Ecuația de continuitate

În fizică , ecuația de continuitate este o ecuație diferențială care exprimă local legea conservării unei mărimi fizice generice folosind fluxul cantității printr-o suprafață închisă . Ecuația de continuitate poate fi exprimată ca o lege diferențială sau integrală .

Afirmație

Un câmp vector asociază un vector fiecărui punct al spațiului. De exemplu, dacă luăm în considerare fluxul de sarcină electrică printr-un conductor electric , este posibil să se definească câmpul vector care asociază viteza de deriva cu fiecare punct $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ a acuzațiilor. Dacă dorim să exprimăm conservarea unei mărimi, este util să luăm în considerare fluxul acestei mărimi printr-o suprafață: luați în considerare două secțiuni ale conductorului, dacă numărul de sarcini care traversează suprafețele respective în unitatea de timp este același înseamnă că încărcăturile pe care le parcurg în partea conductorului între cele două secțiuni, nu se dispersează, rămânând în interiorul acestuia.

Este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ densitatea volumetrică a unei mărimi $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ conservat:

q=\int _{V}\varphi \,\mathrm {d} V

{\ displaystyle q = \ int _ {V} \ varphi \, \ mathrm {d} V}

q = \ int_V \ varphi \, \ mathrm {d} V

și ia în considerare fluxul unui câmp vector $\mathbf {f} =\varphi \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ varphi \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} = \ varphi \ mathbf {v}}$ prin două suprafețe $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ de zonă $\mathbf {S} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {1}}$ Și $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ de zonă $\mathbf {S} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {2}}$ . Cea mai simplă formă a ecuației de continuitate arată condiția ca debitul să fie același pentru ambele suprafețe:

\int _{S_{1}}\varphi _{1}\mathbf {v} _{1}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{1}=\int _{S_{2}}\varphi _{2}\mathbf {v} _{2}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{2}\qquad \int _{S_{1}}\mathbf {f} _{1}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{1}=\int _{S_{2}}\mathbf {f} _{2}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{2}

{\ displaystyle \ int _ {S_ {1}} \ varphi _ {1} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ int _ { S_ {2}} \ varphi _ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2} \ qquad \ int _ {S_ {1}} \ mathbf {f} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ int _ {S_ {2}} \ mathbf {f} _ {2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2}}

{\ displaystyle \ int _ {S_ {1}} \ varphi _ {1} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ int _ { S_ {2}} \ varphi _ {2} \ mathbf {v} _ {2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2} \ qquad \ int _ {S_ {1}} \ mathbf {f} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ int _ {S_ {2}} \ mathbf {f} _ {2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2}}

unde este:

\int _{S}{\rm {d}}\mathbf {S} \equiv \int _{S}\mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}S\qquad \mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} \mathrm {d} S

{\ displaystyle \ int _ {S} {\ rm {d}} \ mathbf {S} \ equiv \ int _ {S} \ mathbf {\ hat {n}} {\ rm {d}} S \ qquad \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ mathbf {\ hat {n}} \ mathrm {d} S}

{\ displaystyle \ int _ {S} {\ rm {d}} \ mathbf {S} \ equiv \ int _ {S} \ mathbf {\ hat {n}} {\ rm {d}} S \ qquad \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ mathbf {\ hat {n}} \ mathrm {d} S}

Este o suprafață integrală cu $\mathbf {\hat {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ $\ mathbf {\ hat {n}}$ vectorul unitar normal la suprafața considerată. Prin echivalarea integranzilor avem:

\varphi _{1}\mathbf {v} _{1}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{1}=\varphi _{2}\mathbf {v} _{2}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{2}\qquad \mathbf {f} _{1}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{1}=\mathbf {f} _{2}\cdot {\rm {d}}\mathbf {S} _{2}

{\ displaystyle \ varphi _ {1} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ varphi _ {2} \ mathbf {v} _ { 2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2} \ qquad \ mathbf {f} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ mathbf {f} _ {2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2}}

{\ displaystyle \ varphi _ {1} \ mathbf {v} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ varphi _ {2} \ mathbf {v} _ { 2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2} \ qquad \ mathbf {f} _ {1} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1} = \ mathbf {f} _ {2} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2}}

care este produsul intern al câmpului $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ cu elementele de suprafață ${\rm {d}}\mathbf {S} _{1}$ ${\ displaystyle {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {1}}$ Și ${\rm {d}}\mathbf {S} _{2}$ ${\ displaystyle {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ rm {d}} \ mathbf {S} _ {2}}$ prin care curge în unitatea de timp.

Mai general, poate fi considerată o suprafață închisă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ și spuneți că fluxul total al unui câmp $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ prin el (egal cu diferența dintre fluxul de ieșire și fluxul de intrare) este egal cu variația temporală a unei densități $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ relativ la o cantitate stocată în suprafață. Considerând ca o suprafață închisă o secțiune de conductor traversată de curent delimitat de două secțiuni $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ Și $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ , de exemplu, diferența dintre fluxul de ieșire (relativ la $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ ) și fluxul de intrare (referitor la $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ ) este egală cu variația temporală a sarcinii conținute între cele două suprafețe. Această variație este exprimată prin scrierea sarcinii conținute între cele două suprafețe ca integrală, extinsă peste volumul secțiunii de conductor considerate, a densității sarcinii . În analogia cu un conductor care transportă curent, ne putem gândi $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ ca vector de densitate de curent .

Ecuația de continuitate garantează că suma totală a taxei $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ cuprinse în regiune $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ delimitat de o suprafață închisă $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ se schimbă în timp în funcție de cantitatea de sarcină care intră sau iese din suprafața însăși sau mai degrabă în funcție de fluxul câmpului $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ peste suprafață $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ . Integrala care dă fluxul se referă la variația spațială a câmpului prin teorema divergenței :

{\frac {{\rm {d}}q}{{\rm {d}}t}}=\int _{V}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}{\rm {d}}V=-\oint _{\partial V}\mathbf {f} \cdot d\mathbf {S} =-\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {f} \,{\rm {d}}V

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}} = \ int _ {V} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} { \ rm {d}} V = - \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {f} \ cdot d \ mathbf {S} = - \ int _ {V} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {f } \, {\ rm {d}} V}

\ frac {{\ rm d} q} {{\ rm d} t} = \ int_V \ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t} {\ rm d} V = - \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {f} \ cdot d \ mathbf {S} = - \ int_V \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {f} \, {\ rm d} V

unde suprafața închisă $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ este frontiera domeniului de integrare. Având în vedere integranzii la al doilea și ultimul termen, obținem forma locală a ecuației de continuitate (care în acest caz este legea conservării sarcinii electrice ):

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {f} = 0}

\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {f} = 0

Această expresie poate fi aplicată pentru diferite mărimi fizice și reprezintă o lege de conservare cu valabilitate generală. In caz $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ nu este o cantitate conservată, ecuația ia forma sa cea mai generală:

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =\Sigma

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {f} = \ Sigma}

\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {f} = \ Sigma

unde este $\nabla \cdot$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot}$ $\ nabla \ cdot$ este divergența. În formă integrală avem:

{\frac {{\rm {d}}q}{{\rm {d}}t}}+\oint _{\partial V}\mathbf {f} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =\Sigma

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}} + \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {f} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} = \ Sigma}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}} + \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {f} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} = \ Sigma}

Conservarea sarcinii electrice

Același subiect în detaliu: Legea conservării sarcinii electrice .

Prin plasare $\varphi \equiv \rho$ ${\ displaystyle \ varphi \ equiv \ rho}$ $\ varphi \ equiv \ rho$ densitatea sarcinii electrice (care într-un conductor electric este egală cu produsul densității numerice a electronilor și sarcina unui electron : $\rho \equiv ne$ ${\ displaystyle \ rho \ equiv ne}$ ${\ displaystyle \ rho \ equiv ne}$ ) și plasarea $\mathbf {f} \equiv \mathbf {j}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ equiv \ mathbf {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ equiv \ mathbf {j}}$ densitatea curentului electric (egală cu produsul densității sarcinii electrice și viteza de deriva a purtătorilor de sarcină: $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v}}$ ), obținem legea conservării sarcinii electrice ^[1] :

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {\rho \mathbf {v} } )=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ rho \ mathbf {v}}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ rho \ mathbf {v}}) = 0}

Trecând la forma integrală:

I=\oint _{\partial V}\mathbf {j} \cdot \operatorname {\rm {d}} \mathbf {S} =-{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \operatorname {\rm {d}} V=-{\frac {dQ}{dt}}

{\ displaystyle I = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {j} \ cdot \ operatorname {\ rm {d}} \ mathbf {S} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ { V} \ rho \ operatorname {\ rm {d}} V = - {\ frac {dQ} {dt}}}

{\ displaystyle I = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {j} \ cdot \ operatorname {\ rm {d}} \ mathbf {S} = - {\ frac {d} {dt}} \ int _ { V} \ rho \ operatorname {\ rm {d}} V = - {\ frac {dQ} {dt}}}

unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este sarcina conținută în regiunea spațiului tridimensional V, e $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este curentul electric care trece prin suprafața închisă $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ care delimitează această regiune V. Prin urmare:

{\frac {dQ}{dt}}=-I

{\ displaystyle {\ frac {dQ} {dt}} = - I}

{\ displaystyle {\ frac {dQ} {dt}} = - I}

Adică variația sarcinii conținute în orice regiune a spațiului tridimensional $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (în jargon, volumul de control ) se datorează trecerii unui curent electric prin suprafața care îl delimitează. Semnul negativ indică faptul că, dacă încărcarea electrică totală crește, a intrat în regiune mai mult curent electric decât s-a stins; dacă taxa totală a scăzut, invers.

Ecuația de continuitate pentru sarcina electrică este implicită în ecuațiile lui Maxwell , deoarece cu prima ecuație, și anume legea lui Gauss pentru câmpul electric (în vid):

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

\ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf E = \ frac {\ rho} {\ varepsilon_0}

și cu divergența la a patra ecuație corectată de Maxwell (pentru vid):

0=\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} }{\partial t}}

{\ displaystyle 0 = \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E}} {\ partial t}}}

0 = \ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf \ nabla \ times \ mathbf B = \ mu_0 \ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf j + \ varepsilon_0 \ mu_0 \ frac {\ partial \ mathbf \ nabla \ cdot \ mathbf E} { \ partial t}

dacă se obține divergența câmpului electric de la una dintre cele două ecuații și o înlocuiește în cealaltă, se obține ecuația continuității sub formă diferențială. Din punct de vedere istoric, de fapt, Maxwell a corectat legea lui Ampère în așa fel încât să fie de acord cu celelalte două legi (legea lui Gauss pentru câmpul electric și ecuația de continuitate pentru sarcina electrică), considerându-le mai solide.

Notatie relativista

Același subiect în detaliu: Quadricurrent .

Ecuația de continuitate poate fi scrisă într-un mod foarte simplu și compact folosind notația relativistă . Este definită densitatea de curent cu patru vectori , a cărei componentă temporală este densitatea de sarcină, iar componenta spațială este vectorul de densitate de curent:

J^{\mu }=(\rho c,\mathbf {j} )

{\ displaystyle J ^ {\ mu} = (\ rho c, \ mathbf {j})}

{\ displaystyle J ^ {\ mu} = (\ rho c, \ mathbf {j})}

unde c este viteza luminii în vid. În acest fel, ecuația de continuitate devine: ^[2]

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

\ partial_ \ mu J ^ \ mu = 0

unde este $\partial _{\mu }$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$ $\ partial_ \ mu$ este quadrigradientul , dat de:

\partial _{\mu }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, \ nabla \ right)}

\ partial_ \ mu \ = \ left (\ frac {1} {c} \ frac {\ partial} {\ partial t}, \ nabla \ right)

Ecuația de continuitate poate fi scrisă și ca:

J^{a}{}_{,a}=0

{\ displaystyle J ^ {a} {} _ {, a} = 0}

J ^ a {} _ {, a} = 0

unde este $;$ ${\ displaystyle;}$ $;$ denotă derivatul covariant .

Acest mod compact de exprimare, odată expresia explicită a $J^{\mu }$ ${\ displaystyle J ^ {\ mu}}$ $J ^ \ mu$ devine expresia ecuației de continuitate.

Derivare

Forma diferențială poate fi derivată presupunând că o cantitate $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este conținut într-o regiune de volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ al cărui contur este $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ . Dacă această cantitate crește în timp, poate fi scrisă ca suma a celei conținute în volum plus o creștere:

q(t)=\int _{V}\varphi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V+\int _{0}^{t}\Sigma (t')\mathrm {d} t'

{\ displaystyle q (t) = \ int _ {V} \ varphi (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V + \ int _ {0} ^ {t} \ Sigma (t ') \ mathrm {d} t '}

{\ displaystyle q (t) = \ int _ {V} \ varphi (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V + \ int _ {0} ^ {t} \ Sigma (t ') \ mathrm {d} t '}

Variația de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este exprimată prin derivata în timp:

{\frac {\partial q(t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\varphi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V+\Sigma (t)=\oint _{\partial V}\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial q (t)} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ varphi (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V + \ Sigma (t) = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial q (t)} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ varphi (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V + \ Sigma (t) = \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

și folosind teorema divergenței :

\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V=-\int _{V}{\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}\mathrm {d} V+\int _{V}\sigma (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} V

{\ displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V = - \ int _ {V} {\ frac {\ partial \ varphi ( \ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} \ mathrm {d} V + \ int _ {V} \ sigma (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V}

\ int_V \ nabla \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V = - \ int_V \ frac {\ partial \ varphi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t} \ mathrm {d} V + \ int_V \ sigma (\ mathbf {r}, t) \ mathrm {d} V

Această relație este adevărată numai dacă integranzii sunt egali, adică:

\nabla \cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\partial \varphi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}+\sigma (\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {\ partial \ varphi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} + \ sigma (\ mathbf {r}, t)}

\ nabla \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = - \ frac {\ partial \ varphi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t} + \ sigma (\ mathbf {r }, t)

Teorema lui Noether

Același subiect în detaliu: teorema lui Noether .

Dacă luăm în considerare variația infinitesimală a unui câmp $\phi (\mathbf {r} ,t)$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}, t)}$ $\ phi (\ mathbf r, t)$ (de exemplu un câmp tensorial ):

\phi \rightarrow \phi +\delta \phi

{\ displaystyle \ phi \ rightarrow \ phi + \ delta \ phi}

\ phi \ rightarrow \ phi + \ delta \ phi

Teorema lui Noether afirmă că densitatea lagrangiană ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ este invariant în raport cu o simetrie continuă:

{\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {L}}+\delta {\mathcal {L}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ rightarrow {\ mathcal {L}} + \ delta {\ mathcal {L}}}

\ mathcal {L} \ rightarrow \ mathcal {L} + \ delta \ mathcal {L}

Acest fapt implică faptul că există densități curente conservate ale formei: ^[3]

J^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi

{\ displaystyle J ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta \ phi}

J ^ \ mu = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} \ delta \ phi

care satisfac ecuația continuității:

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

\ partial_ \ mu J ^ \ mu = 0

De fapt, variația de ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ Și:

\delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}(\partial _{\mu }\delta \phi )

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L }}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} (\ partial _ {\ mu} \ delta \ phi)}

\ delta \ mathcal {L} = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ phi} \ delta \ phi + \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} \ delta (\ partial_ \ mu \ phi) = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ phi} \ delta \ phi + \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} (\ partial_ \ mu \ delta \ phi)

folosind ecuațiile Euler-Lagrange :

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right]={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ right] = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}}}

\ partial_ \ mu \ left [\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} \ right] = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ phi }

variația ia forma:

\delta {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right]\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}(\partial _{\mu }\delta \phi )=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi \right]=0

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi )}} \ right] \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} (\ partial _ {\ mu} \ delta \ phi) = \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta \ phi \ dreapta] = 0}

\ delta \ mathcal {L} = \ partial_ \ mu \ left [\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} \ right] \ delta \ phi + \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} (\ partial_ \ mu \ delta \ phi) = \ partial_ \ mu \ left [\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} \ delta \ phi \ right] = 0

unde a fost utilizată regula produsului. Obținem astfel ecuația de continuitate într-o altă formă generală:

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi \right]=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta \ phi \ right] = 0}

\ partial_ \ mu \ left [\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} \ delta \ phi \ right] = 0

iar densitatea de curent conservată este:

J^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi

{\ displaystyle J ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta \ phi}

J ^ \ mu = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi)} \ delta \ phi

Integrarea $J^{\mu }$ ${\ displaystyle J ^ {\ mu}}$ $J ^ \ mu$ într-un volum de spațiu - timp se obține creșterea totală a curentului stocat în acesta:

q=\int _{V}J^{\mu }dV=\int _{V}J^{\mu }dx^{1}dx^{2}dx^{3}

{\ displaystyle q = \ int _ {V} J ^ {\ mu} dV = \ int _ {V} J ^ {\ mu} dx ^ {1} dx ^ {2} dx ^ {3}}

q = \ int_V J ^ \ mu dV = \ int_V J ^ \ mu dx ^ 1dx ^ 2dx ^ 3

Masa

Legea conservării masei în forma sa diferențială este deosebit de utilă în dinamica fluidelor și teoria elasticității . Luați în considerare un volum elementar de control fixat în timp $dr^{3}=dxdydz$ ${\ displaystyle dr ^ {3} = dxdydz}$ $dr ^ 3 = dx dy dz$ delimitată de fețe paralele cu axele de coordonate. Principiul conservării masei exprimă faptul că masa netă curge prin suprafața de control în intervalul de timp $\operatorname {d} t$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} t}$ $\ operatorname dt$ este egal cu variația masei în cadrul aceluiași element. Deoarece volumul de control este infinit de mic și presupunând că variabilele variază continuu în spațiu și timp, masa volumului de control poate fi exprimată ca $\operatorname {d} m=\rho _{m}\operatorname {d} r^{3}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} m = \ rho _ {m} \ operatorname {d} r ^ {3}}$ $\ operatorname dm = \ rho_m \ operatorname dr ^ 3$ , unde este $\rho _{m}$ ${\ displaystyle \ rho _ {m}}$ $\ rho_m$ este densitatea fluidului.

{\frac {\partial \rho _{m}}{\partial t}}+\nabla \rho _{m}\cdot {\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}+\rho _{m}\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho _ {m}} {\ partial t}} + \ nabla \ rho _ {m} \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} + \ rho _ {m} \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

\ frac {\ partial \ rho_m} {\ partial t} + \ nabla \ rho_m \ cdot \ frac {\ operatorname d \ mathbf r} {\ operatorname dt} + \ rho_m \ nabla \ cdot \ frac {\ operatorname d \ mathbf r} {\ operatorname dt} = 0

care pentru un fluid incompresibil devine:

\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

\ nabla \ cdot \ frac {\ operatorname d \ mathbf r} {\ operatorname dt} = 0

În mecanica cuantică

De asemenea, în mecanica cuantică , ecuația continuității exprimă o lege de conservare, de data aceasta a densității probabilității . De fapt, este dat de:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\right|^{2}+\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}\left(\nabla {\bar {\psi }}\left(\mathbf {r} ,t\right)\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)-{\bar {\psi }}\left(\mathbf {r} ,t\right)\nabla \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\right)\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left | \ psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ right | ^ {2} + \ nabla \ cdot \ left ({ \ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ nabla {\ bar {\ psi}} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ psi \ left (\ mathbf {r}, t \ dreapta) - {\ bar {\ psi}} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ nabla \ psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ right) \ right) = 0}

\ frac {\ partial} {\ partial t} \ left | \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ right | ^ 2 + \ nabla \ cdot \ left (\ frac {i \ hbar} {2m} \ left (\ nabla \ bar \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) - \ bar \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ nabla \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ right) \ right) = 0

adică:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\right|^{2}+\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}\nabla {\bar {\psi }}\left(\mathbf {r} ,t\right)\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\right)-\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}{\bar {\psi }}\left(\mathbf {r} ,t\right)\nabla \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left | \ psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ right | ^ {2} + \ nabla \ cdot \ left ({ \ frac {i \ hbar} {2m}} \ nabla {\ bar {\ psi}} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ dreapta) - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {i \ hbar} {2m}} {\ bar {\ psi}} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) \ nabla \ psi \ left ( \ mathbf {r}, t \ right) \ right) = 0}

\ frac {\ partial} {\ partial t} \ left | \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ right | ^ 2 + \ nabla \ cdot \ left (\ frac {i \ hbar} {2m} \ nabla \ bar \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ right) - \ nabla \ cdot \ left (\ frac {i \ hbar} {2m} \ bar \ psi \ left (\ mathbf r, t \ dreapta) \ nabla \ psi \ left (\ mathbf r, t \ right) \ right) = 0

Notă

^ Mencuccini, Silvestrini , pagina 175 .
^ Jackson , pagina 554 .
^ D. McMahon, Mc Graw Hill (SUA), Quantum Field Theory , 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Ecuația continuității , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Mencuccini, Silvestrini , pagina 175 .

[2] Jackson , pagina 554 .

[3] D. McMahon, Mc Graw Hill (SUA), Quantum Field Theory , 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 .

[1]

[2]

[3]