În matematică , o ecuație diferențială liniară este o ecuație diferențială , diferențială obișnuită sau parțială , astfel încât combinațiile liniare ale soluțiilor sale pot fi utilizate pentru a obține alte soluții.
Definiție
O ecuație diferențială liniară are forma:
- {\ displaystyle Ly = f}
unde este {\ displaystyle L} este un operator diferențial liniar , {\ displaystyle y} funcția necunoscută (care se presupune că poate fi diferențiată {\ displaystyle n} ori) și {\ displaystyle f} o funcție de aceeași natură ca {\ displaystyle y} a spus sursa . Dacă depind de variabilă {\ displaystyle t} il scrii:
- {\ displaystyle L [y (t)] = f (t)}
Și {\ displaystyle L} poate fi scris ca:
- {\ displaystyle L_ {n} (y) \ equiv {\ frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} + A_ {1} (t) {\ frac {d ^ {n-1} y} {dt ^ {n-1}}} + \ cdots + A_ {n-1} (t) {\ frac {dy} {dt}} + A_ {n} (t) y}
sau sub forma:
- {\ displaystyle L_ {n} (y) \ equiv \ left [\, D ^ {n} + A_ {1} (t) D ^ {n-1} + \ cdots + A_ {n-1} (t) D + A_ {n} (t) \ dreapta] y}
unde este {\ displaystyle D = d / dt} Și {\ displaystyle A_ {i}} li se dau funcții.
O ecuație de acest tip se spune că are ordine {\ displaystyle n} , adică ordine egală cu ordinea celei mai mari derivate a funcției necunoscute {\ displaystyle y} sunt aici. În caz că aveți {\ displaystyle f = 0} ecuația este omogenă. Când funcționează {\ displaystyle A_ {i}} sunt pur și simplu numere, se spune că ecuația are coeficienți constanți .
Ecuații ordinare de ordinul întâi
Acest tip de ecuație ia forma canonică:
- {\ displaystyle y '= f (x, y)}
unde este {\ displaystyle f} este o funcție liniară în {\ displaystyle y} . În cazul în care:
- {\ displaystyle y '= f (x)}
soluția se găsește imediat prin integrare:
- {\ displaystyle y = \ int f (x) dx = F (x) + c}
cu {\ displaystyle F (x)} o primitivă a {\ displaystyle f (x)} . Având în vedere problema Cauchy :
- {\ displaystyle {\ begin {cases} y '= f (x) \\ y (x_ {0}) = y_ {0} \ end {cases}}}
singura sa soluție este dată de:
- {\ displaystyle y = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t) dt + y_ {0}}
Omogen cu coeficienți constanți
Ecuația omogenă cu coeficienți constanți este de tipul:
- {\ displaystyle y '+ ay = 0}
unde este {\ displaystyle a} este o constantă. Soluția generală a acestui caz se obține prin separarea variabilelor , adică:
- {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - ay}
de la care:
- {\ displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y} {\ frac {dy} {y}} = - a \ int _ {x_ {0}} ^ {x} dx}
avem:
- {\ displaystyle \ ln (y) - \ ln (y_ {0}) = - a \ cdot (x-x_ {0})}
prin urmare:
- {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {y} {y_ {0}}} \ right) = - a \ cdot (x-x_ {0})}
Soluția se obține utilizând exponențialul:
- {\ displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {- a \ cdot (x-x_ {0})}}
Amintind că problema Cauchy impune {\ displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}} , soluția este unică (în locul unei familii de curbe):
- {\ displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {- a \ cdot (x-x_ {0})}}
Neomogen cu coeficienți variabili
În cazul general, luați în considerare:
- {\ displaystyle y '+ a (x) \ cdot y = f (x)}
Ecuația omogenă corespunzătoare:
- {\ displaystyle y '+ a (x) \ cdot y = 0}
se rezolvă separând variabilele:
- {\ displaystyle {\ frac {dy} {y}} = - a (x) \ cdot dx}
și integrarea:
- {\ displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y} {\ frac {dy} {y}} = - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} a (x) \ cdot dx}
de la care:
- {\ displaystyle \ ln y- \ ln y_ {0} = - (A (x) -A (x_ {0}))}
unde este {\ displaystyle A (x)} este o primitivă a funcției {\ displaystyle a (x)} . Soluția omogenă este:
- {\ displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {- {(A (x) -A (x_ {0}))}}}
Din nou problema Cauchy:
- {\ displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}}
are o soluție unică.
Pentru a găsi o soluție a neomogenului, o căutăm sub forma:
- {\ displaystyle y = u (x) \ cdot e ^ {- A (x)}}
unde este {\ displaystyle u (x)} este o funcție de determinat. Înlocuind-o în cea anterioară și executând derivatele:
- {\ displaystyle u '(x) \ cdot e ^ {- A (x)} - a (x) u (x) \ cdot e ^ {- A (x)} + a (x) u (x) \ cdot e ^ {- A (x)} = f (x)}
Simplificând, avem:
- {\ displaystyle u '(x) = f (x) \ cdot e ^ {A (x)}}
din care este suficient să te integrezi pentru a găsi:
- {\ displaystyle u (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t) e ^ {A (t)} dt + u_ {0}}
unde este {\ displaystyle u_ {0}} este o constantă necunoscută care poate fi setată egală cu zero fără a pierde generalitatea. Soluția problemei Cauchy {\ displaystyle y '+ a (x) \ cdot y = f (x)} cu {\ displaystyle y (x = x_ {0}) = y_ {0}} (găsit pentru prima dată de Jean Bernoulli ) este deci:
- {\ displaystyle y (x) = y_ {0} \ cdot e ^ {(A (x_ {0}) - A (x))} + e ^ {- A (x)} \ int _ {x_ {0} } ^ {x} f (t) e ^ {A (t)} dt.}
De asemenea, în acest caz este posibil să existe o singură soluție în intervalul de definiție al {\ displaystyle x} .
Factorul de integrare
Ecuația {\ displaystyle Dy (x) + f (x) y (x) = g (x)} , cu {\ displaystyle D} operator diferențial liniar, poate fi rezolvat echivalent înmulțindu-l cu factorul de integrare {\ displaystyle e ^ {\ int f (x) \, dx}} . Primesti:
- {\ displaystyle Dy (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} + f (x) y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} = g (x) e ^ { \ int f (x) \, dx}}
care pentru regula produsului este simplificat la:
- {\ displaystyle D (y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx}) = g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx}}
Prin integrarea ambilor membri:
- {\ displaystyle y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} = \ int g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} \, dx + c}
de la care:
- {\ displaystyle y (x) = {\ int g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} \, dx + c \ over e ^ {\ int f (x) \, dx}}}
Soluția de {\ displaystyle y '(x) + f (x) y (x) = g (x)} , indiferent dacă coeficienții sunt variabili sau constanți, este deci:
- {\ displaystyle y = e ^ {- a (x)} \ left (\ int g (x) e ^ {a (x)} \, dx + \ kappa \ right)}
unde este {\ displaystyle \ kappa} este o constantă de integrare și:
- {\ displaystyle a (x) = \ int {f (x) \, dx}}
O formă compactă a soluției generale este după cum urmează:
- {\ displaystyle y (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \! {[y (x_ {0}) \ delta (t-x_ {0}) + g (t)] e ^ {- \ int _ {t} ^ {x} \! f (u) du} \, dt}}
unde este {\ displaystyle \ delta (x)} este delta Dirac generalizată.
Exemple
- Luați în considerare următoarea ecuație diferențială:
- {\ displaystyle {\ begin {cases} y '= xy \\ y (2) = 5 \ end {cases}}}
- Aducându-l în formă normală veți obține:
- {\ displaystyle y '+ y = x}
- Soluția generală a omogenului asociat este:
- {\ displaystyle y = y_ {0} \ cdot e ^ {(x_ {0} -x)}}
- de la care:
- {\ displaystyle y = 5 \ cdot e ^ {2-x}}
- Soluția ecuației complete este căutată sub forma:
- {\ displaystyle u (x) \ cdot e ^ {- x}}
- Înlocuit în ecuația completă:
- {\ displaystyle u '(x) \ cdot e ^ {- x} -u (x) \ cdot e ^ {- x} + u (x) \ cdot e ^ {- x} = x}
- Așadar:
- {\ displaystyle u '(x) \ cdot e ^ {- x} = x}
- din care avem:
- {\ displaystyle u '(x) = x \ cdot e ^ {x}}
- Prin integrarea pe părți obținem:
- {\ displaystyle u (x) = xe ^ {x} -e ^ {x} -x_ {0} e ^ {x_ {0}} + e ^ {x_ {0}}}
- deci soluția este:
- {\ displaystyle y = y_ {0} e ^ {(x_ {0} -x)} + e ^ {- x} (xe ^ {x} -e ^ {x} -x_ {0} e ^ {x_ { 0}} + e ^ {x_ {0}})}
- prin urmare:
- {\ displaystyle y = 4 \ cdot e ^ {(2-x)} + x-1}
- {\ displaystyle y '= x ^ {2} y {\ mbox {con}} y (1) = 2}
- atâta timp cât:
- {\ displaystyle \ int _ {2} ^ {y} {\ frac {dy} {y}} = \ int _ {1} ^ {x} x ^ {2} \, dx}
- avem:
- {\ displaystyle \ ln (y) - \ ln (2) = {\ frac {1} {3}} \ cdot \ left (x ^ {3} -1 ^ {3} \ right)}
- acesta este:
- {\ displaystyle y = 2 \ cdot e ^ {{\ frac {1} {3}} \ left (x ^ {3} -1 \ right)}}
- unde dacă {\ displaystyle a} este o constantă, duce înapoi la cazul descris mai sus.
Ecuații ordinare de ordine generică
Soluția generală a unei ecuații obișnuite de ordin generic se obține din suma soluției ecuației omogene plus o soluție particulară a ecuației neomogene, obținută cu metoda variațiilor constantelor sau cu metoda coeficienților nedeterminati . Dacă sunt specificate condițiile inițiale, soluția particulară poate fi obținută direct folosind transformata Laplace .
Ecuație omogenă cu coeficienți constanți
Considera:
- {\ displaystyle y ^ {(n)} + A_ {1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + A_ {n} y = 0}
Prin plasare {\ displaystyle y = e ^ {zx}} , avem:
- {\ displaystyle z ^ {n} e ^ {zx} + A_ {1} z ^ {n-1} e ^ {zx} + \ cdots + A_ {n} e ^ {zx} = 0}
Astfel împărțind la {\ displaystyle e ^ {zx}} obținem un polinom de ordinul n :
- {\ displaystyle F (z) = z ^ {n} + A_ {1} z ^ {n-1} + \ cdots + A_ {n} = 0}
unde termenii {\ displaystyle y ^ {(k)}} din ecuația inițială sunt înlocuite cu {\ displaystyle z ^ {k}} . Înlocuind fiecare dintre n rădăcini {\ displaystyle z_ {j}} a polinomului în {\ displaystyle e ^ {zx}} se obține o soluție respectivă {\ displaystyle e ^ {z_ {i} x}} . De sine {\ displaystyle z_ {j}} are multiplicitate {\ displaystyle m \ geq 2} , apoi alte soluții sunt date de {\ displaystyle xe ^ {z_ {j} x}, ..., x ^ {m-1} e ^ {z_ {j} x}} .
Ecuație neomogenă cu coeficienți constanți
Să se dea ecuația:
- {\ displaystyle {\ frac {d ^ {n} y (x)} {dx ^ {n}}} + A_ {1} {\ frac {d ^ {n-1} y (x)} {dx ^ { n-1}}} + \ cdots + A_ {n} y (x) = f (x)}
și definiți polinomul caracteristic:
- {\ displaystyle P (v) = v ^ {n} + A_ {1} v ^ {n-1} + \ cdots + A_ {n}}
O bază pentru soluții poate fi găsită {\ displaystyle \ {y_ {1} (x), y_ {2} (x), \ ldots, y_ {n} (x) \}} căutând o anumită soluție {\ displaystyle y_ {p} (x)} cu metoda variațiilor constantelor. Să presupunem că coeficienții combinației liniare sunt o funcție a {\ displaystyle x} :
- {\ displaystyle y_ {p} (x) = u_ {1} (x) y_ {1} (x) + u_ {2} (x) y_ {2} (x) + \ cdots + u_ {n} (x ) y_ {n} (x)}
Folosind notația {\ displaystyle D = d / dt} , poti sa scrii:
- {\ displaystyle f = P (D) y_ {p} = P (D) (u_ {1} y_ {1}) + P (D) (u_ {2} y_ {2}) + \ cdots + P (D ) (u_ {n} y_ {n})}
cu constrângeri:
- {\ displaystyle 0 = u '_ {1} y_ {1} + u' _ {2} y_ {2} + \ cdots + u '_ {n} y_ {n}}
- {\ displaystyle 0 = u '_ {1} y' _ {1} + u '_ {2} y' _ {2} + \ cdots + u '_ {n} y' _ {n}}
- {\ displaystyle \ cdots}
- {\ displaystyle 0 = u '_ {1} y_ {1} ^ {(n-2)} + u' _ {2} y_ {2} ^ {(n-2)} + \ cdots + u '_ { n} y_ {n} ^ {(n-2)}}
Avem:
- {\ displaystyle f = u_ {1} P (D) y_ {1} + u_ {2} P (D) y_ {2} + \ cdots + u_ {n} P (D) y_ {n} + u'_ {1} y_ {1} ^ {(n-1)} + u '_ {2} y_ {2} ^ {(n-1)} + \ cdots + u' _ {n} y_ {n} ^ { (n-1)}}
dar fiind {\ displaystyle P (D) y_ {j} = 0} :
- {\ displaystyle f = u '_ {1} y_ {1} ^ {(n-1)} + u' _ {2} y_ {2} ^ {(n-1)} + \ cdots + u '_ { n} y_ {n} ^ {(n-1)}}
Această expresie, împreună cu constrângerile, constituie un sistem liniar în {\ displaystyle {u '} _ {j}} . Folosind regula lui Cramer pe Wronskian :
- {\ displaystyle u '_ {j} = (- 1) ^ {n + j} {\ frac {W (y_ {1}, \ ldots, y_ {j-1}, y_ {j + 1} \ ldots, y_ {n}) _ {0 \ alege f}} {W (y_ {1}, y_ {2}, \ ldots, y_ {n})}}}
și integrarea {\ displaystyle {u '} _ {j}} sistemul este rezolvat. Soluția specială nu este unică, deoarece și:
- {\ displaystyle y_ {p} + c_ {1} y_ {1} + \ cdots + c_ {n} y_ {n}}
satisface ODE pentru orice set de constante {\ displaystyle c_ {j}} .
Bibliografie
- ( EN ) Arfken, G. "O a doua soluție". §8.6 în Metode matematice pentru fizicieni , ed. A III-a. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.
- (EN) Boyce, WE și DiPrima, ecuații diferențiale elementare RC și probleme de valoare limită, ediția a IV-a. New York: Wiley, 1986.
- ( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Metode de fizică teoretică, Partea I. New York: McGraw-Hill, pp. 667-674, 1953.
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe