Ecuația de gradul II

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o ecuație de gradul doi sau pătratică cu o necunoscută este o ecuație algebrică în care gradul maxim cu care apare necunoscutul este 2 și este întotdeauna atribuibil formei: [1]

,

unde este sunt numere reale sau complexe .

Conform teoremei fundamentale a algebrei , soluțiile (numite și rădăcini sau zerouri ale ecuației) ecuațiilor de gradul doi din câmpul complex sunt întotdeauna două, dacă sunt numărate cu multiplicitatea lor. Pe câmpul real, pe de altă parte, ecuațiile pătratice pot admite două soluții, o soluție dublă sau nicio soluție. [2]

Mai mult, așa-numitele ecuații incomplete , unde unii coeficienți sunt egali cu zero, sunt deosebit de simple de rezolvat.

Graficul funcției

în plan cartezian este o parabolă , a cărei concavitate depinde de semnul lui . Mai exact: dacă parabola are concavitatea orientată în sus, dacă parabola are concavitatea orientată în jos. [3]

Istorie

Vechii babilonieni au lăsat primele dovezi ale descoperirii ecuațiilor pătratice în tablele de lut și au găsit primele tehnici pentru a le rezolva. În Mesopotamia , ecuațiile au fost adesea introduse de probleme de tip geometric: de exemplu, se cere găsirea laturii unui pătrat știind că aria minus o parte este egală cu 870; problemă care corespunde ecuației noastre (redus în formă normală ca ). Cu toate acestea, babilonienii nu au acceptat soluțiile negative și nule ale ecuațiilor și, neacceptând faptul că coeficienții ar putea asuma atât valori pozitive, cât și negative, nu s-a recunoscut nici măcar o singură formă normală, dar s-au distins trei cazuri cu coeficienți pozitivi: [4]

Exprimat în forma modernă, primul are termenul negativ cunoscut, al doilea coeficientul negativ al gradului al doilea, iar al treilea ambii coeficienți mai mici decât zero. Ecuația cu toți termenii pozitivi nu a fost nici măcar luată în considerare, deoarece admite doar soluții negative.

În forma normală babiloniană, coeficientul de gradul doi este unitar, dar nu au ajuns la această formă, deoarece arabii au împărțit toți membrii după . Dat fiind, de exemplu, ecuația , ambii membri au fost de fapt înmulțiți cu : și apoi s-a făcut înlocuirea pentru a obține o ecuație în formă normală în variabilă ; . Această procedură mărturisește gradul ridicat de flexibilitate realizat de algebra babiloniană . [5]

Soluția a fost dată prin formule care amintesc foarte mult de cele de astăzi. De exemplu, formula soluției pentru primul caz a fost, exprimată în notație modernă, următoarea:

care poate fi redus prin simpli pași algebrici la formula soluției moderne pentru acest caz:

.

Matematicianul indian Baudhāyana , care a scris un Shulba Sutras în India antică în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. , a folosit mai întâi ecuații pătratice de formă Și , indicând metodele de rezolvare a acestora.

Matematicienii babilonieni (în jurul anului 400 î.Hr.) și chinezi au folosit metoda de completare a pătratului pentru a rezolva diverse ecuații pătratice cu rădăcini pozitive, dar nu au obținut o formulă generală.

Euclid a descris o metodă geometrică mai abstractă în jurul anului 300 î.Hr .; Diofantul din Alexandria s-a ocupat de soluția ecuațiilor de gradul doi, cu toate acestea lucrarea sa nu a avut consecințe semnificative, deoarece matematica greacă se afla într-o fază de declin. Manuscrisul Bakshali , scris în India între 200 î.Hr. și 400 d.Hr., a introdus formula soluției ecuațiilor pătratice.

Primul matematician cunoscut care a folosit formula algebrică generală, permițând atât soluții pozitive, cât și negative, a fost Brahmagupta ( India , secolul al VII-lea ).

Al-Khwarizmi ( BagdĀd , secolul IX d.Hr. ) a dezvoltat independent un set de formule care au funcționat pentru soluții pozitive. În al-Jabr , al-Khwarizmi distinge 5 tipuri de ecuații: cele trei deja cunoscute de babilonieni și, în plus, ecuația pură iar cel fals . Și aici, coeficientul de gradul doi este stabilit egal cu , dar acest lucru se realizează prin diviziune. Soluțiile negative nu sunt acceptate, nici măcar de data aceasta.

Metoda folosită de al-Khwarizmi este aceea de a completa pătratul . Ecuația , de exemplu, s-ar fi rezolvat prin adăugare la ambii termeni pentru a „completa” pătratul de pe primul membru: sau . Din aceasta s-a obținut și astfel s-a găsit soluția pozitivă .

Identité-remarquable-géométrie (1) .jpg

Matematicianul arab a propus și o transpunere grafică. Să presupunem că trebuie să rezolvăm aceeași ecuație . Metoda folosită de persani în acest caz ar fi putut fi similară cu următoarea: desenați un pătrat pe care presupunem că îl are lateral (cel albastru din imagine). Două dreptunghiuri de dimensiuni sunt plasate lângă acesta Și sau (cele verzi din figură). Zona figurii verzi și albastre este . Să presupunem acum că această zonă este egală cu . Acum să adăugăm pătratul roșu pe lateral , pentru a „completa” pătratul mare. Suprafața totală va fi atunci iar latura pătratului mare este deci 7. Întrucât latura mare este dată de latura pătratului albastru (adică ) adăugat pe partea dreptunghiului verde (adică 4); . [6] Al-Khwaritzmi subliniază pentru prima dată semnul discriminantului, care trebuie să fie pozitiv pentru ca ecuația să fie rezolvabilă.

Prioritatea descoperirii formulei generale pentru rezolvarea unei ecuații pătratice a fost atribuită lui Sridhara (c. 870-930), deși a existat o dispută în timpul său. Regula (raportată de Bhaskara II ) este:

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu o cantitate cunoscută egală cu de patru ori coeficientul pătratului necunoscutului; adăugați ambelor părți o cantitate cunoscută egală cu pătratul coeficientului necunoscutului; apoi determină rădăcina pătrată. [7] "

Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (cunoscut și sub numele latin Savasorda) a fost primul care a introdus soluția completă în Europa cu Liber embadorum . În epoca modernă din Europa au început să accepte soluții negative și, ulterior, complexe și să pună ecuația într-o formă normală unică.

Viète a fost primul care a introdus litere pentru a exprima coeficienții ecuațiilor, presupunând mai întâi că ar putea să-și asume și valori negative. Apoi a descoperit formulele care îi poartă numele și care leagă coeficienții ecuației de rădăcini. În special, pentru ecuația de gradul doi se afirmă că dacă coeficientul de gradul doi este 1, atunci produsul rădăcinilor dă termenului cunoscut și opusului sumei lor coeficientul de gradul I.

Descartes a introdus în secolul al XVII-lea regula semnelor , conform căreia o ecuație de gradul al doilea are tot atâtea soluții pozitive pe cât există schimbări de semn între doi coeficienți consecutivi. Ecuația , de exemplu, admite o soluție negativă în schimb Are doua.

Ecuații pătratice incomplete

Ecuație falsă

Spurious este o ecuație pătratică căreia îi lipsește termenul cunoscut, adică având forma: [8]

O ecuație de acest tip este ușor rezolvată prin colectarea de factori comuni :

Prin legea anulării produsului, această ecuație este echivalentă cu cele două:

și în cele din urmă soluțiile sale sunt:

Dacă coeficienții ecuației false sunt numere reale, este caracteristic acestei ecuații să existe întotdeauna două soluții reale distincte, dintre care una este zero.

Ecuație pură

O ecuație pătratică pură este o ecuație polinomială de gradul doi care nu are termenul de gradul I: [9]

Purtând la al doilea membru și împărțind la primesti:

De sine , ecuația nu admite soluții în câmpul real, deoarece nu există numere reale care să fie rădăcini pătrate ale unui număr negativ (de exemplu ), dar există două soluții în domeniul numerelor complexe.

De sine , ecuația este rezolvată prin:

Dacă coeficienții ecuației pure sunt numere reale, soluțiile vor fi întotdeauna fie două numere reale opuse, fie două numere complexe conjugate .

Ecuația Monomy

O ecuație monomică este o ecuație pătratică în care Și , deci în formă . În acest caz, ecuația admite ca singura soluție dublă sau a multiplicității două , . [10]

Ecuații complete și formula soluției generale

O ecuație polinomială de gradul doi se numește ecuație pătratică completă atunci când toți coeficienții ei sunt diferiți de. Se rezolvă cu așa-numita metodă de completare a pătratului , așa-numita deoarece ecuația este modificată până când primul său membru este pătratul unui binom sub forma:

.

În primul rând, aduceți-l către al doilea membru:

Înmulțind cu ambii membri, avem:

Rețineți că:

este asta:

,

de aceea este posibil să se ia în considerare termenul dupa cum de formula pătrată binomială e ca produsul dublu unde Este egal cu ; prin urmare, pentru a se asigura că primul membru are un pătrat binomial, acesta se adaugă pe ambele părți ale ecuației :

,

adică:

Al doilea membru al acestei ecuații se numește discriminant și este indicat de obicei prin litera greacă (Delta). De sine este negativ, nu există soluții reale, deoarece primul membru, fiind pătrat, este întotdeauna mai mare sau egal cu. Dacă nu, puteți scrie:

care, cu pași simpli, poate fi rescris ca:

Ultima expresie este cunoscută ca formula soluției pentru ecuațiile de gradul doi .

Calculul soluțiilor

În lumina dovezii anterioare, este clar că, în rezolvarea unei ecuații pătratice, este mai întâi necesar să se calculeze discriminantul .
Există trei cazuri: [11]

  • De sine , există două soluții reale și distincte:
  • De sine , formula soluției devine:
    Prin urmare , și există o singură rădăcină a multiplicității două.
  • De sine în cele din urmă, ecuația nu are soluții reale. În special, soluțiile sunt întotdeauna două, dar aparțin câmpului numerelor complexe: sunt două numere complexe conjugate și sunt calculate folosind cele două formule:
    unde este este unitatea imaginară ( ).

Interpretarea geometrică

Pentru funcția pătratică : , a unei variabile reale , abscisa punctelor în care graficul atinge axa , Și , sunt rădăcinile ecuației pătratice: .

Rădăcinile ecuației pătratice

sunt, de asemenea, punctele în care funcția

își asumă valoarea nulă, deoarece acestea sunt valorile lui pentru care:

De sine , Și sunt numere reale și domeniul este mulțimea numerelor reale, apoi zerourile lui sunt exact abscisele punctelor în care graficul lui atinge axa x .

Din considerațiile anterioare se poate deduce că: [12]

  • dacă discriminantul este pozitiv, graficul intersectează axa absciselor în două puncte;
  • dacă este nul, graficul este tangent la axă , adică îl intersectează în vârful parabolei ;
  • dacă este negativ, graficul nu atinge niciodată axa .

Formă redusă a formulei soluției

Formula soluției ecuației de gradul doi poate fi „simplificată” prin înmulțirea cu numitorul și numărătorul :

și, aplicând înlocuirea , noi obținem:

Această formulă poate fi convenabilă atunci când coeficientul de primul grad necunoscut al ecuației, , este exact divizibil cu doi și se numește o formulă redusă . [13]

În cazul în care , atunci formula se simplifică la:

Relațiile dintre rădăcini și coeficienți

Intreaba-te pe tine insuti egală cu suma celor două soluții ale ecuației pătratice e produsul lor, atunci Și . Prin adăugarea celor două soluții membru cu membru, avem:

În schimb, prin transformarea produsului în membru, veți obține:

Aceste două relații ne permit să determinăm suma și produsul rădăcinilor fără a rezolva ecuația [14] ; sunt un caz particular al formulelor lui Viète . Mai mult, dacă ecuația generică de gradul doi este rescrisă în așa-numita formă normală , adică împărțind ambii termeni la :

cu substituții banale obținem forma:

Mai puțin utilizată, dar la fel de importantă este relația:

demonstrabilă prin pași algebrici simpli.

Factorizarea trinomului

Luați în considerare polinomul de gradul II complet:

și să presupunem, de asemenea, că discriminantul ecuației obținute prin echivalarea polinomului cu zero este pozitiv (o ipoteză inutilă în câmpul numerelor complexe). Adunare primesti:

S-a găsit deja înainte Și . Asa de:

Prin urmare, este posibil să se descompună un polinom de gradul doi în două binomii de gradul I, calculând soluțiile ecuației date de polinomul egal cu zero:

Dacă ecuația asociată are o singură soluție reală de multiplicitate două, descompunerea trinomului de gradul doi poate fi rescrisă după cum urmează:

Regula semnelor

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Regula semnelor lui Descartes .

Regula semnelor sau regula lui Descartes permite determinarea semnului rădăcinilor unei ecuații complete cu discriminant non-negativ. Luați în considerare, în ordine, semnele , Și . Puteți presupune că este , cu excepția cazului în care înmulțiți ambii termeni cu . Sunt combinații posibile: [15]

la b c
+ + +
+ + -
+ - +
+ - -
  1. Primul caz: . Amintindu-mi asta Și , rezultă că produsul lor este pozitiv și suma lor negativă, astfel încât ambele soluții sunt negative.
  2. Al doilea caz: Și . Atunci produsul rădăcinilor este negativ (ceea ce implică faptul că sunt discordante) și suma este negativă (ceea ce implică faptul că soluția negativă este mai mare în valoare absolută decât cea pozitivă).
  3. Al treilea caz: Și . Atunci produsul rădăcinilor este pozitiv, precum și suma lor; de aceea ambele rădăcini sunt pozitive.
  4. Al patrulea caz: Și . Atunci produsul rădăcinilor este negativ (ceea ce implică din nou că sunt discordante), dar suma este pozitivă (prin urmare soluția pozitivă este mai mare în valoare absolută).

Numind permanență fiecare secvență de două semne egale și variație fiecare secvență de semne opuse, este posibil să rezumăm rezultatele anterioare afirmând că fiecare permanență corespunde unei soluții negative și fiecărei variații o soluție pozitivă. Când rădăcinile sunt discordante, valoarea pozitivă este mai mare în valoare absolută dacă variația precede permanența; cea negativă dacă permanența precede variația.

Exemplu de rezoluție prin completarea pătratului

Este:

asa de:

de la care:

În acest moment este posibil să desenăm graficul lui , traducând parabola asociată cu din de-a lungul axei , și de de-a lungul axei .

Metoda restului

Diferite metode pot fi aplicate unor ecuații pentru a-și găsi rădăcinile. Se folosește teorema restului lui Ruffini , se verifică divizorii posibili ai termenului cunoscut și ia-o o dată si odata ; luând apoi în considerare formula teoremei restului lui Ruffini , puteți afla imediat asta , și asta prin înlocuirea în ecuație în loc de putem verifica restul care ne va da polinomul împărțit la : dacă este atunci va fi divizorul , unde este o soluție a ecuației . În acest moment, cealaltă soluție poate fi găsită în două moduri:

  • Ruffini :

Aplicarea diviziunii lui Ruffini sau a metodei canonice pentru a avea un binom în care termenul cunoscut, schimbat în semn, va fi a doua soluție căutată:

Prin urmare:

  • Metoda rădăcinilor :

Știind că:

este asta:

,

după ce ați găsit prima soluție cu metoda văzută mai sus, a doua soluție poate fi găsită într-un mod mai scurt, fără a aplica divizarea prin setarea:

Reversul este, de asemenea, adevărat.

Cazuri speciale

Există două cazuri speciale sau . În primul caz soluțiile sunt Și , în timp ce în al doilea caz soluțiile sunt Și

Formula alternativă

În anumite situații, este de preferat să se exprime rădăcinile într-o formă alternativă:

Cu toate acestea, această formulă este corectă numai cu condiția suplimentară pe care nu este nul. De sine , această formulă furnizează corect soluția , dar nu obține rădăcina diferită de zero (deoarece veți obține diviziunea , care nu este definit).

Desigur, valorile celor două rădăcini sunt egale indiferent dacă se folosește formula "clasică" sau alternativa, care este de fapt o simplă variantă algebrică a primei:

Un'attenta implementazione su un calcolatore dotato di operazioni in virgola mobile differisce da entrambe le formule per garantire la robustezza del risultato. Assumendo che il discriminante sia positivo e , si può usare un codice come il seguente:

dove denota la funzione segno , che vale se è positivo e se è negativo; questo accorgimento assicura di sommare due quantità dello stesso segno, evitando l'eventuale perdita di precisione . Il calcolo della seconda radice sfrutta il fatto che il prodotto delle radici è uguale a .

Note

  1. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.865
  2. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.868
  3. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 3 , Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0431-0 . p.423
  4. ^ Boyer 1991 p. 38
  5. ^ Boyer 1991 pp. 39-40
  6. ^ Boyer 1991 p. 270
  7. ^ Biografia di Sridhara Archiviato il 5 marzo 2016 in Internet Archive .
  8. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.870
  9. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.869
  10. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.870
  11. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.64
  12. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.79
  13. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.65
  14. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.872
  15. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Matematica.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . pp.874-875

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 32445 · LCCN ( EN ) sh85044517 · BNF ( FR ) cb12124598x (data)
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica