ecuația lui Einstein câmp

Ecuația câmp a lui Einstein este fundamentală ecuație a teoriei relativității generale . Acesta descrie curbura spațiu - timp ca o funcție a densității materiei , energiei și presiune , reprezentată de tensorul stress-energie . ^[1]

Ecuația a fost în centrul unei controverse prioritate între Einstein și matematician David Hilbert , care a fost rezolvată după o lungă perioadă de timp în favoarea lui Einstein. ^[2]

Ecuaţie

Originalul câmp Ecuația este

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

{\ Displaystyle R _ {\ mu \ Nu} - {1 \ peste 2} g _ {\ mu \ Nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ Nu}}

{\ Displaystyle R _ {\ mu \ Nu} - {1 \ peste 2} g _ {\ mu \ Nu} R = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ Nu}}

Dar mai târziu Einstein modificat prin adaugarea constanta cosmologică, în scopul de a obține un model static al universului. In forma cu constanta cosmologică , ecuația câmp este

R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

{\ Displaystyle R _ {\ mu \ Nu} - {1 \ peste 2} g _ {\ mu \ Nu} R + \ Lambda g _ {\ mu \ Nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ NU}}

R _ {{\ mu \ Nu}} - {1 \ peste 2} g _ {{\ mu \ Nu}} R + \ Lambda g _ {{\ mu \ Nu}} = {\ frac {8 \ pi G } {c ^ {4}}} T _ {{\ mu \ Nu}}

unde este:

$R_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {{\ mu \ Nu}}$ este tensorul curbura Ricci ;
$R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ curbura scalar , adică urme de $R_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ $R _ {{\ mu \ Nu}}$ ;
$g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ tensorul metric ;
$\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ constanta cosmologica ;
$T_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {{\ mu \ Nu}}$ tensorul energie impuls ;
$c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii în vid ;
$G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ constanta gravitațională universală .

tensorul $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ descrie spatiu-timp metric și este un 4x4 tensor simetric, care, prin urmare, are 10 componente independente; având în vedere identitatea lui Bianchi , ecuațiile independente sunt reduse la 6. Definirea Tensor lui Einstein ${\mathcal {G}}_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ Nu}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ Nu}}$ după cum urmează:

${\mathcal {G}}_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ Nu} = R _ {\ mu \ Nu} - {1 \ peste 2} g _ {\ mu \ Nu} R}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ Nu} = R _ {\ mu \ Nu} - {1 \ peste 2} g _ {\ mu \ Nu} R}$

putem rescrie ecuația de câmp

${\mathcal {G}}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ Nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ Nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ Nu}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ mu \ Nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ Nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ Nu}}$

Lagrangiana relativității generale

Ecuația câmp a relativității generale în vid poate fi derivată din variația unei Lagrangiene densitate ^[3] . Acțiunea asociată, care este integrala din densitatea Lagrangiene menționată mai sus, este dată de suma acțiunii Einstein-Hilbert și cu un volum proporțional cu constanta cosmologică :

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{E-H}+{\mathcal {L}}_{\Lambda }={\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {EH} + {\ mathcal {L}} _ {\ Lambda} = {\ sqrt {-g}} (R-2 \ Lambda )}

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {EH} + {\ mathcal {L}} _ {\ Lambda} = {\ sqrt {-g}} (R-2 \ Lambda )}

În ecuația anterioară ${\sqrt {-g}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {-g}}}$ este rădăcina pătrată a (negativul) determinant al metricii , $R=R^{\mu \nu }g_{\mu \nu }$ ${\ Displaystyle R = R ^ {\ mu \ Nu} _ g {\ mu \ Nu}}$ ${\ Displaystyle R = R ^ {\ mu \ Nu} _ g {\ mu \ Nu}}$ este scalar de curbură e $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ este constanta cosmologică .

Alte ecuații de câmp

Ecuația câmpului indicată de Einstein nu este singurul posibil, dar se distinge prin simplitatea cuplajului dintre materie / energie și curbură.

Modelele univers în care o constantă cosmologică este prezentă sunt generalizări ale modelului precedent, a cărui valoare este numită Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metrice sau FLRW. Ipoteza că universul este izotrop și omogen pe scară largă , este cunoscut sub numele de principiul cosmologic .

Contracția sau expansiune a universului

Termenul $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ a fost introdus ad - hoc de către Einstein , pentru a permite un univers static , așa cum teoria sa a prezis un univers dinamic (fie în contracția sau în expansiune), de neconceput pentru acele vremuri. In urmatorii ani zece, Edwin Hubble observații au confirmat expansiunea universului și termenul $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ a fost omis (Einstein sa considerat introducerea a fi cea mai mare greseala lui ^[4] ). Cu toate acestea, se pare că Einstein a fost „condamnat“ să fie cumva drept ca constanta cosmologică sa reafirmat în 1998 , cu observarea unui univers accelerat , ceea ce a determinat astronomii să introducă ideea unei constante cosmologice pozitive. ^[5] ^[6] La fel ca cel identificat de Einstein, versiunea actualizată joacă , de asemenea , rolul unei forțe anti-gravitație pe scară largă, acum reprezentată de energia întunecată .

Temporar neglija constanta cosmologică $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ și utilizarea unităților de măsură pentru care c este egal cu unu, dacă presupunem că universul pe scară largă este izotrop și omogen , este posibil să se reducă tensor ecuația ecuației diferențiale :

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}+{\frac {k}{R^{2}}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ dreapta) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ dreapta) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este factorul de scara (care, dacă universul este închis reprezintă raza), ${\dot {R}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {R}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {R}}}$ rata de schimbare, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitatea medie a universului e $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ curbura (pozitiv, negativ sau zero). Prin urmare, este ușor, pozand $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ , Se calculează ceea ce se numește „densitatea critică“ a universului, care este:

\rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}

{\ Displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}}}

{\ Displaystyle \ rho _ {c} = {\ frac {3H ^ {2}} {8 \ pi G}}}

în cazul în care a fost utilizat raportul ${\tfrac {\dot {R}}{R}}=H$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ dot {R}} {R}} = H}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ dot {R}} {R}} = H}$ care leagă parametrul Hubble la factorul de scală . Desigur, slăbiciunea acestei formule este că condițiile nu autorizează să fie luate în considerare $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ . Dacă curbura universului este mai mare decât 0 se va retrage, dacă este egală sau mai mică se va extinde pentru totdeauna. În acest tip de univers distanța dintre două puncte este dată de metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker . întotdeauna cu $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ ${\ displaystyle k = 0}$ , Ecuația, care ia forma

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ dreapta) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ dreapta) ^ {2} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ rho}

poate fi rezolvată prin solicitarea $\rho ={\tfrac {M}{R^{3}}}$ ${\ Displaystyle \ rho = {\ tfrac {M} {R ^ {3}}}}$ ${\ Displaystyle \ rho = {\ tfrac {M} {R ^ {3}}}}$ Și are ca soluție:

R(t)=Ct^{2/3}

{\ Displaystyle R (t) = Ct ^ {2/3}}

{\ Displaystyle R (t) = Ct ^ {2/3}}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle C}$ este o constantă. Această soluție ne spune că, pentru un univers spațial plat și cu constanta cosmologică zero, factorul de scara este proporțională cu timpul a două treimi $R\propto t^{2/3}$ ${\ Displaystyle R \ propto t ^ {2/3}}$ ${\ Displaystyle R \ propto t ^ {2/3}}$ .

Reintroducând constanta cosmologică ca o formă de energie, se comportă în toate privințele, ca densitate de energie negativa care pătrunde în tot spațiul; în consecință , este posibil să se reconsidere densitatea critică ca suma a două cantități: una reprezentată de materia, observabil și întuneric , iar celălalt de energie întunecată. De fapt, în acest caz, ecuația devine

\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)^{2}+{\frac {k}{R^{2}}}={\frac {8\pi G}{3}}\left(\rho +\rho _{\Lambda }\right)

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ dreapta) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ stânga (\ rho + \ rho _ {\ Lambda} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ dot {R}} {R}} \ dreapta) ^ {2} + {\ frac {k} {R ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G} {3}} \ stânga (\ rho + \ rho _ {\ Lambda} \ dreapta)}

Unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea materiei e $\rho _{\Lambda }$ ${\ Displaystyle \ rho _ {\ Lambda}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {\ Lambda}}$ densitatea de energie asociat cu constanta cosmologica definită ca $\rho _{\Lambda }={\tfrac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {\ Lambda} = {\ tfrac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {\ Lambda} = {\ tfrac {\ Lambda c ^ {4}} {8 \ pi G}}}$ , Care este exact dimensiunea o densitate de energie.

Deoarece observațiile curente, în special măsurători ale radiației cosmice de fond realizate de WMAP satelitul, indică faptul că universul este foarte aproape de zero curbura, densitatea universului ar trebui să fie foarte aproape de valoarea critică , care ar determina geometria. Plat. Dimpotrivă, densitatea de energie a materiei la nivel global detectabil este estimat a fi de numai aproximativ 30% din această valoare și constanta cosmologică sub formă de energie întunecată, în cazul în care a demonstrat și cuantificat, ar trebui să permită o punte această diferență și, prin urmare, Prezice soarta finală a universului . Prin urmare, găsirea confirmarea existenței sale, identificând natura sa și cuantificarea exact sunt domenii importante de investigare pentru cosmologie .

Soluțiile ecuațiilor de câmp

Soluțiile particulare ale ecuației câmpului au dat naștere la diverse modele cosmologice, printre care:

de Sitter e universul , care a postulat un univers gol, în care forțele gravitaționale au fost neglijabile.
modelul Friedmann , direct legate de densitatea materiei prezente în univers și încă astăzi modelul general acceptat.
Soluția lui Lemaitre , o primă formulare a Big Bang teorie, în care galaxiile sunt fragmente ejectat de explozia unui „atom primordial“ din care provine universul.

Notă

^ Charles W. Misner , Kip S. Thorne și John Archibald Wheeler , Gravitația, San Francisco, WH Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0 . Capitolul 34, p. 916.
^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Decizia Belated în disputa Priority Hilbert-Einstein, Știința n. 278, 14 noiembrie 1997
^ [1]
^ George Gamow , My World Linia: o autobiografie informală , Viking Adult , 28 aprilie 1970, ISBN 0-670-50376-2 . Adus de 2007-03-14.
^ Nicolle Wahl, a fost Einstein 'cea mai mare gafă' un succes stelar? , 22 noiembrie 2005. Adus de 14 martie 2007 (arhivate de original pe 07 martie 2007).
^ Michael S. Turner, a da un sens nou Cosmologie , în Int.J.Mod.Phys. A17S1, vol. 17, mai 2001, pag. 180-196, bibcode : 2002IJMPA..17S.180T , DOI : 10.1142 / S0217751X02013113 , arXiv : astro-ph / 0202008 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) ecuația lui Einstein câmp , în Enciclopedia Britannica , Encyclopaedia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 49059 · LCCN (RO) sh85041416 · BNF (FR) cb144911223 (data)

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia referitoare la relativitate

[1] Charles W. Misner , Kip S. Thorne și John Archibald Wheeler , Gravitația, San Francisco, WH Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0 . Capitolul 34, p. 916.

[2] L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Decizia Belated în disputa Priority Hilbert-Einstein, Știința n. 278, 14 noiembrie 1997

[3] [1]

[gamow-4] George Gamow , My World Linia: o autobiografie informală , Viking Adult , 28 aprilie 1970, ISBN 0-670-50376-2 . Adus de 2007-03-14.

[wahl-5] Nicolle Wahl, a fost Einstein 'cea mai mare gafă' un succes stelar? , 22 noiembrie 2005. Adus de 14 martie 2007 (arhivate de original pe 07 martie 2007).

[turner-6] Michael S. Turner, a da un sens nou Cosmologie , în Int.J.Mod.Phys. A17S1, vol. 17, mai 2001, pag. 180-196, bibcode : 2002IJMPA..17S.180T , DOI : 10.1142 / S0217751X02013113 , arXiv : astro-ph / 0202008 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]