Ecuația Orr-Sommerfeld

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Ecuația Orr-Sommerfeld , în dinamica fluidelor , este o problemă a valorii proprii care descrie evoluția perturbațiilor liniare bidimensionale ale unui flux paralel vâscos . Soluția laminară a ecuațiilor Navier-Stokes pentru un flux paralel poate deveni instabilă dacă sunt îndeplinite anumite condiții ale fluxului. Ecuația Orr-Sommerfeld servește tocmai pentru a determina cu precizie care sunt condițiile pentru stabilitatea hidrodinamică .

Ecuația poartă numele lui William McFadden Orr și Arnold Sommerfeld , care au derivat-o la începutul secolului al XX-lea.

Formulare

O diagramă schematică a stării de bază a sistemului. Fluxul luat în considerare reprezintă o mică perturbare față de această stare. În timp ce starea de bază este paralelă, perturbarea vitezei are componente în ambele direcții.

Ecuația este derivată prin rezolvarea unei versiuni liniarizate a ecuației Navier-Stokes pentru perturbarea câmpului de viteză. Gama totală este:

,

unde este este fluxul netulburat sau de bază. Perturbarea vitezei are o soluție ondulatorie (destinat drept partea reală). Folosind aceste cunoștințe și descriind fluxul prin intermediul funcției curente , obținem următoarea formă dimensională a ecuației Orr-Sommerfeld:

,

unde este este vâscozitatea dinamică a fluidului, este densitatea sa, e poate fi fie funcția curentă, fie potențialul . În caz de viscozitate zero ( ), ecuația se reduce la ecuația Rayleigh . Ecuația poate fi scrisă sub formă adimensională prin împărțirea vitezei la o scală fixată de o anumită viteză caracteristică și lungimile în raport cu adâncimea canalului . Apoi ecuația ia forma

,

unde este

este numărul Reynolds al fluxului de bază. Condițiile limită relevante sunt condiții antiderapante la cele două capete ale canalului Și ,

la Și În cazul în care potențialul vitezei,

sau:

la Și În cazul în care este funcția curentă.

Parametrul care acționează ca valoare proprie a problemei este iar vectorul propriu este . Dacă partea imaginară a vitezei de undă este pozitiv, atunci fluxul de bază este instabil și perturbarea mică introdusă în sistem este amplificată în timp.

Soluţie

Pentru toate, cu excepția profilurilor de viteză sunt necesare metode mai simple, numerice sau asimptotice pentru calcularea soluțiilor. Unele profiluri tipice de flux sunt discutate mai jos. În general, spectrul ecuației este discret și infinit pentru un flux limitat, în timp ce pentru fluxuri nelimitate (cum ar fi fluxul stratului limită ), spectrul conține atât părți continue, cât și părți discrete. [1]

Pentru debitul plan Poiseuille , Orszag a demonstrat în 1971 că debitul este instabil (adică una sau mai multe valori proprii) are o parte imaginară pozitivă) pentru unii cand , și modul stabil neutru a detine , . [2] Pentru a vedea proprietățile de stabilitate ale sistemului, este obișnuit să se traseze o curbă de dispersie, adică un grafic al ratei de creștere. în funcție de numărul de undă .

Prima figură arată spectrul ecuației Orr-Sommerfeld la valorile critice enumerate mai sus. Acesta este un grafic al valorilor proprii (în forma ) în planul complex . Cea mai dreaptă valoare proprie este cea mai instabilă. La valorile critice ale numărului Reynolds și ale numărului de undă , valoarea proprie cea mai dreaptă este exact zero. Pentru valori mai mari (mai mici) ale numărului Reynolds, valoarea proprie cea mai dreaptă se deplasează spre jumătatea pozitivă (negativă) a planului complex. Prin urmare, o imagine mai completă a proprietăților de stabilitate este dată de un grafic care arată dependența funcțională a acestei valori proprii; acest lucru este prezentat în a doua figură.

Pe de altă parte, spectrul valorii proprii pentru fluxul Couette indică stabilitate, pentru orice număr Reynolds. [3] Cu toate acestea, în experimente, fluxul Couette se dovedește a fi instabil pentru perturbații mici, dar finite, pentru care teoria liniară și ecuația Orr-Sommerfeld nu pot fi aplicate. S-a susținut că non-normalitatea problemei valorii proprii asociate fluxului Couette (și, de fapt, și Poiseuille) ar putea explica instabilitatea observată. [4] Adică funcțiile proprii ale operatorului Orr-Sommerfeld constituie o bază completă, dar nu ortogonală. Prin urmare, energia perturbării conține contribuțiile tuturor funcțiilor proprii ale ecuației Orr-Sommerfeld. Chiar dacă energia asociată cu fiecare valoare proprie luată în considerare separat a scăzut exponențial în timp (așa cum a prezis analiza Orr-Sommerfeld pentru fluxul Couette), termenii amestecați care derivă din neortogonalitatea vectorilor proprii pot crește în tranzitorie. Prin urmare, energia totală crește tranzitoriu (înainte de a tinde asimptotic la zero). Teza este că, dacă magnitudinea acestei creșteri tranzitorii este suficient de mare, este capabilă să destabilizeze fluxul laminar, totuși acest argument nu a fost universal acceptat. [5]

De asemenea, a fost propusă o teorie neliniară care explică tranzitorii. [6] [7] Deși această teorie include creșterea liniară tranzitorie, accentul se pune pe procesele neliniare tridimensionale care sunt puternic suspectate că stau la baza tranziției la turbulență în fluxurile de forfecare. Teoria a condus la construirea așa-numitelor stări de echilibru 3D complete, unde călătoare și soluții periodice în timp ale ecuațiilor Navier-Stokes, care surprind multe dintre trăsăturile cheie ale tranziției și structurile coerente observate în regiunea peretelui apropiat al curge de forfecare turbulentă. [8] [9] [10] [11] [12] [13] Deși cuvântul „soluție” implică de obicei existența unui rezultat analitic, este o practică obișnuită în mecanica fluidelor să se refere la rezultatele numerice ca „soluții”, indiferent dacă soluțiile aproximative satisfac ecuațiile Navier-Stokes într-un mod satisfăcător din punct de vedere matematic. Tranziția la turbulență este postulată pentru a implica starea dinamică a fluidului care evoluează de la o soluție la alta. Prin urmare, teoria se bazează pe existența efectivă a unor astfel de soluții (dintre care multe nu au fost încă observate într-o configurație experimentală fizică). Această relaxare la cererea de soluții exacte permite o mare flexibilitate, deoarece soluțiile exacte sunt extrem de dificil de obținut (contrar soluțiilor numerice), în detrimentul rigurozității și (uneori) corectitudinii. Prin urmare, deși nu este la fel de riguroasă ca abordările anterioare ale studiului tranziției, această idee a câștigat o popularitate imensă.

Recent a fost propusă și o extindere a ecuației Orr-Sommerfeld în medii poroase. [14]

Metode matematice pentru curgerea suprafeței libere

Pentru fluxul Couette, este posibil să se realizeze progrese matematice în rezolvarea ecuației Orr-Sommerfeld. În această secțiune este prezentată o demonstrație a acestei metode pentru cazul curgerii libere a suprafeței, adică atunci când peretele superior al canalului este înlocuit cu o suprafață liberă. Mai întâi trebuie să modificați condițiile de la limita superioară pentru a lua în considerare suprafața liberă. În formă adimensională, aceste condiții sunt acum:

la ,

, la .

Prima condiție a suprafeței libere este afirmarea continuității tensiunii tangențiale, în timp ce a doua condiție corelează tensiunea normală cu tensiunea superficială . Aici

sunt numerele Froude și respectiv Weber .

Pentru fluxul Couette se are , cele patru soluții liniar independente ale ecuației adimensionale Orr-Sommerfeld sunt, [15]

,

unde este este funcția Airy de primul fel. Prin înlocuirea soluției de acoperire în cele patru condiții limită există patru ecuații în cele patru constante necunoscute . Pentru ca ecuațiile să aibă o soluție non-banală, condiția determinantului

trebuie să fie mulțumit. Aceasta este o ecuație unică în necunoscutul c , care poate fi rezolvată numeric sau prin metode asimptotice. Se poate arăta că pentru un anumit interval de numere de undă și pentru un număr suficient de mare de Reynolds, rata de creștere este pozitiv.

Notă

  1. ^ AP Hooper și R. Grimshaw, Creșterea bidimensională a perturbării fluxurilor de forfecare vâscoasă stabil liniar , în Phys. Fluide , vol. 8, nr. 6, 1996, pp. 1424–1432, Bibcode : 1996PhFl .... 8.1424H , DOI : 10.1063 / 1.868919 .
  2. ^ SA Orszag , Soluție precisă a ecuației stabilității Orr - Sommerfeld , în J. Fluid Mech. , vol. 50, nr. 4, 1971, pp. 689–703, Bibcode : 1971JFM .... 50..689O , DOI : 10.1017 / S0022112071002842 .
  3. ^ PG Drazin și WH Reid, Stabilitate hidrodinamică , New York, Cambridge University Press, 1981, ISBN 978-0521227988 .
  4. ^ NL Trefethen, AE Trefethen și SC Teddy, Stabilitate hidrodinamică fără valori proprii , în Știință , vol. 261, n. 5121, 1993, pp. 578–584, Bibcode : 1993Sci ... 261..578T , DOI : 10.1126 / science.261.5121.578 , PMID 17758167 .
  5. ^ Fabian Waleffe, Tranziție în fluxuri de forfecare: Normalitate neliniară versus linearitate non-normală , în Fizica fluidelor , vol. 7, nr. 12, 1995, pp. 3060–3066, Bibcode : 1995PhFl .... 7.3060W , DOI : 10.1063 / 1.868682 .
  6. ^ Fabian Waleffe, Stabilitate și turbulență hidrodinamică: dincolo de tranzitorii la un proces de auto-susținere , în Studii în matematică aplicată , vol. 95, nr. 3, 1995, pp. 319-343, DOI : 10.1002 / sapm1995953319 .
  7. ^ Fabian Waleffe, Despre un proces de auto-susținere în fluxurile de forfecare , în Fizica fluidelor , vol. 9, nr. 4, 1997, pp. 883–900, Bibcode : 1997PhFl .... 9..883W , DOI : 10.1063 / 1.869185 .
  8. ^ Fabian Waleffe, Three-dimensional Coherent States in Plane Shear Flows , în Physical Review Letters , vol. 81, nr. 19, 1998, pp. 4140–4143, Bibcode : 1998PhRvL..81.4140W , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.81.4140 .
  9. ^ Fabian Waleffe, Structuri coerente exacte în fluxul canalului , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 435, 2001, pp. 93-102, DOI : 10.1017 / S0022112001004189 .
  10. ^ Fabian Waleffe, Homotopia structurilor coerente exacte în fluxurile plane de forfecare , în Physics of Fluids , vol. 15, nr. 6, 2003, pp. 1517–1534, Bibcode : 2003PhFl ... 15.1517W , DOI : 10.1063 / 1.1566753 .
  11. ^ Holger Faisst și Bruno Eckhardt, Traveling Waves in Pipe Flow , în Phys. Rev. Lett. , Vol. 91, nr. 22, 2003, pp. 224502, Bibcode : 2003PhRvL..91v4502F , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.91.224502 , PMID 14683243 , arXiv : nlin / 0304029 .
  12. ^ H. Wedin și RR Kerswell, Stări coerente exacte în fluxul conductelor , în Journal of Fluid Mechanics , vol. 508, 2004, pp. 333–371, Bibcode : 2004JFM ... 508..333W , DOI : 10.1017 / S0022112004009346 .
  13. ^ B. Hof, CWH van Doorne și J. Westerweel, Experimental Observation of Nonlinear Traveling Waves in Turbulent Pipe Flow , în Science , vol. 305, n. 5690, 2004, pp. 1594–1598, Bibcode : 2004Sci ... 305.1594H , DOI : 10.1126 / science.1100393 , PMID 15361619 .
  14. ^ AA Avramenko, Kuznetsov, AV, Basok, BI și Blinov, DG, Investigarea stabilității unui flux laminar într-un canal cu plăci paralele umplut cu un mediu poros saturat de fluid , în Physics of Fluids , vol. 17, n. 9, 2005, pp. 094102–094102–6, Bibcode : 2005PhFl ... 17i4102A , DOI : 10.1063 / 1.2041607 .
  15. ^ R. Miesen și BJ Boersma, Stabilitatea hidrodinamică a unui film lichid tuns, în Journal of Fluid Mechanics , vol. 301, 1995, pp. 175–202, Bibcode : 1995JFM ... 301..175M , DOI : 10.1017 / S0022112095003855 .

Perspective

  • W. M'F. Orr , stabilitatea sau instabilitatea mișcărilor constante ale unui lichid. Partea I , în Proceedings of the Royal Irish Academy , A, vol. 27, 1907, pp. 9-68.
  • W. M'F. Orr , stabilitatea sau instabilitatea mișcărilor constante ale unui lichid. Partea a II-a , în Proceedings of the Royal Irish Academy , A, vol. 27, 1907, pp. 69–138.
  • A. Sommerfeld , Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen , în Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians , III, Roma, 1908, pp. 116–124.

Elemente conexe