Ecuația Schrödinger

În mecanica cuantică , ecuația Schrödinger este o ecuație fundamentală care determină evoluția temporală a stării unui sistem , de exemplu, a unei particule , a unui atom sau a unei molecule .

Formulată de Erwin Schrödinger în 1925 și publicată în 1926, ^[1] ^[2] ^[3] ^[4] este o ecuație diferențială parțială , liniară , complexă și nerelativistă care are funcția de undă necunoscută $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , introdus pe baza ipotezei lui De Broglie a valului de materie . Conform interpretării de la Copenhaga , modulul pătrat al funcției de undă este legat de probabilitatea de a găsi o particulă într-o anumită regiune spațială.

Ecuația Schrödinger, fondând ceea ce autorul va numi mecanica undelor , a jucat un rol decisiv în istoria mecanicii cuantice, de exemplu, permițându-ne să înțelegem de ce sunt permise doar unele valori de energie discrete pentru electronul din atomul hidrogen .

Istorie și dezvoltare

La începutul secolului al XX-lea, Max Planck , pentru a rezolva problema corpului negru , ridicat de John Rayleigh , a pus bazele viitoarei mecanici cuantice prin invalidarea unuia dintre principiile cardinale ale fizicii clasice, potrivit cărora un sistem dat poate asuma valori energetice. Care variază în funcție de continuitate. Dimpotrivă, Planck a emis ipoteza că energia radiației electromagnetice nu ar putea asuma valori arbitrare, ci doar anumite valori discrete, multipli ai unei mărimi elementare numite cuantice , proporționale cu frecvența naturală de vibrație a oscilatorului. Aplicând acest concept, el a rezolvat problema propunând că oscilatoarele care generează radiații electromagnetice pot oscila doar cu o energie dată de relația:

$E=nh\nu$ ${\ displaystyle E = nh \ nu}$ ${\ displaystyle E = nh \ nu}$

unde h este o constantă numită constantă a lui Planck , ν indică frecvența radiației luate în considerare și n este un număr întreg pozitiv. Einstein a dat sens fizic ipotezei lui Planck, teorizând că radiația electromagnetică este formată din pachete de energie indivizibile. $E=h\nu$ ${\ displaystyle E = h \ nu}$ ${\ displaystyle E = h \ nu}$ , în 1926 numit fotoni . În 1922, Arthur Compton a descoperit că o cantitate de radiații care lovește un electron se comportă ca o particulă cu impuls , în ciuda faptului că are masă zero.

În 1924 Louis de Broglie a avut o intuiție: dacă lumina se poate comporta atât ca undă, cât și ca particulă, atunci o particulă, cum ar fi electronul, s-ar putea comporta și ca o undă. Reluând concepte extrase din teoria specială a relativității , de Broglie a derivat relația: $\lambda =h/p$ ${\ displaystyle \ lambda = h / p}$ ${\ displaystyle \ lambda = h / p}$ unde p este impulsul particulei considerate e $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ poartă numele lungimii de undă de de Broglie .

Pe această bază, de Broglie a reușit să obțină cuantificarea impulsului unghiular în modelul atomic Bohr , care fusese introdus ad hoc până atunci, și să demonstreze că orbitele atomice erau într-adevăr eliptice-circulare, în conformitate cu modelul lui Bohr-Sommerfeld. predicții pentru atomul de hidrogen. Ca o confirmare a ideii sale geniale, din 1926 s-au succedat mai multe experimente care au confirmat ipoteza dualismului undă-particulă . Cel mai important a fost experimentul lui Davisson și Germer din 1927 în care cei doi oameni de știință americani au observat difracția electronilor printr-o serie de fante, din care s-a confirmat că particulele au capacitatea de a se comporta ca undele.

În urma acestor rezultate, Schrödinger a căutat o ecuație care să descrie propagarea valului de materie de de Broglie. Referindu-se la fizica clasică, unde comportamentul unei unde și caracteristicile acesteia sunt exprimate printr-o funcție continuă , omul de știință austriac a obținut o ecuație diferențială ale cărei soluții, funcțiile undei, au returnat acele numere cuantice cruciale pentru rezoluția structurii atomice a unui element . Ecuația Schrödinger este de asemenea capabilă să descrie evoluția unei particule libere, reprezentând analogul celei de-a doua legi a lui Newton $({\vec {F}}=m{\vec {a}})$ ${\ displaystyle ({\ vec {F}} = m {\ vec {a}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {F}} = m {\ vec {a}})}$ în mecanica clasică, folosit pentru a obține o predicție asupra traiectoriei pe care un anumit sistem o va urmări având în vedere anumite condiții inițiale; cu toate acestea, trebuie subliniat faptul că în câmpul cuantic conceptul clasic de traiectorie își pierde sensul. Deși această teorie, numită mecanică de unde de către autor, poate părea o interpretare diferită de mecanica matricială a lui Heisenberg , Born și Jordan , Schrödinger a dovedit că cele două proceduri matematice sunt echivalente.

Ecuaţie

Același subiect în detaliu: mecanica hamiltoniană și operator hamiltonian .

Ecuația Schrödinger depinde de interacțiunile dintre diferitele componente ale sistemului. În cel mai general caz, ecuația este scrisă ca:

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t)}

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {H}} \ Psi (\ mathbf {r}, t)}

unde este:

$the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară ;
$\mathbf {r} =(x,y,z)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$ ${\ mathbf {r}} = (x, y, z)$ este un punct din spațiul tridimensional;
$\Psi (\mathbf {r} ,\,t)$ ${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, \, t)}$ $\ Psi (\ mathbf {r}, \, t)$ este funcția de undă , adică amplitudinea probabilității pentru diferite configurații ale sistemului;
$\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ este constanta Planck redusă, adică împărțită la $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ;
${\hat {H}}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ hat H}$ este operatorul hamiltonian , care are proprietatea de a fi hermitian .

Valoarea medie a operatorului hamiltonian pe stat $\psi (x)$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ $\ psi (x)$ reprezintă valoarea așteptată de energie : ^{[nota 1]}

\langle {\hat {H}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {H}}\psi (x)\,dx

{\ displaystyle \ langle {\ hat {H}} \ rangle _ {\ psi} = \ int \ psi ^ {*} (x) {\ hat {H}} \ psi (x) \, dx}

\ langle {\ hat H} \ rangle _ {{\ psi}} = \ int \ psi ^ {{*}} (x) {\ hat H} \ psi (x) \, dx

Deoarece operatorii de poziție și impuls sunt operatori hermitieni, ecuația pentru sistemele scleronomice poate fi scrisă în limita non-relativistă:

\left[i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-{\hat {U}}(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0

{\ displaystyle \ left [i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} - {\ hat {U}} (\ mathbf {r}) \ right] \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0}

{\ displaystyle \ left [i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {{\ hbar} ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} - {\ hat {U}} (\ mathbf {r}) \ right] \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0}

unde intervin operatorii de impulsuri $-i\hbar \nabla =\hbar \mathbf {k}$ ${\ displaystyle -i \ hbar \ nabla = \ hbar \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle -i \ hbar \ nabla = \ hbar \ mathbf {k}}$ și energie potențială $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Ipoteza de Broglie

Același subiect în detaliu: ipoteza lui de Broglie .

Rezultatele obținute cu ipoteza de Broglie au condus la dezvoltarea mecanicii cuantice înțelese ca mecanică a undelor. Cu de Broglie, fiecare particulă este asociată cu un pachet de unde de tipul:

\psi (\mathbf {r} ,t)=\int d\mathbf {k} \,A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}

{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = \ int d \ mathbf {k} \, A (\ mathbf {k}) e ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}}

\ psi ({\ mathbf {r}}, t) = \ int d {\ mathbf {k}} \, A ({\ mathbf {k}}) și ^ {{i ({\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ omega t)}}

care se propagă cu viteza grupului :

v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}={\frac {p}{m}}=c^{2}{\frac {k}{\omega }}

{\ displaystyle v_ {g} = {\ frac {d \ omega} {dk}} = {\ frac {dE} {dp}} = {\ frac {p} {m}} = c ^ {2} {\ frac {k} {\ omega}}}

v_ {g} = {\ frac {d \ omega} {dk}} = {\ frac {dE} {dp}} = {\ frac {p} {m}} = c ^ {2} {\ frac {k } {\ omega}}

unde este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este frecvența unghiulară sau pulsația destinată frecvenței centrale a pachetului de unde, $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ este vectorul de undă care identifică direcția de propagare a pachetului, $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este energia asociată cu particula e $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ impulsul său liniar.

Odată ce pachetul de unde a fost asociat cu particula, a fost necesar să aflăm care ecuație a fost capabilă să descrie evoluția pachetului de unde compatibil cu mecanica cuantică și să interpreteze soluțiile sale. În acest sens, aplicând operatorul D'Alembert la pachetul de unde obținem:

\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi (\ mathbf {r}, t) - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi (\ mathbf {r} , t)}

\ nabla ^ {2} \ psi ({\ mathbf {r}}, t) - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi ({\ mathbf {r}}, t) = {\ frac {m ^ {{2}} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi ({\ mathbf {r}}, t)

ținând cont de relația relativistă a energiei:

E^{2}=c^{2}\left(p^{2}+m^{2}c^{2}\right)

{\ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} \ left (p ^ {2} + m ^ {2} c ^ {2} \ right)}

E ^ {2} = c ^ {2} \ left (p ^ {2} + m ^ {{2}} c ^ {2} \ right)

Ecuația scrisă mai sus este ecuația Klein-Gordon : ecuație în care apare un termen cu al doilea membru care este un termen sursă al particulei culungimea de undă Compton . Pentru particulele cu masă zero, cum ar fi fotonii , ecuația Klein-Gordon este o ecuație normală D'Alembert care descrie propagarea unei unde electromagnetice. În mod formal, această ecuație poate fi obținută prin substituții:

E\rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}

{\ displaystyle E \ rightarrow i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}

Și \ rightarrow i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}}

\mathbf {p} \rightarrow -i\hbar \nabla

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow -i \ hbar \ nabla}

{\ mathbf {p}} \ rightarrow -i \ hbar \ nabla

Limită non-relativistă

Același subiect în detaliu: ecuația Klein-Gordon .

Ecuația Schrödinger din limita non-relativistă poate fi dedusă din ecuația Klein-Gordon. Având în vedere seria Taylor de primă ordine pentru energie:

E=mc^{2}{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}c^{2}}}}}\simeq mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}+\dots

{\ displaystyle E = mc ^ {2} {\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}}}} \ simeq mc ^ {2} + { \ frac {p ^ {2}} {2m}} + \ dots}

E = mc ^ {2} {\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m ^ {{2}} c ^ {2}}}} \ simeq mc ^ {2} + {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + \ dots

și definirea frecvenței unghiulare $\omega '$ ${\ displaystyle \ omega '}$ $\omega'$ non-relativist obținut din:

\omega ={\frac {E}{\hbar }}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}+\omega '

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {E} {\ hbar}} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} + {\ frac {\ hbar k ^ {2}} {2m}} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} + \ omega '}

\ omega = {\ frac {E} {\ hbar}} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} + {\ frac {\ hbar k ^ {2}} {2m}} = {\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} + \ omega '

obținem că folosind expresia energiei nerelativiste ecuația Klein-Gordon devine ecuația Schrödinger:

\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-U(\mathbf {r} )\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0

{\ displaystyle \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} -U (\ mathbf { r}) \ dreapta) \ psi (\ mathbf {r}, t) = 0}

\ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} -U ({\ mathbf {r} }) \ right) \ psi ({\ mathbf {r}}, t) = 0

Ecuația echilibrului și continuității

Același subiect în detaliu: Ecuația soldului și ecuația continuității .

Din ecuația Schrödinger:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (x,t)-{\hat {U}}(x)\psi (x,t)

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi (x, t) - {\ hat {U}} (x) \ psi (x, t)}

i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi (x , t) - {\ hat U} (x) \ psi (x, t)

derivă o ecuație de echilibru. Pentru a demonstra acest lucru, se poate lua complexul conjugat de ambele părți:

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{*}(x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}(x,t)-{\hat {U}}(x)\psi ^{*}(x,t)

{\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi ^ {*} (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi ^ {*} (x, t) - {\ hat {U}} (x) \ psi ^ {*} (x, t)}

-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi ^ {*} (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2 } \ psi ^ {*} (x, t) - {\ hat U} (x) \ psi ^ {*} (x, t)

unde s-a asumat potențialul $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ e real. Înmulțind ecuația Schrödinger cu $\psi ^{*}(x,t)$ ${\ displaystyle \ psi ^ {*} (x, t)}$ $\ psi ^ {*} (x, t)$

i\hbar \psi ^{*}(x,t){\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (x,t)-{\hat {U}}(x)\psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)

{\ displaystyle i \ hbar \ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - \ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi (x, t) - {\ hat {U}} (x) \ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t)}

i \ hbar \ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - \ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi (x, t) - {\ hat U} (x) \ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t)

si pentru $\psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ psi (x, t)}$ $\ psi (x, t)$ soțul său

-i\hbar \psi (x,t){\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{*}(x,t)=-\psi (x,t){\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}(x,t)-{\hat {U}}(x)\psi (x,t)\psi ^{*}(x,t)

{\ displaystyle -i \ hbar \ psi (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi ^ {*} (x, t) = - \ psi (x, t) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi ^ {*} (x, t) - {\ hat {U}} (x) \ psi (x, t) \ psi ^ {*} (x, t)}

-i \ hbar \ psi (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi ^ {*} (x, t) = - \ psi (x, t) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi ^ {*} (x, t) - {\ hat U} (x) \ psi (x, t) \ psi ^ {*} (x , t)

și scăzând membru cu membru ajungem în stânga egalității

i\hbar \left[\psi ^{*}(x,t){\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)+\psi (x,t){\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{*}(x,t)\right]=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)\right)

{\ displaystyle i \ hbar \ left [\ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) + \ psi (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi ^ {*} (x, t) \ right] = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ psi ^ {* } (x, t) \ psi (x, t) \ dreapta)}

{\ displaystyle i \ hbar \ left [\ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) + \ psi (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi ^ {*} (x, t) \ right] = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ psi ^ {* } (x, t) \ psi (x, t) \ dreapta)}

iar în dreapta în schimb

-\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (x,t)+\psi (x,t){\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}(x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\psi ^{*}(x,t){\vec {\nabla }}\psi (x,t)-\psi (x,t){\vec {\nabla }}\psi ^{*}(x,t)\right)

{\ displaystyle - \ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi (x, t) + \ psi (x, t ) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi ^ {*} (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla \ cdot \ left (\ psi ^ {*} (x, t) {\ vec {\ nabla}} \ psi (x, t) - \ psi (x, t) {\ vec {\ nabla}} \ psi ^ {*} (x, t) \ dreapta)}

- \ psi ^ {*} (x, t) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi (x, t) + \ psi (x, t) {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi ^ {*} (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla \ cdot \ left (\ psi ^ {*} (x, t) {\ vec {\ nabla}} \ psi (x, t) - \ psi (x, t) {\ vec {\ nabla}} \ psi ^ { *} (x, t) \ dreapta)

întrucât termenul proporțional cu potențialul este anulat. Numind însă măreția scalară

\psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)=|\psi |^{2}=\rho

{\ displaystyle \ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t) = | \ psi | ^ {2} = \ rho}

\ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t) = | \ psi | ^ {2} = \ rho

și vectorul

-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}{\vec {\nabla }}\psi -\psi {\vec {\nabla }}\psi ^{*}\right)=\mathbf {J}

{\ displaystyle - {\ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ psi ^ {*} {\ vec {\ nabla}} \ psi - \ psi {\ vec {\ nabla}} \ psi ^ { *} \ right) = \ mathbf {J}}

- {\ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ psi ^ {*} {\ vec {\ nabla}} \ psi - \ psi {\ vec {\ nabla}} \ psi ^ {*} \ dreapta) = {\ mathbf {J}}

din egalitatea dintre partea dreaptă și cea stângă putem deduce ecuația continuității :

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot {\ mathbf {J}} = 0

Interpretarea funcției de undă

În acest moment a apărut problema semnificației care trebuie atribuită funcției de undă și mai precis cantității $\rho =|\psi |^{2}=\psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ rho = | \ psi | ^ {2} = \ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t)}$ $\ rho = | \ psi | ^ {2} = \ psi ^ {*} (x, t) \ psi (x, t)$ . Inițial s-a crezut că o interpretează în modul cel mai „intuitiv”, adică ca densitate a materiei conținută în volumul infinitesimal $dV=dx\,dy\,dz$ ${\ displaystyle dV = dx \, dy \, dz}$ $dV = dx \, dy \, dz$ . Ecuația continuității ar fi reprezentat astfel conservarea masei . Dar această interpretare sa dovedit a fi incorectă. Aceeași soartă a avut încercarea de a o interpreta ca densitate de sarcină . Mai târziu, Max Born a corelat conceptul funcției undei cu probabilitatea de a găsi particula în orice punct al spațiului pe baza analogiei cu teoria undelor luminii , pentru care pătratul amplitudinii undei luminoase dintr-o regiune reprezintă intensitatea acesteia.

Puteți privi exemplul următor.

Din experimentul cu două fante este clar că electronii, chiar dacă sunt luați individual, interferează cu ambele fante ca unde, pentru care se adaugă amplitudinile . În cazul a două unde pe axa x :

\psi (x)=\psi _{1}(x)+\psi _{2}(x)\

{\ displaystyle \ psi (x) = \ psi _ {1} (x) + \ psi _ {2} (x) \}

\ psi (x) = \ psi _ {1} (x) + \ psi _ {2} (x) \

Împrumut din expresia intensității luminii în principiul suprapunerii în optica undelor ( $|{\vec {E_{1}}}+{\vec {E_{2}}}|^{2}$ ${\ displaystyle | {\ vec {E_ {1}}} + {\ vec {E_ {2}}} | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | {\ vec {E_ {1}}} + {\ vec {E_ {2}}} | ^ {2}}$ ), exprimăm probabilitatea asociată celor două valuri în traversarea uneia sau altei fante ca:

P=|\psi _{1}(x)+\psi _{2}(x)|^{2}=|\psi _{1}(x)|^{2}+|\psi _{2}(x)|^{2}+\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)+\psi _{1}(x)\psi _{2}^{*}

{\ displaystyle P = | \ psi _ {1} (x) + \ psi _ {2} (x) | ^ {2} = | \ psi _ {1} (x) | ^ {2} + | \ psi _ {2} (x) | ^ {2} + \ psi _ {1} ^ {*} (x) \ psi _ {2} (x) + \ psi _ {1} (x) \ psi _ {2 } ^ {*}}

P = | \ psi _ {1} (x) + \ psi _ {2} (x) | ^ {2} = | \ psi _ {1} (x) | ^ {2} + | \ psi _ {2 } (x) | ^ {2} + \ psi _ {{1}} ^ {{*}} (x) \ psi _ {2} (x) + \ psi _ {1} (x) \ psi _ { {2}} ^ {{*}}

,

care este o expresie evident diferită de ceea ce ar fi compoziția clasică a probabilității în cele două stări fundamentale în care cele două fante sunt deschise separat: ( $|\psi _{1}(x)|^{2}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {1} (x) | ^ {2}}$ $| \ psi _ {1} (x) | ^ {2}$ + $|\psi _{2}(x)|^{2}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {2} (x) | ^ {2}}$ $| \ psi _ {2} (x) | ^ {2}$ ).

Există, de fapt, pentru dezvoltarea pătratului unui binom, apariția celor doi termeni din dreapta, numiți termeni de interferență, care determină o gamă de valori, inclusiv zero, care justifică franjurile de distribuție a electronilor observate experimental. Prin urmare, conceptul de interferență de undă este înlocuit cu cel de „interferență de probabilitate”.

Din aceste considerații a rezultat interpretarea funcției de undă ca amplitudine de probabilitate și modulul său pătrat ca densitate de probabilitate . Rezultă că ecuația de continuitate exprimă conservarea probabilității.

Soluții ale ecuației Schrödinger

Proprietățile soluțiilor

Clasa de funcții acceptabile ca soluții ale ecuației Schrödinger este dată de funcțiile complexe definite la $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ 3$ pătrat însumabil . De fapt, trebuie să fie:

\int d\mathbf {r} \,|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=N

{\ displaystyle \ int d \ mathbf {r} \, | \ psi (\ mathbf {r}, t) | ^ {2} = N}

\ int d {\ mathbf {r}} \, | \ psi ({\ mathbf {r}}, t) | ^ {2} = N

adică integralul trebuie să convergă la un număr $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ totul este gata. Această constantă este normalizată, $N=1$ ${\ displaystyle N = 1}$ $N = 1$ , pentru compatibilitatea cu semnificația probabilistică a funcției de undă: integralul extins la întregul spațiu al modulului pătrat al funcției de undă reprezintă certitudinea, egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , că particula se află oriunde în spațiul în sine. Deci funcțiile acceptabile ca soluție sunt funcțiile care aparțin unui spațiu liniar complex numit spațiul Hilbert .

Deoarece ecuația Schrödinger este liniară, sunt date două soluții posibile $\Psi _{1}(\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ Psi _ {1} (\ mathbf {r}, t)}$ $\ Psi _ {1} ({\ mathbf {r}}, t)$ Și $\Psi _{2}(\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ Psi _ {2} (\ mathbf {r}, t)}$ $\ Psi _ {2} ({\ mathbf {r}}, t)$ , atunci funcția de undă se însumează, de asemenea $\Psi _{1}(\mathbf {r} ,t)+\Psi _{2}(\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ Psi _ {1} (\ mathbf {r}, t) + \ Psi _ {2} (\ mathbf {r}, t)}$ $\ Psi _ {1} ({\ mathbf {r}}, t) + \ Psi _ {2} ({\ mathbf {r}}, t)$ este la rândul său o soluție a ecuației. Această linearitate, exprimată în principiul suprapunerii , are numeroase consecințe importante asupra dinamicii și proprietăților corpurilor microscopice care respectă legile mecanicii cuantice. De fapt, presupunând că avem un sistem care admite o proprietate cu două valori posibile, cum ar fi rotirea de -a lungul unei direcții, atunci o posibilă soluție a ecuației Schrödinger prezice că sistemul poate fi într-o combinație liniară de două funcții de undă, una în care de exemplu rotirea este în sus, cealaltă în care rotirea este în jos. Într-un anumit sens, este ca și cum o particulă ar fi simultan în mai multe stări și nu doar într-o singură, așa cum este întotdeauna observată. Această problemă a fost abordată de Schrödinger în celebrul paradox al pisicii .

Soluții pentru o particulă liberă

Ecuația Schrödinger pentru o particulă liberă care se mișcă într-un spațiu cu o singură dimensiune se reduce la

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ psi (x, t)}

i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2} } {\ partial x ^ {2}}} \ psi (x, t)

,

În urma cuantificării canonice , această ecuație poate fi obținută pur și simplu luând hamiltonienul unei particule libere:

H(p,x)={\frac {p^{2}}{2m}}

{\ displaystyle H (p, x) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}

H (p, x) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}

și înlocuirea impulsului derivată în ceea ce privește coordonata spațială $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $p\rightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$ ${\ displaystyle p \ rightarrow -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}$ $p \ rightarrow -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}$ , și având în vedere pătratul $p^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ $p ^ 2$ ca dublă aplicare a derivatei, adică a doua derivată.

O posibilă soluție a ecuației Schrödinger pentru o particulă liberă este pur și simplu funcția

\psi (x,t)=\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}\left(px-{\frac {p^{2}}{2m}}t\right)\right)}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = \ exp {\ left ({\ frac {i} {\ hbar}} \ left (px - {\ frac {p ^ {2}} {2m}} t \ right ) \ dreapta)}}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = \ exp {\ left ({\ frac {i} {\ hbar}} \ left (px - {\ frac {p ^ {2}} {2m}} t \ right ) \ dreapta)}}

,

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ în prezent este un parametru simplu simplu. Intr-adevar:

{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\psi (x,t)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ psi (x, t)}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = - {\ frac {i} {\ hbar}} {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ psi ( x, t)

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=-{\frac {p^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi (x,t)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ psi (x, t) = - {\ frac {p ^ {2}} {\ hbar ^ {2} }} \ psi (x, t)}

{\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ psi (x, t) = - {\ frac {p ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi (x, t)

,

de la care se obține membrul de egalitate la membru:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\frac {p^{2}}{2m}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)={\frac {p^{2}}{2m}}\psi (x,t)

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ psi (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ psi (x, t) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ psi (x, t)}

i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ psi (x, t) = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ psi (x, t) = {\ frac {p ^ {2} } {2m}} \ psi (x, t)

.

Cea mai generală soluție poate fi obținută luând în considerare suprapunerea diferitelor soluții cu parametri liberi diferiți $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , adică pachetul de valuri într-o singură dimensiune:

\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{i\left(px-{\frac {p^{2}}{2m}}t\right)/\hbar }

{\ displaystyle \ psi (x, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {i \ left (px - {\ frac {p ^ {2}} {2m}} t \ right) / \ hbar}}

{\ displaystyle \ psi (x, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {i \ left (px - {\ frac {p ^ {2}} {2m}} t \ right) / \ hbar}}

unde factorul dinaintea integralei se datorează normalizării corecte și integralul substituie suma unui parametru continuu precum $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Fiind o ecuație diferențială de prim ordin în timp, ecuația Schrödinger trebuie să fie însoțită de condiția inițială care stabilește forma funcției de undă la un anumit moment. De exemplu la acea vreme $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ putem impune că funcția de undă este:

\psi (x,t=0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dp\,\phi (p)e^{ipx/\hbar }

{\ displaystyle \ psi (x, t = 0) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {ipx / \ hbar}}

\ psi (x, t = 0) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}} \ int dp \, \ phi (p) e ^ {{ipx / \ hbar}}

astfel încât evoluția sa în timp există determinată pentru fiecare moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Conform interpretării de la Copenhaga a funcției de undă, cantitatea:

P(x,t)dx=|\psi (x,t)|^{2}dx\

{\ displaystyle P (x, t) dx = | \ psi (x, t) | ^ {2} dx \}

P (x, t) dx = | \ psi (x, t) | ^ {2} dx \

reprezintă probabilitatea ca particula să fie în domeniul $x,x+dx$ ${\ displaystyle x, x + dx}$ $x, x + dx$ , dacă funcția de undă a fost corect normalizată:

\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,t)|^{2}dx=1

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ psi (x, t) | ^ {2} dx = 1}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} | \ psi (x, t) | ^ {2} dx = 1

în așa fel încât probabilitatea de a găsi particula într-un anumit punct al spațiului (în acest caz suntem pe o linie dreaptă, deoarece luăm în considerare doar cazul unidimensional, dar acest lucru este valabil și în cazul tridimensional), trebuie să fie 1 cu certitudine. De asemenea, am stabilit că funcțiile acceptabile ca soluții ale ecuației Schrödinger sunt funcțiile definite într-un câmp vectorial complex și sunt pătrate însumabile , adică se verifică întotdeauna:

\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x,0)|^{2}dx<\infty

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ psi (x, 0) | ^ {2} dx <\ infty}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} | \ psi (x, 0) | ^ {2} dx <\ infty

Faptul că este o ecuație liniară implică faptul că putem lua în considerare suprapunerea:

\psi (x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)\

{\ displaystyle \ psi (x, t) = c_ {1} \ psi _ {1} (x, t) + c_ {2} \ psi _ {2} (x, t) \}

\ psi (x, t) = c_ {1} \ psi _ {1} (x, t) + c_ {2} \ psi _ {2} (x, t) \

(unde este $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2} \ in \ mathbb {C}}$ $c_ {1}, c_ {2} \ in {\ mathbb {C}}$ face valabil principiul suprapunerii ) care este și o soluție a ecuației lui Schrödinger. O altă caracteristică a soluțiilor ecuației Schrödinger este că, deși modulul pătrat al funcției undei este important deoarece reprezintă o probabilitate, faza undei nu are nicio relevanță fizică.

Valori medii în reprezentările de impuls și poziție

Același subiect în detaliu: operator de poziție și operator de impulsuri .

Deoarece semnificația funcției de undă este probabilistică, putem vorbi despre valoarea medie a unei mărimi fizice. Valoarea medie a poziției (unidimensională pentru simplitate) în reprezentarea coordonatelor este dată:

\langle {\hat {x}}\rangle =\int dx\,{\hat {x}}|\psi (x,t)|^{2}=\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\hat {x}}\psi (x,t)

{\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ int dx \, {\ hat {x}} | \ psi (x, t) | ^ {2} = \ int dx \, \ psi ^ { *} (x, t) {\ hat {x}} \ psi (x, t)}

\ langle {\ hat x} \ rangle = \ int dx \, {\ hat x} | \ psi (x, t) | ^ {2} = \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) {\ hat x} \ psi (x, t)

și mai general orice funcție a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

\langle {\hat {f}}(x)\rangle =\int dx\,{\hat {f}}(x)|\psi (x,t)|^{2}=\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\hat {f}}(x)\psi (x,t)

{\ displaystyle \ langle {\ hat {f}} (x) \ rangle = \ int dx \, {\ hat {f}} (x) | \ psi (x, t) | ^ {2} = \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) {\ hat {f}} (x) \ psi (x, t)}

\ langle {\ hat f} (x) \ rangle = \ int dx \, {\ hat f} (x) | \ psi (x, t) | ^ {2} = \ int dx \, \ psi ^ {* } (x, t) {\ hat f} (x) \ psi (x, t)

Valoarea medie a impulsului este în schimb prin analogie cu cazul clasic:

\langle {\hat {p}}\rangle =m{\frac {d\langle {\hat {x}}\rangle }{dt}}=m{\frac {d}{dt}}\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\hat {x}}\psi (x,t)={\frac {\hbar }{2i}}\int _{-\infty }^{+\infty }dx\left({\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}{\hat {x}}\psi -\psi ^{*}{\hat {x}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} \ rangle = m {\ frac {d \ langle {\ hat {x}} \ rangle} {dt}} = m {\ frac {d} {dt}} \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) {\ hat {x}} \ psi (x, t) = {\ frac {\ hbar} {2i}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} dx \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ psi ^ {*}} {\ partial x ^ {2}}} {\ hat {x}} \ psi - \ psi ^ { *} {\ hat {x}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}} \ right)}

\ langle {\ hat p} \ rangle = m {\ frac {d \ langle {\ hat x} \ rangle} {dt}} = m {\ frac {d} {dt}} \ int dx \, \ psi ^ {*} (x, t) {\ hat x} \ psi (x, t) = {\ frac {\ hbar} {2i}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} dx \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} \ psi ^ {*}} {\ partial x ^ {2}}} {\ hat x} \ psi - \ psi ^ {*} {\ hat x} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}} \ right)

Risolvendo l'integrando che è uguale a:

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}{\hat {x}}\psi -\psi ^{*}x{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi ^{*}\psi \right)+2\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}{\hat {x}}\psi -\psi ^{*}x{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi ^{*}\psi \right)+2\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}{\hat x}\psi -\psi ^{*}x{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi ^{*}\psi \right)+2\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}

si vede che:

\langle {\hat {p}}\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)

\langle {\hat {p}}\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)

\langle {\hat p}\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)

cioè

p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}

che è la definizione dell'impulso nella rappresentazione delle coordinate e più in generale qualsiasi funzione di $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ :

\langle {\hat {f}}(p)\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar }{i}}f\left({\frac {\hbar \partial }{i\partial x}}\right)\psi (x,t)

\langle {\hat {f}}(p)\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar }{i}}f\left({\frac {\hbar \partial }{i\partial x}}\right)\psi (x,t)

\langle {\hat f}(p)\rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x,t){\frac {\hbar }{i}}f\left({\frac {\hbar \partial }{i\partial x}}\right)\psi (x,t)

Nella rappresentazione degli impulsi il valor medio dell'impulso è semplicemente:

\langle {\hat {p}}\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p){\hat {p}}\phi (p)

\langle {\hat {p}}\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p){\hat {p}}\phi (p)

\langle {\hat p}\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p){\hat p}\phi (p)

con il significato che $|\phi (p)|^{2}dp$ $|\phi (p)|^{2}dp$ $|\phi (p)|^{2}dp$ rappresenta la probabilità che la particella o il sistema abbia momento $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ determinato nell'intervallo $p,p+dp$ ${\displaystyle p,p+dp}$ $p,p+dp$ . Il valor medio di una qualsiasi funzione di $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ in questa rappresentazione è dato:

\langle {\hat {f}}(p)\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t){\hat {f}}(p)\phi (p,t)

\langle {\hat {f}}(p)\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t){\hat {f}}(p)\phi (p,t)

\langle {\hat f}(p)\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t){\hat f}(p)\phi (p,t)

Vediamo infine che la posizione nello spazio degli impulsi è:

\langle {\hat {x}}\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\phi (p,t)

\langle {\hat {x}}\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\phi (p,t)

\langle {\hat x}\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t)i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\phi (p,t)

cioè

{\hat {x}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}

{\hat {x}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}

{\hat x}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}

che è la definizione della posizione nella rappresentazione dell'impulso e più in generale qualsiasi funzione di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ :

\langle {\hat {f}}(x)\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t)i\hbar f\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\right)\phi (p,t)

\langle {\hat {f}}(x)\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t)i\hbar f\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\right)\phi (p,t)

\langle {\hat f}(x)\rangle =\int dp\,\phi ^{*}(p,t)i\hbar f\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial p}}\right)\phi (p,t)

Da notare la simmetria delle due rappresentazioni. Vediamo che la posizione $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ e l'impulso $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ devono avere valore medio reale, poiché sono grandezze fisiche devono essere direttamente misurabili, cioè sono osservabili del sistema, per cui deve valere:

\langle {\hat {x}}\rangle =\langle {\hat {x}}\rangle ^{*}

\langle {\hat {x}}\rangle =\langle {\hat {x}}\rangle ^{*}

\langle {\hat x}\rangle =\langle {\hat x}\rangle ^{*}

e

\langle {\hat {p}}\rangle =\langle {\hat {p}}\rangle ^{*}

\langle {\hat {p}}\rangle =\langle {\hat {p}}\rangle ^{*}

\langle {\hat p}\rangle =\langle {\hat p}\rangle ^{*}

cioè in meccanica quantistica le grandezze fisiche di interesse, le osservabili, tra le quali la posizione e l'impulso, sono operatori hermitiani e questo si può verificare direttamente.

Se calcoliamo il commutatore tra la posizione e l'impulso nell'asse x:

[{\hat {p}}_{x},{\hat {x}}]\psi (x,t)={\hat {p}}_{x}{\hat {x}}\psi (x,t)-{\hat {x}}{\hat {p}}_{x}\psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}\psi (x,t)-{\hat {x}}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}\psi (x,t)

[{\hat {p}}_{x},{\hat {x}}]\psi (x,t)={\hat {p}}_{x}{\hat {x}}\psi (x,t)-{\hat {x}}{\hat {p}}_{x}\psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}\psi (x,t)-{\hat {x}}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}\psi (x,t)

[{\hat p}_{x},{\hat x}]\psi (x,t)={\hat p}_{x}{\hat x}\psi (x,t)-{\hat x}{\hat p}_{x}\psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\hat x}\psi (x,t)-{\hat x}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)={\frac {\hbar }{i}}\psi (x,t)

cioè si ottiene una delle parentesi fondamentali della commutazione in meccanica quantistica:

[{\hat {p}}_{x},{\hat {x}}]={\frac {\hbar }{i}}

[{\hat {p}}_{x},{\hat {x}}]={\frac {\hbar }{i}}

[{\hat p}_{x},{\hat x}]={\frac {\hbar }{i}}

che significa che non si possono misurare simultaneamente posizione e impulso in una direzione con precisione. Mentre:

[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]=0

[{\hat {p}}_{y},{\hat {x}}]=0

[{\hat p}_{y},{\hat x}]=0

[{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]=0

[{\hat {p}}_{z},{\hat {x}}]=0

[{\hat p}_{z},{\hat x}]=0

Queste parentesi sono le parentesi fondamentali della meccanica quantistica ed esprimono il principio di indeterminazione di Heisenberg .

Soluzione generale dell'equazione di Schrödinger (per potenziali non dipendenti dal tempo)

L'equazione di Schrödinger è l'equazione fondamentale della meccanica quantistica. La sua risoluzione in molti casi non è possibile, tuttavia esiste un metodo di risoluzione generale che va sotto il nome di metodo di Fourier per la soluzione di equazioni differenziali, il quale permette di ottenere importanti informazioni sul sistema ed è un metodo generale applicabile in molti problemi fisici di interesse.

Esplicitando l'operatore hamiltoniano dell'equazione di Schrödinger unidimensionale:

i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}-{\hat {U}}(x)\psi (x,t)=0

i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}-{\hat {U}}(x)\psi (x,t)=0

i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{{2}}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}-{\hat U}(x)\psi (x,t)=0

l'equazione può essere fattorizzata per variabili, cioè la soluzione può scriversi:

\psi (x,t)=T(t)\cdot X(x)

\psi (x,t)=T(t)\cdot X(x)

\psi (x,t)=T(t)\cdot X(x)

dove $T(t)$ ${\displaystyle T(t)}$ $T(t)$ è una funzione che contiene solo la variabile temporale e $X(x)$ ${\displaystyle X(x)}$ $X(x)$ contiene solo la variabile coordinata. Sostituendo la seconda relazione nella prima si ha:

i\hbar X(x){\frac {dT(t)}{dt}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}T(t){\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}-{\hat {U}}(x)X(x)T(t)=0

i\hbar X(x){\frac {dT(t)}{dt}}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}T(t){\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}-{\hat {U}}(x)X(x)T(t)=0

i\hbar X(x){\frac {dT(t)}{dt}}+{\frac {\hbar ^{{2}}}{2m}}T(t){\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}-{\hat U}(x)X(x)T(t)=0

Separando le variabili ai due membri, cioè dividendo ambo i membri per $T(t)\cdot X(x)$ $T(t)\cdot X(x)$ $T(t)\cdot X(x)$ , si ottiene che entrambi i membri devono essere uguali a una stessa costante che si denota con $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ :

i\hbar {\frac {dT(t)/dt}{T(t)}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}+{\hat {U}}(x)X(x)\right)\cdot {\frac {1}{X(x)}}=E

i\hbar {\frac {dT(t)/dt}{T(t)}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}+{\hat {U}}(x)X(x)\right)\cdot {\frac {1}{X(x)}}=E

i\hbar {\frac {dT(t)/dt}{T(t)}}=\left(-{\frac {\hbar ^{{2}}}{2m}}{\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}+{\hat U}(x)X(x)\right)\cdot {\frac {1}{X(x)}}=E

Quindi si hanno due equazioni separate:

i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\cdot T(t)\qquad -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}+{\hat {U}}(x)X(x)=E\cdot X(x)

i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\cdot T(t)\qquad -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}+{\hat {U}}(x)X(x)=E\cdot X(x)

i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\cdot T(t)\qquad -{\frac {\hbar ^{{2}}}{2m}}{\frac {d^{2}X(x)}{dx^{2}}}+{\hat U}(x)X(x)=E\cdot X(x)

La prima equazione si risolve subito:

T(t)=C\cdot e^{-iEt/\hbar }

T(t)=C\cdot e^{-iEt/\hbar }

T(t)=C\cdot e^{{-iEt/\hbar }}

dove $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ è una costante: questa dà la dipendenza dal tempo della funzione d'onda $\psi (x,t)$ $\psi (x,t)$ $\psi (x,t)$ . La seconda equazione è detta equazione di Schrödinger indipendente dal tempo , e ha la forma di un'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniano:

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\hat {U}}(x)\right]X(x)=E\cdot X(x)\qquad {\hat {H}}X(x)=EX(x)

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\hat {U}}(x)\right]X(x)=E\cdot X(x)\qquad {\hat {H}}X(x)=EX(x)

\left[-{\frac {\hbar ^{{2}}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\hat U}(x)\right]X(x)=E\cdot X(x)\qquad {\hat H}X(x)=EX(x)

essa rappresenta gli stati stazionari del sistema, cioè gli stati che non dipendono dal tempo. Questa equazione si risolve trovando lo spettro degli autovalori che può essere discreto o continuo o nel caso più generale sia discreto che continuo e quindi degli autovettori associati in modo che nel caso più generale la funzione d'onda si può scrivere:

\psi (x,t)=\left(\sum C_{E}X(x)+\int C(E)X(x)\,dE\right)e^{-iEt/\hbar }

\psi (x,t)=\left(\sum C_{E}X(x)+\int C(E)X(x)\,dE\right)e^{-iEt/\hbar }

\psi (x,t)=\left(\sum C_{E}X(x)+\int C(E)X(x)\,dE\right)e^{{-iEt/\hbar }}

dove $C_{E},C(E)$ $C_{E},C(E)$ $C_{E},C(E)$ sono coefficienti dipendenti da $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ , i primi nel caso discreto ei secondi nel caso continuo, mentre $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ rappresenta l'energia del sistema. Quindi l'operatore hamiltoniano fornisce la dipendenza temporale della funzione d'onda e permette tramite la soluzione dell'equazione di Schrödinger di risolvere il problema agli autovalori per l'energia.

Autofunzioni dell'energia

Lo stesso argomento in dettaglio: Autofunzione .

Supponiamo inizialmente che la soluzione dell'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo abbia uno spettro discreto di autovalori, allora la funzione d'onda $\psi (x)$ $\psi (x)$ $\psi (x)$ può essere sviluppata come:

\psi (x)=\sum _{E}C_{E}u_{E}(x)\

\psi (x)=\sum _{E}C_{E}u_{E}(x)\

\psi (x)=\sum _{{E}}C_{E}u_{E}(x)\

dove i coefficienti $C_{E}$ $C_{E}$ $C_{E}$ sono unicamente determinati, infatti:

\sum _{E}u_{E'}^{*}(x)\psi (x)=\sum _{E}C_{E}u_{E'}^{*}(x)u_{E}(x)=\sum _{E}C_{E}\delta _{EE'}=C_{E'}

\sum _{E}u_{E'}^{*}(x)\psi (x)=\sum _{E}C_{E}u_{E'}^{*}(x)u_{E}(x)=\sum _{E}C_{E}\delta _{EE'}=C_{E'}

\sum _{E}u_{{E'}}^{{*}}(x)\psi (x)=\sum _{{E}}C_{E}u_{{E'}}^{{*}}(x)u_{E}(x)=\sum _{E}C_{E}\delta _{{EE'}}=C_{{E'}}

dove $u_{E}(x)$ $u_{E}(x)$ $u_{E}(x)$ sono ancora le autofunzioni dell'energia. L'unica restrizione è che la funzione d'onda deve essere normalizzata e quadrato sommabile:

\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\psi ^{*}(x)\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,|\psi (x)|^{2}=1

\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\psi ^{*}(x)\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,|\psi (x)|^{2}=1

\int _{{-\infty }}^{{\infty }}dx\,\psi ^{*}(x)\psi (x)=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}dx\,|\psi (x)|^{2}=1

e di conseguenza anche le autofunzioni devono essere normalizzate:

\int dx\,u_{E'}^{*}(x)u_{E''}(x)=\delta _{E'E''}

\int dx\,u_{E'}^{*}(x)u_{E''}(x)=\delta _{E'E''}

\int dx\,u_{{E'}}^{{*}}(x)u_{{E''}}(x)=\delta _{{E'E''}}

L'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo si scrive:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\hat {H}}\psi (x,t)

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\hat {H}}\psi (x,t)

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\hat H}\psi (x,t)

Utilizzando lo sviluppo della funzione d'onda $\psi (x)$ $\psi (x)$ $\psi (x)$ , la soluzione è:

u_{E}(x,t)=u_{E}(x)e^{-iEt/\hbar }

u_{E}(x,t)=u_{E}(x)e^{-iEt/\hbar }

u_{E}(x,t)=u_{E}(x)e^{{-iEt/\hbar }}

quindi la funzione d'onda completa è:

\psi (x,t)=\sum _{E}C_{E}u_{E}(x)\cdot e^{-iEt/\hbar }

\psi (x,t)=\sum _{E}C_{E}u_{E}(x)\cdot e^{-iEt/\hbar }

\psi (x,t)=\sum _{E}C_{E}u_{E}(x)\cdot e^{{-iEt/\hbar }}

Se lo spettro è continuo invece si può sviluppare la funzione d'onda in termini di autofunzioni di energia nel modo:

\psi (x)=\int C(E)u_{E}(x)

\psi (x)=\int C(E)u_{E}(x)

\psi (x)=\int C(E)u_{E}(x)

dove $u_{E}(x)$ $u_{E}(x)$ $u_{E}(x)$ sono ancora autofunzioni dell'energia, e queste devono essere normalizzate:

\int u_{E'}^{*}(x)\cdot u_{E''}(x)=\delta _{E'-E''}

\int u_{E'}^{*}(x)\cdot u_{E''}(x)=\delta _{E'-E''}

\int u_{{E'}}^{{*}}(x)\cdot u_{{E''}}(x)=\delta _{{E'-E''}}

dove interviene la funzione Delta di Dirac . I coefficienti $C(E)$ ${\displaystyle C(E)}$ $C(E)$ sono automaticamente determinati, infatti:

\int dx\,u_{E'}^{*}(x)\psi (x)=\int C(E)u_{E'}^{*}(x)u_{E}(x)=\int C(E)\delta _{E-E'}=C(E')

\int dx\,u_{E'}^{*}(x)\psi (x)=\int C(E)u_{E'}^{*}(x)u_{E}(x)=\int C(E)\delta _{E-E'}=C(E')

\int dx\,u_{{E'}}^{{*}}(x)\psi (x)=\int C(E)u_{{E'}}^{{*}}(x)u_{E}(x)=\int C(E)\delta _{{E-E'}}=C(E')

quindi la funzione d'onda completa è:

\psi (x,t)=\int C(E)u_{E}(x)\cdot e^{-iEt/\hbar }

\psi (x,t)=\int C(E)u_{E}(x)\cdot e^{-iEt/\hbar }

\psi (x,t)=\int C(E)u_{E}(x)\cdot e^{{-iEt/\hbar }}

L'equazione di Schrödinger unidimensionale ammette una proprietà speciale. Non esistono degenerazioni dei livelli di energia: a ogni autovalore $E_{n}$ $E_{n}$ $E_{n}$ discreto corrisponde un solo autostato.

Approssimazioni dell'equazione di Schrödinger

Approssimazione di Born-Oppenheimer , nota anche come approssimazione adiabatica , è una tecnica usata in chimica quantistica e nella fisica della materia condensata al fine di disaccoppiare i moti di nuclei ed elettroni (cioè per separare le variabili corrispondenti al moto nucleare e le coordinate elettroniche nell'equazione di Schrödinger associata alla Hamiltoniana molecolare). Si basa sul fatto che le tipiche velocità elettroniche sono molto maggiori di quelle nucleari.
Approssimazione orbitalica , tecnica usata in chimica quantistica . Ogni elettrone viene considerato singolarmente come appartenente a un atomo idrogenoide e la carica nucleare $Z e$ ${\displaystyle Ze}$ $Ze$ , carica che viene utilizzata per calcolare il termine relativo all' energia potenziale da inserire nell'equazione di Schrödinger, viene corretta utilizzando la carica nucleare efficace $Z_{eff}$ $Z_{eff}$ $Z_{eff}$ . Quindi la forma semplificata della funzione d'onda , utilizzata per descrivere un atomo polielettronico, diviene una funzione del tipo $\Psi =\Psi (n_{1})\;\Psi (n_{2})\;\Psi (n_{3})\ldots \Psi (n_{x})$ $\Psi =\Psi (n_{1})\;\Psi (n_{2})\;\Psi (n_{3})\ldots \Psi (n_{x})$ $\Psi =\Psi (n_{1})\;\Psi (n_{2})\;\Psi (n_{3})\ldots \Psi (n_{x})$ .
Approssimazione WKB in meccanica quantistica è un'approssimazione semiclassica nella quale si impone che la funzione d'onda sia una funzione esponenziale che varia lentamente e quindi viene espansa in potenze della costante di Planck .

Metodi risolutivi di approssimazione

Metodo variazionale , rappresenta nella meccanica e chimica quantistica , un approccio utilizzato per trovare approssimazioni all' autostato di minore energia (stato fondamentale) e ad alcuni stati eccitati. Le basi di questo metodo si fondano sul principio variazionale .
Teoria perturbativa , metodo di calcolo che si basa sull'introduzione, nell'hamiltoniana, di una perturbazione, ovvero un potenziale così piccolo da giustificare uno sviluppo in serie di potenze .
Metodo di Hartree-Fock , metodo ab initio usato in chimica computazionale basato sull'approssimazione, valevole nel caso di fermioni , che $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ funzioni d'onda associate al sistema siano approssimabili tramite un singolo determinante di Slater .

Evoluzione relativistica

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria quantistica dei campi .

L'equazione di Schrödinger, essendo basata sull' Hamiltoniana classica, non può rappresentare il comportamento quantistico di particelle con massa nulla, come i fotoni . Un importante sviluppo risultò pertanto fondamentale per introdurre anche il formalismo della relatività speciale , e portò alle due equazioni, di Klein Gordon e di Dirac , che rappresentano, rispettivamente, particelle a spin (dette anche particelle scalari ) e particelle a spin ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ $\frac{1}{2}$ .

Note

^ "Derivazione" dell'equazione di Schrödinger per sistemi tempo indipendenti ed autovalori degli atomi idrogenoidi: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (prima comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 79, 1926, pp. 361-376.
^ Nuova derivazione dell'equazione di Schrödinger, oscillatore armonico quantistico, rotore rigido e molecole biatomiche: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (seconda comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 79, 1926, pp. 489-527.
^ Teoria delle perturbazioni, applicazione all'effetto Stark: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (terza comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 80, 1926, pp. 437-490.
^ L'equazione d'onda per sistemi non conservativi, teoria delle perturbazioni per sistemi dipendenti dal tempo, significato fisico della funzione d'onda: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (quarta comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 81, 1926, pp. 109-139.

^ Ogni operatore ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ ${\hat A}$ che rappresenta una grandezza fisica in meccanica quantistica ha valor medio sullo stato $\psi (x)$ $\psi (x)$ $\psi (x)$ calcolabile mediante:
$\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}\psi (x)\,dx$ $\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}\psi (x)\,dx$ $\langle {\hat A}\rangle _{{\psi }}=\int \psi ^{{*}}(x){\hat A}\psi (x)\,dx$

Bibliografia

( DE ) E. Schroedinger Annalen der Physik 79 p. 361; Annalen der Physik 79 p. 489; Annalen der Physik 81 p. 734 (1926).
Traduzione in italiano degli articoli sopra , su ipparco.roma1.infn.it .
Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic , Meccanica quantistica. Teoria non relativistica , Roma, Editori Riuniti, 2010, ISBN 978-88-64-73208-4 .
Peter Atkins, Julio De Paula, Chimica Fisica , 4ª ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004, ISBN 88-08-09649-1 .
Donald A. McQuarrie, John D. Simon, Chimica Fisica. Un approccio molecolare. , 1ª ed., Bologna, Zanichelli, luglio 2000, ISBN 88-08-17640-1 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse sull' equazione di Schrödinger
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull' equazione di Schrödinger

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 32491 · LCCN ( EN ) sh85118495 · GND ( DE ) 4053332-3 · BNF ( FR ) cb119702345 (data)

Portale Quantistica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di quantistica

[1] "Derivazione" dell'equazione di Schrödinger per sistemi tempo indipendenti ed autovalori degli atomi idrogenoidi: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Erste Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (prima comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 79, 1926, pp. 361-376.

[2] Nuova derivazione dell'equazione di Schrödinger, oscillatore armonico quantistico, rotore rigido e molecole biatomiche: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Zweite Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (seconda comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 79, 1926, pp. 489-527.

[3] Teoria delle perturbazioni, applicazione all'effetto Stark: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (terza comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 80, 1926, pp. 437-490.

[4] L'equazione d'onda per sistemi non conservativi, teoria delle perturbazioni per sistemi dipendenti dal tempo, significato fisico della funzione d'onda: Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem (Vierte Mitteilung) [Quantizzazione come problema agli autovalori (quarta comunicazione)] , in Annalen der Physik , vol. 81, 1926, pp. 109-139.

[5] Ogni operatore ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}$ ${\hat A}$ che rappresenta una grandezza fisica in meccanica quantistica ha valor medio sullo stato $\psi (x)$ $\psi (x)$ $\psi (x)$ calcolabile mediante:
$\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}\psi (x)\,dx$ $\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }=\int \psi ^{*}(x){\hat {A}}\psi (x)\,dx$ $\langle {\hat A}\rangle _{{\psi }}=\int \psi ^{{*}}(x){\hat A}\psi (x)\,dx$

[1]

[2]

[3]

[4]

[nota 1]

V · D · M Meccanica quantistica
Formalismo matematico	Notazione bra-ket · Spazio di Hilbert ·Postulati della meccanica quantistica · Operatore normale · Interferenza (fisica)
Fondamenti e principi	Principio di indeterminazione di Heisenberg · Principio di complementarità · Funzione d'onda · Collasso della funzione d'onda · Interpretazione di Copenaghen · Spin · Vecchia teoria dei quanti · Interpretazione di Bohm
Operatori	Operatore impulso · Operatore posizione · Operatore hamiltoniano · Operatore momento angolare · Operatore densità
Formulazioni	Meccanica ondulatoria · Meccanica delle matrici · Integrale sui cammini
Equazioni	Equazione di Dirac · Equazione di Klein-Gordon · Equazione di Pauli · Equazione di Schrödinger
Paradossi	Paradosso del gatto di Schrödinger · Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen · Suicidio quantistico