Ecuație diferențială exactă

O ecuație diferențială exactă este o ecuație diferențială obișnuită atribuibilă unui diferențial exact .

Definiție

Luați în considerare un set care este pur și simplu conectat și deschis $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$ $D \ subset \ mathbb {R} ^ {2}$ și două funcții $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ continuă mai departe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Ecuația diferențială implicită:

I(x,y)\,\mathrm {d} x+J(x,y)\,\mathrm {d} y=0

{\ displaystyle I (x, y) \, \ mathrm {d} x + J (x, y) \, \ mathrm {d} y = 0}

I (x, y) \, {\ mathrm {d}} x + J (x, y) \, {\ mathrm {d}} y = 0

ecuația diferențială exactă este dacă există o funcție diferențiată în mod continuu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , numit potențial , adesea indicat cu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , astfel încât:

{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=I\qquad {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=J

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, y) = I \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x, y) = J}

{\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, y) = I \ qquad {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x, y) = J

Termenul „exact” se referă la derivata totală a unei funcții, uneori numită „derivată exactă”, aceea pentru o funcție $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$ ${\ displaystyle F (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n-1}, x_ {n})}$ ${\ displaystyle F (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n-1}, x_ {n})}$ este dat în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din:

{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} x_ {0}}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {0}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} x_ {i}} {\ mathrm {d} x_ {0}}} }

{\ frac {{\ mathrm {d}} F} {{\ mathrm {d}} x_ {0}}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {0}}} + \ sum _ { {i = 1}} ^ {{n}} {\ frac {\ partial F} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} x_ {i}} {{\ mathrm { d}} x_ {0}}}

În aplicațiile fizice $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ sunt de obicei nu numai continue, ci și continuu diferențiate, iar teorema lui Schwarz oferă apoi o condiție necesară și suficientă pentru existența funcției potențiale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ (pentru ecuațiile definite pe un set care nu este pur și simplu conectat, acest criteriu este necesar doar). Există dacă și numai dacă:

{\frac {\partial I}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial J}{\partial x}}(x,y)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial I} {\ partial y}} (x, y) = {\ frac {\ partial J} {\ partial x}} (x, y)}

{\ frac {\ partial I} {\ partial y}} (x, y) = {\ frac {\ partial J} {\ partial x}} (x, y)

Metoda soluției

Pentru a găsi soluția, luați în considerare ecuația sub forma:

p(x,y)dx+q(x,y){dy}=0

{\ displaystyle p (x, y) dx + q (x, y) {dy} = 0}

{\ displaystyle p (x, y) dx + q (x, y) {dy} = 0}

Integrarea $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , deoarece este o funcție în două variabile în loc de o constantă de integrare avem o funcție $f(y)$ ${\ displaystyle f (y)}$ $f (y)$ în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ :

P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+f(y)

{\ displaystyle P (x, y) = \ int {p (x, y) dx} + f (y)}

{\ displaystyle P (x, y) = \ int {p (x, y) dx} + f (y)}

De cand:

{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

egalitatea se obține:

q(x,y)={\frac {\partial \left[{\int {p(x,y)dx}+f(y)}\right]}{\partial y}}=\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}+f'(y)

{\ displaystyle q (x, y) = {\ frac {\ partial \ left [{\ int {p (x, y) dx} + f (y)} \ right]} {\ partial y}} = \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y} + f '(y)}

{\ displaystyle q (x, y) = {\ frac {\ partial \ left [{\ int {p (x, y) dx} + f (y)} \ right]} {\ partial y}} = \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y} + f '(y)}

și rezolvarea cu privire la $f'(y)$ ${\ displaystyle f '(y)}$ ${\ displaystyle f '(y)}$ avem:

f'(y)=q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}

{\ displaystyle f '(y) = q (x, y) - \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y}}

{\ displaystyle f '(y) = q (x, y) - \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y}}

Prin integrarea:

f(y)=\int {\left\{q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}\right\}dy}+C

{\ displaystyle f (y) = \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y} \ right \} dy } + C}

{\ displaystyle f (y) = \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y} \ right \} dy } + C}

Înlocuind această valoare în $P(x,y)$ ${\ displaystyle P (x, y)}$ $P (x, y)$ obținem soluția finală a ecuației:

P(x,y)=\int {p(x,y)dx}+\int {\left\{q(x,y)-\left[\int {p(x,y)dx}\right]_{y}\right\}dy}+C

{\ displaystyle P (x, y) = \ int {p (x, y) dx} + \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [\ int {p (x, y) dx} \ right] _ {y} \ right \} dy} + C}

{\ displaystyle P (x, y) = \ int {p (x, y) dx} + \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [\ int {p (x, y) dx} \ right] _ {y} \ right \} dy} + C}

Prin alegerea opusă a variabilelor avem, în mod similar:

Q(x,y)=\int {q(x,y)dy}+\int {\left\{p(x,y)-\left[\int {q(x,y)dy}\right]_{x}\right\}dx}+C

{\ displaystyle Q (x, y) = \ int {q (x, y) dy} + \ int {\ left \ {p (x, y) - \ left [\ int {q (x, y) dy} \ right] _ {x} \ right \} dx} + C}

{\ displaystyle Q (x, y) = \ int {q (x, y) dy} + \ int {\ left \ {p (x, y) - \ left [\ int {q (x, y) dy} \ right] _ {x} \ right \} dx} + C}

Acestea sunt soluții implicite, din care soluțiile explicite pot fi derivate numai dacă P sau Q sunt inversabile.

Exemplu

Să se dea:

{xy(2\operatorname {log} x-3)}y'=-y^{2}

{\ displaystyle {xy (2 \ operatorname {log} x-3)} y '= - y ^ {2}}

{\ displaystyle {xy (2 \ operatorname {log} x-3)} y '= - y ^ {2}}

cu câțiva pași veți obține:

{\frac {y^{2}}{x}}dx+y(2\operatorname {log} x-3)dy=0

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {x}} dx + y (2 \ operatorname {log} x-3) dy = 0}

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {x}} dx + y (2 \ operatorname {log} x-3) dy = 0}

dintre care o banală soluție este $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . Pentru a calcula celelalte soluții, condiția:

{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}={\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

este satisfăcută și, prin urmare, poate fi calculată integrala cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din primul termen:

\int {p(x,y)dx}=\int {{\frac {y^{2}}{x}}dx}=y^{2}\operatorname {log} x

{\ displaystyle \ int {p (x, y) dx} = \ int {{\ frac {y ^ {2}} {x}} dx} = y ^ {2} \ operatorname {log} x}

{\ displaystyle \ int {p (x, y) dx} = \ int {{\ frac {y ^ {2}} {x}} dx} = y ^ {2} \ operatorname {log} x}

Pentru a doua parte trebuie să derivăm această funcție în ceea ce privește $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , scade-l din $q(x,y)$ ${\ displaystyle q (x, y)}$ ${\ displaystyle q (x, y)}$ , și apoi integrează totul cu privire la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ :

\int {\left\{q(x,y)-\left[{\int {p(x,y)dx}}\right]_{y}\right\}dy}=\int {\left[y(2\operatorname {log} x-3)-\left({y^{2}\operatorname {log} x}\right)_{y}\right]dy}=-\int {3ydy}=-{\frac {3}{2}}y^{2}+C

{\ displaystyle \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y} \ right \} dy} = \ int { \ left [y (2 \ operatorname {log} x-3) - \ left ({y ^ {2} \ operatorname {log} x} \ right) _ {y} \ right] dy} = - \ int {3ydy } = - {\ frac {3} {2}} y ^ {2} + C}

{\ displaystyle \ int {\ left \ {q (x, y) - \ left [{\ int {p (x, y) dx}} \ right] _ {y} \ right \} dy} = \ int { \ left [y (2 \ operatorname {log} x-3) - \ left ({y ^ {2} \ operatorname {log} x} \ right) _ {y} \ right] dy} = - \ int {3ydy } = - {\ frac {3} {2}} y ^ {2} + C}

Deci soluția implicită este:

y^{2}\operatorname {log} x-{\frac {3}{2}}y^{2}=C

{\ displaystyle y ^ {2} \ operatorname {log} x - {\ frac {3} {2}} y ^ {2} = C}

{\ displaystyle y ^ {2} \ operatorname {log} x - {\ frac {3} {2}} y ^ {2} = C}

din care se obține ușor:

y=\pm {\sqrt {2C}}{\sqrt {\frac {1}{2\operatorname {log} x-3}}}

{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {2C}} {\ sqrt {\ frac {1} {2 \ operatorname {log} x-3}}}}

{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {2C}} {\ sqrt {\ frac {1} {2 \ operatorname {log} x-3}}}}

Cazuri speciale

Un caz special este acela în care ecuația ia forma:

yp(xy)dx+xq(xy){dy}=0

{\ displaystyle yp (xy) dx + xq (xy) {dy} = 0}

{\ displaystyle yp (xy) dx + xq (xy) {dy} = 0}

Definire $z=xy$ ${\ displaystyle z = xy}$ ${\ displaystyle z = xy}$ , asa de $dx=dz/y$ ${\ displaystyle dx = dz / y}$ ${\ displaystyle dx = dz / y}$ Și $dy=dz/x$ ${\ displaystyle dy = dz / x}$ ${\ displaystyle dy = dz / x}$ . Înlocuirea și rezolvarea a două soluții se obțin:

\left\{{\begin{matrix}&{p\neq q:}&x=e^{\int {{\frac {q(v)}{c[q(v)-p(v)]}}dv}}\\&{p=q:}&xy=c\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {p \ neq q:} & x = e ^ {\ int {{\ frac {q (v)} {c [q (v) -p (v )]}} dv}} \\ & {p = q:} & xy = c \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & {p \ neq q:} & x = e ^ {\ int {{\ frac {q (v)} {c [q (v) -p (v )]}} dv}} \\ & {p = q:} & xy = c \ end {matrix}} \ right.}

Un alt caz particular este cel în care se obține o formă ca aceasta:

{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)}

unde înlocuirea $v=y/x$ ${\ displaystyle v = y / x}$ ${\ displaystyle v = y / x}$ în $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ ai o funcție $g(v)$ ${\ displaystyle g (v)}$ ${\ displaystyle g (v)}$ numai în variabilă $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ . Apoi, pozând $y=xv$ ${\ displaystyle y = xv}$ ${\ displaystyle y = xv}$ avem:

{\frac {dy}{dx}}=x{\frac {dv}{dx}}+v

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = x {\ frac {dv} {dx}} + v}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = x {\ frac {dv} {dx}} + v}

Înlocuind:

x{\frac {dv}{dx}}+v=g(v)

{\ displaystyle x {\ frac {dv} {dx}} + v = g (v)}

{\ displaystyle x {\ frac {dv} {dx}} + v = g (v)}

de sine $g(v)=v$ ${\ displaystyle g (v) = v}$ ${\ displaystyle g (v) = v}$ , soluția banală este $y=cx$ ${\ displaystyle y = cx}$ ${\ displaystyle y = cx}$ . In caz contrar:

{\frac {dx}{x}}={\frac {dv}{g(v)-v}}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {x}} = {\ frac {dv} {g (v) -v}}}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {x}} = {\ frac {dv} {g (v) -v}}}

integrând:

\operatorname {log} x=\int {\frac {dv}{g(v)-v}}+c_{0}

{\ displaystyle \ operatorname {log} x = \ int {\ frac {dv} {g (v) -v}} + c_ {0}}

{\ displaystyle \ operatorname {log} x = \ int {\ frac {dv} {g (v) -v}} + c_ {0}}

acesta este:

x=ce^{\int {\frac {dv}{g(v)-v}}}

{\ displaystyle x = ce ^ {\ int {\ frac {dv} {g (v) -v}}}}

{\ displaystyle x = ce ^ {\ int {\ frac {dv} {g (v) -v}}}}

cu $c=e^{c_{0}}$ ${\ displaystyle c = e ^ {c_ {0}}}$ ${\ displaystyle c = e ^ {c_ {0}}}$ .

Ecuații diferențiale trasabile la exact

O variantă a ecuațiilor diferențiale exacte sunt cele pentru care nu se menține egalitatea derivatelor mixte, adică:

{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}\neq {\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} \ neq {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} \ neq {\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}}}

și puteți găsi o funcție $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , numit factor de integrare , astfel încât:

{\frac {\partial [\mu p(x,y)]}{\partial y}}={\frac {\partial [\mu q(x,y)]}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial [\ mu p (x, y)]} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial [\ mu q (x, y)]} {\ partial x}} }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial [\ mu p (x, y)]} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial [\ mu q (x, y)]} {\ partial x}} }

Explicarea derivatelor:

\mu {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}+p(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}=\mu {\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}+q(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial x}}

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} + p (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = \ mu { \ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} + q (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}}}

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} + p (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = \ mu { \ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} + q (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}}}

și rezolvarea cu privire la $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ primesti:

\mu ={\frac {q(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial x}}-p(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}}{{\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {q (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} - p (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}}} {{\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q} {\ partial x}}}}}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {q (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} - p (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}}} {{\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q} {\ partial x}}}}}

Dacă puteți găsi o funcție $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ de acest tip, apoi înlocuiesc $P(x,y)=\mu p(x,y)$ ${\ displaystyle P (x, y) = \ mu p (x, y)}$ ${\ displaystyle P (x, y) = \ mu p (x, y)}$ Și $Q(x,y)=\mu q(x,y)$ ${\ displaystyle Q (x, y) = \ mu q (x, y)}$ ${\ displaystyle Q (x, y) = \ mu q (x, y)}$ in loc de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ iar soluțiile (implicite) sunt găsite. În general, acest lucru este foarte dificil sau imposibil, cu toate acestea există două cazuri speciale în care această funcție poate fi găsită.

Primul caz

Prima metodă de rezoluție este de a căuta un factor de integrare $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ astfel încât

{\frac {\partial \mu }{\partial y}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = 0}

și, prin urmare, explicând:

\mu {\frac {\partial p}{\partial y}}=\mu {\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} = \ mu {\ frac {\ partial q} {\ partial x}} + q {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial X}}}

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} = \ mu {\ frac {\ partial q} {\ partial x}} + q {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial X}}}

Rezolvarea cu privire la $\mu '$ ${\ displaystyle \ mu '}$ ${\ displaystyle \ mu '}$ :

{\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {\mu \left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)}{q}}=f(x,y)\mu (x)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = {\ frac {\ mu \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q } {\ partial x}} \ right)} {q}} = f (x, y) \ mu (x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = {\ frac {\ mu \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q } {\ partial x}} \ right)} {q}} = f (x, y) \ mu (x)}

După cum sa menționat mai sus, $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ trebuie neapărat să fie o funcție a tălpii $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , altfel derivata parțială a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ cu privire la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Acest lucru este demonstrat prin amintirea asta $f_{xy}$ ${\ displaystyle f_ {xy}}$ ${\ displaystyle f_ {xy}}$ trebuie să fie egală cu $f_{yx}$ ${\ displaystyle f_ {yx}}$ ${\ displaystyle f_ {yx}}$ . În acest caz avem:

{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=f(x)\mu (x)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = f (x) \ mu (x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = f (x) \ mu (x)}

care este o ecuație diferențială liniară de primul ordin, a cărei soluție este:

\mu (x)=e^{\int f(x)}=e^{\int {\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)}{q}}}

{\ displaystyle \ mu (x) = e ^ {\ int f (x)} = e ^ {\ int {\ frac {\ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q} {\ partial x}} \ right)} {q}}}}

{\ displaystyle \ mu (x) = e ^ {\ int f (x)} = e ^ {\ int {\ frac {\ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q} {\ partial x}} \ right)} {q}}}}

Înlocuind deci $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ în ecuație obținem:

[\mu p(x,y)]dx+[\mu q(x,y)]dy=0

{\ displaystyle [\ mu p (x, y)] dx + [\ mu q (x, y)] dy = 0}

{\ displaystyle [\ mu p (x, y)] dx + [\ mu q (x, y)] dy = 0}

care se rezolvă ca în cazul precedent. Nimic nu se schimbă în proces alegând derivatul nimicului $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ cu privire la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , evident schimbând $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în formulele de mai sus.

Exemplu

Să se dea:

{\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {log} xdx+ydy=0

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ operatorname {log} xdx + ydy = 0}

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ operatorname {log} xdx + ydy = 0}

O soluție banală este $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . Pentru celelalte soluții, derivatele lui $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu privire la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu sunt la fel. Încercând să calculez $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ avem:

\mu (x)=e^{\int {\frac {\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)}{q}}}=e^{\int {\frac {y\operatorname {log} x-0}{y}}}=e^{x\operatorname {log} x-x}=x^{x}e^{-x}

{\ displaystyle \ mu (x) = e ^ {\ int {\ frac {\ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q} {\ partial x}} \ right)} {q}}} = e ^ {\ int {\ frac {y \ operatorname {log} x-0} {y}}} = e ^ {x \ operatorname {log} xx} = x ^ { x} și ^ {- x}}

{\ displaystyle \ mu (x) = e ^ {\ int {\ frac {\ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial q} {\ partial x}} \ right)} {q}}} = e ^ {\ int {\ frac {y \ operatorname {log} x-0} {y}}} = e ^ {x \ operatorname {log} xx} = x ^ { x} și ^ {- x}}

Înlocuind:

x^{x}e^{-x}{\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {log} xdx+x^{x}e^{-x}ydy=0

{\ displaystyle x ^ {x} e ^ {- x} {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ operatorname {log} xdx + x ^ {x} e ^ {- x} ydy = 0}

{\ displaystyle x ^ {x} e ^ {- x} {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ operatorname {log} xdx + x ^ {x} e ^ {- x} ydy = 0}

integrând $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

\int {x^{x}e^{-x}{\frac {y^{2}}{2}}\operatorname {log} xdx}={\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}

{\ displaystyle \ int {x ^ {x} e ^ {- x} {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ operatorname {log} xdx} = {\ frac {y ^ {2}} { 2}} x ^ {x} și ^ {- x}}

{\ displaystyle \ int {x ^ {x} e ^ {- x} {\ frac {y ^ {2}} {2}} \ operatorname {log} xdx} = {\ frac {y ^ {2}} { 2}} x ^ {x} și ^ {- x}}

derivând cu privire la $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ primesti $yx^{x}e^{-x}$ ${\ displaystyle yx ^ {x} e ^ {- x}}$ ${\ displaystyle yx ^ {x} e ^ {- x}}$ . Înlocuind:

P(x,y)={\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}+\int {(x^{x}e^{-x}y-yx^{x}e^{-x}})dy+C={\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}+C

{\ displaystyle P (x, y) = {\ frac {y ^ {2}} {2}} x ^ {x} e ^ {- x} + \ int {(x ^ {x} e ^ {- x } y-yx ^ {x} e ^ {- x}}) dy + C = {\ frac {y ^ {2}} {2}} x ^ {x} e ^ {- x} + C}

{\ displaystyle P (x, y) = {\ frac {y ^ {2}} {2}} x ^ {x} e ^ {- x} + \ int {(x ^ {x} e ^ {- x } y-yx ^ {x} e ^ {- x}}) dy + C = {\ frac {y ^ {2}} {2}} x ^ {x} e ^ {- x} + C}

soluția implicită este:

{\frac {y^{2}}{2}}x^{x}e^{-x}=C

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {2}} x ^ {x} e ^ {- x} = C}

{\ displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {2}} x ^ {x} e ^ {- x} = C}

de la care:

y=\pm {\sqrt {2C}}{\sqrt {\frac {1}{x^{x}e^{-x}}}}=\pm {\sqrt {2C}}{\sqrt {\frac {e^{x}}{x^{x}}}}

{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {2C}} {\ sqrt {\ frac {1} {x ^ {x} e ^ {- x}}}} = \ pm {\ sqrt {2C}} {\ sqrt {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x}}}}}

{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {2C}} {\ sqrt {\ frac {1} {x ^ {x} e ^ {- x}}}} = \ pm {\ sqrt {2C}} {\ sqrt {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x}}}}}

Al doilea caz

O a doua metodă este de a căuta una $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ astfel încât:

\mu (x,y)=g(xy)

{\ displaystyle \ mu (x, y) = g (xy)}

{\ displaystyle \ mu (x, y) = g (xy)}

În acest caz avem:

{\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}y\qquad {\frac {\partial \mu }{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial y}}x

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial g} {\ partial x}} y \ qquad {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y} } = {\ frac {\ partial g} {\ partial y}} x}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial g} {\ partial x}} y \ qquad {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y} } = {\ frac {\ partial g} {\ partial y}} x}

care combinate dau:

{\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {y}{x}}{\frac {\partial \mu }{\partial y}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = {\ frac {y} {x}} {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial x}} = {\ frac {y} {x}} {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}}}

și înlocuind în ecuație cu derivate explicite:

\mu {\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}+p(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}=\mu {\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}+{\frac {y}{x}}q(x,y){\frac {\partial \mu }{\partial y}}

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} + p (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = \ mu { \ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} + {\ frac {y} {x}} q (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} }

{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} + p (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = \ mu { \ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} + {\ frac {y} {x}} q (x, y) {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} }

Rezolvarea cu privire la $\mu '$ ${\ displaystyle \ mu '}$ ${\ displaystyle \ mu '}$ avem:

{\frac {\partial \mu }{\partial y}}\left[p(x,y)-{\frac {y}{x}}q(x,y)\right]=\mu \left[{\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}\right]

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} \ left [p (x, y) - {\ frac {y} {x}} q (x, y) \ right] = \ mu \ left [{\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} \ left [p (x, y) - {\ frac {y} {x}} q (x, y) \ right] = \ mu \ left [{\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}} \ right]}

și cu câțiva pași veți obține:

{\frac {1}{x}}{\frac {\partial \mu }{\partial y}}=\mu {\frac {{\frac {\partial q(x,y)}{\partial x}}-{\frac {\partial p(x,y)}{\partial y}}}{xp(x,y)-yq(x,y)}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = \ mu {\ frac {{\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}}} {xp (x, y) -yq (x, y)}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial y}} = \ mu {\ frac {{\ frac {\ partial q (x, y)} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p (x, y)} {\ partial y}}} {xp (x, y) -yq (x, y)}}}

Dacă faceți un înlocuitor $z=xy$ ${\ displaystyle z = xy}$ ${\ displaystyle z = xy}$ da ai $z_{y}=x$ ${\ displaystyle z_ {y} = x}$ ${\ displaystyle z_ {y} = x}$ , prin urmare:

{\frac {\partial \mu }{\partial z}}=\mu (z){\frac {{\frac {\partial q}{\partial x}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}}{xp-yq}}=f(x,y)\mu (z)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial z}} = \ mu (z) {\ frac {{\ frac {\ partial q} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p } {\ partial y}}} {xp-yq}} = f (x, y) \ mu (z)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mu} {\ partial z}} = \ mu (z) {\ frac {{\ frac {\ partial q} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p } {\ partial y}}} {xp-yq}} = f (x, y) \ mu (z)}

Pentru cele spuse, $f(x,y)$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ $f (x, y)$ trebuie neapărat să fie o funcție a tălpii $z=xy$ ${\ displaystyle z = xy}$ ${\ displaystyle z = xy}$ . Prin urmare:

\mu (z)=e^{\int f(z)}=e^{\int {\frac {{\frac {\partial q}{\partial x}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}}{xp-yq}}}

{\ displaystyle \ mu (z) = e ^ {\ int f (z)} = e ^ {\ int {\ frac {{\ frac {\ partial q} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}} {xp-yq}}}}

{\ displaystyle \ mu (z) = e ^ {\ int f (z)} = e ^ {\ int {\ frac {{\ frac {\ partial q} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}} {xp-yq}}}}

Înlocuind deci $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ în ecuație obținem o ecuație exactă, care poate fi rezolvată ca înainte.

Bibliografie

Vladimir Igorevich Arnold (1988): Metode geometrice în teoria ecuațiilor diferențiale ordinare , ediția a II-a, Springer, ISBN 0-387-96649-8
Vladimir Igorevich Arnold (1992): Ecuații diferențiale ordinare , Springer, ISBN 3-540-54813-0
Martin Braun (1993): ecuații diferențiale și aplicațiile lor. An Introduction to Applied Mathematics , ediția a IV-a, Springer, ISBN 0-387-97894-1

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Ecuație diferențială exactă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică