Ecuația Poisson

În analiza matematică , ecuația Poisson este o ecuație diferențială parțială eliptică utilizată pe scară largă în electrostatică , mecanică și termotehnică . Derives săi nume din franceză matematician și fizician Siméon-Denis Poisson .

Definiție

Este $\varphi =\varphi (\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ varphi = \ varphi (\ mathbf {x})}$ $\ varphi = \ varphi ({\ mathbf x})$ o funcție definită la închiderea setului $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ la valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Ecuația Poisson pentru $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ are forma: ^[1]

\nabla ^{2}\varphi =f

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = f}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = f}

unde este $\nabla ^{2}\$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \}$ este operatorul Laplace sau Laplacian e $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este definit în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ la valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . În spațiul euclidian operatorul Laplace este deseori notat cu ${\nabla }^{2}$ ${\ displaystyle {\ nabla} ^ {2}}$ ${\ nabla} ^ 2$ .

În coordonatele carteziene în trei dimensiuni ecuația ia forma:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z)

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) \ varphi (x, y, z) = f (x, y, z)}

\ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) \ varphi (x, y, z) = f (x, y, z)

Ecuația omogenă a lui Poisson este ecuația Laplace :

\nabla ^{2}\varphi =0

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = 0}

Formula soluției

Același subiect în detaliu: ecuația Laplace .

Luați în considerare soluția fundamentală a ecuației lui Laplace în forma sa cea mai generală: ^[2]

\Phi (\mathbf {x} )={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |\qquad (n=2)\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha (n)|\mathbf {x} |^{n-2}}}\qquad (n\geq 3)\end{cases}}

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {x}) = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ log | \ mathbf {x} | \ qquad (n = 2) \\ {\ frac {1} {n (n-2) \ alpha (n) | \ mathbf {x} | ^ {n-2}}} \ qquad (n \ geq 3) \ end {cases}}}

\ Phi ({\ mathbf x}) = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ log | {\ mathbf x} | \ qquad (n = 2) \\ {\ frac {1} {n (n-2) \ alpha (n) | {\ mathbf x} | ^ {{n-2}}}} \ qquad (n \ geq 3) \ end {cases}}

unde este $\alpha (n)$ ${\ displaystyle \ alpha (n)}$ $\ alfa (n)$ denotă volumul bulei cu raza unității în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Prin definiție, această funcție este armonică pentru $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ nu nul. Dacă cerem să traducem originea la obiect $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ obții asta $\Phi (\mathbf {x-y} )$ ${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {xy})}$ $\ Phi ({\ mathbf {x-y}})$ este încă o funcție armonică pentru $\mathbf {x\neq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x \ neq y}}$ ${\ mathbf {x \ neq y}}$ .

Luați în considerare funcția $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}}$ clasa C ² cu suport compact . Asociatia:

\mathbf {x} \rightarrow \Phi (\mathbf {x-y} )f(\mathbf {y} )\qquad \mathbf {x\neq y}

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ rightarrow \ Phi (\ mathbf {xy}) f (\ mathbf {y}) \ qquad \ mathbf {x \ neq y}}

{\ mathbf x} \ rightarrow \ Phi ({\ mathbf {x-y}}) f ({\ mathbf y}) \ qquad {\ mathbf {x \ neq y}}

este armonic pentru fiecare $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Apoi convoluția :

u(\mathbf {x} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x-y} )f(\mathbf {y} )d\mathbf {y} ={\begin{cases}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{2}}\log(|\mathbf {x} -\mathbf {y} |)f(\mathbf {y} )d\mathbf {y} \qquad (n=2)\\{\frac {1}{n(2-n)\alpha (n)}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(\mathbf {y} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}d\mathbf {y} \qquad (n\geq 3)\end{cases}}

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ Phi (\ mathbf {xy}) f (\ mathbf {y}) d \ mathbf {y} = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {2}} \ log (| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |) f (\ mathbf {y}) d \ mathbf {y} \ qquad (n = 2) \\ {\ frac {1} {n (2-n) \ alpha (n)}} \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n}} {\ frac {f (\ mathbf {y})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} | ^ {n-2}}} d \ mathbf {y} \ qquad (n \ geq 3) \ end {cases}}}

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ Phi (\ mathbf {xy}) f (\ mathbf {y}) d \ mathbf {y} = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {2}} \ log (| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} |) f (\ mathbf {y}) d \ mathbf {y} \ qquad (n = 2) \\ {\ frac {1} {n (2-n) \ alpha (n)}} \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n}} {\ frac {f (\ mathbf {y})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} | ^ {n-2}}} d \ mathbf {y} \ qquad (n \ geq 3) \ end {cases}}}

este de clasa C ² și este o soluție a ecuației Poisson. ^[3]

Soluții

O soluție a ecuației Poisson este dată de:

\varphi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{{\frac {f(\mathbf {x'} )}{\mid \mathbf {x} -\mathbf {x'} \mid }}dV'}

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {V} {{\ frac {f (\ mathbf {x '})} {\ mid \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} \ mid}} dV'}}

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {V} {{\ frac {f (\ mathbf {x '})} {\ mid \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} \ mid}} dV'}}

integrat pe $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ .

Se arată că soluția ecuației Poisson este unică dacă sunt stabilite condiții limită adecvate. ^[4] În special, dacă se află într-o regiune limitată:

V=\mathbb {R} ^{3}{\mbox{ e }}f\neq 0

{\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {3} {\ mbox {e}} f \ neq 0}

V = {\ mathbb {R}} ^ {3} {\ mbox {e}} f \ neq 0

atunci soluția anterioară este singura care respectă condiția:

\lim _{r\to \infty }\varphi (\mathbf {x} )\mid \mathbf {x} -\mathbf {y} \mid =costante<\infty

{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ varphi (\ mathbf {x}) \ mid \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ mid = constant <\ infty}

\ lim _ {{r \ to \ infty}} \ varphi ({\ mathbf {x}}) \ mid {\ mathbf {x}} - {\ mathbf {y}} \ mid = constant <\ infty

unde este $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ este un punct arbitrar astfel încât:

f(\mathbf {y} )\neq 0

{\ displaystyle f (\ mathbf {y}) \ neq 0}

f ({\ mathbf {y}}) \ neq 0

Ecuația Poisson poate fi rezolvată folosind o funcție verde și există diferite metode pentru găsirea soluțiilor numerice. Metoda de relaxare , un algoritm iterativ , este un exemplu.

Teorema unicității

Teorema unicității pentru ecuația Poisson afirmă că gradientul soluției ecuației este unic pentru o clasă mare de condiții la graniță. În domeniul electrostaticii, aceasta înseamnă că, odată ce a fost găsit un potențial care satisface ecuația și condițiile de graniță, atunci câmpul electric este determinat în mod unic.

De fapt, expresia generală a ecuației Poisson în electrostatică este:

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-4\pi \rho _{f}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ epsilon \ mathbf {\ nabla} \ varphi) = - 4 \ pi \ rho _ {f}}

{\ mathbf {\ nabla}} \ cdot (\ epsilon {\ mathbf {\ nabla}} \ varphi) = - 4 \ pi \ rho _ {{f}}

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este potențialul și $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ varphi}$ ${\ mathbf {E}} = - {\ mathbf {\ nabla}} \ varphi$ campul.

Pentru a demonstra teorema, să presupunem că există două soluții $\varphi _{1}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$ $\ varphi _ {{1}}$ Și $\varphi _{2}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$ $\ varphi _ {{2}}$ . Definire:

\phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}

{\ displaystyle \ phi = \ varphi _ {2} - \ varphi _ {1}}

\ phi = \ varphi _ {{2}} - \ varphi _ {{1}}

de cand este $\varphi _{1}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$ $\ varphi _ {{1}}$ este $\varphi _{2}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$ $\ varphi _ {{2}}$ satisfac ecuația Poisson, $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ trebuie să satisfacă:

\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ epsilon \ mathbf {\ nabla} \ phi) = 0}

{\ mathbf {\ nabla}} \ cdot (\ epsilon {\ mathbf {\ nabla}} \ phi) = 0

Folosind identitatea:

\nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ phi \ epsilon \, \ nabla \ phi) = \ epsilon \, (\ nabla \ phi) ^ {2} + \ phi \ nabla \ cdot (\ epsilon \, \ nabla \ phi )}}

\ nabla \ cdot (\ phi \ epsilon \, \ nabla \ phi) = \ epsilon \, (\ nabla \ phi) ^ {2} + \ phi \ nabla \ cdot (\ epsilon \, \ nabla \ phi)

deoarece al doilea termen este nul avem:

\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ phi \ epsilon \ mathbf {\ nabla} \ phi) = \ epsilon (\ mathbf {\ nabla} \ phi) ^ {2}}

{\ mathbf {\ nabla}} \ cdot (\ phi \ epsilon {\ mathbf {\ nabla}} \ phi) = \ epsilon ({\ mathbf {\ nabla}} \ phi) ^ {2}

și luând în considerare integralul volumului pe întregul spațiu (determinat de condițiile limită) obținem:

\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

{\ displaystyle \ int _ {V} \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ phi \ epsilon \ mathbf {\ nabla} \ phi) d ^ {3} \ mathbf {r} = \ int _ {V} \ epsilon (\ mathbf {\ nabla} \ phi) ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r}}

\ int _ {V} {\ mathbf {\ nabla}} \ cdot (\ phi \ epsilon {\ mathbf {\ nabla}} \ phi) d ^ {3} {\ mathbf {r}} = \ int _ {V } \ epsilon ({\ mathbf {\ nabla}} \ phi) ^ {2} \, d ^ {3} {\ mathbf {r}}

Aplicarea teoremei divergenței :

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ int _ {S_ {i}} (\ phi \ epsilon \ mathbf {\ nabla} \ phi) \ cdot \ mathbf {dS} = \ int _ {V} \ epsilon (\ mathbf {\ nabla} \ phi) ^ {2} \, d ^ {3} \ mathbf {r}}

\ sum _ {i} \ int _ {{S_ {i}}} (\ phi \ epsilon {\ mathbf {\ nabla}} \ phi) \ cdot {\ mathbf {dS}} = \ int _ {V} \ epsilon ({\ mathbf {\ nabla}} \ phi) ^ {2} \, d ^ {3} {\ mathbf {r}}

unde este $S_{i}$ ${\ displaystyle S_ {i}}$ $Da}$ sunt suprafețele limită, specificate de condițiile limită. De cand $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ Și $(\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\geq 0$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ nabla} \ phi) ^ {2} \ geq 0}$ $({\ mathbf {\ nabla}} \ phi) ^ {2} \ geq 0$ , asa de $\mathbf {\nabla } \phi =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ phi = 0}$ ${\ mathbf {\ nabla}} \ phi = 0$ peste tot când integrala de suprafață dispare: de aceea avem și noi $\mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ varphi _ {1} = \ mathbf {\ nabla} \ varphi _ {2}}$ ${\ mathbf {\ nabla}} \ varphi _ {{1}} = {\ mathbf {\ nabla}} \ varphi _ {{2}}$ . Prin urmare, gradientul soluției este unic dacă:

\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ int _ {S_ {i}} (\ phi \ epsilon \, \ mathbf {\ nabla} \ phi) \ cdot \ mathbf {dS} = 0}

\ sum _ {i} \ int _ {{S_ {i}}} (\ phi \ epsilon \, {\ mathbf {\ nabla}} \ phi) \ cdot {\ mathbf {dS}} = 0

Pentru ca acest lucru să fie adevărat, condițiile la limita Dirichlet sunt acelea $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este bine definit pe frontiera domeniului, adică din moment ce $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1} = \ varphi _ {2}}$ $\ varphi _ {1} = \ varphi _ {2}$ pe hotar ai $\phi =0$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$ $\ phi = 0$ iar integrala de suprafață respectivă dispare. Condițiile la limita Neumann sunt acelea $\mathbf {\nabla } \varphi$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ varphi}$ ${\ mathbf {\ nabla}} \ varphi$ este bine definit pe frontiera domeniului, adică din moment ce $\mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ varphi _ {1} = \ mathbf {\ nabla} \ varphi _ {2}}$ ${\ mathbf {\ nabla}} \ varphi _ {1} = {\ mathbf {\ nabla}} \ varphi _ {2}$ pe hotar ai $\mathbf {\nabla } \phi =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ phi = 0}$ ${\ mathbf {\ nabla}} \ phi = 0$ iar integrala de suprafață respectivă dispare.

Ecuația Poisson pe un cerc

Ecuația Poisson poate fi rezolvată teoretic analitic pe orice domeniu simplu conectat al planului complex . De fapt, teorema Weierstrass afirmă că este posibil să se transforme un domeniu simplu conectat în cercul unitar prin intermediul unui bijectiv de transformare conformă . În cercul unitar, ecuația Poisson are o soluție în coordonate polare $(\rho ,\phi )$ ${\ displaystyle (\ rho, \ phi)}$ $(\ rho, \ phi)$ :

u(\rho ,\phi )=\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{2\pi }}{\tilde {u}}(\theta )K(\theta ,\phi ,\rho )

{\ displaystyle u (\ rho, \ phi) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {d \ theta} {2 \ pi}} {\ tilde {u}} (\ theta) K (\ theta, \ phi, \ rho)}

u (\ rho, \ phi) = \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} {\ frac {d \ theta} {2 \ pi}} {\ tilde u} (\ theta) K (\ theta , \ phi, \ rho)

cu $u(\theta )$ ${\ displaystyle u (\ theta)}$ $tu (\ theta)$ condiția limită pe cercul unității este:

K(\theta ,\phi ,\rho )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\rho ^{|n|}\exp(-i\,n(\theta -\phi ))

{\ displaystyle K (\ theta, \ phi, \ rho) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ rho ^ {| n |} \ exp (-i \, n (\ theta - \ phi ))}

K (\ theta, \ phi, \ rho) = \ sum _ {{n \ in {\ mathbb {Z}}}} \ rho ^ {{| n |}} \ exp (-i \, n (\ theta - \ phi))

care poate fi exprimat în diferite moduri:

K(\theta ,\phi ,\rho )=\Re {\frac {1+ze^{-i\theta }}{1-ze^{-i\theta }}}

{\ displaystyle K (\ theta, \ phi, \ rho) = \ Re {\ frac {1 + ze ^ {- i \ theta}} {1-ze ^ {- i \ theta}}}}

K (\ theta, \ phi, \ rho) = \ Re {\ frac {1 + ze ^ {{- i \ theta}}} {1-ze ^ {{- i \ theta}}}}

Funcția lui Green pentru ecuația Laplace în trei dimensiuni

Același subiect în detaliu: funcția lui Green .

Luați în considerare un sistem descris de ecuația Poisson:

\nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} u (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x})}

\ nabla ^ {2} u ({\ mathbf {x}}) = f ({\ mathbf {x}})

Deoarece Laplacianul este un operator diferențial liniar, soluția $u(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ $u ({\ mathbf {x}})$ poate fi scris ca o integrală extinsă la distribuția sursă $f(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {x})}$ $f ({\ mathbf {x}})$ :

u(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} '}d\mathbf {x} 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ int _ {\ mathbf {x} '} d \ mathbf {x}' G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '}) f (\ mathbf { X '})}

u ({\ mathbf {x}}) = \ int _ {{{mathbf {x}} '}} d {\ mathbf {x}}' G ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {x '}}) f ({\ mathbf {x'}})

unde funcția lui Green este distribuția $G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )$ ${\ displaystyle G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '})}$ $G ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {x '}})$ ceea ce vă permite să primiți răspunsul sistemului $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ la o sursă punctuală, descrisă prin delta Dirac $\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ ${\ displaystyle \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x '})}$ $\ delta ({\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x '}})$ , asezat in $\mathbf {x'}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x '}}$ ${\ mathbf {x '}}$ :

\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '}) = \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x'})}

\ nabla ^ {2} G ({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {x '}}) = \ delta ({\ mathbf {x}} - {\ mathbf {x'}})

Funcția lui Green pentru ecuația Laplace în trei dimensiuni este un instrument adesea utilizat în fizică , de exemplu în descrierea interacțiunii unui corp încărcat cu câmpul electromagnetic generat de o sursă punctuală $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ .

Electrostatică

Același subiect în detaliu: ecuațiile lui Maxwell .

Baza electrostaticii sunt cele două ecuații Maxwell care descriu comportamentul câmpului electric :

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho  \over \varepsilon _{0}}\qquad \nabla \times \mathbf {E} =0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}} \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0}

\ nabla \ cdot {\ mathbf E} = {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}} \ qquad \ nabla \ times {\ mathbf E} = 0

unde a doua ecuație, datorită faptului că rotorul de gradient este zero, câmpul $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ ${\ mathbf E}$ poate fi exprimat ca o funcție a unui câmp conservator $\mathbf {\Phi }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Phi}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Phi}}$ :

\mathbf {E} =-\nabla \Phi

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ Phi}

{\ mathbf E} = - \ nabla \ Phi

Cu alte cuvinte, câmpul electric este definit ca gradientul unei funcții scalare $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ . A găsi $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este o problemă practică importantă, fiind modalitatea obișnuită de a găsi potențialul electric pornind de la o distribuție de sarcină dată. Înlocuind expresia câmpului electric în prima dintre cele două ecuații Maxwell menționate mai sus, obținem ecuația Poisson, care în unitățile SI are forma: ^[5]

{\nabla }^{2}\Phi =-{\rho  \over \varepsilon _{0}}

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ Phi = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}}

{\ nabla} ^ {2} \ Phi = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}

unde este $\Phi \!$ ${\ displaystyle \ Phi \!}$ $\ Phi \!$ este potențialul electric, măsurat în volți , $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea sarcinii , măsurată în coulombi pe metri cubi, e $\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon _ {0}$ este constanta dielectrică a vidului , în farade pe metru. Având în vedere condițiile limită, soluția este unică și, prin urmare, potențialul este complet determinat de distribuția sarcinii spațiale.

Într-o regiune a spațiului în care nu există distribuție a sarcinii, se obține ecuația omogenă:

{\nabla }^{2}\Phi =0

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ Phi = 0}

{\ nabla} ^ {2} \ Phi = 0

iar ecuația pentru potențial devine o ecuație Laplace .

Potențialul unei densități de încărcare gaussiene

Dacă există o densitate a sarcinii electrice cu simetrie sferică gaussiană $\rho (r)$ ${\ displaystyle \ rho (r)}$ $\ rho (r)$ :

\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}

{\ displaystyle \ rho (r) = {\ frac {Q} {\ sigma ^ {3} {\ sqrt {2 \ pi}} ^ {3}}} \, e ^ {- r ^ {2} / ( 2 \ sigma ^ {2})}}

\ rho (r) = {\ frac {Q} {\ sigma ^ {3} {\ sqrt {2 \ pi}} ^ {3}}} \, e ^ {{- r ^ {2} / (2 \ sigma ^ {2})}}

unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este taxa totală, apoi soluția $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ a ecuației Poisson

{\nabla }^{2}\Phi =-{\rho  \over \varepsilon _{0}}

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ Phi = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}}

{\ nabla} ^ {2} \ Phi = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}}

este dat de:

\Phi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)

{\ displaystyle \ Phi (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {r}} \, {\ mbox {erf}} \ left ({ \ frac {r} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right)}

\ Phi (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {r}} \, {\ mbox {erf}} \ left ({\ frac { r} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right)

unde este ${\mbox{erf}}(x)$ ${\ displaystyle {\ mbox {erf}} (x)}$ ${\ mbox {erf}} (x)$ indică funcția de eroare . Această soluție poate fi verificată în mod explicit printr-un calcul al ${\nabla }^{2}\Phi$ ${\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ Phi}$ ${\ nabla} ^ {2} \ Phi$ . Rețineți că, pentru $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ mai mare ca $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , ${\mbox{erf}}(x)$ ${\ displaystyle {\ mbox {erf}} (x)}$ ${\ mbox {erf}} (x)$ tinde spre unitate și potențial $\Phi (r)$ ${\ displaystyle \ Phi (r)}$ $\ Phi (r)$ tinde spre potențialul unei încărcări punctuale:

\Phi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}

{\ displaystyle \ Phi (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {r}}}

\ Phi (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {r}}

Notă

^ Evans , pagina 20 .
^ Evans , pagina 22 .
^ Evans , pagina 23 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pagina 108 .
^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 107 .

Bibliografie

( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) FA Tarleton O introducere în teoria matematică a atracției vol. 1 Longmans, Londra, 1899.
( EN ) FA Tarleton O introducere în teoria matematică a atracției vol. 2 Longmans, Londra, 1913.
( EN ) OD Kellogg Foundations of Potential Theory Frederick Ungar Publishing Company, 1929.
( EN ) AD Polyanin, Manual of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, ecuația Poisson , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Mathworld - Ecuația lui Poisson , de la mathworld.wolfram.com. Adus 05-12-2012 .
(EN) Ecuația lui Poisson pe PlanetMath .
( EN ) Ecuația lui Poisson Ecuația video a lui Poisson
( EN ) Ecuația Poisson la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] Evans , pagina 20 .

[ventidue-2] Evans , pagina 22 .

[3] Evans , pagina 23 .

[4] Mencuccini, Silvestrini , Pagina 108 .

[5] Mencuccini, Silvestrini , pagina 107 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]