Ecuația Lagrange

În matematică , ecuația Lagrange , cunoscută și sub numele de ecuația d'Alembert sau ecuația d'Alembert-Lagrange , numită după Jean d'Alembert și Joseph Louis Lagrange , este o ecuație diferențială de ordinul întâi a formei:

y=xf(y')+g(y')

{\ displaystyle y = xf (y ') + g (y')}

{\ displaystyle y = xf (y ') + g (y')}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt funcții reale note derivabile . Cele de mai sus se obțin uneori prin reducerea (dacă este posibil) a ecuației:

h(y')=x\,f(y')+y\,g(y')

{\ displaystyle h (y ') = x \, f (y') + y \, g (y ')}

{\ displaystyle h (y ') = x \, f (y') + y \, g (y ')}

Un caz special este ecuația Clairault .

Metoda soluției

Prin plasare $y'=z$ ${\ displaystyle y '= z}$ ${\ displaystyle y '= z}$ , rescriem:

y=xf(z)+g(z)

{\ displaystyle y = xf (z) + g (z)}

{\ displaystyle y = xf (z) + g (z)}

Derivarea cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , noi obținem:

z-f(z)={\frac {dz}{dx}}[xf'(z)+g'(z)]

{\ displaystyle zf (z) = {\ frac {dz} {dx}} [xf '(z) + g' (z)]}

{\ displaystyle z-f (z) = {\ frac {dz} {dx}} [xf '(z) + g' (z)]}

Dacă primul termen, egal cu zero, are rădăcini $z_{1},\cdots ,z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ cdots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ cdots, z_ {n}}$ , functia $z^{'}$ ${\ displaystyle z '}$ $z '$ nu este nimic pentru acele valori. Prin urmare, există soluții speciale:

y=z_{k}x+g(z_{k})\qquad k\in \{1,\cdots ,n\}

{\ displaystyle y = z_ {k} x + g (z_ {k}) \ qquad k \ in \ {1, \ cdots, n \}}

{\ displaystyle y = z_ {k} x + g (z_ {k}) \ qquad k \ in \ {1, \ cdots, n \}}

Unde $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ este diferit de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , putem rescrie ecuația derivată ca:

{\frac {dx}{dz}}=x{\frac {f'(z)}{z-f(z)}}+{\frac {g'(z)}{z-f(z)}}\qquad *

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dz}} = x {\ frac {f '(z)} {zf (z)}} + {\ frac {g' (z)} {zf (z)}} \ qquad *}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dz}} = x {\ frac {f '(z)} {zf (z)}} + {\ frac {g' (z)} {zf (z)}} \ qquad *}

care este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , a cărei soluție poate fi căutată cu metodele obișnuite. Este $x=h(z,C)$ ${\ displaystyle x = h (z, C)}$ ${\ displaystyle x = h (z, C)}$ o astfel de soluție; atunci soluția parametrică a ecuației d'Alembert este:

\left\{{\begin{matrix}&{x=h(z,C)}\\&{y=f(z)h(z,C)+g(z)}\qquad **\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {x = h (z, C)} \\ & {y = f (z) h (z, C) + g (z)} \ qquad ** \\\ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {x = h (z, C)} \\ & {y = f (z) h (z, C) + g (z)} \ qquad ** \\\ end {matrix}} \ right.}

Exemplu

Să se dea:

y=xy'^{2}+{\frac {3}{2}}y'^{2}-y'^{3}

{\ displaystyle y = xy '^ {2} + {\ frac {3} {2}} y' ^ {2} -y '^ {3}}

{\ displaystyle y = xy '^ {2} + {\ frac {3} {2}} y' ^ {2} -y '^ {3}}

Pentru a găsi soluțiile de $z-f(z)$ ${\ displaystyle zf (z)}$ ${\ displaystyle z-f (z)}$ :

z-z^{2}=0\Rightarrow z\in \{0,1\}

{\ displaystyle zz ^ {2} = 0 \ Rightarrow z \ in \ {0,1 \}}

{\ displaystyle z-z ^ {2} = 0 \ Rightarrow z \ in \ {0,1 \}}

soluțiile particulare sunt:

\left\{{\begin{matrix}&{y=0}\\&{y=x+{\frac {1}{2}}}\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {y = 0} \\ & {y = x + {\ frac {1} {2}}} \\\ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {y = 0} \\ & {y = x + {\ frac {1} {2}}} \\\ end {matrix}} \ right.}

Prin aplicarea $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ primești scrisul:

{\frac {dx}{dz}}={\frac {2x}{1-z}}+3{\frac {z-z^{2}}{z-z^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dz}} = {\ frac {2x} {1-z}} + 3 {\ frac {zz ^ {2}} {zz ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dz}} = {\ frac {2x} {1-z}} + 3 {\ frac {z-z ^ {2}} {z-z ^ {2}}}}

a cărei soluție este:

x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}

{\ displaystyle x = z-1 + {\ frac {1 + c} {(z-1) ^ {2}}}}

{\ displaystyle x = z-1 + {\ frac {1 + c} {(z-1) ^ {2}}}}

Înlocuind în $**$ ${\ displaystyle **}$ ${\ displaystyle **}$ avem:

\left\{{\begin{matrix}&{x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}\\&{y=z^{2}\left(z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}\right)+{\frac {3}{2}}z^{2}-z^{3}}\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {x = z-1 + {\ frac {1 + c} {(z-1) ^ {2}}}} \\ & {y = z ^ {2} \ left (z-1 + {\ frac {1 + c} {(z-1) ^ {2}}} \ right) + {\ frac {3} {2}} z ^ {2} - z ^ {3}} \\\ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {x = z-1 + {\ frac {1 + c} {(z-1) ^ {2}}}} \\ & {y = z ^ {2} \ left (z-1 + {\ frac {1 + c} {(z-1) ^ {2}}} \ right) + {\ frac {3} {2}} z ^ {2} - z ^ {3}} \\\ end {matrix}} \ right.}

Puteți elimina z rezolvând una dintre cele două ecuații de mai sus și înlocuind. De exemplu, primul are o soluție reală

z={}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}+{\frac {x^{2}}{9{}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}}}+{\frac {1}{3}}(x+3)

{\ displaystyle z = {} ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {\ sqrt {(c + 1) (27 + 27c-4x ^ {3})}} {6 {\ sqrt {3}}} } + {\ frac {2x ^ {3} -27c-27} {54}}}} + {\ frac {x ^ {2}} {9 {} ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {\ sqrt {(c + 1) (27 + 27c-4x ^ {3})}} {6 {\ sqrt {3}}}} + {\ frac {2x ^ {3} -27c-27} {54}} }}}} + {\ frac {1} {3}} (x + 3)}

{\ displaystyle z = {} ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {\ sqrt {(c + 1) (27 + 27c-4x ^ {3})}} {6 {\ sqrt {3}}} } + {\ frac {2x ^ {3} -27c-27} {54}}}} + {\ frac {x ^ {2}} {9 {} ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {\ sqrt {(c + 1) (27 + 27c-4x ^ {3})}} {6 {\ sqrt {3}}}} + {\ frac {2x ^ {3} -27c-27} {54}} }}}} + {\ frac {1} {3}} (x + 3)}

Este clar de ce, în afară de norocoase excepții, preferăm să lăsăm soluțiile ca fiind parametrice.

Bibliografie

( EN ) JL Lagrange, "Sur intégration d'une équation différentielle" JA Serret (ed.), Oeuvres , 1 , G. Olms, reeditare (1973) pp. 21–36
( EN ) WW Stepanow, „Lehrbuch der Differentialgleichungen”, Deutsch. Verlag Wissenschaft . (1956)

Elemente conexe

Ecuația Clairault

linkuri externe

( EN ) N.Kh. Rozov, ecuația Lagrange , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică