alpha _{i}-\delta _{n,i})p_{n}-2\alpha _{j}m\beta \alpha _{i}

{\ Displaystyle - \ alpha _ {j} [\ alpha _ {n} P_ {n} + m \ beta, \ alpha _ {i}] = - \ alpha _ {j} [\ alpha _ {n} P_ { n}, \ alpha _ {i}] - \ alpha _ {j} [m \ beta, \ alpha _ {i}] = - \ alpha _ {j} [\ alpha _ {n}, \ alpha _ {i }] P_ {n} - \ alpha _ {j} \ alpha _ {n} [P_ {n}, \ alpha _ {i}] - \ alpha _ {j} m [\ beta, \ alpha _ {i} ] = - 2 \ alpha _ {j} (\ alpha _ {n} \ alpha _ {i} - \ delta _ {n, i}) P_ {n} - \ alpha _ {j} \ alpha _ {n} 0-2 \ alpha _ {j} m \ beta \ alpha _ {i} = - 2 \ alpha _ {j} (\ alpha _ {n} \ alpha _ {i} - \ delta _ {n, i}) P_ {n} -2 \ alpha _ {j} m \ beta \ alpha _ {i}}

- \ alpha_j [\ alpha_n p_n + m \ beta, \ alpha_i] = - \ alpha_j [\ alpha_n p_n, \ alpha_i] - \ alpha_j [m \ beta, \ alpha_i] = - \ alpha_j [\ alpha_n, \ alpha_i] p_n - \ alpha_j \ alpha_n [p_n, \ alpha_i] - \ alpha_j m [\ beta, \ alpha_i] = -2 \ alpha_j (\ alpha_n \ alpha_i - \ delta_ {n, i}) p_n - \ alpha_j \ alpha_n 0 - 2 \ alpha_j m \ beta \ alpha_i = -2 \ alpha_j (\ alpha_n \ alpha_i - \ delta_ {n, i}) p_n - 2 \ alpha_j m \ beta \ alpha_i

Acum să adăugați toți termenii din nou

2\alpha _{i}(\alpha _{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j})p_{n}+2m\alpha _{i}\beta \alpha _{j}+2(\alpha _{n}\alpha _{i}-\delta _{n,i})p_{n}\alpha _{j}+2m\beta \alpha _{i}\alpha _{j}-2(\alpha _{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j})p_{n}\alpha _{i}-2m\beta \alpha _{j}\alpha _{i}-2\alpha _{j}(\alpha _{n}\alpha _{i}-\delta _{n,i})p_{n}-2\alpha _{j}m\beta \alpha _{i}

{\ Displaystyle 2 \ alpha _ {i} (\ alpha _ {n} \ alpha _ {j} - \ delta _ {n, j}) P_ {n} + 2m \ alpha _ {i} \ beta \ alpha _ {j} +2 (\ alpha _ {n} \ alpha _ {i} - \ delta _ {n, i}) P_ {n} \ alpha _ {j} + 2m \ beta \ alpha _ {i} \ alpha _ {j} -2 (\ alpha _ {n} \ alpha _ {j} - \ delta _ {n, j}) P_ {n} \ alpha _ {i} -2m \ beta \ alpha _ {j} \ alfa _ {i} -2 \ alpha _ {j} (\ alpha _ {n} \ alpha _ {i} - \ delta _ {n, i}) P_ {n} -2 \ alpha _ {j} m \ beta \ alpha _ {i}}

2 \alpha_i (\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j}) p_n+2 m \alpha_i \beta \alpha_j +2 (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n \alpha_j+2 m \beta \alpha_i \alpha_j -2(\alpha_n \alpha_j-\delta_{n,j})p_n \alpha_i - 2 m \beta \alpha_j \alpha_i -2 \alpha_j (\alpha_n \alpha_i - \delta_{n,i}) p_n - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i

Sviluppiamo le parentesi e riordiniamo i termini

2\alpha _{i}\alpha _{n}\alpha _{j}p_{n}-2\alpha _{i}\delta _{n,j}p_{n}+2m\alpha _{i}\beta \alpha _{j}+2\alpha _{n}\alpha _{i}p_{n}\alpha _{j}-2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2m\beta \alpha _{i}\alpha _{j}-2\alpha _{n}\alpha _{j}p_{n}\alpha _{i}+2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2m\beta \alpha _{j}\alpha _{i}-2\alpha _{j}\alpha _{n}\alpha _{i}p_{n}+2\alpha _{j}\delta _{n,i}p_{n}-2\alpha _{j}m\beta \alpha _{i}=

2\alpha _{i}\alpha _{n}\alpha _{j}p_{n}-2\alpha _{i}\delta _{n,j}p_{n}+2m\alpha _{i}\beta \alpha _{j}+2\alpha _{n}\alpha _{i}p_{n}\alpha _{j}-2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2m\beta \alpha _{i}\alpha _{j}-2\alpha _{n}\alpha _{j}p_{n}\alpha _{i}+2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2m\beta \alpha _{j}\alpha _{i}-2\alpha _{j}\alpha _{n}\alpha _{i}p_{n}+2\alpha _{j}\delta _{n,i}p_{n}-2\alpha _{j}m\beta \alpha _{i}=

2 \alpha_i \alpha_n \alpha_j p_n -2 \alpha_i \delta_{n,j} p_n +2 m \alpha_i \beta \alpha_j +2 \alpha_n \alpha_i p_n \alpha_j -2\delta_{n,i} p_n \alpha_j +2 m \beta \alpha_i \alpha_j -2\alpha_n \alpha_j p_n \alpha_i +2 \delta_{n,j} p_n \alpha_i -2 m \beta \alpha_j \alpha_i -2 \alpha_j \alpha_n \alpha_i p_n + 2 \alpha_j \delta_{n,i} p_n - 2 \alpha_j m \beta \alpha_i=

2\alpha _{i}\alpha _{n}\alpha _{j}p_{n}+2\alpha _{n}\alpha _{i}\alpha _{j}p_{n}-2\alpha _{n}\alpha _{j}\alpha _{i}p_{n}-2\alpha _{j}\alpha _{n}\alpha _{i}p_{n}+2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2m\alpha _{i}\beta \alpha _{j}+2m\beta \alpha _{i}\alpha _{j}-2m\beta \alpha _{j}\alpha _{i}-2m\alpha _{j}\beta \alpha _{i}

2\alpha _{i}\alpha _{n}\alpha _{j}p_{n}+2\alpha _{n}\alpha _{i}\alpha _{j}p_{n}-2\alpha _{n}\alpha _{j}\alpha _{i}p_{n}-2\alpha _{j}\alpha _{n}\alpha _{i}p_{n}+2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2m\alpha _{i}\beta \alpha _{j}+2m\beta \alpha _{i}\alpha _{j}-2m\beta \alpha _{j}\alpha _{i}-2m\alpha _{j}\beta \alpha _{i}

2\alpha _{i}\alpha _{n}\alpha _{j}p_{n}+2\alpha _{n}\alpha _{i}\alpha _{j}p_{n}-2\alpha _{n}\alpha _{j}\alpha _{i}p_{n}-2\alpha _{j}\alpha _{n}\alpha _{i}p_{n}+2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i}-2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2\delta _{n,i}p_{n}\alpha _{j}+2m\alpha _{i}\beta \alpha _{j}+2m\beta \alpha _{i}\alpha _{j}-2m\beta \alpha _{j}\alpha _{i}-2m\alpha _{j}\beta \alpha _{i}

I termini con la delta si semplificano tra loro perché uguali e opposti, quel che rimane può essere riscritto come

2(\alpha _{i}\alpha _{n}+\alpha _{n}\alpha _{i})\alpha _{j}p_{n}-2(\alpha _{n}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{n})\alpha _{i}p_{n}+2m(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})\alpha _{j}-2m(\beta \alpha _{j}+\alpha _{j}\beta )\alpha _{i}=

2(\alpha _{i}\alpha _{n}+\alpha _{n}\alpha _{i})\alpha _{j}p_{n}-2(\alpha _{n}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{n})\alpha _{i}p_{n}+2m(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})\alpha _{j}-2m(\beta \alpha _{j}+\alpha _{j}\beta )\alpha _{i}=

2 (\alpha_i \alpha_n + \alpha_n \alpha_i) \alpha_j p_n -2 (\alpha_n \alpha_j + \alpha_j \alpha_n) \alpha_i p_n +2 m ( \alpha_i \beta + \beta \alpha_i ) \alpha_j -2 m ( \beta \alpha_j + \alpha_j \beta ) \alpha_i =

2\{\alpha _{i},\alpha _{n}\}\alpha _{j}p_{n}-2\{\alpha _{n},\alpha _{j}\}\alpha _{i}p_{n}+2m\{\beta ,\alpha _{i}\}\alpha _{j}-2m\{\beta ,\alpha _{j}\}\alpha _{i}=4\delta _{i,n}\alpha _{j}p_{n}-4\delta _{n,j}\alpha _{i}p_{n}+2m0\alpha _{j}-2m0\alpha _{i}=4(\delta _{i,n}p_{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i})

2\{\alpha _{i},\alpha _{n}\}\alpha _{j}p_{n}-2\{\alpha _{n},\alpha _{j}\}\alpha _{i}p_{n}+2m\{\beta ,\alpha _{i}\}\alpha _{j}-2m\{\beta ,\alpha _{j}\}\alpha _{i}=4\delta _{i,n}\alpha _{j}p_{n}-4\delta _{n,j}\alpha _{i}p_{n}+2m0\alpha _{j}-2m0\alpha _{i}=4(\delta _{i,n}p_{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i})

2 \{ \alpha_i,\alpha_n \} \alpha_j p_n -2 \{ \alpha_n,\alpha_j \} \alpha_i p_n +2 m \{ \beta,\alpha_i \} \alpha_j -2 m \{ \beta,\alpha_j \} \alpha_i = 4 \delta_{i,n} \alpha_j p_n -4 \delta_{n,j} \alpha_i p_n +2 m 0 \alpha_j -2 m 0 \alpha_i = 4 ( \delta_{i,n} p_n \alpha_j - \delta_{n,j} p_n \alpha_i )

Adesso rimettiamo il risultato del calcolo fatto finora nel commutatore da cui eravamo partiti, otteniamo

[H,\Sigma _{k}]=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left[4(\delta _{i,n}p_{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i})\right]

[H,\Sigma _{k}]=-{i \over 2}\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left[4(\delta _{i,n}p_{n}\alpha _{j}-\delta _{n,j}p_{n}\alpha _{i})\right]

[H,\Sigma_k]= -{i \over 2} \varepsilon^*_{i,j,k} \left[ 4 ( \delta_{i,n} p_n \alpha_j - \delta_{n,j} p_n \alpha_i ) \right]

Ovvero applicando la delta otteniamo il commutatore cercato

[H,\Sigma _{k}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left(p_{i}\alpha _{j}-p_{j}\alpha _{i}\right)

[H,\Sigma _{k}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}^{*}\left(p_{i}\alpha _{j}-p_{j}\alpha _{i}\right)

[H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon^*_{i,j,k} \left( p_i \alpha_j - p_j \alpha_i \right)

Utilizzando la notazione di Einstein può essere riscritta come

[H,\Sigma _{k}]=-2\cdot i\cdot \varepsilon _{i,j,k}\cdot p_{i}\cdot \alpha _{j}

[H,\Sigma _{k}]=-2\cdot i\cdot \varepsilon _{i,j,k}\cdot p_{i}\cdot \alpha _{j}

[H,\Sigma_k]= - 2 \cdot i \cdot \varepsilon_{i,j,k} \cdot p_i \cdot \alpha_j

In conclusione il momento angolare di spin non commuta con l'hamiltoniana di Dirac.

Commutazione con il momento angolare totale

L'hamiltoniana di Dirac commuta con il momento angolare totale.

Dai calcoli svolti nei paragrafi precedenti si vede che abbiamo per il momento angolare orbitale

[H,L_{i}]=i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j}

[H,L_{i}]=i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j}

[H,L_i]=i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j

mentre per quello di spin

[H,\Sigma _{k}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}p_{i}\alpha _{j}

[H,\Sigma _{k}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}p_{i}\alpha _{j}

[H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} p_i \alpha_j

Dobbiamo prima di tutto riportare lo stesso indice per entrambe le notazioni. Cambiamo quello di spin, per farlo conviene spostare l'indice k, per ogni permutazione il tensore cambia segno ma poiché lo fa due volte il segno resta lo stesso.

[H,\Sigma _{k}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{j}p_{i}=-2i\varepsilon _{k,i,j}p_{i}\alpha _{j}

[H,\Sigma _{k}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{j}p_{i}=-2i\varepsilon _{k,i,j}p_{i}\alpha _{j}

[H,\Sigma_k]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_j p_i= - 2 i \varepsilon_{k,i,j} p_i \alpha_j

Notiamo che adesso, anche se le lettere non corrispondono (ma non importa poiché sono indici muti), occupano le stesse posizioni, quindi le due scritture sono identiche, ovvero

[H,\Sigma _{i}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j}

[H,\Sigma _{i}]=-2i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j}

[H,\Sigma_i]= - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j

Il nostro momento angolare, per essere conservato deve essere

J_{i}=L_{i}+{1 \over 2}\Sigma _{i}

J_{i}=L_{i}+{1 \over 2}\Sigma _{i}

J_i=L_i+{1\over 2} \Sigma_i

In questo modo il commutatore con H sarà

[H,J]=\left[H,L_{i}+{1 \over 2}\Sigma _{i}\right]=\left[H,L_{i}\right]+{1 \over 2}\left[H,\Sigma _{i}\right]=i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j}+{1 \over 2}(-2i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j})=0

[H,J]=\left[H,L_{i}+{1 \over 2}\Sigma _{i}\right]=\left[H,L_{i}\right]+{1 \over 2}\left[H,\Sigma _{i}\right]=i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j}+{1 \over 2}(-2i\varepsilon _{i,j,k}\alpha _{k}p_{j})=0

[H,J]=\left[H,L_i+{1\over 2}\Sigma_i \right]=\left[H,L_i\right]+{1\over 2}\left[H,\Sigma_i \right] = i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j+ {1\over 2}( - 2 i \varepsilon_{i,j,k} \alpha_k p_j )=0

che è identicamente nullo per ogni componente.

Note

^ usando la segnatura (+,-,-,-)

Bibliografia

RP Feynman , QED: La strana teoria della luce e della materia , Adelphi, ISBN 88-459-0719-8 .
( EN ) Claude Cohen-Tannoudji , Jacques Dupont-Roc e Gilbert Grynberg, Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics , John Wiley & Sons , 1997, ISBN 0-471-18433-0 .
( EN ) JM Jauch e F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons , Springer-Verlag, 1980.
( EN ) RP Feynman, Quantum Electrodynamics , Perseus Publishing, 1998, ISBN 0-201-36075-6 .
Simone Piccardi, Introduzione alla Meccanica Quantistica Relativistica ( PDF ), su piccardi.gnulinux.it .
Luciano Maiani e Omar Benhar, Meccanica Quantistica Relativistica , su chimera.roma1.infn.it .
Lorenzo Monacelli, Meccanica quantistica relativistica ( PDF ), su lorenzomonacelli.altervista.org .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Equazione di Dirac / Equazione di Dirac (altra versione) , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Marcello Ciafaloni,Complementi di Fisica Teorica: Introduzione alla teoria dei campi ( PDF ), su theory.fi.infn.it , Università di Firenze, maggio 2020.
Roberto Casalbuoni , Elettrodinamica Quantistica ( PDF ), su theory.fi.infn.it , Università di Firenze (archiviato dall' url originale il 19 novembre 2011) .
Roberto Casalbuoni, Teoria dei campi: Storia e Introduzione ( PDF ), su theory.fi.infn.it , Università di Firenze, 2001 (archiviato dall' url originale il 19 marzo 2015) .
( EN ) The Dirac Equation , su mathpages.com , MathPages.
( EN ) The Nature of the Dirac Equation, its solutions and Spin ( PDF ) ^{[ collegamento interrotto ]} , su mc.maricopa.edu .
( EN ) Dirac equation for a spin ½ particle , su electron6.phys.utk.edu .
( EN ) Pedagogic Aids to Quantum Field Theory , su quantumfieldtheory.info .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 3007 · LCCN ( EN ) sh85038246 · GND ( DE ) 4150116-0 · BNF ( FR ) cb119785327 (data)

Portale Quantistica

Portale Relatività

[1] usando la segnatura (+,-,-,-)

[1]

V · D · M Meccanica quantistica
Formalismo matematico	Notazione bra-ket · Spazio di Hilbert ·Postulati della meccanica quantistica · Operatore normale · Interferenza (fisica)
Fondamenti e principi	Principio di indeterminazione di Heisenberg · Principio di complementarità · Funzione d'onda · Collasso della funzione d'onda · Interpretazione di Copenaghen · Spin · Vecchia teoria dei quanti · Interpretazione di Bohm
Operatori	Operatore impulso · Operatore posizione · Operatore hamiltoniano · Operatore momento angolare · Operatore densità
Formulazioni	Meccanica ondulatoria · Meccanica delle matrici · Integrale sui cammini
Equazioni	Equazione di Dirac · Equazione di Klein-Gordon · Equazione di Pauli · Equazione di Schrödinger
Paradossi	Paradosso del gatto di Schrödinger · Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen · Suicidio quantistico