Ecuaţie

O ecuație tipică

O ecuație (din latinescul aequatio ) este o egalitate matematică între două expresii care conțin una sau mai multe variabile , numite necunoscute. Utilizarea termenului datează cel puțin din Liber abbaci ( 1228 ) al lui Fibonacci .

Dacă o ecuație are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ necunoscute, apoi fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -upla (ordonată) a elementelor care înlocuiesc necunoscutele corespunzătoare fac ca egalitatea să fie adevărată este o soluție a ecuației. Rezolvarea unei ecuații înseamnă identificarea setului tuturor soluțiilor sale.

Descriere

Domeniu

Domeniul (sau setul de definiție ) al variabilelor necunoscute este setul de elemente pentru care sunt definite expresiile de pe ambele părți ale ecuației, adică acel set de numere pentru care există ecuația. Setul de soluții este condiționat de domeniu: de exemplu ecuația

x^{2}-2=0

{\ displaystyle x ^ {2} -2 = 0}

x ^ {2} -2 = 0

nu admite soluții dacă domeniul este setul de numere raționale , în timp ce admite două soluții în numere reale , care pot fi scrise ca $\pm {\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {2}}}$ $\ pm {\ sqrt {2}}$ . În mod similar, ecuația

x^{2}+1=0

{\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}

x ^ {2} + 1 = 0

nu are soluții reale, dar este rezolvabil dacă domeniul este domeniul numerelor complexe .

Principiile echivalenței

Se spune că două ecuații sunt echivalente dacă seturile respective de soluții coincid. Există două principii care vă permit să manipulați ecuațiile pentru a găsi setul de soluții; acestea sunt o consecință directă a proprietăților egalităților:

Primul principiu al echivalenței : dată unei ecuații, adăugând sau scăzând de la ambii membri același număr sau aceeași expresie care conține necunoscutul dă o ecuație echivalentă, cu condiția ca, în cazul adăugării unei expresii dependente de o necunoscută, condițiile de existență să fie nu este restricționat.
Exemplu:

4x+13=28\;;

{\ displaystyle 4x + 13 = 28 \ ;;}

4x + 13 = 28 \ ;;

4x+13{\underline {+2}}=28{\underline {+2}}\;;

{\ displaystyle 4x + 13 {\ underline {+2}} = 28 {\ underline {+2}} \ ;;}

4x + 13 \ underline {+2} = 28 \ underline {+2} \ ;;

4x+15=30\;

{\ displaystyle 4x + 15 = 30 \;}

4x + 15 = 30 \;

Al doilea principiu al echivalenței : dat o ecuație, înmulțind sau împărțind ambele părți cu un număr diferit de zero sau printr-o expresie care conține necunoscutul care nu anulează indiferent de valoarea necunoscutului în sine și care nu restricționează condițiile de existență, se obține o ecuație echivalentă.
Exemplu:

3x-1={\frac {3x}{2x-1}}\;

{\ displaystyle 3x-1 = {\ frac {3x} {2x-1}} \;}

{\ displaystyle 3x-1 = {\ frac {3x} {2x-1}} \;}

(2x-1)(3x-1)=(2x-1){\frac {3x}{2x-1}}

{\ displaystyle (2x-1) (3x-1) = (2x-1) {\ frac {3x} {2x-1}}}

{\ displaystyle (2x-1) (3x-1) = (2x-1) {\ frac {3x} {2x-1}}}

6x^{2}-5x+1=3x\;

{\ displaystyle 6x ^ {2} -5x + 1 = 3x \;}

{\ displaystyle 6x ^ {2} -5x + 1 = 3x \;}

6x^{2}-8x+1=0

{\ displaystyle 6x ^ {2} -8x + 1 = 0}

{\ displaystyle 6x ^ {2} -8x + 1 = 0}

Notări

De obicei într-o ecuație apar, pe lângă necunoscute, coeficienți cunoscuți care înmulțesc necunoscutele în sine și termeni cunoscuți care li se aplică prin sumă algebrică : aceste elemente, dacă nu sunt explicite în valoarea lor numerică, sunt în general indicate cu literele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ... în timp ce ultimele litere ale alfabetului sunt atribuite în mod convențional variabilelor necunoscute ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ...).

Soluțiile unei ecuații sunt, în general, indicate prin explicitarea necunoscutelor expresiilor care conțin constante și orice parametri arbitrari. De exemplu, soluția ecuației

ax+2=b

{\ displaystyle ax + 2 = b}

ax + 2 = b

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un parametru care nu este nul, iar domeniul este setul de numere reale, scrise ca

x={\frac {b-2}{a}}

{\ displaystyle x = {\ frac {b-2} {a}}}

x = {\ frac {b-2} {a}}

Nomenclatură

Se spune o ecuație:

determinat dacă admite un număr finit de rădăcini, în acest caz setul de soluții va fi discret, constând dintr-un număr finit de elemente.
imposibil dacă nu admite nici o rădăcină, în acest caz setul de soluții va fi setul gol.
identitate dacă are întregul domeniu ca set de soluții, în acest caz setul de soluții va fi egal cu domeniul.
nedeterminat dacă numărul de soluții este infinit, dar nu coincide cu întregul domeniu, în acest caz setul de soluții va fi infinit și diferit de setul de domenii.

Rezolvabilitate

Același subiect în detaliu: rezolvarea unei ecuații .

Din teorema fundamentală a algebrei ^[1] , rezultă imediat că o ecuație polinomială (adică formată dintr-un polinom egal cu zero, într-o variabilă) de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ recunoaște mereu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ soluții în domeniul complex, dintre care unele pot fi multiple. Mai exact o ecuație de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ recunoaște cel puțin $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ soluție și cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ diferite soluții complexe ^[2] .

Prin teorema Abel-Ruffini , nu există o formulă generală pentru exprimarea rădăcinilor ecuațiilor polinomiale de grad $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ sau mai mare printr-o formulă radicală. În schimb, ecuațiile gradului I , gradului II , gradului III și gradului IV admit o formulă de soluție generică. Cu toate acestea, cazuri particulare de ecuații mai mari decât gradul al patrulea pot fi rezolvate prin intermediul radicalilor.

Metoda tangențelor lui Newton , sub anumite ipoteze, oferă un algoritm pentru soluția numerică a ecuațiilor. Un alt algoritm cu presupuneri mai generale este metoda bisecției . Soluțiile găsite prin metode numerice sunt numite aproximative spre deosebire de soluțiile date de formule închise care se numesc exacte . Cu toate acestea, uneori eroarea făcută prin aproximarea metodelor este mai mică decât cea făcută la aproximarea numerelor de mașini prin implementarea metodelor exacte. (un exemplu este metoda Mandelbrot pentru ecuațiile de gradul cinci și șase).

Clasificarea ecuațiilor

O primă clasificare a ecuațiilor se poate face în acest fel:

ecuații algebrice , atribuibile polinoamelor ;
ecuații transcendente , care nu pot fi urmărite de polinoame;
ecuații cu valori absolute ;
ecuații funcționale , în care necunoscutele sunt funcții .

Ecuații algebrice

Ecuațiile algebrice pot fi împărțite în diferite grupuri pe baza caracteristicilor lor; este necesar să ne amintim că o ecuație trebuie să aparțină cel puțin și numai una dintre categoriile pentru fiecare grup.

Pe baza gradului polinomului:

Ecuații de gradul 1 sau ecuații liniare ;
Ecuații de gradul II sau ecuații pătratice ;
Ecuații de gradul III sau ecuații cubice ;
Ecuații de gradul 4 sau ecuații quartice ;
Ecuații de gradul 5 sau ecuații chintice;
si asa mai departe.

Ele pot fi, de asemenea, împărțite în funcție de prezența necunoscutelor în rădăcina rădăcinilor:

ecuații non-iraționale;
ecuațiile iraționale , care conțin rădăcini cu necunoscute pentru radicand, sunt clasificate în funcție de indexul rădăcinii:
- chiar index;
- indice impar.

Ecuații omogene

O ecuație omogenă este definită ca o ecuație algebrică în mai multe variabile ale căror termeni au toți același grad. O ecuație omogenă admite întotdeauna soluția banală cu toate variabilele egale și, pe un câmp închis algebric , admite întotdeauna soluții infinite, de fapt din fiecare soluție se obțin altele infinite prin modificarea lor printr-un factor de proporționalitate. De exemplu:

x^{2}-5xy+6y^{2}=(x-3y)(x-2y)=0,

{\ displaystyle x ^ {2} -5xy + 6y ^ {2} = (x-3y) (x-2y) = 0,}

x ^ {2} -5xy + 6y ^ {2} = (x-3y) (x-2y) = 0,

are pentru soluții, în domeniul numerelor complexe cuplul $x=2k$ ${\ displaystyle x = 2k}$ $x = 2k$ Și $y=k$ ${\ displaystyle y = k}$ $y = k$ și cuplul $x=3h$ ${\ displaystyle x = 3h}$ $x = 3h$ Și $y=3$ ${\ displaystyle y = 3}$ $y = 3$ cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ orice numere complexe.

Acest lucru nu este adevărat pe un câmp închis non-algebric, de fapt ecuația omogenă

x^{2}+y^{2}=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 0}

x ^ {2} + y ^ {2} = 0

admite perechea ca singura soluție pe câmpul numerelor reale $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Și $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ .

Ecuații transcendente

Ecuațiile transcendente implică cel puțin o necunoscută ca argument al unei funcții non-polinomiale. Cele mai frecvente categorii de ecuații transcendente sunt:

ecuații trigonometrice , în care cel puțin o necunoscută este prezentă ca argument al funcțiilor trigonometrice;
ecuații exponențiale , în care cel puțin o necunoscută este prezentă ca argument al funcțiilor exponențiale;
ecuații logaritmice , în care cel puțin o necunoscută este prezentă ca argument al logaritmilor.

Ecuații cu valori absolute

Ecuațiile cu valori absolute contemplă dincolo de necunoscute prezența valorii absolute a expresiilor algebrice sau transcendente. Prin urmare, putem avea:

ecuații algebrice cu una sau mai multe valori absolute;
ecuații transcendente cu una sau mai multe valori absolute.

Ecuații funcționale

Ecuațiile funcționale au cel puțin o necunoscută care este o funcție. Cele mai frecvente categorii de ecuații funcționale sunt:

ecuații diferențiale , dacă conțin derivate ale funcției necunoscute;
ecuații integrale , dacă conțin integrale ale funcției necunoscute.

Bazat pe expresii literale

Pe baza prezenței altor expresii literale, toate ecuațiile pot fi împărțite în:

ecuații numerice , conțin doar expresii numerice și necunoscutul;
ecuații parametrice , în care necunoscutele sunt funcții exprimate în funcție de unul sau mai mulți parametri .

Alte categorii

Ecuațiile diofantine sunt ecuații în care se caută doar soluții întregi .
Sistemul de ecuații este o colecție de mai multe ecuații pentru care se caută soluții simultane, adică care verifică toate ecuațiile avute în vedere în același timp. La rândul lor, acestea pot fi împărțite în toate celelalte categorii menționate mai sus.
În 1521, Francesco Galigai , un florentin, a reunit ceea ce studiase până atunci cu ecuațiile de gradul I și II în Summa de arithmetica tipărită la Florența de Bernardo Zucchetta .

Ecuații celebre

Notă

^ Teorema fundamentală a algebrei ( PDF ), pe www-dimat.unipv.it , Universitatea din Pavia. Adus pe 27 octombrie 2013 .
^ O scurtă istorie a teoremei fundamentale a algebrei (TFA) , pe dm.uniba.it , Universitatea din Bari. Accesat la 27 octombrie 2013 (arhivat din original la 29 octombrie 2013) .