Ecuații ale telegrafiștilor

Ecuațiile telegrafilor se referă la tensiune și curent într-o linie de transmisie . Acestea sunt derivate din modelul liniilor de transmisie, dezvoltat și de Oliver Heaviside în jurul anului 1880 . Acest model se aplică liniilor de transmisie la frecvențe înalte , dar este important și în proiectarea liniilor pentru transportul energiei de înaltă tensiune. Cu acest model și aceste ecuații este posibil să se demonstreze că undele electromagnetice se pot reflecta pe linie și că formele de undă pot fi găsite acolo.

Ecuațiile

Reprezentarea schematică a celulei unitare a unei linii de transmisie.

O linie de transmisie este schematizată ca o serie de celule elementare (cum ar fi cea din figură). Fiecare dintre aceste celule are o lungime infinitesimală și este compusă din L și R în serie și C și G în paralel. Există notații care asociază derivata în raport cu lungimea cantității fizice respective fiecărei componente, pentru a sublinia că celula în cauză este un segment infinitesimal al liniei.

Linie dispersivă

Pentru simplitate, considerăm o linie de transmisie în cazul unidimensional, prin urmare rectilinie și infinită. De asemenea, notăm prin R, C și respectiv G rezistența, capacitatea și conductanța sistemului în raport cu unitatea de lungime.
Fie x coordonata inițială a celulei de transmisie infinitesimale și cu (x + dx) coordonata finală (în practică x este în amonte de toate elementele circuitului, x + dx în aval de toate): prin urmare, celula se extinde pentru secțiunea infinitesimală dreapta.
Înainte de rezistența R vom avea deci o diferență de potențial V (x, t), în timp ce condensatorul de capacitate C și conductanța G vor fi deci la aceeași diferență de potențial V (x + dx), fiind în paralel.
Scriem ecuația ochiurilor pentru potențial:

V(x,t)-(dx\cdot R)I(x,t)-(dx\cdot L){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}-V(x+dx,t)=0

{\ displaystyle V (x, t) - (dx \ cdot R) I (x, t) - (dx \ cdot L) {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} - V (x + dx, t) = 0}

V (x, t) - (dx \ cdot R) I (x, t) - (dx \ cdot L) {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} - V (x + dx, t) = 0

adică împărțind ambele părți la dreapta:

-{\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}=L{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}+RI(x,t)

{\ displaystyle - {\ frac {\ partial V (x, t)} {\ partial x}} = L {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} + RI (x, t )}}

- {\ frac {\ partial V (x, t)} {\ partial x}} = L {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} + RI (x, t)

De asemenea, putem scrie o a doua ecuație pentru sarcina conținută în condensator:

dQ=(dx\cdot C)dV=[I(x,t)-I(x+dx,t)-I_{p}]dt

{\ displaystyle dQ = (dx \ cdot C) dV = [I (x, t) -I (x + dx, t) -I_ {p}] dt}

dQ = (dx \ cdot C) dV = [I (x, t) -I (x + dx, t) -I_ {p}] dt

unde am indicat cu $I_{p}$ ${\ displaystyle I_ {p}}$ ${\ displaystyle I_ {p}}$ curentul care trece în conductanța G, numit curent de scurgere , care este în special:

I_{p}=(dx\cdot G)\cdot V(x+dx,t)

{\ displaystyle I_ {p} = (dx \ cdot G) \ cdot V (x + dx, t)}

I_ {p} = (dx \ cdot G) \ cdot V (x + dx, t)

Apoi obținem ecuația:

-{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=C{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}+G\cdot V(x,t)

{\ displaystyle - {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial x}} = C {\ frac {\ partial V (x, t)} {\ partial t}} + G \ cdot V ( x, t)}

- {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial x}} = C {\ frac {\ partial V (x, t)} {\ partial t}} + G \ cdot V (x, t )

Avem astfel două ecuații diferențiale cuplate, care pot fi decuplate prin obținerea următoarelor, numite ecuația telegrafistă :

{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x^{2}}}=LC{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial t^{2}}}+(RC+GL){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}+GR\cdot I(x,t)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} {\ partial x ^ {2}}} = LC {\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} { \ partial t ^ {2}}} + (RC + GL) {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} + GR \ cdot I (x, t)}

{\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} {\ partial x ^ {2}}} = LC {\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} {\ partial t ^ {2}}} + (RC + GL) {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} + GR \ cdot I (x, t)

Soluția a cărei formă este:

I(x,t)=e^{-\gamma x}f(x-vt)

{\ displaystyle I (x, t) = e ^ {- \ gamma x} f (x-vt)}

I (x, t) = e ^ {{- \ gamma x}} f (x-vt)

pe care le putem obține în raport cu x și cu t:

{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-\gamma e^{-\gamma x}f(x-vt)+e^{-\gamma x}f'(x-vt)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial x}} = - \ gamma e ^ {- \ gamma x} f (x-vt) + e ^ {- \ gamma x} f '(x-vt)}

{\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial x}} = - \ gamma e ^ {{- \ gamma x}} f (x-vt) + e ^ {{- \ gamma x}} f '(x-vt)

{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}e^{-\gamma x}f(x-vt)-2\gamma e^{-\gamma x}f'(x-vt)+e^{-\gamma x}f''(x-vt)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} {\ partial x ^ {2}}} = \ gamma ^ {2} e ^ {- \ gamma x} f (x-vt ) -2 \ gamma e ^ {- \ gamma x} f '(x-vt) + e ^ {- \ gamma x} f' '(x-vt)}

{\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} {\ partial x ^ {2}}} = \ gamma ^ {2} e ^ {{- \ gamma x}} f (x-vt) -2 \ gamma e ^ {{- \ gamma x}} f '(x-vt) + e ^ {{- \ gamma x}} f' '(x-vt)

{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}=-ve^{-\gamma x}f'(x-vt)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} = - ve ^ {- \ gamma x} f '(x-vt)}

{\ frac {\ partial I (x, t)} {\ partial t}} = - ve ^ {{- \ gamma x}} f '(x-vt)

{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial t^{2}}}=v^{2}e^{-\gamma x}f''(x-vt)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} {\ partial t ^ {2}}} = v ^ {2} e ^ {- \ gamma x} f '' (x- vt)}

{\ frac {\ partial ^ {2} I (x, t)} {\ partial t ^ {2}}} = v ^ {2} e ^ {{- \ gamma x}} f '' (x-vt )

care, inserate în ecuația operatorului de telegraf, conduc la:

\gamma ^{2}f-2\gamma f'+f''=v^{2}LCf''-v(RC+GL)f'+GRf

{\ displaystyle \ gamma ^ {2} f-2 \ gamma f '+ f' '= v ^ {2} LCf' '- v (RC + GL) f' + GRf}

\ gamma ^ {2} f-2 \ gamma f '+ f' '= v ^ {2} LCf' '- v (RC + GL) f' + GRf

Acum impunem că nu există dispersie, adică viteza de fază v este aceeași pentru toate semnalele; putem impune astfel următorul sistem, astfel încât egalitatea de mai sus să fie rezolvată:

{\begin{cases}v^{2}={\frac {1}{LC}}\\\gamma ^{2}=GR\\-2\gamma =-v(RC+GL)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} v ^ {2} = {\ frac {1} {LC}} \\\ gamma ^ {2} = GR \\ - 2 \ gamma = -v (RC + GL) \ sfârșit {cazuri}}}

{\ begin {cases} v ^ {2} = {\ frac {1} {LC}} \\\ gamma ^ {2} = GR \\ - 2 \ gamma = -v (RC + GL) \ end {cases }}

iar manipularea celui de-al treilea obține:

2{\frac {\gamma }{v}}=RC+GL

{\ displaystyle 2 {\ frac {\ gamma} {v}} = RC + GL}

2 {\ frac {\ gamma} {v}} = RC + GL

din care se substituie a doua ecuație a sistemului:

RC+GL=2{\sqrt {(RC)(GL)}}

{\ displaystyle RC + GL = 2 {\ sqrt {(RC) (GL)}}}

RC + GL = 2 {\ sqrt {(RC) (GL)}}

și singura posibilitate ca egalitatea de mai sus să fie verificată este următoarea:

RC=GL

{\ displaystyle RC = GL}

RC = GL

aceasta din urmă se numește condiția Heaviside , valabilă pentru liniile de transmisie fără distorsiuni.

Linie de transmisie

În schimb, să luăm în considerare o linie de transmisie caracterizată prin valori foarte mici de rezistență (longitudinală) și conductanță (transversală). O linie de acest gen este compusă din doi conductori buni, care sunt bine izolați electric. Prin urmare, putem reprezenta linia cu o structură ideală, fără pierderi. În acest caz, comportamentul liniei este complet subordonat efectelor câmpului magnetic (și variațiilor sale) asupra inductanței și capacității prezente.

Pentru ipotezele asumate, valorile lui R și G sunt neglijabile, prin urmare: