Ecuații Euler (dinamică)

Ecuațiile dinamicii Euler sunt ecuații diferențiale care descriu mișcarea unui corp rigid în mecanica newtoniană , permițând studierea comportamentului global al sistemului indiferent de ceea ce se întâmplă cu componentele sale individuale.

Importanța acestor ecuații constă în simplificarea descrierii unui sistem de forțe prin reducerea gradelor sale mecanice de libertate . Un exemplu notabil de aplicare a acestor ecuații este introducerea modelului corpului rigid pentru a descrie obiecte solide.

Sisteme de mase

În mecanica clasică , pentru a exemplifica pe cât posibil metodele de calcul necesare pentru rezolvarea oricăror probleme, este convenabil să introducem conceptul de sistem de mase .

Un sistem fizic, așa cum se poate înțelege cu ușurință, nu este altceva decât setul de corpuri, prin urmare înzestrat cu masă, punctiformă sau extinsă, obiectul studiului care urmează să fie efectuat. Sistemele de masă pot fi:

discrete , atunci când sunt compuse din corpuri asemănătoare punctelor;
continue , când sunt compuse din corpuri extinse.

Ecuațiile Euler discrete se aplică doar în abordarea discretă, în timp ce pentru abordarea continuă este necesară utilizarea metodelor de mecanică statistică , care conduc la ecuațiile de echilibru și la aproximările lor, de exemplu ecuațiile Euler privind dinamica fluidelor și ecuațiile Navier- Stokes .

Prima ecuație cardinală

Prima ecuație cardinală descrie mișcarea de translație a unui sistem în coordonate Lagrangiene și corespunde celui de-al doilea principiu al dinamicii . Un rezultat important din punct de vedere intuitiv este că „ centrul de masă se mișcă ca punct material cu masa egală cu masa totală a sistemului și supusă unei forțe egale cu rezultanta forțelor externe care acționează” . Acesta ia forma:

\mathbf {F} ^{(e)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {P}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {P}} {\ mathrm {d} t}}}

,

unde, pentru un sistem discret de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule,

$\mathbf {F} ^{(e)}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(e)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}$ este rezultatul forțelor externe care acționează asupra sistemului,
$\mathbf {P} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i}}$ este impulsul total al sistemului,
$M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$ ${\ displaystyle M = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}$ ${\ displaystyle M = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}$ este masa totală a sistemului.

Se poate observa că prin plasare $\mathbf {F} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = 0}$ , echivalent cu cerința ca un sistem să fie izolat mecanic , impulsul sistemului este găsit constant. Această teoremă este numită legea conservării impulsului .

Demonstrație

Pornind de la definiția centrului de masă ,

\mathbf {r} _{\text{CM}}={\frac {1}{M}}\sum m_{i}\mathbf {r} _{i},

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {M}} \ sum m_ {i} \ mathbf {r} _ {i},}

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} = {\ frac {1} {M}} \ sum m_ {i} \ mathbf {r} _ {i},}

înmulțind stânga și dreapta cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , este posibil să derivăm membru în membru, obținând astfel

M\mathbf {v} _{\text{CM}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\mathbf {P}

{\ displaystyle M \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {P}}

{\ displaystyle M \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {P}}

Cantitatea din dreapta este impulsul total, adică suma impulsului punctelor individuale ale sistemului. Derivând din nou avem

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(i)}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(e)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {P}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {P}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)}}

Ca o consecință a celei de-a treia legi a dinamicii , indiferent de cazul examinat, rezultanta forțelor interne este întotdeauna zero:

\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(i)}=0,

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} = 0,}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(i)} = 0,}

atunci se demonstrează ecuația. În cazul particular (dar foarte frecvent) în care masa rămâne constantă, este posibil să se scrie ecuația ca

\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(e)}=M\mathbf {a} _{\text{CM}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} = M \ mathbf {a} _ {\ text {CM}}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(e)} = M \ mathbf {a} _ {\ text {CM}}}

A doua ecuație cardinală

A doua ecuație cardinală descrie mișcarea de rotație a unui sistem de coordonate Lagrangian. Acesta ia forma:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {P}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {P} }

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {P} }

,

unde este

$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {p} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {p} _ {i}}$ este impulsul unghiular al sistemului
$\mathbf {M} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}$ este momentul mecanic total care acționează asupra sistemului
$\mathbf {P} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i}}$ este impulsul sistemului
$\mathbf {v} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ este viteza polului , numele pe care îl dăm punctului arbitrar cu privire la care este calculat impulsul unghiular

În cazul în care viteza polului este zero sau este paralelă cu vectorul de impuls total al sistemului, ecuația ia forma simplificată

\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}}}

Din nou se observă că prin plasare $\mathbf {M} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = 0}$ găsim rezultatul important al conservării impulsului unghiular .

Demonstrație

Sună-te $r'_{i}=r_{i}-r_{O}$ ${\ displaystyle r '_ {i} = r_ {i} -r_ {O}}$ ${\ displaystyle r '_ {i} = r_ {i} -r_ {O}}$ poziția punctului i în sistemul de referință al polului și calculați impulsul unghiular al sistemului de puncte materiale avute în vedere în raport cu un pol $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ :

\mathbf {L} _{O}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times \mathbf {p} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} '_ {i} \ times \ mathbf {p} _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {O} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} '_ {i} \ times \ mathbf {p} _ {i}}

Acum derivă-l în ceea ce privește timpul, folosind regula de derivare a produsului funcțiilor.

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} '_{i}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}+\mathbf {r} '_{i}\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}\right]=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}\right]-\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}\right]+\mathbf {M}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} '_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} + \ mathbf {r}' _ {i} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} \ right] - \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} \ right] + \ mathbf {M}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} '_ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} + \ mathbf {r}' _ {i} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} \ right] - \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} \ right] + \ mathbf {M}}

Observați că primul dintre cei trei termeni este (pentru proprietățile produselor vectoriale)

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m_{i}}}\times \mathbf {p} _{i}=0

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m_ {i}}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m_ {i}}} \ times \ mathbf {p} _ {i} = 0}

în timp ce al doilea termen este:

\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} _{i}\right]=\mathbf {v} _{O}\times \sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {P}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} \ right] = \ mathbf {v} _ {O} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {P}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} \ times \ mathbf {p} _ {i} \ right] = \ mathbf {v} _ {O} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {p} _ {i} = \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {P}}

Deci, în cele din urmă:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -\mathbf {v} _{O}\times \mathbf {P}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {P}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {O}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - \ mathbf {v} _ {O} \ times \ mathbf {P}}

A treia ecuație cardinală

A treia ecuație cardinală, prin conceptul de putere , oferă o descriere superioară a mișcării rototranslaționale a sistemului, dar nu este necesară pentru determinarea acestuia. Un rezultat important din punct de vedere intuitiv este că „în perfect acord cu mecanica lagrangiană , puterea derivă din tot felul de forțe generalizate ” . Acesta ia forma:

P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} _{O}+\mathbf {M} \cdot {\boldsymbol {\omega }}_{O}

{\ displaystyle P = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} + \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O}}

{\ displaystyle P = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} + \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O}}

unde este

$P={\frac {\mathrm {d} {W}}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle P = {\ frac {\ mathrm {d} {W}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle P = {\ frac {\ mathrm {d} {W}} {\ mathrm {d} t}}}$ este puterea și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ munca totală care acționează asupra sistemului
$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i}}$ este rezultatul forțelor externe care acționează asupra sistemului
$\mathbf {M} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i}}$ este momentul mecanic rezultat al forțelor externe care acționează asupra sistemului.
${\boldsymbol {\omega }}_{O}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O}}$ Și $\mathbf {v} _{O}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {O}}$ sunt respectiv viteza unghiulară și viteza polului $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , adică punctul arbitrar cu privire la care se calculează momentul mecanic $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ .

Demonstrație

Sună-te $r'_{i}=r_{i}-r_{O}$ ${\ displaystyle r '_ {i} = r_ {i} -r_ {O}}$ ${\ displaystyle r '_ {i} = r_ {i} -r_ {O}}$ poziția punctului i în sistemul de referință al polului și calculați munca totală a sistemului de puncte materiale avute în vedere în raport cu un pol $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ :

{W}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}

{\ displaystyle {W} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}

{\ displaystyle {W} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}

Calculând diferențialul asociat 1-formă , pentru ecuația fundamentală a cinematicii și din moment ce forțele interne nu funcționează, avem:

{\begin{aligned}\mathrm {d} W&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot (\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}_{O}\times \mathbf {r} '_{i})\,\mathrm {d} t\\&=\sum \mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {v} _{O}\ \mathrm {d} t+\sum \mathbf {F} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{O}\times \mathbf {r} '_{i}\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {v} _{O}\,\mathrm {d} t+\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\omega }}_{O}\cdot \mathbf {r} '_{i}\times \mathbf {F} _{i}\,\mathrm {d} t\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}_{O}\cdot \sum _{i=1}^{n}\mathbf {M} _{i}\right)\,\mathrm {d} t\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} W & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot (\ mathbf {v} _ {O} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O} \ times \ mathbf {r} '_ {i}) \, \ mathrm {d} t \\ & = \ sum \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {O } \ \ mathrm {d} t + \ sum \ mathbf {F} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O} \ times \ mathbf {r} '_ {i} \, \ mathrm {d} t \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} \, \ mathrm {d} t + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O} \ cdot \ mathbf {r} '_ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i} \, \ mathrm {d} t \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} + {\ boldsymbol {\ omega }} _ {O} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} \ right) \, \ mathrm {d} t \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} W & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot (\ mathbf {v} _ {O} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O} \ times \ mathbf {r} '_ {i}) \, \ mathrm {d} t \\ & = \ sum \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {O } \ \ mathrm {d} t + \ sum \ mathbf {F} _ {i} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O} \ times \ mathbf {r} '_ {i} \, \ mathrm {d} t \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} \, \ mathrm {d} t + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O} \ cdot \ mathbf {r} '_ {i} \ times \ mathbf {F} _ {i} \, \ mathrm {d} t \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} + {\ boldsymbol {\ omega }} _ {O} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} \ right) \, \ mathrm {d} t \\\ end {align}}}

Deci, în cele din urmă, puterea este:

{\frac {\mathrm {d} {W}}{\mathrm {d} t}}=P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} _{O}+\mathbf {M} \cdot {\boldsymbol {\omega }}_{O}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {W}} {\ mathrm {d} t}} = P = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} + \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {W}} {\ mathrm {d} t}} = P = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} _ {O} + \ mathbf {M} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} _ {O}}

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică