Ecuațiile Euler-Lagrange

Ecuațiile Euler-Lagrange (sau ecuațiile variaționale Euler) sunt ecuații diferențiale de ordinul doi care joacă un rol esențial ca model matematic în mecanica clasică și în optimizare . Ele au fost formulate istoric pentru prima dată de Euler în contextul mecanicii newtoniene și studiate pentru prima dată de Joseph-Louis Lagrange în tratatul său „Mecanica Analitică”.

Declinate în mecanica clasică , ecuațiile lui Euler pot descrie un sistem mecanic conservator . În acest context, ele sunt numite în special ecuații Lagrange și conduc la ecuațiile mișcării . Teorema fundamentală a mecanicii lagrangiene asigură aici că ecuațiile Lagrange sunt echivalente cu a doua lege a dinamicii , care raportează poziția și viteza fiecărui element al sistemului. ^[1]

Ecuațiile Euler-Lagrange pot fi legate direct de un principiu de acțiune minimă . În contextul calculului variațiilor, soluția lor este un punct staționar pentru o bază de date funcțională ^[2] . Problema XIX a lui Hilbert se referă la funcția Lagrange; soluția sa a fost dată de Ennio De Giorgi și John Nash în 1957.

Definiție

Ecuația Euler pentru o funcție scalară "f (x, x ', t)" are forma canonică ^[3] ^[4] :

{\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

O funcție care satisface această ecuație (Euler) este apelată din motive istorice cu numele: Lagrangian . Cantitatea fizică corespunzătoare este de obicei indicată în fizică și științele aplicate cu litera L (în mecanica clasică are dimensiunile fizice ale unei energii ) sau, mai bine, cu litera capitală greacă Lambda . Variabilele ( $x,{\dot {x}}$ ${\ displaystyle x, {\ dot {x}}}$ ${\ displaystyle x, {\ dot {x}}}$ ) ale funcției Lagrangiene sunt numite respectiv coordonatele Lagrangianului și derivatele lor în timp . O notație mai abstractă pentru o funcție lagrangiană ar putea fi de exemplu „f _L ”.

Ecuația lui Euler (vector) constă pur și simplu în studiul zero-urilor unui operator , numit derivatul eulerian (mai bine, pentru a evita unele ambiguități cu un operator cu același nume definit de obicei în dinamica fluidelor, gradientul eulerian ):

\nabla _{E}\,f=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ nabla _ {E} \, f = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ nabla _ {E} \, f = \ mathbf {0}}

Operatorul este de fapt un gradient înțeles într-un sens generalizat: corespunde cu suma gradientului (spațial) și a derivatei în timp a gradientului cinetic :

\nabla _{E}=\nabla +{\dot {\nabla }}_{v}

{\ displaystyle \ nabla _ {E} = \ nabla + {\ dot {\ nabla}} _ {v}}

{\ displaystyle \ nabla _ {E} = \ nabla + {\ dot {\ nabla}} _ {v}}

Aici indicăm cu simbolul nabla gradientul spațial (derivat față de poziția vectorială), cu nabla cu indicele „v” gradientul cinetic, iar punctul de deasupra acestuia denotă derivata în timp, conform notației Newton .

În ceea ce privește funcția, pentru a fi lagrangiană, o funcție trebuie să aibă în primul rând câteva derivate parțiale continue .

Funcționalitatea asociată cu o funcție Lagrangiană se numește acțiune :

S=\int f_{L}(t)\,\operatorname {d} t

{\ displaystyle S = \ int f_ {L} (t) \, \ operatorname {d} t}

{\ displaystyle S = \ int f_ {L} (t) \, \ operatorname {d} t}

Punctul staționar al acestei funcționale corespunde ecuației Euler. De obicei, acesta este un punct minim.

În general, atunci, o funcție Lagrangiană poate depinde de derivatele coordonatelor chiar și de ordin mai mare decât prima și este definită pe fasciculul tangent $T. X$ ${\ displaystyle TX}$ $TX$ de o varietate diferențiată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Constante

Variabila $y_{k}$ ${\ displaystyle y_ {k}}$ $y_ {k}$ care este conjugat cu variabila originală $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ este definit de ecuația:

y_{k}\ {\stackrel {\mathrm {\Delta } }{=}}\ {\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}_{k}}}

{\ displaystyle y_ {k} \ {\ stackrel {\ mathrm {\ Delta}} {=}} \ {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ dot {x}} _ {k}}}}

{\ displaystyle y_ {k} \ {\ stackrel {\ mathrm {\ Delta}} {=}} \ {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ dot {x}} _ {k}}}}

Dacă expresia lui f nu conține coordonata generalizată $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ se întâmplă că:

{\frac {\partial {\mathcal {f}}}{\partial x_{k}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {f}}} {\ partial x_ {k}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {f}}} {\ partial x_ {k}}} = 0}

În acest caz, ecuația lui Euler arată că variația în timp a $y_{k}$ ${\ displaystyle y_ {k}}$ $y_ {k}$ este nul și, prin urmare, este o constantă a sistemului; În plus, $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ este o variabilă care poate fi ștearsă (variabilă ciclică, conform denumirii sale originale).

Acțiune asociată cu Lagrangianul

Același subiect în detaliu: principiul lui Hamilton .

Luați în considerare un sistem fizic descris de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonate generalizate $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})}$ ${\ mathbf q} = (q_ {1}, \ dots, q_ {n})$ care evoluează între două stări $\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1} = \ mathbf {q} (t_ {1})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1} = \ mathbf {q} (t_ {1})}$ Și $\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2} = \ mathbf {q} (t_ {2})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2} = \ mathbf {q} (t_ {2})}$ în intervalul de timp dintre instante $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ . Evoluția sistemului, descrisă de curbă $\mathbf {q} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t)}$ ${\ mathbf q} (t)$ , poate fi interpretat ca un punct staționar al unei acțiuni funcționale , numită Hamilton ${\mathcal {S}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$ (de obicei, acesta este un punct minim). Cu alte cuvinte, evoluția sistemului poate fi descrisă și ca aceea care tinde să minimizeze acțiunea. ^[1] Din punct de vedere matematic, ecuațiile mișcării sunt soluția unei ecuații variaționale :

{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {S}}}{\mathrm {d} \mathbf {q} }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {S}}} {\ mathrm {d} \ mathbf {q}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ mathcal {S}}} {\ mathrm {d} \ mathbf {q}}} = 0}

în care, în special acțiunea este primitivul temporal al Lagrangianului, care se numește „acțiunea Hamilton”:

{\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{0}=\int _{0}^{t}L(t')\mathrm {d} t'

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {S}} _ {0} = \ int _ {0} ^ {t} L (t ') \ mathrm {d} t'}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {S}} _ {0} = \ int _ {0} ^ {t} L (t ') \ mathrm {d} t'}

Expresia acțiunii pentru ecuațiile Euler-Lagrange depinde de expresia Lagrangianului. Cerința ca traiectoria reală parcursă de un sistem fizic să fie un punct de acțiune staționar ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ este echivalent cu ecuațiile Euler - Lagrange, așa cum urmează să demonstrăm, prin urmare prin tranzitivitate dacă și numai dacă se menține al doilea principiu al dinamicii . Ecuațiile sunt obținute prin introducerea unei mici perturbații $\operatorname {d} \mathbf {q} (t)$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {q} (t)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {q} (t)}$ care este anulat la capetele căii:

\mathrm {d} \mathbf {q} (t_{1})=\mathrm {d} \mathbf {q} (t_{2}):=0\implies \mathrm {d} {\dot {\mathbf {q} }}(t_{1})=\mathrm {d} {\dot {\mathbf {q} }}(t_{2}):=0

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {1}) = \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {2}): = 0 \ implică \ mathrm {d} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {1}) = \ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}): = 0}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {1}) = \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {2}): = 0 \ implică \ mathrm {d} {\ dot { \ mathbf {q}}} (t_ {1}) = \ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t_ {2}): = 0}

Perturbarea produce o variație infinitesimală $\mathrm {d} {\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}}}$ funcțională și integrantă este dată de lema de derivare a integralelor :

\mathrm {d} {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}\mathrm {d} \mathbf {q} (t)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\mathrm {d} {\dot {\mathbf {q} }}(t)\right]\!\operatorname {d} \!t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial \ mathbf {q}}} \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}} }}} \ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t) \ right] \! \ operatorname {d} \! t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial \ mathbf {q}}} \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}} }}} \ mathrm {d} {\ dot {\ mathbf {q}}} (t) \ right] \! \ operatorname {d} \! t}

Folosind integrarea pe părți pentru al doilea termen al integrandului din dreapta, obținem:

\mathrm {d} {\mathcal {S}}={\cancel {\left[\mathrm {d} \mathbf {q} (t)\cdot {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\!\!\mathrm {d} \mathbf {q} (t)\!\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\!\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}} = {\ cancel {\ left [\ mathrm {d} \ mathbf {q} (t) \ cdot {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}}}} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \! \! \ Mathrm {d} \ mathbf {q} (t) \! \ Left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) \! \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}} = {\ cancel {\ left [\ mathrm {d} \ mathbf {q} (t) \ cdot {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} }} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}}}} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \! \! \ Mathrm {d} \ mathbf {q} (t) \! \ Left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) \! \ mathrm {d} t}

întrucât condițiile de hotar $\mathrm {d} \mathbf {q} (t_{1})=\mathrm {d} \mathbf {q} (t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {1}) = \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {2}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=} } \ 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {1}) = \ mathrm {d} \ mathbf {q} (t_ {2}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=} } \ 0}$ anulați primul termen. Principiul lui Hamilton impune acest lucru $\mathrm {d} {\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {S}}}$ este zero pentru fiecare perturbare posibilă, deoarece traiectoria parcursă este un punct staționar al acțiunii. Această cerere este, prin urmare, satisfăcută dacă și numai dacă ecuațiile Euler-Lagrange sunt valabile, adică dacă integrandul este zero:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} = 0}

Mecanica clasică

Se poate arăta că ecuațiile Euler-Lagrange pot descrie dinamica sistemelor mecanice conservatoare într-un mod identic cu a doua lege a dinamicii lui Newton, în timp ce acest lucru nu este valabil pentru sistemele neconservative. Studiul sistemelor mecanice conservatoare din punct de vedere al ecuațiilor Euler-Lagrange se numește mecanica lagrangiană , un studiu realizat cunoscând Lagrangianul sistemului, pentru a-l distinge de mecanica newtoniană studiată cu al doilea principiu al dinamicii , adică cunoașterea componentelor forțelor acționând asupra sistemului. Avantajul mecanicii lagrangiene este că într-un parametru scalar, adică lagrangianul, sunt rezumate toate proprietățile sistemului conservator, în timp ce în mecanica newtoniană sunt necesari mulți parametri scalari, adică componentele tuturor acțiunilor externe. În acest context, ecuațiile sunt denumite de obicei ecuații Lagrange , deoarece justificarea lor fizică a fost realizată doar de Lagrange și sunt primul caz istoric și cel mai relevant în care au fost aplicate ecuațiile Euler-Lagrange. ^{[ fără sursă ]}

În studiul unui sistem mecanic ${x}^{\lambda }$ ${\ displaystyle {x} ^ {\ lambda}}$ ${x} ^ {\ lambda}$ Și ${\dot {x}}^{\lambda }$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {\ lambda}}$ ${\ dot {x}} ^ {\ lambda}$ sunt făcute să coincidă respectiv cu coordonatele ${q}^{\lambda }$ ${\ displaystyle {q} ^ {\ lambda}}$ ${q} ^ {\ lambda}$ și viteze generalizate ${\dot {q}}^{\lambda }$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} ^ {\ lambda}}$ ${\ dot {q}} ^ {\ lambda}$ , iar ecuațiile Euler-Lagrange determină variația lor în funcție de timp, adică evoluția sistemului . Valabilitatea mecanicii lagrangiene pentru sistemele discrete conservatoare cu masă constantă este demonstrată pe scurt mai jos.

Pentru a doua lege a dinamicii, forța rezultată asupra sistemului este derivata în timp a impulsului :

F={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(m\mathbf {\dot {x}} )

{\ displaystyle F = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (m \ mathbf {\ dot {x}})}

{\ displaystyle F = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (m \ mathbf {\ dot {x}})}

trecând în coordonate generalizate, a i-a forță generalizată este:

Q_{i}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(m{\dot {\mathbf {x} }})\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{I}{\frac {\partial (m\mathbf {\dot {x}} )}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial (m{\dot {\mathbf {x} }})}{\partial t}}\right)\cdot {\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{I}m{\frac {\partial \mathbf {\dot {x}} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+m{\frac {\partial {\dot {\mathbf {x} }}}{\partial t}}+\mathbf {\dot {x}} {\frac {\partial m}{\partial t}}\right)\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial q_{i}}}

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (m {\ dot {\ mathbf {x}}}) \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (m \ mathbf {\ dot {x}})} { \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial (m {\ dot {\ mathbf {x}}})} {\ partial t}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {I} m {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {x} }} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} + m {\ frac {\ partial {\ dot {\ mathbf {x}}}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ dot {x}} {\ frac {\ partial m} {\ partial t}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}}

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (m {\ dot {\ mathbf {x}}}) \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (m \ mathbf {\ dot {x}})} { \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial (m {\ dot {\ mathbf {x}}})} {\ partial t}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {I} m {\ frac {\ partial \ mathbf {\ dot {x} }} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} + m {\ frac {\ partial {\ dot {\ mathbf {x}}}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ dot {x}} {\ frac {\ partial m} {\ partial t}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q_ {i}}}}

Derivați parțiali ai energiei cinetice $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în ceea ce privește vitezele (numite impuls generalizat) și coordonatele generalizate corespunzătoare ale unui sistem format din $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ subsisteme ea $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ gradele de libertate sunt:

p_{i}={\frac {\partial T_{{\dot {q}}_{i},q_{i},t}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=(\nabla _{i}T)_{(\mathbf {0} )}+\sum _{j=1}^{I}(H_{ij}T)_{(\mathbf {0} )}{\dot {q}}_{j}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial T _ {{\ dot {q}} _ {i}, q_ {i}, t}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i }}} = (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})} + \ sum _ {j = 1} ^ {I} (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0 })} {\ dot {q}} _ {j}}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial T _ {{\ dot {q}} _ {i}, q_ {i}, t}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i }}} = (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})} + \ sum _ {j = 1} ^ {I} (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0 })} {\ dot {q}} _ {j}}

{\frac {\partial T_{{\dot {q}}_{i},q_{i},t}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j=1}^{I}{\frac {\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,{\dot {q}}_{j}+\sum _{i=1}^{I}{\frac {\partial (\nabla _{i}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial q_{i}}}\,{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial T_{(\mathbf {0} )}}{\partial q_{i}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T _ {{\ dot {q}} _ {i}, q_ {i}, t}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = { \ frac {1} {2}} \, \ sum _ {i, j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})}} { \ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} \, {\ dot {q}} _ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial q_ {i}}} \, {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial T_ {(\ mathbf {0})}} {\ partial q_ {i}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T _ {{\ dot {q}} _ {i}, q_ {i}, t}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = { \ frac {1} {2}} \, \ sum _ {i, j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})}} { \ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} \, {\ dot {q}} _ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial q_ {i}}} \, {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partial T_ {(\ mathbf {0})}} {\ partial q_ {i}}}}

Derivatul total de timp al ultimului termen este următorul:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial T_{{\dot {q}}_{i},q_{i},t}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{i=1}^{I}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial T_{{\dot {q}}_{i},q_{i},t}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial T_{{\dot {q}}_{i},q_{i},t}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j=1}^{I}{\frac {\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,{\dot {q}}_{j}+\sum _{i=1}^{I}{\frac {\partial (\nabla _{i}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial q_{i}}}\,{\dot {q}}_{i}+\sum _{j=1}^{I}{\frac {\partial (H_{ij}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial t}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial (\nabla _{i}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial T _ {{\ dot {q}} _ {i}, q_ {i}, t} } {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac { \ partial T _ {{\ dot {q}} _ {i}, q_ {i}, t}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ dot {q}} _ { i} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ frac {\ partial T _ {{\ dot {q}} _ {i}, q_ {i}, t}} {\ partial {\ punct {q}} _ {i}}} = {\ frac {1} {2}} \, \ sum _ {i, j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (H_ {ij} T ) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} \, {\ dot {q}} _ {j} + \ sum _ { i = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial q_ {i}}} \, {\ dot {q }} _ {i} + \ sum _ {j = 1} ^ {I} {\ frac {\ partial (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial t}} { \ dot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial t}}}

{\ frac {\ operatorname d} {\ operatorname dt}} {\ frac {\ partial T _ {{{\ dot q} _ {i}, q_ {i}, t}}} {\ partial {\ dot q } _ {i}}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {I} {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial T _ {{{ punct q} _ {i}, q_ {i}, t}}} {\ partial {\ dot q} _ {i}}} {\ dot q} _ {i} + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ frac {\ partial T _ {{{\ dot q} _ {i}, q_ {i}, t}}} {\ partial {\ dot q} _ {i}}} = {\ frac 12} \, \ sum _ {{i, j = 1}} ^ {I} {\ frac {\ partial (H _ {{ij}} T) _ {{({\ mathbf 0})}}} {\ partial q_ {i}}} {\ dot q} _ {i} \, {\ dot q} _ {j} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {I} {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {{({\ mathbf 0})}}} {\ partial q_ {i}}} \, {\ dot q} _ {i} + \ sum _ {{j = 1}} ^ {I} {\ frac {\ partial (H _ {{ij}} T) _ {{({\ mathbf 0})}}} {\ partial t}} {\ dot q} _ {j } + {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {{({\ mathbf 0})}}} {\ partial t}}

Prin urmare, avem:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=\sum _{j}{\frac {(\partial H_{ij}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial t}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial (\nabla _{i}T)_{(\mathbf {0} )}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[\sum _{j}(H_{ij}T)_{(\mathbf {0} )}{\dot {q}}_{j}+(\nabla _{i}T)_{(\mathbf {0} )}\right]

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} = \ sum _ {j} {\ frac {(\ partial H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial t} } {\ dot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial t}} = {\ frac { \ partial} {\ partial t}} \ left [\ sum _ {j} (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})} {\ dot {q}} _ {j} + (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} = \ sum _ {j} {\ frac {(\ partial H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial t} } {\ dot {q}} _ {j} + {\ frac {\ partial (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})}} {\ partial t}} = {\ frac { \ partial} {\ partial t}} \ left [\ sum _ {j} (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})} {\ dot {q}} _ {j} + (\ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})} \ right]}

Dacă fiecare parte a sistemului are o masă constantă, avem:

{\frac {\partial m}{\partial t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial m} {\ partial t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial m} {\ partial t}} = 0}

de la care:

Q_{i}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sum _{j}{\frac {\partial x^{2}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+m{\dot {x}}{\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial t}}\left[\sum _{j}(H_{ij}T)_{(\mathbf {0} )}{\dot {q}}_{j}+(\nabla _{i}T)_{(\mathbf {0} )}\right]

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ sum _ {j} {\ frac {\ partial x ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} + m {\ dot {x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left [\ sum _ {j} (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})} {\ dot {q}} _ {j} + ( \ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})} \ right]}

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ sum _ {j} {\ frac {\ partial x ^ {2}} {\ partial q_ {i} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} + m {\ dot {x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial q_ {i}}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left [\ sum _ {j} (H_ {ij} T) _ {(\ mathbf {0})} {\ dot {q}} _ {j} + ( \ nabla _ {i} T) _ {(\ mathbf {0})} \ right]}

În acest fel ajungem la ecuațiile Lagrange (în sens restrâns):

{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}-{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=Q_{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = Q_ {i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = Q_ {i}}

Ecuațiile Lagrange sunt în general $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ ecuații diferențiale neliniare de ordinul doi în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ funcțiile timpului, coordonatele generalizate , deci echivalente cu un sistem de ordine $2^{I}$ ${\ displaystyle 2 ^ {I}}$ $2 ^ {I}$ . ^[5] În formă vectorială avem:

\mathbf {Q} _{q}={\partial  \over \partial t}{\left((\mathbf {H} T)_{(\mathbf {0} )}{\dot {\mathbf {q} }}+(\nabla T)_{(\mathbf {0} )}\right)}=

{\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {q} = {\ partial \ over \ partial t} {\ left ((\ mathbf {H} T) _ {(\ mathbf {0})} {\ dot {\ mathbf {q}}} + (\ nabla T) _ {(\ mathbf {0})} \ right)} =}

{\ mathbf Q} _ {q} = {\ partial \ over \ partial t} {\ left (({\ mathbf H} T) _ {{({\ mathbf 0})}} {\ dot {{\ mathbf q}}} + (\ nabla T) _ {{({\ mathbf 0})}} \ right)} =

=(\mathbf {H} T)_{(\mathbf {0} )}{\ddot {\mathbf {q} }}-{\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{*}\nabla (\mathbf {H} T)_{(\mathbf {0} )}{\dot {\mathbf {q} }}+\left[{\partial  \over \partial t}{(\mathbf {H} T)_{(\mathbf {0} )}}-(\nabla \nabla ^{*}T)_{(\mathbf {0} )}\right]{\dot {\mathbf {q} }}+\left[-1+{\partial  \over \partial t}\right](\nabla T)_{(\mathbf {0} )}

{\ displaystyle = (\ mathbf {H} T) _ {(\ mathbf {0})} {\ ddot {\ mathbf {q}}} - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ mathbf {q}}} ^ {*} \ nabla (\ mathbf {H} T) _ {(\ mathbf {0})} {\ dot {\ mathbf {q}}} + \ left [{\ partial \ over \ partial t} {(\ mathbf {H} T) _ {(\ mathbf {0})}} - (\ nabla \ nabla ^ {*} T) _ {(\ mathbf {0})} \ right] {\ punct {\ mathbf {q}}} + \ left [-1 + {\ partial \ over \ partial t} \ right] (\ nabla T) _ {(\ mathbf {0})}}

= ({\ mathbf H} T) _ {{({\ mathbf 0})}} {\ ddot {{\ mathbf q}}} - {\ frac {1} {2}} {\ dot {{\ mathbf q}}} ^ {*} \ nabla ({\ mathbf H} T) _ {{({\ mathbf 0})}} {\ dot {{\ mathbf q}}} + \ left [{\ partial \ over \ partial t} {({\ mathbf H} T) _ {{({\ mathbf 0})}}} - (\ nabla \ nabla ^ {*} T) _ {{({\ mathbf 0})}} \ right] {\ dot {{\ mathbf q}}} + \ left [-1 + {\ partial \ over \ partial t} \ right] (\ nabla T) _ {{({\ mathbf 0})}}

Acum, menționând că, în general, forța generalizată poate fi împărțită într-o componentă neconservatoare $\mathrm {N} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathrm {N} _ {i}}$ $\ mathrm {N} _ {i}$ iar într-unul conservator $C_{i}$ ${\ displaystyle C_ {i}}$ $Acolo}$ și, prin definiție:

Q_{i}=\mathrm {N} _{i}+C_{i}\,=\mathrm {N} _{i}-{\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}

{\ displaystyle Q_ {i} = \ mathrm {N} _ {i} + C_ {i} \, = \ mathrm {N} _ {i} - {\ frac {\ partial U} {\ partial q_ {i} }}}

Q_ {i} = \ mathrm {N} _ {i} + C_ {i} \, = \ mathrm {N} _ {i} - {\ frac {\ partial U} {\ partial q_ {i}}}

deoarece energia potențială este doar o funcție a coordonatelor sistemului:

{\frac {\partial U_{q_{i},t}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U_ {q_ {i}, t}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} = 0}

{\ frac {\ partial U _ {{q_ {i}, t}}} {\ partial {\ dot q} _ {i}}} = 0

prin descompunerea forței și introducerea acestui ultim termen nul în ecuația de tip I:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial U}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}=\mathrm {N} _{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ partial U} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ partial U} {\ partial q_ {i}}} = \ mathrm {N} _ {i}}

{\ frac {\ operatorname d} {\ operatorname dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot q} _ {i}}} - {\ frac {\ partial U} {\ partial {\ dot q} _ {i}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ partial U} {\ partial q_ {i}}} = \ mathrm {N } _ {i}

ecuațiile mișcării sunt în cele din urmă transformate într-o a doua formă:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=\mathrm {N} _{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = \ mathrm {N} _ {i}}

{\ frac {\ operatorname d} {\ operatorname dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot q} _ {i}}} - {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = \ mathrm {N} _ {i}

unde este ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ este pur și simplu o cantitate nouă pentru moment. Dacă matricea sa Hessiană în raport cu componentele vitezei generalizate $\mathbf {H} {\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathbf H} {\ mathcal L}$ este inversabil, atunci acest lucru se numește regulat, iar ecuațiile Lagrange sunt un sistem de ordinul doi. După cum am văzut, aceste ecuații sunt complet echivalente cu a doua lege a dinamicii în abordarea newtoniană.

Dacă și numai dacă sistemul mecanic este conservator, adică rezultanta forțelor neconservatoare este zero, ecuațiile mișcării sunt de tip Euler-Lagrange:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i} }} - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0}

{\ frac {\ operatorname d} {\ operatorname dt}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot q} _ {i}}} - {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} = 0

unde funcționalitatea lagrangiană este în special constituită de diferența dintre energia cinetică și energia potențială:

{\mathcal {L}}\equiv T-U

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ equiv TU}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ equiv T-U}

Ecuațiile generale ale dinamicii în a doua formă pe care le-am văzut, diferența cu ecuațiile Lagrange rezidă tocmai în termenul neomogen constituit de forțele neconservatoare, care, în general, pot fi prezente. Din cauza acestui termen, dinamica sistemelor mecanice nu poate fi descrisă în general prin ecuațiile Euler-Lagrange, ci doar pe cea specifică a sistemelor conservatoare. Pentru sistemele neconservative, informațiile despre sistem care trebuie cunoscute, pe lângă coordonatele lagrangiene și generalizate, sunt forțele neconservative.

Întotdeauna s-a presupus că sistemul este parametrizat corect și, prin urmare, parametrii lagrangieni reprezintă o bază pentru spațiul de fază . Cu toate acestea, dacă acest lucru se dovedește dificil, este posibil să se reducă condiția de validitate a ecuațiilor doar la o parametrizare generatoare, fără a face independența liniară dintre coordonatele Lagrangiene, trecând la ecuațiile Appell .

Particule libere în coordonate polare

O particulă de masă liberă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și viteză $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ într-un spațiu euclidian se deplasează în linie dreaptă în conformitate cu primul principiu al dinamicii . Ecuațiile Euler-Lagrange în coordonate polare modelează fenomenul după cum urmează. În absența potențialului, Lagrangianul este egal cu energia cinetică:

{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y }} ^ {2} \ right)}

{\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} \ dreapta)

unde se folosesc coordonatele ortonormale $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ , iar punctul de deasupra coordonatelor reprezintă derivata în raport cu parametrul curbei (de obicei timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ). În coordonate polare $(r,\phi )$ ${\ displaystyle (r, \ phi)}$ $(r, \ phi)$ energia cinetică și, prin urmare, Lagrangiana, devine:

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ dreapta)}

{\ mathcal L} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot \ phi} ^ {2} \ right)

Componentele radiale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și unghiular $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ecuației Euler-Lagrange sunt, respectiv,

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}=0\qquad {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {r}}} } \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial r}} = 0 \ qquad {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} = 0}

{\ frac {\ operatorname d} {\ operatorname dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial {\ dot {r}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial r}} = 0 \ qquad {\ frac {\ operatorname d} {\ operatorname dt}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial { \ dot {\ phi}}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal L}} {\ partial \ phi}} = 0

De la care:

{\ddot {r}}-r{\dot {\phi }}^{2}=0\qquad {\ddot {\phi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\phi }}=0

{\ displaystyle {\ ddot {r}} - r {\ dot {\ phi}} ^ {2} = 0 \ qquad {\ ddot {\ phi}} + {\ frac {2} {r}} {\ dot {r}} {\ dot {\ phi}} = 0}

{\ ddot {r}} - r {\ dot {\ phi}} ^ {2} = 0 \ qquad {\ ddot {\ phi}} + {\ frac {2} {r}} {\ dot {r} } {\ dot {\ phi}} = 0

Soluția acestor două ecuații este dată de:

r\cos \phi =at+b

{\ displaystyle r \ cos \ phi = at + b}

r \ cos \ phi = at + b

r\sin \phi =ct+d

{\ displaystyle r \ sin \ phi = ct + d}

r \ sin \ phi = ct + d

pentru un set de constante $la, b, c, d$ ${\ displaystyle a, b, c, d}$ $a, b, c, d$ determinat de condițiile inițiale. Prin urmare, soluția este o linie dreaptă dată în coordonate polare.

Geometria diferențială

Ecuațiile Euler-Lagrange pot fi exprimate sub forma sistemelor de ecuații diferențiale parțiale:

{\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}=\partial _{\mu }\phi ^{i}\equiv \phi _{,\mu }^{i}\qquad {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x^{\mu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{,\mu }^{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi ^{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi ^ {i}} {\ partial x ^ {\ mu}}} = \ partial _ {\ mu} \ phi ^ {i} \ equiv \ phi _ {, \ mu } ^ {i} \ qquad {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! x ^ {\ mu}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi _ {, \ mu} ^ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi ^ {i}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi ^ {i}} {\ partial x ^ {\ mu}}} = \ partial _ {\ mu} \ phi ^ {i} \ equiv \ phi _ {, \ mu } ^ {i} \ qquad {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! x ^ {\ mu}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi _ {, \ mu} ^ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi ^ {i}}} = 0}

unde este $x^{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$ $x ^ {\ mu}$ sunt coordonatele pe o varietate diferențiată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , de obicei spațiu-timp și $\phi ^{i}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {i}}$ $\ phi ^ {i}$ sunt componentele unui câmp pe acest soi cu valori într-un anumit „soi țintă” $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Cu expresia ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x^{\mu }}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x ^ {\ mu}}}}$ si indica la derivata totale rispetto alla variabile $x^{\mu }$ $x^{\mu }$ $x^{\mu }$ .

Più formalmente, i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base $M$ ${\displaystyle M}$ $M$ e fibra $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ , e per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

Note

^ ^a ^b Landau, Lifshits , Pag. 28 .
^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 9780486654997
^ Hand, Finch , eq. 2.24 .
^ Gelfand, Fomin, Calculus of variations , par. 4: The Simplest Variational Problem. Euler's Equation. Theorem 1.
^ In problemi semplici l'ordine del sistema si può abbassare

Bibliografia

Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 1 - Meccanica , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-6473-202-0 .
G. Benettin, Appunti per il corso di fisica matematica ( PDF ), Padova, 2013.
Antonio Fasano e Stefano Marmi, Meccanica Analitica , (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
Dare A. Wells, Dinamica lagrangiana, con 275 esercizi risolti, ETAS, collana Schaum (1984), 353 p. (traduzione di Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0 ) Una trattazione esaustiva dell'argomento. Edizione italiana fuori catalogo, sembra reperibile solo nelle biblioteche.
( EN ) Izrail Moiseevish Gelfand , Calculus of Variations , Dover, 1963, ISBN 0-486-41448-5 .

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Equazioni di Eulero-Lagrange , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Eric W. Weisstein, Equazioni di Eulero-Lagrange , in MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) Calculus of Variations at Example Problems.com (Provides examples of problems from the calculus of variations that involve the Euler – Lagrange equations.)

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 32473 · LCCN ( EN ) sh85073964 · BNF ( FR ) cb120981324 (data)

Portale Meccanica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica

[def-1] Landau, Lifshits , Pag. 28 .

[2] Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 9780486654997

[3] Hand, Finch , eq. 2.24 .

[4] Gelfand, Fomin, Calculus of variations , par. 4: The Simplest Variational Problem. Euler's Equation. Theorem 1.

[5] In problemi semplici l'ordine del sistema si può abbassare

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]