Ecuația diferențială parțială

În analiza matematică , o ecuație diferențială parțială , numită și ecuație diferențială parțială (termen prescurtat în EDP sau adesea în PDE , din acronimul englez Partial Differential Equation ), este o ecuație diferențială care implică derivatele parțiale ale unei funcții necunoscute a mai multor variabile independente .

Descrie funcția indirect printr-o relație între ea și derivatele sale parțiale, în loc să scrie explicit funcția. Relația trebuie să fie locală - adică trebuie să conecteze funcția și derivatele sale în același punct. O soluție clasică (sau în sens clasic) a ecuației este o funcție a tuturor variabilelor independente exprimate în ecuație și care posedă toate derivatele necesare pentru a da sens relației prin verificarea ei punctuală.

Generalitate

Acestea sunt utilizate în mod obișnuit pentru a formula și rezolva probleme fizice importante, cum ar fi propagarea sunetului sau căldurii și în diverse domenii, cum ar fi electrostatica , electrodinamica , mecanica fluidelor , aerodinamica , elasticitatea , mecanica cuantică , relativitatea . Aplicații importante sunt prezente și în geometria diferențială în legătură cu noțiunile diferite de curbură . Ele au fost, de asemenea, utilizate cu succes pentru a descrie modele matematice în biologie și medicină, cum ar fi modele de dinamică a populației , creșterea celulară în tumori și chemotaxie . Alte aplicații recente se referă la modelele matematice ale piețelor financiare , în special cu acestea, dinamica opțiunilor financiare este descrisă prin celebra formulă a lui Black și Scholes .

În general, diferite probleme pot fi studiate pentru un EDP în funcție de natura ecuației în sine. De exemplu, în ecuațiile clasice ale fizicii matematice , definite într-un anumit domeniu spațial, sunt prescrise condiții limită dacă domeniul are o limită sau condiții limită dacă sunt luate în considerare domenii infinite. Dacă, la fel ca în cazul ecuației căldurii sau ecuației valurilor , de exemplu, una dintre variabile este timpul, atunci are sens să se prescrie și condițiile inițiale prin studierea problemei Cauchy aferente. În acest caz, problema este bine pusă dacă există existență, unicitate și dependență continuă de date (limită sau inițială).

Descriere

O ecuație diferențială parțială de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ are forma: ^[1]

F(D^{k}u(x),D^{k-1}u(x),\cdots ,Du(x),u(x),x)=0,

{\ displaystyle F (D ^ {k} u (x), D ^ {k-1} u (x), \ cdots, Du (x), u (x), x) = 0,}

{\ displaystyle F (D ^ {k} u (x), D ^ {k-1} u (x), \ cdots, Du (x), u (x), x) = 0,}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este un număr întreg, $D^{k}$ ${\ displaystyle D ^ {k}}$ $D ^ {k}$ este un operator de derivare a comenzilor $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ în ceea ce privește una sau mai multe variabile și variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparține unui subset $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Functia $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ :

F\colon \mathbb {R} ^{n^{k}}\times \mathbb {R} ^{n^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times U\rightarrow \mathbb {R}

{\ displaystyle F \ colon \ mathbb {R} ^ {n ^ {k}} \ times \ mathbb {R} ^ {n ^ {k-1}} \ times \ cdots \ times \ mathbb {R} ^ {n } \ times \ mathbb {R} \ times U \ rightarrow \ mathbb {R}}

{\ displaystyle F \ colon \ mathbb {R} ^ {n ^ {k}} \ times \ mathbb {R} ^ {n ^ {k-1}} \ times \ cdots \ times \ mathbb {R} ^ {n } \ times \ mathbb {R} \ times U \ rightarrow \ mathbb {R}}

este dată, în timp ce funcția $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ :

u\colon U\rightarrow \mathbb {R}

{\ displaystyle u \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R}}

{\ displaystyle u \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R}}

este necunoscutul ecuației.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale parțiale constă în găsirea funcțiilor $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ care îl fac o identitate pe un set adecvat. De asemenea, se cere, de obicei, ca soluțiile să îndeplinească anumite condiții de limitare auxiliare. De exemplu, pentru a obține unicitatea soluției, sunt adesea stabilite condiții adecvate pentru o anumită cale $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ a frontierei $\partial U$ ${\ displaystyle \ partial U}$ $\ partial U$ din $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

De obicei, nu este posibil să se găsească funcția explicită necunoscută: cu excepția unor cazuri particulare, căutarea soluției constă în studierea existenței și a proprietăților pe care trebuie să le asume.

Notaţie

În teoria PDE-urilor, dacă este indicată de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ funcția necunoscută apoi derivata sa parțială în raport cu variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este adesea notată prin notație prescurtată $u_{x}$ ${\ displaystyle u_ {x}}$ $u_ {x}$ :

u_{x}={\partial u \over \partial x}\qquad u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial x\,\partial y}

{\ displaystyle u_ {x} = {\ partial u \ over \ partial x} \ qquad u_ {xy} = {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x \, \ partial y}}

{\ displaystyle u_ {x} = {\ partial u \ over \ partial x} \ qquad u_ {xy} = {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x \, \ partial y}}

În tradiția anglo-saxonă este preferată utilizarea operatorului nabla , care într-un sistem cartezian este tratat formal ca câmpul vector $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$ ${\ displaystyle \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ dreapta)}$ . De exemplu, pentru o funcție scalară $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și un câmp vector $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ :

\nabla F=\mathrm {grad} \ F\qquad \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathrm {div} \ \mathbf {F} \qquad \nabla \times \mathbf {F} =\mathrm {rot} \ \mathbf {F}

{\ displaystyle \ nabla F = \ mathrm {grad} \ F \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ mathrm {div} \ \ mathbf {F} \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {F} = \ mathrm {rot} \ \ mathbf {F}}

{\ displaystyle \ nabla F = \ mathrm {grad} \ F \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ mathrm {div} \ \ mathbf {F} \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {F} = \ mathrm {rot} \ \ mathbf {F}}

În tradiția fizicii matematice, derivatele cu privire la timp sunt uneori indicate cu notația lui Newton .

Se spune că ecuația este de ordinul q dacă $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este ordinea maximă a derivatelor care apar acolo. Dacă ecuația depinde liniar de necunoscut $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ iar din derivatele sale se numește liniară, în timp ce în cazul în care derivatele de ordin maxim apar doar liniar (cu coeficienți care pot depinde de derivatele de ordin inferior), ecuația se numește cvasi-liniară. O ecuație cvasi-liniară ai cărei coeficienți sunt doar o funcție de variabile independente (dar nu depind de soluție $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ ) se numește semi-liniar. În cele din urmă, se spune că o ecuație este omogenă dacă nu apar termeni independenți de funcția necunoscută $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ .

Liniaritatea

O ecuație diferențială parțială poate fi liniară , semiliniară, cvasilineară sau total neliniară: ^[2]

Se spune că ecuația este liniară dacă are forma:

\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }u=f(x),

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} u = f (x),}

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} u = f (x),}

pentru funcții adecvate

a_{\alpha }(x)

{\ displaystyle a _ {\ alpha} (x)}

a _ {\ alpha} (x)

și

f

{\ displaystyle f}

f

. De sine

f=0

{\ displaystyle f = 0}

f = 0

se spune că ecuația este omogenă.

Se spune că ecuația este semiliniară dacă are forma:

\sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }u+a_{0}(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0.

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = k} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} u + a_ {0} (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = k} a _ {\ alpha} (x) D ^ {\ alpha} u + a_ {0} (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) = 0.}

Se spune că ecuația este cvasiliniară dacă are forma:

\sum _{|\alpha |=k}a_{\alpha }(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)D^{\alpha }u+a_{0}(D^{k-1}u,\cdots ,Du,u,x)=0.

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = k} a _ {\ alpha} (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) D ^ {\ alpha} u + a_ {0 } (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {| \ alpha | = k} a _ {\ alpha} (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) D ^ {\ alpha} u + a_ {0 } (D ^ {k-1} u, \ cdots, Du, u, x) = 0.}

Se spune că ecuația este total neliniară dacă depinde într-un mod neliniar de cel mai înalt grad de derivare.

Sistem de ecuații diferențiale parțiale

Un sistem de ecuații ale ordinii diferențiale parțiale $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ are forma: ^[2]

\mathbf {F} (D^{k}\mathbf {u} (x),D^{k-1}\mathbf {u} (x),\ldots ,D\mathbf {u} (x),\mathbf {u} (x),x)=0.

{\ displaystyle \ mathbf {F} (D ^ {k} \ mathbf {u} (x), D ^ {k-1} \ mathbf {u} (x), \ ldots, D \ mathbf {u} (x ), \ mathbf {u} (x), x) = 0.}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (D ^ {k} \ mathbf {u} (x), D ^ {k-1} \ mathbf {u} (x), \ ldots, D \ mathbf {u} (x ), \ mathbf {u} (x), x) = 0.}

Functia:

\mathbf {F} \colon \mathbb {R} ^{mn^{k}}\times \mathbb {R} ^{mn^{k-1}}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{mn}\times \mathbb {R} ^{m}\times U\rightarrow \mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ colon \ mathbb {R} ^ {mn ^ {k}} \ times \ mathbb {R} ^ {mn ^ {k-1}} \ times \ cdots \ times \ mathbb {R } ^ {mn} \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ times U \ rightarrow \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ colon \ mathbb {R} ^ {mn ^ {k}} \ times \ mathbb {R} ^ {mn ^ {k-1}} \ times \ cdots \ times \ mathbb {R } ^ {mn} \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ times U \ rightarrow \ mathbb {R}}

este dată, în timp ce funcția $\mathbf {u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ ${\ mathbf u}$ :

\mathbf {u} \colon U\rightarrow \mathbb {R} ^{m},

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m},}

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ colon U \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m},}

cu

\mathbf {u} =(u^{1},\ldots ,u^{m})

{\ displaystyle \ mathbf {u} = (u ^ {1}, \ ldots, u ^ {m})}

{\ displaystyle \ mathbf {u} = (u ^ {1}, \ ldots, u ^ {m})}

care este necunoscutul sistemului.

Se presupune că sistemul are la fel de multe ecuații ca necunoscute, într-un număr egal cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ .

Probleme bine puse și soluții

Același subiect în detaliu: Formulare slabă .

Nu există o teorie universală care să ofere o metodă unică pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale. ^[3] Cercetarea științifică s-a concentrat, în consecință, în principal pe ecuații de interes matematic și fizic semnificativ, dezvoltând metodologiile lor specifice de soluționare.

Se spune că o problemă legată de o ecuație diferențială parțială este bine pusă în mod informal dacă are o soluție, dacă această soluție este unică și dacă depinde continuu de datele furnizate de problemă. ^[4] O problemă bine pusă conține toate caracteristicile ideale pentru a studia solvabilitatea acesteia. Ultima condiție este deosebit de importantă în aplicațiile fizice: dependența continuă de datele problemei înseamnă că o mică variație a acestora după bunul plac are consecințe la fel de mici asupra soluției. Pentru a obține probleme bine puse, se folosesc de obicei condiții limită adecvate.

Soluția unei ecuații diferențiale parțiale nu are caracteristici generale și variază în funcție de problemă. Este soluția clasică definită informal a unui PDE de comandă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ o funcție diferențiată până la comandă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -th, ^[4] astfel încât toate derivatele există și sunt continue. Rezolvarea unui PDE în sens clasic înseamnă, prin urmare, căutarea unei funcții lină sau cel puțin a unei clase $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ .

Rezolvarea unei probleme bine puse în sens clasic este deci determinată atunci când printre soluțiile în sens clasic există doar una care să satisfacă definiția unei probleme bine puse.

Cu toate acestea, pentru majoritatea ecuațiilor diferențiale parțiale, nu există soluții clasice. În general, de exemplu, ecuațiile de continuitate nu au soluții clasice. Dacă o funcție nediferențiată este admisă ca soluție a unei probleme bine puse, această soluție se numește slabă sau generalizată. ^[5] Motivul definirii unei clase de funcții care sunt soluții slabe ale unui PDE constă în faptul că căutarea unei soluții clasice este adesea de o dificultate considerabilă, ori de câte ori este posibil. Prin stabilirea unor condiții mai puțin restrictive la soluție, problema este simplificată sau devine posibilă, deoarece este mai ușor să găsiți o singură soluție și să depindeți continuu de datele problemei. În cele din urmă, există cazuri în care soluția slabă găsită este suficient de regulată pentru a fi considerată clasică. Totuși, problema abilității de a considera regulată o soluție slabă este adesea supusă unor dificultăți matematice considerabile.

Pentru a ilustra acest lucru cu un exemplu, luați în considerare succesiunea problemelor Cauchy pentru ecuația Laplace :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0 ,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0 ,}

cu condiții la graniță :

u(x,0)=0,

{\ displaystyle u (x, 0) = 0,}

{\ displaystyle u (x, 0) = 0,}

{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin(nx)}{n}},

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} (x, 0) = {\ frac {\ sin (nx)} {n}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} (x, 0) = {\ frac {\ sin (nx)} {n}},}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este întreg. Derivatul lui $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în comparație cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ converge uniform la zero în variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ dupa cum $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , dar soluția este:

u(x,y)={\frac {\sinh(ny)\sin(nx)}{n^{2}}}.

{\ displaystyle u (x, y) = {\ frac {\ sinh (ny) \ sin (nx)} {n ^ {2}}}.}

{\ displaystyle u (x, y) = {\ frac {\ sinh (ny) \ sin (nx)} {n ^ {2}}}.}

Această soluție tinde spre infinit dacă $n X$ ${\ displaystyle nx}$ $nx$ nu este un multiplu întreg al $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ pentru fiecare $y\neq 0$ ${\ displaystyle y \ neq 0}$ $y \ neq 0$ . Prin urmare, problema nu este o problemă bine pusă, deoarece soluția nu depinde continuu de datele inițiale.

Limitele teoremei Cauchy-Kovalevskaya

Același subiect în detaliu: teorema lui Cauchy-Kovalevskaya .

În timp ce pentru ecuațiile obișnuite teorema existenței și unicității pentru o problemă Cauchy și teorema existenței lui Peano oferă un răspuns larg la problema existenței și unicității soluțiilor posibile, cazul ecuațiilor diferențiale parțiale este mult mai complex. Teorema lui Cauchy-Kovalevskaya afirmă că, dacă coeficienții ecuației sunt funcții analitice față de funcția necunoscută și derivatele acesteia, atunci există o funcție analitică care este locală singura soluție. Totuși, acest rezultat nu se aplică funcțiilor netede . Un exemplu binecunoscut, datorat lui Hans Lewy , arată că mai departe $\mathbb {R} \times \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {C}}$ există o funcție lină $F(t,z)$ ${\ displaystyle F (t, z)}$ $F (t, z)$ astfel încât ecuația:

{\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial {\ bar {z}}}} - iz {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = F (t, z)}

{\ frac {\ partial u} {\ partial {\ bar {z}}}} - iz {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = F (t, z)

nu are nicio soluție pe orice deschis. De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ dacă ar fi analitică, teorema lui Cauchy-Kovalevskaya ar garanta existența unei soluții.

Exemplu

În majoritatea cazurilor nu este posibil să se determine soluția unui EDP; când este fezabil, se observă că, în timp ce soluțiile generale ale ecuațiilor diferențiale ordinare văd prezența constantelor arbitrare, soluțiile ecuațiilor diferențiale parțiale implică funcții arbitrare. De exemplu, considerați ecuația diferențială parțială:

{\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)=0.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} u (x, y) = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} u (x, y) = 0.}

Această relație implică faptul că funcția $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ este independent de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Deci soluția generală a acestei ecuații este:

u(x,y)=f(y),

{\ displaystyle u (x, y) = f (y),}

{\ displaystyle u (x, y) = f (y),}

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție arbitrară a $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Ecuația diferențială ordinară analogă este:

{\frac {du(x)}{dx}}=0,

{\ displaystyle {\ frac {du (x)} {dx}} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {du (x)} {dx}} = 0,}

care are ca soluție:

u(x)=c,

{\ displaystyle u (x) = c,}

{\ displaystyle u (x) = c,}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o constantă .

În general, soluția unei ecuații diferențiale parțiale nu este unică și este necesar să se stabilească condiții suplimentare la limita unei regiuni în care soluția este definită. De exemplu, funcția $f(y)$ ${\ displaystyle f (y)}$ $f (y)$ se poate determina dacă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este cunoscut de-a lungul liniei $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ .

PDE în două variabile

PDE de ordinul întâi

Același subiect în detaliu: Metoda caracteristicilor .

O ecuație diferențială parțială de ordinul întâi are forma:

F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.

{\ displaystyle F (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u, u_ {x_ {1}}, \ ldots u_ {x_ {n}}) = 0.}

{\ displaystyle F (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u, u_ {x_ {1}}, \ ldots u_ {x_ {n}}) = 0.}

În două dimensiuni:

F(x,y,u,p,q)=0,

{\ displaystyle F (x, y, u, p, q) = 0,}

{\ displaystyle F (x, y, u, p, q) = 0,}

unde este $p=u_{x}$ ${\ displaystyle p = u_ {x}}$ $p = u_ {x}$ Și $q=u_{y}$ ${\ displaystyle q = u_ {y}}$ $q = u_ {y}$ . O integrală completă a ecuației este o soluție $\phi (x,y,u)$ ${\ displaystyle \ phi (x, y, u)}$ $\ phi (x, y, u)$ dependent de doi parametri $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (în special, numărul de parametri este egal cu dimensiunea spațiului). Prin alegerea unei funcții arbitrare $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ , pozat $b=w(a)$ ${\ displaystyle b = w (a)}$ $b = w (a)$ și determinant $A(x,y,u)$ ${\ displaystyle A (x, y, u)}$ $A (x, y, u)$ care necesită ca derivata totală să fie zero:

{\frac {d\varphi }{da}}=\varphi _{a}(x,y,u,A,w(A))+w'(A)\varphi _{b}(x,y,u,A,w(A))=0

{\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {da}} = \ varphi _ {a} (x, y, u, A, w (A)) + w '(A) \ varphi _ {b} (x , y, u, A, w (A)) = 0}

{\ frac {d \ varphi} {da}} = \ varphi _ {a} (x, y, u, A, w (A)) + w '(A) \ varphi _ {b} (x, y, u, A, w (A)) = 0

o solutie $u_{w}$ ${\ displaystyle u_ {w}}$ $u_ {w}$ este dat de:

u_{w}=\phi (x,y,u,A,w(A)).

{\ displaystyle u_ {w} = \ phi (x, y, u, A, w (A)).}

{\ displaystyle u_ {w} = \ phi (x, y, u, A, w (A)).}

Dacă nu este posibil să aveți integralul integral, o soluție poate fi obținută prin rezolvarea unui sistem de ecuații diferențiale obișnuite obținute prin exploatarea metodei caracteristicilor, care permite găsirea curbelor de-a lungul cărora ecuația se comportă ca o ecuație obișnuită.

PDE de ordinul II

Clasificarea unui PDE depinde exclusiv de coeficienții derivatelor de ordin maxim prezente în ecuația însăși. Ecuațiile diferențiale parțiale de ordinul doi în două variabile, care pot fi, de asemenea, urmărite înapoi la sistemele PDE de ordinul doi cu modificări adecvate ale variabilelor, au o formă generală:

A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+\cdots =0,

{\ displaystyle A (x, y) u_ {xx} + 2B (x, y) u_ {xy} + C (x, y) u_ {yy} + \ cdots = 0,}

{\ displaystyle A (x, y) u_ {xx} + 2B (x, y) u_ {xy} + C (x, y) u_ {yy} + \ cdots = 0,}

unde s-au scris termenii de grad maxim și se presupune $u_{xy}=u_{yx}$ ${\ displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}}$ $u _ {{xy}} = u _ {{yx}}$ . De sine $A^{2}+B^{2}+C^{2}>0$ ${\ displaystyle A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}> 0}$ $A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}> 0$ într-o regiune a planului xy, în acea regiune ecuația este de ordinul doi. Prin conversia (de exemplu, prin transformata Fourier ) a derivatelor în variabile crescute la gradul derivatei (adică exponentul este gradul de derivare) obținem ecuația secțiunii conice :

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

{\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + \ cdots = 0.}

{\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + \ cdots = 0.}

Aceste PDE sunt apoi clasificate în general ca parabolice, hiperbolice sau eliptice în funcție de tipologia ecuației asociate, cu criteriul discriminantului raportat pe scurt $B^{2}-AC$ ${\ displaystyle B ^ {2} -AC}$ $B ^ {2} -AC$ :

De sine $B^{2}-AC<0$ ${\ displaystyle B ^ {2} -AC <0}$ $B ^ {2} -AC <0$ ecuația este o ecuație diferențială parțială eliptică .
De sine $B^{2}-AC=0$ ${\ displaystyle B ^ {2} -AC = 0}$ $B ^ {2} -AC = 0$ ecuația este o ecuație parabolică diferențială parțială .
De sine $B^{2}-AC>0$ ${\ displaystyle B ^ {2} -AC> 0}$ $B ^ {2} -AC> 0$ ecuația este o ecuație diferențială parțială hiperbolică .

Ecuațiile hiperbolice sunt contextul mai general în care se aplică metoda caracteristicilor , care este valabilă și pentru ecuațiile de ordinul întâi.

Dacă există $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile independente $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ , un PDE generic de ordinul doi are forma:

Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\dots =0,

{\ displaystyle Lu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} + \ dots = 0,}

{\ displaystyle Lu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} + \ dots = 0,}

unde s-au scris termenii de grad maxim. Clasificarea se bazează pe semnul valorilor proprii ale coeficienților $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ :

Ecuația este eliptică dacă valorile proprii sunt toate pozitive sau negative.
Ecuația este parabolică dacă valorile proprii sunt toate pozitive sau negative, cu excepția uneia egale cu zero.
Ecuația este hiperbolică dacă există o singură valoare proprie negativă, în timp ce restul este pozitiv sau există o singură valoare proprie pozitivă, iar restul sunt negative.
Ecuația este ultrahiperbolică dacă există cel puțin o valoare proprie pozitivă și o valoare proprie negativă și nici o valoare proprie nu este nulă.

Acest lucru duce la analiza matricilor definite pozitive și negative definite , într-un mod similar cu ceea ce se întâmplă în discuția maximelor și minimelor.

Exemple

Matricea asociată sistemului:

\displaystyle u_{t}+2v_{x}=0,\qquad \displaystyle v_{t}-u_{x}=0

{\ displaystyle \ displaystyle u_ {t} + 2v_ {x} = 0, \ qquad \ displaystyle v_ {t} -u_ {x} = 0}

{\ displaystyle \ displaystyle u_ {t} + 2v_ {x} = 0, \ qquad \ displaystyle v_ {t} -u_ {x} = 0}

este următorul:

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}

Vectorii proprii sunt $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ Și $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ cu valori proprii 2 și -1. Deci sistemul este hiperbolic. Deoarece sistemul include două ecuații de ordinul întâi (chiar dacă fiecare din două funcții necunoscute), vrem să dovedim echivalența acestuia cu două ecuații hiperbolice disjuncte de ordinul doi, adică fiecare într-o funcție necunoscută. Derivând astfel prima ecuație cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar al doilea cu privire la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , presupunând că funcțiile sunt suficient de regulate, obținem:

\displaystyle u_{tx}+2v_{xx}=0,\qquad \displaystyle v_{tt}-u_{xt}=0,

{\ displaystyle \ displaystyle u_ {tx} + 2v_ {xx} = 0, \ qquad \ displaystyle v_ {tt} -u_ {xt} = 0,}

{\ displaystyle \ displaystyle u_ {tx} + 2v_ {xx} = 0, \ qquad \ displaystyle v_ {tt} -u_ {xt} = 0,}

din care, presupunând derivatele secundare continue, astfel încât să facă naveta prin teorema lui Schwarz , avem:

\displaystyle v_{tt}+2v_{xx}=0.

{\ displaystyle \ displaystyle v_ {tt} + 2v_ {xx} = 0.}

{\ displaystyle \ displaystyle v_ {tt} + 2v_ {xx} = 0.}

În mod similar, derivarea primului cu privire la $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ iar al doilea cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ primesti:

\displaystyle u_{tt}+2u_{xx}=0.

{\ displaystyle \ displaystyle u_ {tt} + 2u_ {xx} = 0.}

{\ displaystyle \ displaystyle u_ {tt} + 2u_ {xx} = 0.}

Acestea sunt ecuații eliptice unidimensionale, ambele ale vitezei imaginare de propagare ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\sqrt {2}}i.$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} = {\ sqrt {2}} i.}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} = {\ sqrt {2}} i.}$

Ecuații remarcabile

Unele dintre cele mai importante ecuații diferențiale parțiale sunt prezentate mai jos.

Ecuația undelor

Același subiect în detaliu: ecuația undelor și ecuația șirului vibrant .

Ecuația undelor este prototipul unei ecuații hiperbolice de ordinul doi, iar soluțiile sale descriu unde precum undele sonore sau luminoase. Forma generală a ecuației se referă la o funcție $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ a locației $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ si timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Este o ecuație diferențială parțială hiperbolică a cărei expresie generală este: ^[6]

\nabla ^{2}u-{\frac {1}{v^{2}}}{\partial ^{2}u \over {\partial t^{2}}}=0,

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} u - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ partial ^ {2} u \ over {\ partial t ^ {2}}} = 0,}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} u - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ partial ^ {2} u \ over {\ partial t ^ {2}}} = 0,}

unde este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ reprezintă viteza de propagare a undei. Funcția necunoscută $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ exprimă intensitatea undei într-o anumită poziție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la momentul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Pentru un șir vibrant, de exemplu, exprimă deplasarea fizică a șirului din poziția sa de repaus. De fapt, în una și două dimensiuni, această ecuație poate descrie vibrațiile unei coarde sau ale unui tambur.

Soluțiile sunt de obicei combinații de unde sinusoidale oscilante. Dacă viteza $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este dependent de frecvență, atunci trebuie înlocuit cu viteza de fază :

v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.

{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}

{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}

În cazul mai puțin frecvent în care viteza este dependentă de amplitudine, este o funcție de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ iar ecuația devine neliniară.

Ecuația de undă poate fi, de asemenea, scrisă folosind operatorul Dalembertian ca:

\Box u=0.

{\ displaystyle \ Box u = 0.}

{\ displaystyle \ Box u = 0.}

Ecuația de transport

Același subiect în detaliu: ecuația de transport .

Ecuația de transport descrie transportul unei cantități într-o anumită regiune spațială și este utilizată pentru studiul fenomenelor de transport . Are forma:

u_{t}+\sum _{i}v_{i}u_{x_{i}}=f.

{\ displaystyle u_ {t} + \ sum _ {i} v_ {i} u_ {x_ {i}} = f.}

{\ displaystyle u_ {t} + \ sum _ {i} v_ {i} u_ {x_ {i}} = f.}

Unde termenul cunoscut $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește termenul sursă. Vectorul coeficienților $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , adesea numită viteză de transport, este solenoid , adică:

\sum _{i}v_{x_{i}}=0.

{\ displaystyle \ sum _ {i} v_ {x_ {i}} = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {i} v_ {x_ {i}} = 0.}

Ecuația de transport poate fi, de asemenea, scrisă folosind operatorul derivat Lagrangian ca:

{\frac {Du}{Dt}}=f.

{\ displaystyle {\ frac {Du} {Dt}} = f.}

{\ displaystyle {\ frac {Du} {Dt}} = f.}

Ecuația de continuitate

Același subiect în detaliu: ecuația continuității .

Forma omogenă a ecuației de transport se numește ecuația continuității și este utilizată pentru descriere. Are forma:

u_{t}+\sum _{i}v_{i}u_{x_{i}}=0.

{\ displaystyle u_ {t} + \ sum _ {i} v_ {i} u_ {x_ {i}} = 0.}

{\ displaystyle u_ {t} + \ sum _ {i} v_ {i} u_ {x_ {i}} = 0.}

Ecuația de continuitate poate fi, de asemenea, scrisă utilizând operatorul derivat Lagrangian, cum ar fi:

{\frac {Du}{Dt}}=0.

{\ displaystyle {\ frac {Du} {Dt}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {Du} {Dt}} = 0.}

Ecuația de continuitate unidimensională a vitezei constante este ecuația prototip de primul ordin:

u_{x_{1}}+vu_{x_{2}}=0

{\ displaystyle u_ {x_ {1}} + vu_ {x_ {2}} = 0}

{\ displaystyle u_ {x_ {1}} + vu_ {x_ {2}} = 0}

și este denumită în mod obișnuit problema stye . Dacă în schimb $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ depinde de soluție și în special este egal cu funcția necunoscută $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ ecuația se numește ecuația Burgers .

Ecuația advecției

Același subiect în detaliu: Advecție .

Ecuația de advecție este un exemplu simplu de ecuație diferențială parțială de ordinul întâi. Are forma:

\sum _{i}v_{i}u_{x_{i}}=0.

{\ displaystyle \ sum _ {i} v_ {i} u_ {x_ {i}} = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {i} v_ {i} u_ {x_ {i}} = 0.}

Ecuația poate fi rescrisă prin operatorul de advecție ca:

\mathbf {v} \cdot \nabla u=0.

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ nabla u = 0.}

{\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ nabla u = 0.}

Ecuația căldurii

Același subiect în detaliu: ecuația căldurii .

Ecuația căldurii descrie evoluția în timp a temperaturii unei regiuni spațiale date. Are forma:

u_{t}=a(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}).

{\ displaystyle u_ {t} = a (u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz}).}

{\ displaystyle u_ {t} = a (u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz}).}

Termenul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ descrie difuzivitatea materialului.

Ecuațiile Poisson și Laplace

Același subiect în detaliu: ecuația Laplace și ecuația Poisson .

Este $\varphi =\varphi (\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ varphi = \ varphi (\ mathbf {x})}$ $\ varphi = \ varphi ({\ mathbf x})$ una funzione definita sulla chiusura dell'insieme $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ di $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ a valori in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . L'equazione di Poisson per $\varphi$ $\varphi$ $\varphi$ ha la forma: ^[7]

\nabla ^{2}\varphi =f,

\nabla ^{2}\varphi =f,

\nabla ^{2}\varphi =f,

dove $\nabla ^{2}$ $\nabla ^{2}$ $\nabla^2$ è l' operatore di Laplace o laplaciano e $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è definita in $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ a valori in $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\R$ . Nello spazio euclideo in coordinate cartesiane in tre dimensioni l'equazione prende la forma:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).

L'equazione di Poisson omogenea è detta equazione di Laplace:

\nabla ^{2}\varphi =0.

\nabla ^{2}\varphi =0.

\nabla ^{2}\varphi =0.

La funzione $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ rappresenta il termine forzante o di sorgente al secondo membro. In fisica le soluzioni di questa equazione descrivono un potenziale scalare in presenza di una sorgente, rispettivamente. Le soluzioni dell'equazione di Laplace assumono inoltre rilevanza in tantissime discipline, tra cui la scienza delle costruzioni , ad esempio per il caso della torsione nella trave di de Saint Venant .

Equazione di Helmholtz

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Helmholtz .

L'equazione di Helmholtz ha forma canonica:

\nabla ^{2}f+k^{2}f=0,

\nabla ^{2}f+k^{2}f=0,

\nabla ^{2}f+k^{2}f=0,

dove $\nabla ^{2}$ $\nabla ^{2}$ $\nabla ^{2}$ è l' operatore di Laplace , $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ è la velocità delle onde, e $k=\omega /c$ $k=\omega /c$ $k=\omega /c$ il vettore d'onda. Si può vedere l'equazione di Helmholtz come un'equazione agli autovalori del laplaciano, e le soluzioni dell'equazione di Helmholtz come le autofunzioni del laplaciano, dette anche armoniche .

L'equazione si può anche ottenere a partire dall' equazione delle onde imponendo che la soluzione sia del tipo:

f(\mathbf {r} ,t)=e^{i\omega t}f(\mathbf {r} ).

f(\mathbf {r} ,t)=e^{i\omega t}f(\mathbf {r} ).

f(\mathbf {r} ,t)=e^{i\omega t}f(\mathbf {r} ).

Equazione di Eulero-Tricomi

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Eulero-Tricomi .

L'equazione di Eulero-Tricomi è un'equazione iperbolica lineare del second'ordine, usata per studiare i flussi transonici . Ha la forma:

u_{xx}-xu_{yy}=0.

u_{xx}-xu_{yy}=0.

u_{xx}-xu_{yy}=0.

Equazione di Ginzburg-Landau

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Ginzburg-Landau .

L'equazione di Ginzburg-Landau è un'equazione parabolica che trova molte applicazioni fisiche. Ha la forma:

iu_{t}+pu_{xx}+q|u|^{2}u=i\gamma u,\qquad p,q\in \mathbb {C} ,

iu_{t}+pu_{xx}+q|u|^{2}u=i\gamma u,\qquad p,q\in \mathbb {C} ,

iu_{t}+pu_{xx}+q|u|^{2}u=i\gamma u,\qquad p,q\in \mathbb {C} ,

dove $\gamma \in \mathbb {R}$ $\gamma \in \mathbb {R}$ $\gamma \in {\mathbb {R}}$ e $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ è l' unità immaginaria .

Equazioni di Dym

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Dym .

L'equazione di Dym è un'equazione del terz'ordine non lineare, chiamata così in onore di Harry Dym , che si incontra nello studio dei solitoni . Ha la forma:

u_{t}=u^{3}u_{xxx}.

u_{t}=u^{3}u_{xxx}.

u_{t}=u^{3}u_{xxx}.

Equazione di Bernoulli

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale di Bernoulli .

Equazioni di Maxwell

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Maxwell .

Equazione di Schroedinger

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schroedinger .

Equazione di Burgers

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Burgers .

Equazione di Monge-Ampere

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Monge-Ampère .

Equazioni di Navier-Stokes

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Navier-Stokes .

Equazione di sine-Gordon

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di sine-Gordon .

Altri esempi

Eccetto per le ultime quattro, tutte le equazioni precedenti sono lineari, nel senso che possono essere scritte nella forma $Au=f$ ${\displaystyle Au=f}$ $Au=f$ dati un determinato operatore lineare $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ e una determinata funzione $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ . Altre importanti equazioni non lineari sono le equazioni di Navier-Stokes che descrivono il flusso dei fluidi, e le equazioni di campo della relatività generale di Einstein . L' equazione di Schrödinger è inoltre una PDE fondamentale per la meccanica quantistica . Nell' approssimazione WKB vi è invece l' equazione di Hamilton-Jacobi .

Metodi di risoluzione

Le PDE lineari in genere sono risolte, quando possibile, decomponendo l'equazione secondo una base di funzioni, risolvendo le equazioni così ottenute singolarmente e usando la sovrapposizione per trovare la soluzione corrispondente alle condizioni al contorno. Il metodo di separazione delle variabili è applicabile in molti casi particolari importanti.

Non esistono metodi generali per risolvere le PDE. Ciononostante risultati di esistenza e unicità (come il teorema di Cauchy-Kovalevskaya ) sono spesso possibili, così come prove di importanti proprietà quantitative e qualitative delle soluzioni (trovare questi risultati è la parte più importante della teoria delle equazioni differenziali).

Tuttavia, alcune tecniche possono essere usate per diversi tipi di equazioni. Il principio di omotetia è il metodo più potente per risolvere le equazioni sottodeterminate . La teoria di Riquier-Janet è un metodo effettivo per ottenere informazioni su molti sistemi analitici sovradeterminati .

Il metodo delle caratteristiche può essere usato in alcuni casi molto particolari per risolvere le equazioni alle derivate parziali.

In alcuni casi, una PDE può essere risolta attraverso l'analisi delle perturbazioni, nella quale la soluzione è considerata come una correzione di un'equazione con una soluzione nota. Le alternative sono le tecniche di analisi numerica , dai semplici schemi di differenze finite ai più maturi metodi multigrid e di elementi finiti . Molti problemi interessanti in scienza e ingegneria vengono risolti in questo modo usando computers , e talvolta supercomputers molto potenti. Comunque, molti problemi in scienza e ingegneria vengono affrontati usando calcoli scientifici piuttosto che l' analisi numerica , siccome in genere non è noto se il metodo numerico produca soluzioni vicine a quella reale. È comunque bene sottolineare che la via numerica è spesso l'unica strada percorribile per trovare soluzioni, seppur approssimate, di molti problemi di matematica applicata.

Note

^ Evans , Pag. 1 .
^ ^a ^b Evans , Pag. 2 .
^ Evans , Pag. 3 .
^ ^a ^b Evans , Pag. 7 .
^ Evans , Pag. 8 .
^ Evans , Pag. 65 .
^ Evans , Pag. 20 .

Bibliografia

( EN ) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
( FR ) E. Goursat Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre (A. Hermann, Parigi, 1891)
( FR ) E. Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, à deux variables indépendantes , Parigi, Hermann, 1898 [1896] . URL consultato il 15 luglio 2021 .
( EN ) WW Johson A treatise on ordinary and partial differential equations (New York, Wiley, 1896)
( EN ) AR Forsyth Theory of differential equations (Volume 5) (Cambridge University Press, 1900)
( EN ) AR Forsyth Theory of differential equations (Volume 6) (Cambridge University Press, 1900)
( DE ) B. Riemann e H. Weber Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen Erster Band (F. Vieweg und sohn, Braunschweig, 1900-01)
( DE ) B. Riemann e H. Weber Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen Zweiter Band (F. Vieweg und sohn, Braunschweig, 1900-01)
( DE ) J. Horn Einführung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungen (GJ Göschen, Leipzig, 1910)
( DE ) R. Courant e D. Hilbert Metoden der Mathematischen Physik (t.2) ^{[ collegamento interrotto ]} (Springer, Heidelberg, 1924)
( EN ) H. Bateman, Partial Differential Equations (Dover, New York, 1944)
( EN ) AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
( EN ) AD Polyanin and VF Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3
( EN ) AD Polyanin, VF Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
( EN ) T. Roubíček: Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Birkhäuser, Basel, 2nd Ed.: 2013, SBN: 978-3-0348-0512-4 (DOI: 10.1007/978-3-0348-0513-1).
( EN ) D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition) , Academic Press, Boston, 1997.

Voci correlate

35-XX sigla della sezione della MSC dedicata alle equazioni alle derivate parziali.
Derivata parziale
Equazione differenziale
Equazione differenziale ordinaria
Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica
Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica
Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica
Formulazione debole
Metodo delle caratteristiche
Condizioni al contorno

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su equazione differenziale alle derivate parziali

Collegamenti esterni

( EN ) Equazione differenziale alle derivate parziali , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) AV Bitsadze, Differential equation, partial , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) AK Gushchin, Differential equation, partial, of the second order , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) AA Dezin, Differential equation, partial, functional methods , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) AP Soldatov, Weak solution , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) AP Soldatov, Strong solution , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) PDE example problems at exampleproblems.com
( EN ) Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
( EN ) Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
( EN ) Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 20868 · LCCN ( EN ) sh85037912 · GND ( DE ) 4044779-0 · BNF ( FR ) cb11931364s (data) · NDL ( EN , JA ) 00563088

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Evans , Pag. 1 .

[due-2] Evans , Pag. 2 .

[3] Evans , Pag. 3 .

[sette-4] Evans , Pag. 7 .

[5] Evans , Pag. 8 .

[6] Evans , Pag. 65 .

[def-7] Evans , Pag. 20 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]