Ecuația Rayleigh-Plesset

Ecuația Rayleigh-Plesset este adesea aplicată în studiul cavitației , pentru a analiza comportamentul bulelor . În imagine, bulele care se formează în spatele unei spirale .

În mecanica fluidelor , ecuația Rayleigh-Plesset este o ecuație diferențială obișnuită care guvernează dinamica unei bule sferice cufundate într-un lichid care se extinde la infinit în toate direcțiile. ^[1] ^[2] Forma sa generală este scrisă de obicei ca: ^[3]

{\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}

{\ displaystyle {\ frac {P_ {B} (t) -P _ {\ infty} (t)} {\ rho _ {L}}} = R {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {4 \ nu _ {L}} { R}} {\ frac {dR} {dt}} + {\ frac {2S} {\ rho _ {L} R}}}

{\ displaystyle {\ frac {P_ {B} (t) -P _ {\ infty} (t)} {\ rho _ {L}}} = R {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {4 \ nu _ {L}} { R}} {\ frac {dR} {dt}} + {\ frac {2S} {\ rho _ {L} R}}}

unde este

P_{B}(t)

{\ displaystyle P_ {B} (t)}

{\ displaystyle P_ {B} (t)}

este presiunea din gaz (bule), presupusă a fi uniformă

P_{\infty }(t)

{\ displaystyle P _ {\ infty} (t)}

{\ displaystyle P _ {\ infty} (t)}

este presiunea asimptotică în lichid ^[4]

\rho _{L}

{\ displaystyle \ rho _ {L}}

{\ displaystyle \ rho _ {L}}

este densitatea lichidului aproape de bulă, presupusă a fi constantă

R(t)

{\ displaystyle R (t)}

R (t)

este raza bulei

\nu _{L}

{\ displaystyle \ nu _ {L}}

{\ displaystyle \ nu _ {L}}

este vâscozitatea cinematică a lichidului, presupusă a fi constantă

S.

{\ displaystyle S}

S.

este tensiunea superficială a bulei

Asumand $P_{B}(t)$ ${\ displaystyle P_ {B} (t)}$ ${\ displaystyle P_ {B} (t)}$ este cunoscut și $P_{\infty }(t)$ ${\ displaystyle P _ {\ infty} (t)}$ ${\ displaystyle P _ {\ infty} (t)}$ dată fiind, ecuația Rayleigh-Plesset poate fi rezolvată pentru a determina variabilitatea în timp a razei $R(t)$ ${\ displaystyle R (t)}$ $R (t)$ .

Ecuația Rayleigh-Plesset derivă din ecuațiile Navier-Stokes din ipoteza simetriei sferice. ^[2] Ecuația a fost derivată pentru prima dată de Lord Rayleigh în 1917, ^[5] neglijând efectele tensiunii superficiale și ale vâscozității. Milton S. Plesset ^{[6] a} aplicat-o pentru prima dată în studiul cavitației în 1949. ^[3]

Derivare

Ecuația Rayleigh-Plesset poate fi derivată pe deplin din ecuațiile Navier-Stokes din ipoteza simetriei sferice, folosind raza bulei ca parametru dinamic. ^[7] Luați în considerare o bulă sferică a cărei rază $R(t)$ ${\ displaystyle R (t)}$ ${\ displaystyle R (t)}$ depinde de timp, $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Să presupunem că bula conține un amestec distribuit uniform de gaz și vapori , cu temperatura $T_{B}(t)$ ${\ displaystyle T_ {B} (t)}$ ${\ displaystyle T_ {B} (t)}$ și presiune $P_{B}(t)$ ${\ displaystyle P_ {B} (t)}$ ${\ displaystyle P_ {B} (t)}$ uniforme.

Balonul este scufundat într-o regiune infinită de lichid cu densitate $\rho _{L}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L}}$ și vâscozitatea dinamică $\mu _{L}$ ${\ displaystyle \ mu _ {L}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {L}}$ constant. Lasa-i sa fie $T_{\infty }$ ${\ displaystyle T _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle T _ {\ infty}}$ Și $P_{\infty }(t)$ ${\ displaystyle P _ {\ infty} (t)}$ ${\ displaystyle P _ {\ infty} (t)}$ valorile asimptotice ale temperaturii și respectiv ale presiunii, adică la o distanță mare (ideal infinită) de bulă. Mai mult, presupunem că temperatura $T_{\infty }$ ${\ displaystyle T _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle T _ {\ infty}}$ nu depinde de timp și, prin urmare, este constantă.

De la distanță $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din centrul bulei, lichidul are presiune $P(r,t)$ ${\ displaystyle P (r, t)}$ ${\ displaystyle P (r, t)}$ , temperatura $T(r,t)$ ${\ displaystyle T (r, t)}$ ${\ displaystyle T (r, t)}$ și viteza radială (pozitivă spre exterior) $u(r,t)$ ${\ displaystyle u (r, t)}$ ${\ displaystyle u (r, t)}$ , care variază în funcție de timp și locație. Rețineți că aceste cantități sunt definite numai în afara balonului, adică pentru $r\geq R(t)$ ${\ displaystyle r \ geq R (t)}$ ${\ displaystyle r \ geq R (t)}$ .

Conservarea masei

Legea conservării masei pentru lichid dictează că viteza radială $u(r,t)$ ${\ displaystyle u (r, t)}$ ${\ displaystyle u (r, t)}$ este exprimat printr-o lege pătrată inversă , adică este invers proporțională cu pătratul distanței de la origine (centrul bulei). ^[8] Apoi, a introdus funcția necunoscută a timpului $F(t)$ ${\ displaystyle F (t)}$ ${\ displaystyle F (t)}$ , viteza radială este:

u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}.

{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {F (t)} {r ^ {2}}}.}

{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {F (t)} {r ^ {2}}}.}

În absența transportului de masă pe suprafața bulei, viteza la interfață este

u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}.

{\ displaystyle u (R, t) = {\ frac {dR} {dt}} = {\ frac {F (t)} {R ^ {2}}}.}

{\ displaystyle u (R, t) = {\ frac {dR} {dt}} = {\ frac {F (t)} {R ^ {2}}}.}

de la care

F(t)=R^{2}dR/dt.

{\ displaystyle F (t) = R ^ {2} dR / dt.}

{\ displaystyle F (t) = R ^ {2} dR / dt.}

În cazul în care transportul de masă are loc pe suprafața bulei, creșterea în timp a masei din interior este dată de

{\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}},

{\ displaystyle {\ frac {dm_ {V}} {dt}} = \ rho _ {V} {\ frac {dV} {dt}} = \ rho _ {V} {\ frac {d (4 \ pi R ^ {3} / 3)} {dt}} = 4 \ pi \ rho _ {V} R ^ {2} {\ frac {dR} {dt}},}

{\ displaystyle {\ frac {dm_ {V}} {dt}} = \ rho _ {V} {\ frac {dV} {dt}} = \ rho _ {V} {\ frac {d (4 \ pi R ^ {3} / 3)} {dt}} = 4 \ pi \ rho _ {V} R ^ {2} {\ frac {dR} {dt}},}

unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este volumul bulei. De sine $u_{L}$ ${\ displaystyle u_ {L}}$ ${\ displaystyle u_ {L}}$ este viteza lichidului în raport cu bula de la interfață, adică per $r=R$ ${\ displaystyle r = R}$ ${\ displaystyle r = R}$ , apoi masa care intră în bulă este dată de

{\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L},

{\ displaystyle {\ frac {dm_ {L}} {dt}} = \ rho _ {L} Au_ {L} = \ rho _ {L} (4 \ pi R ^ {2}) u_ {L},}

{\ displaystyle {\ frac {dm_ {L}} {dt}} = \ rho _ {L} Au_ {L} = \ rho _ {L} (4 \ pi R ^ {2}) u_ {L},}

indicând cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ zona bulei. Pentru conservarea în masă a interfeței $dm_{v}/dt=dm_{L}/dt$ ${\ displaystyle dm_ {v} / dt = dm_ {L} / dt}$ ${\ displaystyle dm_ {v} / dt = dm_ {L} / dt}$ prin urmare $u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt.$ ${\ displaystyle u_ {L} = (\ rho _ {V} / \ rho _ {L}) dR / dt.}$ ${\ displaystyle u_ {L} = (\ rho _ {V} / \ rho _ {L}) dR / dt.}$ Atunci,

u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}.

{\ displaystyle u (R, t) = {\ frac {dR} {dt}} - u_ {L} = {\ frac {dR} {dt}} - {\ frac {\ rho _ {V}} {\ rho _ {L}}} {\ frac {dR} {dt}} = \ left (1 - {\ frac {\ rho _ {V}} {\ rho _ {L}}} \ right) {\ frac { dR} {dt}}.}

{\ displaystyle u (R, t) = {\ frac {dR} {dt}} - u_ {L} = {\ frac {dR} {dt}} - {\ frac {\ rho _ {V}} {\ rho _ {L}}} {\ frac {dR} {dt}} = \ left (1 - {\ frac {\ rho _ {V}} {\ rho _ {L}}} \ right) {\ frac { dR} {dt}}.}

În acest caz, prin urmare, expresia lui $F(t)$ ${\ displaystyle F (t)}$ ${\ displaystyle F (t)}$ este următorul:

F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}

{\ displaystyle F (t) = \ left (1 - {\ frac {\ rho _ {V}} {\ rho _ {L}}} \ right) R ^ {2} {\ frac {dR} {dt} }}

{\ displaystyle F (t) = \ left (1 - {\ frac {\ rho _ {V}} {\ rho _ {L}}} \ right) R ^ {2} {\ frac {dR} {dt} }}

În multe cazuri, densitatea lichidului este mult mai mare decât cea a vaporilor, $\rho _{L}\gg \rho _{V}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L} \ gg \ rho _ {V}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L} \ gg \ rho _ {V}}$ , astfel încât $F(t)$ ${\ displaystyle F (t)}$ ${\ displaystyle F (t)}$ poate fi aproximat prin expresia găsită în cazul absenței transportului de masă pe suprafața bulei, adică din $F(t)=R^{2}dR/dt$ ${\ displaystyle F (t) = R ^ {2} dR / dt}$ ${\ displaystyle F (t) = R ^ {2} dR / dt}$ . Deci, pentru viteză avem: ^[9]

u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}.

{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {F (t)} {r ^ {2}}} = {\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac { dR} {dt}}.}

{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {F (t)} {r ^ {2}}} = {\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac { dR} {dt}}.}

Conservarea impulsului

Presupunând că fluidul este newtonian , ecuația de conservare a impulsului în coordonate sferice pentru mișcarea în direcție radială de la:

\rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right].

{\ displaystyle \ rho _ {L} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) = - {\ frac {\ partial P} {\ partial r}} + \ mu _ {L} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {2u} {r ^ {2}}} \ right].}

{\ displaystyle \ rho _ {L} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) = - {\ frac {\ partial P} {\ partial r}} + \ mu _ {L} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {2u} {r ^ {2}}} \ right].}

Introducerea vâscozității cinematice $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ ${\ displaystyle \ nu _ {L} = \ mu _ {L} / \ rho _ {L}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {L} = \ mu _ {L} / \ rho _ {L}}$ iar prin rearanjare, obținem

-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right],

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ rho _ {L}}} {\ frac {\ partial P} {\ partial r}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} - \ nu _ {L} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r} } \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {2u} {r ^ {2}}} \ right],}

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ rho _ {L}}} {\ frac {\ partial P} {\ partial r}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} - \ nu _ {L} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r} } \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {2u} {r ^ {2}}} \ right],}

în care puteți înlocui expresia găsită $u(r,t)$ ${\ displaystyle u (r, t)}$ ${\ displaystyle u (r, t)}$ din conservarea masei obținând:

-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}.

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ rho _ {L}}} {\ frac {\ partial P} {\ partial r}} = {\ frac {2R} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} - {\ frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac { 1} {r ^ {2}}} \ left (2R \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + R ^ {2} {\ frac {d ^ {2} R } {dt ^ {2}}} \ right) - {\ frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2 }.}

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ rho _ {L}}} {\ frac {\ partial P} {\ partial r}} = {\ frac {2R} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} - {\ frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} = {\ frac { 1} {r ^ {2}}} \ left (2R \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + R ^ {2} {\ frac {d ^ {2} R } {dt ^ {2}}} \ right) - {\ frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2 }.}

Termenul visco este eliminat în timpul substituției. ^[10] Prin separarea variabilelor și integrarea de la suprafața bulei la infinit, de la $r=R$ ${\ displaystyle r = R}$ ${\ displaystyle r = R}$ Și $r\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ , noi obținem:

-{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P_{\infty }}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ rho _ {L}}} \ int _ {P (R)} ^ {P _ {\ infty}} dP = \ int _ {R} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left (2R \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + R ^ {2} {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} \ right) - {\ frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} \ left ({\ frac {dR} {dt} } \ right) ^ {2} \ right] dr}

{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ rho _ {L}}} \ int _ {P (R)} ^ {P _ {\ infty}} dP = \ int _ {R} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left (2R \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + R ^ {2} {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} \ right) - {\ frac {2R ^ {4}} {r ^ {5}}} \ left ({\ frac {dR} {dt} } \ right) ^ {2} \ right] dr}

{{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}.

{\ displaystyle {{\ frac {P (R) -P _ {\ infty}} {\ rho _ {L}}} = \ left [- {\ frac {1} {r}} \ left (2R \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + R ^ {2} {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} \ right) + {\ frac {R ^ {4}} {2r ^ {4}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} \ right] _ {R} ^ {\ infty} = R { \ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2}} .}

{\ displaystyle {{\ frac {P (R) -P _ {\ infty}} {\ rho _ {L}}} = \ left [- {\ frac {1} {r}} \ left (2R \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + R ^ {2} {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} \ right) + {\ frac {R ^ {4}} {2r ^ {4}}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} \ right] _ {R} ^ {\ infty} = R { \ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2}} .}

Condiții de frontieră

Este $\sigma _{rr}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {rr}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {rr}}$ stresul normal din lichid care acționează în direcția radială (pozitiv văzut din exteriorul bulei). În coordonate sferice, pentru un fluid cu densitate și vâscozitate constante, acesta poate fi exprimat ca: ^[11]

\sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}

{\ displaystyle \ sigma _ {rr} = - P + 2 \ mu _ {L} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {rr} = - P + 2 \ mu _ {L} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}}}

O porțiune infinitesimală a suprafeței bulei este, prin urmare, supusă:

{\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2S}{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {rr} (R) + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} & = - P (R) + \ left.2 \ mu _ { L} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right | _ {r = R} + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} \\ & = - P (R) +2 \ mu _ {L} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left ({\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {dR} {dt }} \ right) _ {r = R} + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} \\ & = - P (R) - {\ frac {4 \ mu _ {L}} { R}} {\ frac {dR} {dt}} + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {rr} (R) + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} & = - P (R) + \ left.2 \ mu _ { L} {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right | _ {r = R} + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} \\ & = - P (R) +2 \ mu _ {L} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left ({\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {dR} {dt }} \ right) _ {r = R} + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} \\ & = - P (R) - {\ frac {4 \ mu _ {L}} { R}} {\ frac {dR} {dt}} + P_ {B} - {\ frac {2S} {R}} \\\ end {align}}}

unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este tensiunea superficială . ^[10] Dacă nu există transport de masă pe interfață, acest efort trebuie să fie zero, prin urmare

$P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{R}}.$ ${\ displaystyle P (R) = P_ {B} - {\ frac {4 \ mu _ {L}} {R}} {\ frac {dR} {dt}} - {\ frac {2S} {R}} .}$ ${\ displaystyle P (R) = P_ {B} - {\ frac {4 \ mu _ {L}} {R}} {\ frac {dR} {dt}} - {\ frac {2S} {R}} .}$

Înlocuind în ecuația conservării impulsului , avem

{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2S}{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2},

{\ displaystyle {\ frac {P (R) -P _ {\ infty}} {\ rho _ {L}}} = {\ frac {P_ {B} -P _ {\ infty}} {\ rho _ { L}}} - {\ frac {4 \ mu _ {L}} {\ rho _ {L} R}} {\ frac {dR} {dt}} - {\ frac {2S} {\ rho _ {L } R}} = R {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ dreapta) ^ {2},}

{\ displaystyle {\ frac {P (R) -P _ {\ infty}} {\ rho _ {L}}} = {\ frac {P_ {B} -P _ {\ infty}} {\ rho _ { L}}} - {\ frac {4 \ mu _ {L}} {\ rho _ {L} R}} {\ frac {dR} {dt}} - {\ frac {2S} {\ rho _ {L } R}} = R {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ dreapta) ^ {2},}

care a refăcut, ținând cont de definiția vâscozității cinematice $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ ${\ displaystyle \ nu _ {L} = \ mu _ {L} / \ rho _ {L}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {L} = \ mu _ {L} / \ rho _ {L}}$ , devine ecuația Rayleigh-Plesset: ^[3]

{\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}.

{\ displaystyle {\ frac {P_ {B} (t) -P _ {\ infty} (t)} {\ rho _ {L}}} = R {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {4 \ nu _ {L}} { R}} {\ frac {dR} {dt}} + {\ frac {2S} {\ rho _ {L} R}}.}

{\ displaystyle {\ frac {P_ {B} (t) -P _ {\ infty} (t)} {\ rho _ {L}}} = R {\ frac {d ^ {2} R} {dt ^ {2}}} + {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {dR} {dt}} \ right) ^ {2} + {\ frac {4 \ nu _ {L}} { R}} {\ frac {dR} {dt}} + {\ frac {2S} {\ rho _ {L} R}}.}

Folosind notația lui Newton pentru a exprima derivate în raport cu timpul, ecuația Rayleigh-Plesset poate fi scrisă mai compact ca:

{\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}.

{\ displaystyle {\ frac {P_ {B} (t) -P _ {\ infty} (t)} {\ rho _ {L}}} = R {\ ddot {R}} + {\ frac {3} {2}} ({\ dot {R}}) ^ {2} + {\ frac {4 \ nu _ {L} {\ dot {R}}} {R}} + {\ frac {2S} {\ rho _ {L} R}}.}

{\ displaystyle {\ frac {P_ {B} (t) -P _ {\ infty} (t)} {\ rho _ {L}}} = R {\ ddot {R}} + {\ frac {3} {2}} ({\ dot {R}}) ^ {2} + {\ frac {4 \ nu _ {L} {\ dot {R}}} {R}} + {\ frac {2S} {\ rho _ {L} R}}.}

Soluții

Integrarea numerică a ecuației Rayleigh-Plesset, care arată comportamentul unei bule - de la starea inițială de repaus până la prăbușire - excitată la frecvența sa naturală.

Nu există o soluție cunoscută în formă închisă pentru ecuația Rayleigh-Plesset, cu toate acestea, se pot obține cu ușurință soluții numerice precise. Pe de altă parte, s-au găsit aproximări analitice ale soluției în cazul în care efectele datorate tensiunii superficiale și vâscozității sunt neglijate. ^[12] ^[13]

Un caz particular al ecuației Rayleigh-Plesset este reprezentat de relația Laplace :

P_{B}-P_{\infty }={\frac {2S}{R}}

{\ displaystyle P_ {B} -P _ {\ infty} = {\ frac {2S} {R}}}

{\ displaystyle P_ {B} -P _ {\ infty} = {\ frac {2S} {R}}}

Când sunt luate în considerare doar oscilațiile periodice infinitesimale ale razei și presiunii bulei, ecuația Rayleigh-Plesset oferă frecvența naturală a oscilației bulei.

Notă

^ TG Leighton , p. iv , 2007.
^ ^a ^b H. Lin și colab. , 2002.
^ ^a ^b ^c CE Brennen , p. 50 , 1995.
^ Presiunea lichidului la o distanță infinită de bulă.
^ JWS Rayleigh , 1917.
^ MS Plesset , 1949.
^ TG Leighton , 2007.
^ CE Brennen , p. 48 , 1995.
^ CE Brennen , pp. 48-49 , 1995.
^ ^a ^b CE Brennen , p. 49 , 1995.
^ Vezi secțiunea Relații între solicitări și rate de deformare: Fluide izotropice newtoniene din pagina ecuațiilor Navier-Stokes .
^ (EN) Obreschkow D., M. Bruderer, M. Farhat, Aproximări analitice pentru prăbușirea unei bule sferice goale în Physical Review E, 2012, DOI : 10.1103 / PhysRevE.85.066303 .
^ CE Brennen , pp. 54-55 , 1995.

Bibliografie

(EN) Christopher Earls Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics , New York, Oxford University Press, 1995, ISBN 0195094093 . Adus pe 19 noiembrie 2014 .
( EN ) TG Leighton, Derivația ecuației Rayleigh - Plesset în termeni de volum , Southampton, Marea Britanie, Institutul de cercetare a sunetului și vibrațiilor, Universitatea din Southampton, 2007, Raport tehnic ISRV nr. 308. Accesat la 19 noiembrie 2014 .
(EN) Hao Lin, Brian D. Storey, Andrew J. Szeri, Inerțialitate cauzată de neomogenități în bule care se prăbușesc violent: validitatea ecuației Rayleigh-Plesset , în Journal of Fluid Mechanics, vol. 452, 2002, pp. 145-162, DOI : 10.1017 / S0022112001006693 . Adus pe 19 noiembrie 2014 .
( EN ) MS Plesset, Dinamica bulelor de cavitație , în ASME J. Appl. Mech. , vol. 16, 1949, pp. 228-231.
( EN ) Lord Rayleigh , Despre presiunea dezvoltată într-un lichid în timpul prăbușirii unei cavități sferice , în Phil. Mag. , Vol. 34, 1917, pp. 94-98.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] TG Leighton , p. iv , 2007.

[Lin2002-2] H. Lin și colab. , 2002.

[Brennen50-3] CE Brennen , p. 50 , 1995.

[4] Presiunea lichidului la o distanță infinită de bulă.

[5] JWS Rayleigh , 1917.

[6] MS Plesset , 1949.

[Leighton-7] TG Leighton , 2007.

[8] CE Brennen , p. 48 , 1995.

[9] CE Brennen , pp. 48-49 , 1995.

[Brennen49-10] CE Brennen , p. 49 , 1995.

[11] ^ Vezi secțiunea Relații între solicitări și rate de deformare: Fluide izotropice newtoniene din pagina ecuațiilor Navier-Stokes .

[Obreschkow-12] (EN) Obreschkow D., M. Bruderer, M. Farhat, Aproximări analitice pentru prăbușirea unei bule sferice goale în Physical Review E, 2012, DOI : 10.1103 / PhysRevE.85.066303 .

[13] CE Brennen , pp. 54-55 , 1995.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6] a

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]