Ecuația diofantină

În matematică , o ecuație diofantină (numită și ecuație diofantină ) este o ecuație în una sau mai multe necunoscute cu coeficienți întregi ale căror soluții întregi sunt căutate. Adjectivul Diophantus se referă la matematicianul grec din Diophantus din Alexandria din secolul al III-lea , care a studiat ecuațiile de acest tip și a fost unul dintre primii matematicieni care au introdus simbolismul în algebră .

Elemente de baza

Un nume tradițional dat studiului unor astfel de ecuații este analiza diofantină , care urmărește să răspundă la următoarele întrebări:

dacă există soluții;
dacă există soluții dincolo de cele mai ușor disponibile (adică prin inspecție directă);
dacă există un număr finit sau infinit de soluții;
dacă este posibil, chiar și la nivel teoretic, să se identifice o listă cu toate soluțiile;
dacă este posibil să se calculeze practic toate soluțiile direct.

Câmpul aproximării diofantine tratează în schimb inegalitățile diofantine : variabilele sunt încă presupuse a fi numere întregi, dar unii coeficienți pot fi numere iraționale , iar semnul egalității este înlocuit cu limite inferioare și superioare.

fundal

Cele mai vechi înregistrări ale problemelor diofantine se găsesc în India , de la 800 î.Hr. până la Evul Mediu . Printre primii matematicieni pe care îi știm care s-au confruntat cu probleme de acest tip se numără Baudhāyana și Apastamba ; acesta din urmă a ajuns să caute soluții de ecuații cu cinci necunoscute. În Aryabhatiya din Aryabhata , scris în jurul anului 500 d.Hr., un algoritm pare să rezolve ecuația diofantină liniară $ax+by=c$ ${\ displaystyle ax + by = c}$ $ax + by = c$ . Brahmagupta , în secolul al VII-lea, a investigat unele cazuri ale ecuației $x^{2}-ny^{2}=1$ ${\ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = 1}$ $x ^ {2} -ny ^ {2} = 1$ , care ulterior a devenit cunoscută sub numele de ecuația lui Pell .

În secolul al III-lea, un număr mare de probleme de acest tip apar în Arithmetica lui Diofant, toate de gradul al doilea sau al treilea. Cu toate acestea, Diophantus își aplică metodele doar ecuațiilor particulare, fără a dezvolta o teorie generală.

Opera sa a fost redescoperită de Pierre de Fermat în secolul al XVII-lea ; studiind opera lui Diophantus, a făcut o serie de alte descoperiri, în cea mai mare parte fixate (fără dovezi) în marginea copiei sale din Arithmetica . Observațiile sale au fost publicate ulterior de fiul său. Printre acestea se număra afirmația a ceea ce avea să devină cunoscut sub numele de „ ultima teoremă a lui Fermat ”, și anume că ecuația $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$ $x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}$ nu are nicio soluție pentru $n>2$ ${\ displaystyle n> 2}$ $n> 2$ ; această presupunere a fost dovedită abia în 1994 .

În 1900, a zecea din cele douăzeci și trei de probleme pe care David Hilbert le-a propus matematicienilor din noul secol se referă la existența unui algoritm general pentru soluționarea unei ecuații diofantine arbitrare. În 1970, Yuri Matiyasevich a dovedit că un astfel de algoritm nu există , arătând că mulțimile diofantine sunt precis recursiv enumerabile .

Recent, punctul de vedere al geometriei diofantine , care constă în aplicarea tehnicilor geometriei algebrice pe acest câmp, a continuat să se extindă; întrucât tratarea ecuațiilor arbitrare este un punct mort, atenția se îndreaptă către ecuațiile care au și semnificație geometrică. Una dintre puținele metode generale este principiul Hasse . Descendența infinită , concepută de Fermat, este metoda tradițională și a fost adoptată pe scară largă mult timp.

Exemple

Același subiect în detaliu: ecuația diofantină liniară și ecuația diofantină cvadratică .

Ecuațiile diofantine de gradul I (liniar) sunt acum bine înțelese; exemplul de bază este așa-numita identitate Bézout sau ecuația $ax+by=1$ ${\ displaystyle ax + by = 1}$ $ax + by = 1$ , care are soluții dacă și numai dacă cel mai mare divizor comun al lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Un exemplu de ecuație diofantină pătratică este așa-numita ecuație Pell , numită după matematicianul englez John Pell . A fost studiat mai întâi de Brahmagupta și mai târziu de Fermat .

Ecuația $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$ $x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un parametru, are soluții infinite pentru $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ (așa- numitele tripluri pitagorice ), în timp ce nu are pentru $n>2$ ${\ displaystyle n> 2}$ $n> 2$ , după cum a demonstrat Andrew Wiles în 1994 ( ultima teoremă a lui Fermat ).

Dacă atunci unele variabile apar ca exponenți, ecuația diofantină se numește exponențială . Un exemplu de astfel de ecuație este

x^{a}-y^{b}=1

{\ displaystyle x ^ {a} -y ^ {b} = 1}

x ^ {a} -y ^ {b} = 1

a cărei singură soluție este dată de $x=b=3$ ${\ displaystyle x = b = 3}$ $x = b = 3$ , $y=a=2$ ${\ displaystyle y = a = 2}$ $y = a = 2$ , așa cum este conjecturat de Eugène Charles Catalan în 1844 și dovedit de Preda Mihăilescu în 2002. ^[1]

Notă

^(EN)Conjectura catalană pe Mathworld

Bibliografie

Carl Benjamin Boyer , History of Mathematics , traducere de Adriano Carugo, Mondadori, iunie 1990, ISBN 88-04-33431-2 .
Harold Davenport , Arithmetic Superior , Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6 .
Keith Devlin, Unde merge matematica , Torino, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 88-339-1182-9 .
(EN) Louis Mordell, Ecuații diofantine, Londra, Academic Press, 1969, ISBN 0-12-506250-8 .
SM Voronin, ecuații diofantine (în engleză), în Enciclopedia Matematicii

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 20872 · LCCN (EN) sh92001030 · GND (DE) 4150020-9 · BNF (FR) cb13162761m (dată) · BNE (ES) XX541101 (dată) · NDL (EN, JA) 00,5638 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN)Conjectura catalană pe Mathworld

[1]