Ecuația diofantină quadratică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

O ecuație diofantină pătratică este o ecuație diofantină de gradul doi în care cel puțin o necunoscută este prezentă la gradul al doilea și niciuna la un grad mai înalt decât al doilea.

Aceste ecuații includ, printre altele, ecuația Pell iar căutarea triplelor pitagoreice .

Sume de pătrate

Ecuațiile

unde n este un număr natural , ele reprezintă problema reprezentării unui număr întreg pozitiv ca suma a două, trei și respectiv patru pătrate. Această problemă a fost studiată pe larg între secolele al XVII-lea și al XVIII-lea, ducând la formularea teoremei lui Fermat pe sumele a două pătrate și a teoremei celor patru pătrate ; acesta din urmă afirmă că fiecare număr poate fi scris ca suma a patru pătrate (sau, cu alte cuvinte, că a treia ecuație are soluții pentru fiecare n ), în timp ce prima că ecuația este rezolvabilă dacă și numai dacă n este produsul numere prime sub forma 4 k +1 și pătrate ale numerelor prime sub forma 4 k +3, precum și orice putere de 2.

A doua ecuație are o soluție dacă și numai dacă n nu este în formă unde j și k sunt orice numere naturale. Această afirmație a fost conjecturată de Legendre și dovedită de Gauss în Disquisitiones Arithmeticae .

Forme cadratice

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: formă quadratică .

O formă pătratică este o expresie omogenă de gradul II. De asemenea, în acest caz este necesar să se găsească pentru care n ecuația este solubilă

(unde a , b și c sunt parametri)

sau echivalentul său cu mai mult de două variabile. Teoria acestor ecuații a fost dezvoltată mai întâi de Joseph-Louis Lagrange , iar mai târziu de Legendre și Gauss.

Ecuația pitagorică și generalizările ei

Ecuația

reprezintă traducerea algebrică a teoremei pitagoreice : triplele ( x , y , z ) (numite triple pitagoreice ) pot fi considerate laturile unui triunghi dreptunghiular. Se poate arăta că toate soluțiile întregi sunt date de formule

deoarece m , p și q variază între numere întregi.

Pentru a studia soluțiile generalizării acestei ecuații

unde a , b și c sunt parametri naturali, este, de asemenea, necesar să se specifice condițiile pentru care ecuația este rezolvabilă; în acest caz se arată că există condiții necesare și suficiente pentru rezolvabilitate, adică congruențe

sunt toate rezolvabile. Cu alte cuvinte, trebuie să avem că bc este un reziduu pătratic modulo a , că ac l este modul b și că ab este opusul unui reziduu modulo c ; folosind simbolul Legendre se pot scrie și condițiile

Ecuația lui Pell

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: ecuația Pell .

Ecuația lui Pell este o ecuație în formă

sau, mai general, în formă

unde N este un parametru pozitiv și M este un număr întreg.

Se arată că, dacă M = 1 și N sunt libere de pătrate , atunci ecuația lui Pell are soluții infinite, care pot fi calculate utilizând fracția continuă a ; dacă M = -1, o condiție de solvabilitate necesară, dar nu suficientă, este că N poate fi reprezentat ca suma a două pătrate. Mai mult, pentru fiecare M , dacă ecuația este rezolvabilă, atunci soluțiile pot fi găsite în mod explicit folosind aceeași fracție continuată.

Bibliografie

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică