Ecuația diferențială liniară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o ecuație diferențială liniară este o ecuație diferențială , diferențială obișnuită sau parțială , astfel încât combinațiile liniare ale soluțiilor sale pot fi utilizate pentru a obține alte soluții.

Definiție

O ecuație diferențială liniară are forma:

unde este este un operator diferențial liniar , funcția necunoscută (care se presupune că poate fi diferențiată ori) și o funcție de aceeași natură ca a spus sursa . Dacă depind de variabilă il scrii:

Și poate fi scris ca:

sau sub forma:

unde este Și li se dau funcții.

O ecuație de acest tip se spune că are ordine , adică ordine egală cu ordinea celei mai mari derivate a funcției necunoscute sunt aici. În caz că aveți ecuația este omogenă. Când funcționează sunt pur și simplu numere, se spune că ecuația are coeficienți constanți .

Ecuații ordinare de ordinul întâi

Acest tip de ecuație ia forma canonică:

unde este este o funcție liniară în . În cazul în care:

soluția se găsește imediat prin integrare:

cu o primitivă a . Având în vedere problema Cauchy :

singura sa soluție este dată de:

Omogen cu coeficienți constanți

Ecuația omogenă cu coeficienți constanți este de tipul:

unde este este o constantă. Soluția generală a acestui caz se obține prin separarea variabilelor , adică:

de la care:

avem:

prin urmare:

Soluția se obține utilizând exponențialul:

Amintind că problema Cauchy impune , soluția este unică (în locul unei familii de curbe):

Neomogen cu coeficienți variabili

În cazul general, luați în considerare:

Ecuația omogenă corespunzătoare:

se rezolvă separând variabilele:

și integrarea:

de la care:

unde este este o primitivă a funcției . Soluția omogenă este:

Din nou problema Cauchy:

are o soluție unică.

Pentru a găsi o soluție a neomogenului, o căutăm sub forma:

unde este este o funcție de determinat. Înlocuind-o în cea anterioară și executând derivatele:

Simplificând, avem:

din care este suficient să te integrezi pentru a găsi:

unde este este o constantă necunoscută care poate fi setată egală cu zero fără a pierde generalitatea. Soluția problemei Cauchy cu (găsit pentru prima dată de Jean Bernoulli ) este deci:

De asemenea, în acest caz este posibil să existe o singură soluție în intervalul de definiție al .

Factorul de integrare

Ecuația , cu operator diferențial liniar, poate fi rezolvat echivalent înmulțindu-l cu factorul de integrare . Primesti:

care pentru regula produsului este simplificat la:

Prin integrarea ambilor membri:

de la care:

Soluția de , indiferent dacă coeficienții sunt variabili sau constanți, este deci:

unde este este o constantă de integrare și:

O formă compactă a soluției generale este după cum urmează:

unde este este delta Dirac generalizată.

Exemple

  • Luați în considerare următoarea ecuație diferențială:
Aducându-l în formă normală veți obține:
Soluția generală a omogenului asociat este:
de la care:
Soluția ecuației complete este căutată sub forma:
Înlocuit în ecuația completă:
Așadar:
din care avem:
Prin integrarea pe părți obținem:
deci soluția este:
prin urmare:
  • Considera:
atâta timp cât:
avem:
acesta este:
unde dacă este o constantă, duce înapoi la cazul descris mai sus.

Ecuații ordinare de ordine generică

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: ecuația diferențială liniară de ordin superior față de prima .

Soluția generală a unei ecuații obișnuite de ordin generic se obține din suma soluției ecuației omogene plus o soluție particulară a ecuației neomogene, obținută cu metoda variațiilor constantelor sau cu metoda coeficienților nedeterminati . Dacă sunt specificate condițiile inițiale, soluția particulară poate fi obținută direct folosind transformata Laplace .

Ecuație omogenă cu coeficienți constanți

Considera:

Prin plasare , avem:

Astfel împărțind la obținem un polinom de ordinul n :

unde termenii din ecuația inițială sunt înlocuite cu . Înlocuind fiecare dintre n rădăcini a polinomului în se obține o soluție respectivă . De sine are multiplicitate , apoi alte soluții sunt date de .

Ecuație neomogenă cu coeficienți constanți

Să se dea ecuația:

și definiți polinomul caracteristic:

O bază pentru soluții poate fi găsită căutând o anumită soluție cu metoda variațiilor constantelor. Să presupunem că coeficienții combinației liniare sunt o funcție a :

Folosind notația , poti sa scrii:

cu constrângeri:

Avem:

dar fiind :

Această expresie, împreună cu constrângerile, constituie un sistem liniar în . Folosind regula lui Cramer pe Wronskian :

și integrarea sistemul este rezolvat. Soluția specială nu este unică, deoarece și:

satisface ODE pentru orice set de constante .

Bibliografie

  • ( EN ) Arfken, G. "O a doua soluție". §8.6 în Metode matematice pentru fizicieni , ed. A III-a. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.
  • (EN) Boyce, WE și DiPrima, ecuații diferențiale elementare RC și probleme de valoare limită, ediția a IV-a. New York: Wiley, 1986.
  • ( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Metode de fizică teoretică, Partea I. New York: McGraw-Hill, pp. 667-674, 1953.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 19266 · LCCN (EN) sh85037903 · GND (DE) 4206889-7 · BNF (FR) cb12138522v (data)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică