Ecuația Gross-Pitaevskij

În mecanica statistică și fizica materiei condensate , ecuația Gross-Pitaevskij ( GPE , numită după Eugene P. Gross ^[1] și Lev Petrovič Pitaevskij ) ^[2] descrie starea fundamentală a unui sistem cuantic de bosoni identici, folosind Hartree-Fock aproximare și un model eficient de interacțiune potențială.

Un condensat Bose-Einstein (BEC) este un gaz de bosoni care se află în aceeași stare cuantică și, prin urmare, poate fi descris prin aceeași funcție de undă . O particulă cuantică liberă este descrisă printr-o ecuație Schrödinger cu o singură particulă. Interacțiunea dintre diferitele particule dintr-un gaz real este luată în considerare printr-o ecuație Schrödinger potrivită pentru mai multe corpuri. În aproximarea Hartree-Fock, funcția de undă totală $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ a sistemului $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ bosonii este descompus într-un produs de funcții cu o singură particulă $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ ,

\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N})

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ dots, \ mathbf {r} _ {N}) = \ psi (\ mathbf {r} _ { 1}) \ psi (\ mathbf {r} _ {2}) \ dots \ psi (\ mathbf {r} _ {N})}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ dots, \ mathbf {r} _ {N}) = \ psi (\ mathbf {r} _ { 1}) \ psi (\ mathbf {r} _ {2}) \ dots \ psi (\ mathbf {r} _ {N})}

unde este $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf {r} _i$ este coordonata $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -al boson. Dacă distanța medie dintre particulele dintr-un gaz este mai mare decât lungimea de împrăștiere (adică în așa-numita limită diluată), atunci adevăratul potențial de interacțiune care caracterizează această ecuație cu un potențial efectiv poate fi aproximat. La o temperatură suficient de scăzută, unde lungimea de undă de Broglie este mult mai lungă decât scala de interacțiune boson-boson, ^[3] procesul de împrăștiere poate fi bine aproximat prin împrăștierea undei s (adică $\ell =0$ ${\ displaystyle \ ell = 0}$ ${\ displaystyle \ ell = 0}$ în descompunerea undelor parțiale , adică este considerat doar termenul corespunzător potențialului sferei rigide). În acest caz, hamiltonienul modelului real al sistemului poate fi scris ca:

H=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial \mathbf {r} _{i}^{2}}+V(\mathbf {r} _{i})\right)+\sum _{i<j}{4\pi \hbar ^{2}a_{s} \over m}\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}),

{\ displaystyle H = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (- {\ hbar ^ {2} \ over 2m} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ mathbf {r} _ { i} ^ {2}} + V (\ mathbf {r} _ {i}) \ right) + \ sum _ {i <j} {4 \ pi \ hbar ^ {2} a_ {s} \ over m} \ delta (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j}),}

{\ displaystyle H = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (- {\ hbar ^ {2} \ over 2m} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ mathbf {r} _ { i} ^ {2}} + V (\ mathbf {r} _ {i}) \ right) + \ sum _ {i <j} {4 \ pi \ hbar ^ {2} a_ {s} \ over m} \ delta (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j}),}

unde este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa bosonului, $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este potențialul extern, $a_{s}$ ${\ displaystyle a_ {s}}$ ${\ displaystyle a_ {s}}$ este lungimea de dispersie a undei boson-boson, e $\delta (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ delta (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ delta (\ mathbf {r})}$ este funcția delta Dirac . Limita diluată permite, de asemenea, să neglijăm interacțiunile dintre triplele (sau mai multe) de bosoni (ceea ce ar duce la termeni de neliniaritate mai mare).

Metoda variațională arată că dacă funcția de undă a unei particule îndeplinește următoarea ecuație a lui Gross-Pitaevsky:

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\partial ^{2} \over \partial \mathbf {r} ^{2}}+V(\mathbf {r} )+{4\pi \hbar ^{2}a_{s} \over m}\vert \psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=\mu \psi (\mathbf {r} ),

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ mathbf {r} ^ {2}} + V (\ mathbf {r }) + {4 \ pi \ hbar ^ {2} a_ {s} \ over m} \ vert \ psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) = \ mu \ psi (\ mathbf {r}),}

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial \ mathbf {r} ^ {2}} + V (\ mathbf {r }) + {4 \ pi \ hbar ^ {2} a_ {s} \ over m} \ vert \ psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} \ right) \ psi (\ mathbf {r}) = \ mu \ psi (\ mathbf {r}),}

funcția de undă totală minimizează valoarea de așteptare a modelului hamiltonian cu condiție de normalizare $\int dV|\Psi |^{2}=N.$ ${\ displaystyle \ int dV | \ Psi | ^ {2} = N.}$ ${\ displaystyle \ int dV | \ Psi | ^ {2} = N.}$ Prin urmare, o astfel de funcție de undă cu particule unice descrie starea de bază a sistemului.

GPE este un model de ecuație pentru funcția de undă a unei singure particule în starea de bază într-un condensat Bose-Einstein . Are o formă similară ecuației Ginzburg - Landau și este un caz special al „ ecuației Schrödinger neliniare ”.

Neliniaritatea ecuației Gross-Pitaevskii își are originea în interacțiunea dintre particule: atunci când constanta de cuplare a interacțiunii în ecuația Gross-Pitaevskij este setată la zero, se găsește ecuația Schrödinger pentru o singură particulă într-un puț potențial .

Această ecuație este capabilă să reproducă multe fenomene asociate cu superfluidele , dar trebuie avut în vedere faptul că, datorită limitei diluate, nu poate fi considerată o descriere fidelă a superfluidului heliu-4 (care de fapt nu este un Bose-Einstein condensat real).

Forma ecuației

Ecuația are forma ecuației Schrödinger cu adăugarea unui termen de interacțiune. Constanta de cuplare $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este proporțională cu lungimea de împrăștiere a undei s $a_{s}$ ${\ displaystyle a_ {s}}$ ${\ displaystyle a_ {s}}$ a doi bosoni care interacționează:

g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}

{\ displaystyle g = {\ frac {4 \ pi \ hbar ^ {2} a_ {s}} {m}}}

{\ displaystyle g = {\ frac {4 \ pi \ hbar ^ {2} a_ {s}} {m}}}

,

unde este $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ este constanta Planck redusă e $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa bosonului. Densitatea energiei este

{\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\vert \nabla \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}+V(\mathbf {r} )\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}+{\frac {1}{2}}g\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{4},

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ vert \ nabla \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} + V (\ mathbf {r}) \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} + {\ frac {1} {2}} g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {4} ,}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ vert \ nabla \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} + V (\ mathbf {r}) \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} + {\ frac {1} {2}} g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {4} ,}

unde este $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este funcția de undă sau parametrul de comandă și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este potențialul extern (de exemplu o capcană armonică). Ecuația Gross-Pitaevsky independentă de timp pentru un număr conservat de particule este

\mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} )

{\ displaystyle \ mu \ Psi (\ mathbf {r}) = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}) + g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} \ right) \ Psi (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ mu \ Psi (\ mathbf {r}) = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}) + g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} \ right) \ Psi (\ mathbf {r})}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este potențialul chimic . Potențialul chimic se găsește din condiția în care numărul de particule este legat de funcția undei

N=\int \vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\,d^{3}r.

{\ displaystyle N = \ int \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} \, d ^ {3} r.}

{\ displaystyle N = \ int \ vert \ Psi (\ mathbf {r}) \ vert ^ {2} \, d ^ {3} r.}

Din ecuația Gross-Pitaevsky independentă de timp, putem găsi forma unui condensat Bose-Einstein în diferite potențiale externe (de exemplu, o capcană armonică).

În schimb, ecuația Gross-Pitaevsky dependentă de timp este:

i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g\vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t).

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}) + g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vert ^ {2} \ right) \ Psi (\ mathbf {r}, t) .}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}) + g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vert ^ {2} \ right) \ Psi (\ mathbf {r}, t) .}

Din ecuația Gross-Pitaevskij dependentă de timp putem studia dinamica condensatului Bose-Einstein. Este folosit pentru a găsi mișcările colective ale unui gaz blocat.

Soluții

Deoarece ecuația Gross-Pitaevsky este o ecuație diferențială parțială neliniară , este dificil să găsim soluții exacte. În consecință, soluțiile trebuie de obicei găsite printr-un număr mare de metode de aproximare.

Soluții exacte

Particulă liberă

Cea mai simplă soluție exactă este soluția de particule libere, cu $V(\mathbf {r} )=0$ ${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = 0}$ ${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = 0}$ ,

\Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\frac {N}{V}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }.

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = {\ sqrt {\ frac {N} {V}}} și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}.}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = {\ sqrt {\ frac {N} {V}}} și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}}.}

Această soluție se numește adesea soluția Hartree. Deși satisface ecuația Gross-Pitaevsky, lasă un decalaj în spectrul energetic datorită interacțiunii:

E(\mathbf {k} )=N\left[{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+g{\frac {N}{2V}}\right].

{\ displaystyle E (\ mathbf {k}) = N \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} + g {\ frac {N} {2V}} \ right ].}

{\ displaystyle E (\ mathbf {k}) = N \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} + g {\ frac {N} {2V}} \ right ].}

Conform teoremei Hugenholtz-Pines, ^[4] un gaz Bose care interacționează nu are un decalaj de energie (în cazul interacțiunilor respingătoare).

Soliton

Este posibil să se observe solitoni unidimensionali într-un condensat Bose-Einstein și, în funcție de interacțiunea atractivă sau respingătoare, sunt solitoni luminoși sau întunecați. Ambele cazuri sunt perturbări localizate într-un condensat având o densitate de bază uniformă.

Dacă BEC este respingător, adică $g>0$ ${\ displaystyle g> 0}$ ${\ displaystyle g> 0}$ , atunci o posibilă soluție a ecuației Gross-Pitaevsky este,

\psi (x)=\psi _{0}\tanh \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\xi }}\right)

{\ displaystyle \ psi (x) = \ psi _ {0} \ tanh \ left ({\ frac {x} {{\ sqrt {2}} \ xi}} \ right)}

{\ displaystyle \ psi (x) = \ psi _ {0} \ tanh \ left ({\ frac {x} {{\ sqrt {2}} \ xi}} \ right)}

,

unde este $\psi _{0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ $\ psi_0$ este valoarea funcției de undă a condensului a $x\rightarrow \pm \infty$ ${\ displaystyle x \ rightarrow \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle x \ rightarrow \ pm \ infty}$ , Și $\xi =\hbar /{\sqrt {2mn_{0}g}}=1/{\sqrt {8\pi a_{s}n_{0}}}$ ${\ displaystyle \ xi = \ hbar / {\ sqrt {2mn_ {0} g}} = 1 / {\ sqrt {8 \ pi a_ {s} n_ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ xi = \ hbar / {\ sqrt {2mn_ {0} g}} = 1 / {\ sqrt {8 \ pi a_ {s} n_ {0}}}}$ este lungimea coerenței (adică lungimea vindecării , ^[3] vezi mai jos). Această soluție reprezintă un soliton întunecat, deoarece există o absență a condensului într-un spațiu cu densitate diferită de zero. Solitonul întunecat este, de asemenea, un tip de defect topologic $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ inversează valorile pozitive și negative de-a lungul originii, corespunzătoare unei defazări de $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

Pentru $g<0$ ${\ displaystyle g <0}$ ${\ displaystyle g <0}$

\psi (x,t)=\psi (0)e^{-i\mu t/\hbar }{\frac {1}{\cosh \left[{\sqrt {2m\vert \mu \vert /\hbar ^{2}}}x\right]}},

{\ displaystyle \ psi (x, t) = \ psi (0) e ^ {- i \ mu t / \ hbar} {\ frac {1} {\ cosh \ left [{\ sqrt {2m \ vert \ mu \ vert / \ hbar ^ {2}}} x \ right]}},}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = \ psi (0) e ^ {- i \ mu t / \ hbar} {\ frac {1} {\ cosh \ left [{\ sqrt {2m \ vert \ mu \ vert / \ hbar ^ {2}}} x \ right]}},}

unde există un potențial chimic $\mu =g\vert \psi (0)\vert ^{2}/2$ ${\ displaystyle \ mu = g \ vert \ psi (0) \ vert ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle \ mu = g \ vert \ psi (0) \ vert ^ {2} / 2}$ . Această soluție reprezintă un soliton clar, deoarece există o concentrație de condensat într-un spațiu cu densitate zero.

Durata vindecării

Lungimea de vindecare poate fi înțeleasă ca scala de lungime în care energia cinetică a bosonului este egală cu potențialul chimic: ^[3]

{\frac {\hbar ^{2}}{2m\xi ^{2}}}=\mu =gn_{0}\,.

{\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m \ xi ^ {2}}} = \ mu = gn_ {0} \,.}

{\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m \ xi ^ {2}}} = \ mu = gn_ {0} \,.}

Lungimea de vindecare oferă cea mai mică distanță pe care funcția de undă poate varia; trebuie să fie mult mai mică decât orice scară de lungime în soluția funcției undei cu particule unice. Lungimea vindecării determină, de asemenea, mărimea vârtejurilor care se pot forma; este distanța pe care funcția de undă se recuperează de la zero în centrul vârtejului până la valoarea medie (de unde și denumirea de "vindecare" lungime).

Soluții variaționale

În sistemele în care nu poate fi găsită o soluție analitică exactă, poate fi utilizată o aproximare variațională. Ideea de bază este de a defini un ansatz variațional pentru funcția de undă cu parametri liberi, introduceți-l în energia liberă și minimizați energia în raport cu parametrii liberi ai ansatzului .

Soluții numerice

Pentru rezolvarea GPE au fost utilizate mai multe metode numerice, cum ar fi metodele Crank-Nicolson ^[5] și cele spectrale ^[6] . Există mai multe programe în Fortran și C pentru soluția sa în cazul interacțiunii de contact ^[7] ^[8] și a interacțiunii dipolare pe distanță lungă. ^[9]

Thomas - Aproximare Fermi

Dacă numărul de particule dintr-un gaz este foarte mare, interacțiunea interatomică devine dominată și astfel termenul de energie cinetică poate fi neglijat în ecuația Gross-Pitaevsky. Aceasta se numește aproximarea Thomas-Fermi.

\psi (x,t)={\sqrt {\frac {\mu -V(x)}{Ng}}}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = {\ sqrt {\ frac {\ mu -V (x)} {Ng}}}}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = {\ sqrt {\ frac {\ mu -V (x)} {Ng}}}}

Într-o fântână potențială armonică (unde energia potențială este pătratică în raport cu deplasarea din centru), se obține un profil de densitate denumit în mod obișnuit „parabolă inversată”. ^[3]

Aproximare Bogolyubov

Tratamentul lui Bogolyubov al ecuației Gross-Pitaevskii este o metodă care găsește excitațiile elementare ale unui condensat Bose-Einstein. În acest scop, funcția de undă a condensului este aproximată prin suma funcției de undă de echilibru $\psi _{0}={\sqrt {n}}e^{-i\mu t}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0} = {\ sqrt {n}} e ^ {- i \ mu t}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0} = {\ sqrt {n}} e ^ {- i \ mu t}}$ cu o mică perturbare $\delta \psi$ ${\ displaystyle \ delta \ psi}$ ${\ displaystyle \ delta \ psi}$ ,

\psi =\psi _{0}+\delta \psi

{\ displaystyle \ psi = \ psi _ {0} + \ delta \ psi}

{\ displaystyle \ psi = \ psi _ {0} + \ delta \ psi}

.

Această formă este apoi inserată în ecuația Gross-Pitaevskij dependentă de timp și conjugatul său complex , care sunt liniarizate la primul ordin în $\delta \psi$ ${\ displaystyle \ delta \ psi}$ ${\ displaystyle \ delta \ psi}$

i\hbar {\frac {\partial \delta \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi +V\delta \psi +g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi +\psi _{0}^{2}\delta \psi ^{*})

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ delta \ psi} {\ partial t}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ delta \ psi + V \ delta \ psi + g (2 | \ psi _ {0} | ^ {2} \ delta \ psi + \ psi _ {0} ^ {2} \ delta \ psi ^ {*})}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ delta \ psi} {\ partial t}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ delta \ psi + V \ delta \ psi + g (2 | \ psi _ {0} | ^ {2} \ delta \ psi + \ psi _ {0} ^ {2} \ delta \ psi ^ {*})}

-i\hbar {\frac {\partial \delta \psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\delta \psi ^{*}+V\delta \psi ^{*}+g(2|\psi _{0}|^{2}\delta \psi ^{*}+(\psi _{0}^{*})^{2}\delta \psi )

{\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ partial \ delta \ psi ^ {*}} {\ partial t}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2 } \ delta \ psi ^ {*} + V \ delta \ psi ^ {*} + g (2 | \ psi _ {0} | ^ {2} \ delta \ psi ^ {*} + (\ psi _ {0 } ^ {*}) ^ {2} \ delta \ psi)}

{\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ partial \ delta \ psi ^ {*}} {\ partial t}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2 } \ delta \ psi ^ {*} + V \ delta \ psi ^ {*} + g (2 | \ psi _ {0} | ^ {2} \ delta \ psi ^ {*} + (\ psi _ {0 } ^ {*}) ^ {2} \ delta \ psi)}

Prin plasare $\delta \psi$ ${\ displaystyle \ delta \ psi}$ ${\ displaystyle \ delta \ psi}$ ca:

\delta \psi =e^{-i\mu t}(u({\boldsymbol {r}})e^{-i\omega t}-v^{*}({\boldsymbol {r}})e^{i\omega t})

{\ displaystyle \ delta \ psi = e ^ {- i \ mu t} (u ({\ boldsymbol {r}}) e ^ {- i \ omega t} -v ^ {*} ({\ boldsymbol {r} }) și ^ {i \ omega t})}

{\ displaystyle \ delta \ psi = e ^ {- i \ mu t} (u ({\ boldsymbol {r}}) e ^ {- i \ omega t} -v ^ {*} ({\ boldsymbol {r} }) și ^ {i \ omega t})}

găsim următoarele ecuații diferențiale cuplate pentru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ luând în considerare termenii cu $e^{\pm i\omega t}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pm i \ omega t}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ pm i \ omega t}}$ ca componente independente

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu -\hbar \omega \right)u-gnv=0

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V + 2gn- \ hbar \ mu - \ hbar \ omega \ right) u-gnv = 0 }

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V + 2gn- \ hbar \ mu - \ hbar \ omega \ right) u-gnv = 0 }

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V+2gn-\hbar \mu +\hbar \omega \right)v-gnu=0

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V + 2gn- \ hbar \ mu + \ hbar \ omega \ right) v-gnu = 0 }

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V + 2gn- \ hbar \ mu + \ hbar \ omega \ right) v-gnu = 0 }

Pentru un sistem omogen, adică pentru $V({\boldsymbol {r}})=const.$ ${\ displaystyle V ({\ boldsymbol {r}}) = const.}$ ${\ displaystyle V ({\ boldsymbol {r}}) = const.}$ , poti sa o obtii $V=\hbar \mu -gn$ ${\ displaystyle V = \ hbar \ mu -gn}$ ${\ displaystyle V = \ hbar \ mu -gn}$ de la ecuație la ordinul zero. Deci presupunând că $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt unde plane cu impuls ${\boldsymbol {q}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ , ajungem la spectrul energetic

\hbar \omega =\epsilon _{\boldsymbol {q}}={\sqrt {{\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}|{\boldsymbol {q}}|^{2}}{2m}}+2gn\right)}}

{\ displaystyle \ hbar \ omega = \ epsilon _ {\ boldsymbol {q}} = {\ sqrt {{\ frac {\ hbar ^ {2} | {\ boldsymbol {q}} | ^ {2}} {2m} } \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2} | {\ boldsymbol {q}} | ^ {2}} {2m}} + 2gn \ right)}}}

{\ displaystyle \ hbar \ omega = \ epsilon _ {\ boldsymbol {q}} = {\ sqrt {{\ frac {\ hbar ^ {2} | {\ boldsymbol {q}} | ^ {2}} {2m} } \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2} | {\ boldsymbol {q}} | ^ {2}} {2m}} + 2gn \ right)}}}

Pentru adulti ${\boldsymbol {q}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ , relația de dispersie este pătratică în ${\boldsymbol {q}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ așa cum ar fi de așteptat în cazul excitațiilor de particule unice care nu interacționează. Pentru cei mici ${\boldsymbol {q}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {q}}}$ , relația de dispersie este în schimb liniară

\epsilon _{\boldsymbol {q}}=s\hbar q

{\ displaystyle \ epsilon _ {\ boldsymbol {q}} = s \ hbar q}

{\ displaystyle \ epsilon _ {\ boldsymbol {q}} = s \ hbar q}

cu $s={\sqrt {ng/m}}$ ${\ displaystyle s = {\ sqrt {ng / m}}}$ ${\ displaystyle s = {\ sqrt {ng / m}}}$ viteza sunetului din condens, cunoscută și sub numele de al doilea sunet . Faptul că $\epsilon _{\boldsymbol {q}}/(\hbar q)>s$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ boldsymbol {q}} / (\ hbar q)> s}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ boldsymbol {q}} / (\ hbar q)> s}$ arată, conform criteriului Landau , că condensatul este un superfluid , ceea ce înseamnă că dacă un obiect este deplasat în condensat la o viteză mai mică decât s, nu va fi favorizat energetic să producă excitații și, prin urmare, obiectul se va deplasa fără disiparea, care este caracteristica fundamentală a superfluidelor . Au fost efectuate experimente pentru a demonstra această superfluiditate a condensului, folosind un laser albastru foarte concentrat. ^[10] Aceeași relație de dispersie se găsește atunci când condensatul este descris printr-o abordare microscopică folosind al doilea formalism de cuantificare .

Superfluid în potențialul elicoidal rotativ

Capcană cu vârtej dipolic cu sarcină topologică

\ell =2

{\ displaystyle \ ell = 2}

{\ displaystyle \ ell = 2}

obținut dintr-un set de atomi ultra-reci.

Potențialul optic bine $V_{\rm {twist}}(\mathbf {r} ,t)=V_{\rm {twist}}(z,r,\theta ,t)$ ${\ displaystyle V _ {\ rm {twist}} (\ mathbf {r}, t) = V _ {\ rm {twist}} (z, r, \ theta, t)}$ ${\ displaystyle V _ {\ rm {twist}} (\ mathbf {r}, t) = V _ {\ rm {twist}} (z, r, \ theta, t)}$ ar putea fi formată din două vârtejuri optice contrapropagabile cu lungimi de undă $\lambda _{\pm }=2\pi c/\omega _{\pm }$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = 2 \ pi c / \ omega _ {\ pm}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} = 2 \ pi c / \ omega _ {\ pm}}$ , lățime efectivă $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și sarcină topologică $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ :

{E_{\pm }}(\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\exp(-i\omega _{\pm }t\pm ik_{\pm }z+i\ell \theta ),

{\ displaystyle {E _ {\ pm}} (\ mathbf {r}, t) \ sim \ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {2D ^ {2}}} \ right) r ^ {| \ ell |} \ exp (-i \ omega _ {\ pm} t \ pm ik _ {\ pm} z + i \ ell \ theta),}

{\ displaystyle {E _ {\ pm}} (\ mathbf {r}, t) \ sim \ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {2D ^ {2}}} \ right) r ^ {| \ ell |} \ exp (-i \ omega _ {\ pm} t \ pm ik _ {\ pm} z + i \ ell \ theta),}

unde este $\delta \omega =(\omega _{+}-\omega _{-})$ ${\ displaystyle \ delta \ omega = (\ omega _ {+} - \ omega _ {-})}$ ${\ displaystyle \ delta \ omega = (\ omega _ {+} - \ omega _ {-})}$ . În sistemul de coordonate cilindrice $(z,r,\theta )$ ${\ displaystyle (z, r, \ theta)}$ ${\ displaystyle (z, r, \ theta)}$ fântâna potențială are o interesantă geometrie cu dublă helică : ^[11]

V_{\rm {twist}}(\mathbf {r} ,t)\sim V_{0}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{D^{2}}}\right)r^{2|\ell |}\left(1+\cos[\delta \omega t+(k_{+}+k_{-})z+2\ell \theta ]\right),

{\ displaystyle V _ {\ rm {twist}} (\ mathbf {r}, t) \ sim V_ {0} \ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {D ^ {2}} } \ right) r ^ {2 | \ ell |} \ left (1+ \ cos [\ delta \ omega t + (k _ {+} + k _ {-}) z + 2 \ ell \ theta] \ right ),}

{\ displaystyle V _ {\ rm {twist}} (\ mathbf {r}, t) \ sim V_ {0} \ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {D ^ {2}} } \ right) r ^ {2 | \ ell |} \ left (1+ \ cos [\ delta \ omega t + (k _ {+} + k _ {-}) z + 2 \ ell \ theta] \ right ),}

Într-un cadru rotativ cu viteză unghiulară $\Omega =\delta \omega /2\ell$ ${\ displaystyle \ Omega = \ delta \ omega / 2 \ ell}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ delta \ omega / 2 \ ell}$ , ecuația Gross-Pitaevsky dependentă de timp cu potențial helicoidal este următoarea: ^[12]

i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{\rm {twist}}(\mathbf {r} )+g\vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}-\Omega {\hat {L}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t),

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V _ {\ rm {twist}} (\ mathbf {r}) + g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vert ^ {2} - \ Omega {\ hat {L}} \ right) \ Psi (\ mathbf {r}, t),}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V _ {\ rm {twist}} (\ mathbf {r}) + g \ vert \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ vert ^ {2} - \ Omega {\ hat {L}} \ right) \ Psi (\ mathbf {r}, t),}

unde este ${\hat {L}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {L}} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}}}$ este operatorul momentului unghiular . Soluția pentru funcția de undă a condensului $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}$ ${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}$ este o suprapunere a două vortexuri materie-undă conjugate în fază:

\Psi (\mathbf {r} ,t)\sim \exp \left(-{\frac {r^{2}}{2D^{2}}}\right)r^{|\ell |}\times

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ sim \ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {2D ^ {2}}} \ right) r ^ {| \ ell | } \ ori}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ sim \ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {2D ^ {2}}} \ right) r ^ {| \ ell | } \ ori}

\left(\exp(-i\omega _{+}t+ik_{+}z+i\ell \theta )+\exp(-i\omega _{-}t-ik_{-}z-i\ell \theta )\right).

{\ displaystyle \ left (\ exp (-i \ omega _ {+} t + ik _ {+} z + i \ ell \ theta) + \ exp (-i \ omega _ {-} t-ik _ {- } zi \ ell \ theta) \ right).}

{\ displaystyle \ left (\ exp (-i \ omega _ {+} t + ik _ {+} z + i \ ell \ theta) + \ exp (-i \ omega _ {-} t-ik _ {- } zi \ ell \ theta) \ right).}

Momentul observabil macroscopic al condensului este:

\langle \Psi \vert {\hat {P}}\vert \Psi \rangle =N_{\rm {at}}\hbar (k_{+}-k_{-}),

{\ displaystyle \ langle \ Psi \ vert {\ hat {P}} \ vert \ Psi \ rangle = N _ {\ rm {at}} \ hbar (k _ {+} - k _ {-}),}

{\ displaystyle \ langle \ Psi \ vert {\ hat {P}} \ vert \ Psi \ rangle = N _ {\ rm {at}} \ hbar (k _ {+} - k _ {-}),}

unde este $N_{\rm {at}}$ ${\ displaystyle N _ {\ rm {at}}}$ ${\ displaystyle N _ {\ rm {at}}}$ este numărul de atomi din condensat. Aceasta înseamnă că setul de atomi se mișcă constant de-a lungul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu viteza de grup (a cărei direcție este definită de semnele sarcinii topologice $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ și viteza unghiulară $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ ): ^[13]

V_{z}={\frac {2\Omega \ell }{(k_{+}+k_{-})}}

{\ displaystyle V_ {z} = {\ frac {2 \ Omega \ ell} {(k _ {+} + k _ {-})}}}

{\ displaystyle V_ {z} = {\ frac {2 \ Omega \ ell} {(k _ {+} + k _ {-})}}}

Momentul unghiular al condensului prins elicoidal este exact zero: ^[12]

\langle \Psi \vert {\hat {L}}\vert \Psi \rangle =N_{\rm {at}}[\ell \hbar -\ell \hbar ]=0.

{\ displaystyle \ langle \ Psi \ vert {\ hat {L}} \ vert \ Psi \ rangle = N _ {\ rm {at}} [\ ell \ hbar - \ ell \ hbar] = 0.}

{\ displaystyle \ langle \ Psi \ vert {\ hat {L}} \ vert \ Psi \ rangle = N _ {\ rm {at}} [\ ell \ hbar - \ ell \ hbar] = 0.}

Modelarea numerică a setului de atomi reci din potențialul spiralat a arătat confinarea traiectoriilor atomice individuale în putul elicoidal. ^[14]

Notă

^ EP Gross, Structure of a quantized vortex in boson systems , în Il Nuovo Cimento , vol. 20, nr. 3, 1961, pp. 454-457, Bibcode : 1961NCim ... 20..454G , DOI : 10.1007 / BF02731494 .
^ LP Pitaevskii, linii Vortex într-un gaz Bose imperfect , în Sov. Fizic. JETP , voi. 13, n. 2, 1961, pp. 451-454.
^ ^a ^b ^c ^d ( EN ) CJ Foot, Fizică atomică , Oxford University Press, 2005, pp. 231-240, ISBN 978-0-19-850695-9 .
^ NM Hugenholtz și D. Pines, Spectrul de energie de bază și de excitație al unui sistem de bosoni care interacționează , în Physical Review , vol. 116, nr. 3, 1959, pp. 489-506, Bibcode : 1959PhRv..116..489H , DOI : 10.1103 / PhysRev.116.489 .
^ P. Muruganandam și SK Adhikari, programe Fortran pentru ecuația Gross-Pitaevskii dependentă de timp într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 180, n. 3, 2009, pp. 1888-1912, Bibcode : 2009CoPhC.180.1888M , DOI : 10.1016 / j.cpc.2009.04.015 , arXiv : 0904.3131 .
^ P. Muruganandam și SK Adhikari, dinamica condensării Bose-Einstein în trei dimensiuni prin metodele pseudospectrale și cu diferență finită , în J. Phys. B , vol. 36, n. 12, 2003, pp. 2501-2514, Bibcode : 2003JPhB ... 36.2501M , DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 36/12/310 , arXiv : cond-mat / 0210177 .
^ D. Vudragovic, C Programe pentru ecuația Gross-Pitaevskii dependentă de timp într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 183, nr. 9, 2012, pp. 2021-2025, Bibcode : 2012CoPhC.183.2021V , DOI : 10.1016 / j.cpc.2012.03.022 , arXiv : 1206.1361 .
^ LE Young-S., OpenMP Fortran și programe C pentru ecuația Gross-Pitaevskii dependentă de timp într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 204, n. 9, 2016, pp. 209-213, Bibcode : 2016CoPhC.204..209Y , DOI : 10.1016 / j.cpc.2016.03.015 , arXiv : 1605.03958 .
^ R. Kishor Kumar, programele Fortran și C pentru ecuația dipolară dependentă de timp Gross-Pitaevskii într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 195, nr. 2015, 2015, pp. 117-128, Bibcode : 2015CoPhC.195..117K , DOI : 10.1016 / j.cpc.2015.03.024 , arXiv : 1506.03283 .
^ C. Raman, M. Köhl și R. Onofrio, Evidence for a Critical Velocity in a Bose - Einstein Condensed Gas , in Phys. Rev. Lett. , Vol. 83, nr. 13, 1999, p. 2502, Bibcode : 1999PhRvL..83.2502R , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.2502 , arXiv : cond-mat / 9909109 .
^ A.Yu. Okulov, Momentul unghiular al fotonilor și conjugarea fazelor , în J. Phys. B: La. Mol. Opta. Fizic. , vol. 41, nr. 10, 2008, p. 101001, Bibcode : 2008JPhB ... 41j1001O , DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 41/10/101001 , arXiv : 0801.2675 .
^ ^a ^b A. Yu. Okulov, captarea materiei reci prin potențial elicoidal cu rotație lentă , în Phys. Lett. A , vol. 376, nr. 4, 2012, pp. 650-655, Bibcode : 2012PhLA..376..650O , DOI : 10.1016 / j.physleta.2011.11.033 , arXiv : 1005.4213 .
^ A. Yu. Okulov, senzor de rotație superfluid cu capcană elicoidală cu laser , în J. Low Temp. Phys. , vol. 171, nr. 3, 2013, pp. 397-407, Bibcode : 2013JLTP..171..397O , DOI : 10.1007 / s10909-012-0837-7 , arXiv : 1207.3537 .
^ A.Al.Rsheed1, A. Lyras, VE Lembessis și OM Aldossary, Ghidarea atomilor în structuri elicoidale de potențial optic , în J. Phys. B: La. Mol. Opta. Fizic. , vol. 49, nr. 12, 2016, p. 125002, DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 49/12/125002 .

Bibliografie

CJ Pethick și H. Smith,Bose - Einstein Condensation in Dilute Gases , Cambridge, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-66580-3 . .
LP Pitaevskii și S. Stringari, Bose - Einstein Condensation , Oxford, Clarendon Press, 2003, ISBN 978-0-19-850719-2 . .
JF Annett, Superconductivitate, Superfluide și Condensate , în seria master Oxford în fizica materiei condensate .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] EP Gross, Structure of a quantized vortex in boson systems , în Il Nuovo Cimento , vol. 20, nr. 3, 1961, pp. 454-457, Bibcode : 1961NCim ... 20..454G , DOI : 10.1007 / BF02731494 .

[2] LP Pitaevskii, linii Vortex într-un gaz Bose imperfect , în Sov. Fizic. JETP , voi. 13, n. 2, 1961, pp. 451-454.

[:0-3] ( EN ) CJ Foot, Fizică atomică , Oxford University Press, 2005, pp. 231-240, ISBN 978-0-19-850695-9 .

[4] NM Hugenholtz și D. Pines, Spectrul de energie de bază și de excitație al unui sistem de bosoni care interacționează , în Physical Review , vol. 116, nr. 3, 1959, pp. 489-506, Bibcode : 1959PhRv..116..489H , DOI : 10.1103 / PhysRev.116.489 .

[5] P. Muruganandam și SK Adhikari, programe Fortran pentru ecuația Gross-Pitaevskii dependentă de timp într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 180, n. 3, 2009, pp. 1888-1912, Bibcode : 2009CoPhC.180.1888M , DOI : 10.1016 / j.cpc.2009.04.015 , arXiv : 0904.3131 .

[6] P. Muruganandam și SK Adhikari, dinamica condensării Bose-Einstein în trei dimensiuni prin metodele pseudospectrale și cu diferență finită , în J. Phys. B , vol. 36, n. 12, 2003, pp. 2501-2514, Bibcode : 2003JPhB ... 36.2501M , DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 36/12/310 , arXiv : cond-mat / 0210177 .

[7] D. Vudragovic, C Programe pentru ecuația Gross-Pitaevskii dependentă de timp într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 183, nr. 9, 2012, pp. 2021-2025, Bibcode : 2012CoPhC.183.2021V , DOI : 10.1016 / j.cpc.2012.03.022 , arXiv : 1206.1361 .

[8] LE Young-S., OpenMP Fortran și programe C pentru ecuația Gross-Pitaevskii dependentă de timp într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 204, n. 9, 2016, pp. 209-213, Bibcode : 2016CoPhC.204..209Y , DOI : 10.1016 / j.cpc.2016.03.015 , arXiv : 1605.03958 .

[9] R. Kishor Kumar, programele Fortran și C pentru ecuația dipolară dependentă de timp Gross-Pitaevskii într-o capcană complet anizotropă , în Comput. Fizic. Comun. , vol. 195, nr. 2015, 2015, pp. 117-128, Bibcode : 2015CoPhC.195..117K , DOI : 10.1016 / j.cpc.2015.03.024 , arXiv : 1506.03283 .

[10] C. Raman, M. Köhl și R. Onofrio, Evidence for a Critical Velocity in a Bose - Einstein Condensed Gas , in Phys. Rev. Lett. , Vol. 83, nr. 13, 1999, p. 2502, Bibcode : 1999PhRvL..83.2502R , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.2502 , arXiv : cond-mat / 9909109 .

[Okulov2008-11] A.Yu. Okulov, Momentul unghiular al fotonilor și conjugarea fazelor , în J. Phys. B: La. Mol. Opta. Fizic. , vol. 41, nr. 10, 2008, p. 101001, Bibcode : 2008JPhB ... 41j1001O , DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 41/10/101001 , arXiv : 0801.2675 .

[Okulov2012-12] A. Yu. Okulov, captarea materiei reci prin potențial elicoidal cu rotație lentă , în Phys. Lett. A , vol. 376, nr. 4, 2012, pp. 650-655, Bibcode : 2012PhLA..376..650O , DOI : 10.1016 / j.physleta.2011.11.033 , arXiv : 1005.4213 .

[Okulov2013-13] A. Yu. Okulov, senzor de rotație superfluid cu capcană elicoidală cu laser , în J. Low Temp. Phys. , vol. 171, nr. 3, 2013, pp. 397-407, Bibcode : 2013JLTP..171..397O , DOI : 10.1007 / s10909-012-0837-7 , arXiv : 1207.3537 .

[Lembessis2016-14] A.Al.Rsheed1, A. Lyras, VE Lembessis și OM Aldossary, Ghidarea atomilor în structuri elicoidale de potențial optic , în J. Phys. B: La. Mol. Opta. Fizic. , vol. 49, nr. 12, 2016, p. 125002, DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 49/12/125002 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]