Ecuația lui Nernst-Planck

În electromecanică , ecuația Nernst descrie difuzia particulelor printr-o membrană selectivă cufundată într-un mediu electrolitic. Densitatea curentului este o funcție a unui potențial electromecanic scalar :

${\vec {j}}=-k_{em}\nabla \phi _{em}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - k_ {em} \ nabla \ phi _ {em}}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - k_ {em} \ nabla \ phi _ {em}}$

În ipoteza liniarității, legea lui Fick și legea lui Ohm pot fi suprapuse :

${\vec {j}}=-D_{m}\nabla \phi _{m}-\mu \phi _{m}\nabla \phi _{e}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - D_ {m} \ nabla \ phi _ {m} - \ mu \ phi _ {m} \ nabla \ phi _ {e}}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - D_ {m} \ nabla \ phi _ {m} - \ mu \ phi _ {m} \ nabla \ phi _ {e}}$

unde este $D_{m}$ ${\ displaystyle D_ {m}}$ ${\ displaystyle D_ {m}}$ este difuzivitatea de masă a speciei, $-\nabla \phi _{e}$ ${\ displaystyle - \ nabla \ phi _ {e}}$ ${\ displaystyle - \ nabla \ phi _ {e}}$ câmpul electrostatic exprimat ca gradient al potențialului electric , e $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este mobilitatea electrică , raportul dintre conductivitatea mecanică și sarcina electrică totală a particulelor:

$\mu =qk_{m}$ ${\ displaystyle \ mu = qk_ {m}}$ ${\ displaystyle \ mu = qk_ {m}}$

dacă exprimăm difuzivitatea masei în funcție de relația Einstein :

$D_{m}=R\phi _{t}\mu$ ${\ displaystyle D_ {m} = R \ phi _ {t} \ mu}$ ${\ displaystyle D_ {m} = R \ phi _ {t} \ mu}$

unde R este constanta gazului , φ _T este temperatura absolută , obținem:

${\vec {j}}=-R\phi _{t}\mu \nabla \phi _{m}-\mu \phi _{m}\nabla \phi _{e}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - R \ phi _ {t} \ mu \ nabla \ phi _ {m} - \ mu \ phi _ {m} \ nabla \ phi _ {e}}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - R \ phi _ {t} \ mu \ nabla \ phi _ {m} - \ mu \ phi _ {m} \ nabla \ phi _ {e}}$

Acum putem colecta cu privire la operatorul diferențial obținând ecuația lui Nernst Planck :

${\vec {j}}=-{\frac {k\phi _{m}}{q}}\nabla (R\phi _{t}\ln \phi _{m}+\phi _{e})$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - {\ frac {k \ phi _ {m}} {q}} \ nabla (R \ phi _ {t} \ ln \ phi _ {m} + \ phi _ {Și})}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}} = - {\ frac {k \ phi _ {m}} {q}} \ nabla (R \ phi _ {t} \ ln \ phi _ {m} + \ phi _ {Și})}$ ,

care definește un potențial electromecanic: $\phi _{em}=R\phi _{t}\ln \phi _{m}+\phi _{e}$ ${\ displaystyle \ phi _ {em} = R \ phi _ {t} \ ln \ phi _ {m} + \ phi _ {e}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {em} = R \ phi _ {t} \ ln \ phi _ {m} + \ phi _ {e}}$ ,

și o conductivitate electromecanică: $k_{em}={k_{m}\phi _{m} \over q}$ ${\ displaystyle k_ {em} = {k_ {m} \ phi _ {m} \ peste q}}$ ${\ displaystyle k_ {em} = {k_ {m} \ phi _ {m} \ peste q}}$ .

Aceasta are, prin definiție, dimensiunea: $[k_{em}]=[L]^{-1}[T]^{-1}[A]^{-1}$ ${\ displaystyle [k_ {em}] = [L] ^ {- 1} [T] ^ {- 1} [A] ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle [k_ {em}] = [L] ^ {- 1} [T] ^ {- 1} [A] ^ {- 1}}$

Elemente conexe

Portalul chimiei

Portalul de fizică