Ecuații Euler (dinamică rigidă a corpului)

În mecanica clasică , ecuațiile Euler pentru rotație sunt un sistem de ecuații diferențiale ordinare quasiliniare de ordinul întâi care descriu rotația unui corp rigid , utilizând un cadru de referință rotativ cu axele sale fixate în corp și paralele cu axele principale ale corpului inerție . Forma vectorială generală este:

\mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M}

{\ displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}}

{\ displaystyle \ mathbf {I} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M}}

unde M este momentul mecanic aplicat, I este matricea / tensorul de inerție și ω este viteza unghiulară în jurul axelor principale.

În principalele coordonate ortogonale tridimensionale, ele devin:

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} & = M_ {1} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} & = M_ {2} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {1} \ omega _ {2} & = M_ {3 } \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} & = M_ {1} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} & = M_ {2} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {1} \ omega _ {2} & = M_ {3 } \ end {align}}}

unde M _k sunt componentele momentului mecanic, I _k sunt momentele principale de inerție și ω _k sunt componentele vitezei unghiulare în jurul axelor principale.

Motivație și derivare

Pornind de la a doua lege a lui Newton , într-un sistem de referință inerțial (cu indicele „în”), derivata în timp a momentului unghiular L este egală cu momentul mecanic aplicat. ^[1]

{\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} _{\text{in}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} _{\text{in}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {\ text {in}}} {dt}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {d} {dt }} \ left (\ mathbf {I} _ {\ text {in}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M} _ {\ text {in}}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {\ text {in}}} {dt}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {d} {dt }} \ left (\ mathbf {I} _ {\ text {in}} {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {M} _ {\ text {in}}}

unde I _in este tensorul de inerție calculat în sistemul inerțial. Deși această lege este universal adevărată, nu este întotdeauna utilă în rezoluția unei mișcări de rotație generice, deoarece atât I _{în cât} și ω pot varia în timpul mișcării.

Prin urmare, este necesar să vă deplasați într-un sistem de coordonate integral cu corpul rotativ, cu axele aliniate cu axele principale de inerție. În acest sistem, cel puțin matricea de inerție este constantă (și diagonală), ceea ce simplifică calculele. Momentul unghiular L poate fi scris:

\mathbf {L} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _{3}\mathbf {e} _{3}

{\ displaystyle \ mathbf {L} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ L_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + L_ {2} \ mathbf {e} _ {2 } + L_ {3} \ mathbf {e} _ {3} = I_ {1} \ omega _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + I_ {2} \ omega _ {2} \ mathbf {e } _ {2} + I_ {3} \ omega _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ L_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + L_ {2} \ mathbf {e} _ {2 } + L_ {3} \ mathbf {e} _ {3} = I_ {1} \ omega _ {1} \ mathbf {e} _ {1} + I_ {2} \ omega _ {2} \ mathbf {e } _ {2} + I_ {3} \ omega _ {3} \ mathbf {e} _ {3}}

unde M _k , I _k și ω _k sunt cele definite mai sus.

În cadrul de referință rotativ , derivata de timp trebuie înlocuită cu ^[1]

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {rot}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} = \ mathbf {M}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {rot}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} = \ mathbf {M}}

unde indicele „putrezire” indică faptul că se face în sistemul rotativ. În componente devine ^[2]

\left({\frac {dL}{dt}}\right)_{\mathrm {rot,} i}+\varepsilon _{ijk}\omega _{j}L_{k}=M_{i}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dL} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {rot,} i} + \ varepsilon _ {ijk} \ omega _ {j} L_ {k} = M_ {i }}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {dL} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {rot,} i} + \ varepsilon _ {ijk} \ omega _ {j} L_ {k} = M_ {i }}

unde este $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ $\ varepsilon_ {ijk}$ este simbolul Levi-Civita . Dacă luăm în considerare rotația în jurul axelor principale, aceasta poate fi substituită

L_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ I_{i}\omega _{i},

{\ displaystyle L_ {i} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I_ {i} \ omega _ {i},}

{\ displaystyle L_ {i} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I_ {i} \ omega _ {i},}

atingerea sistemului de ecuații scrise la începutul intrării: ^[2]

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} & = M_ {1} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} & = M_ {2} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {1} \ omega _ {2} & = M_ {3 } \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} + (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {2} \ omega _ {3} & = M_ {1} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} + (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {3} \ omega _ {1} & = M_ {2} \\ I_ {3} {\ dot {\ omega}} _ {3} + (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {1} \ omega _ {2} & = M_ {3 } \ end {align}}}

Soluții de moment zero

Pentru partea dreaptă egală cu zero există soluții non-banale: precesiune gratuită (în momentul zero). Rețineți că, din moment ce I este constant (deoarece tensorul de inerție este o matrice diagonală de 3 × 3, din moment ce considerăm sistemul intrinsec sau pentru că momentul provoacă rotație în jurul aceleiași axe $\mathbf {\hat {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ $\ mathbf {\ hat {n}}$ așa că nu se schimbă) , atunci puteți scrie

\mathbf {M} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ I{\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {\hat {n}} =I\alpha \,\mathbf {\hat {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I {\ frac {d \ omega} {dt}} \ mathbf {\ hat {n}} = I \ alpha \, \ mathbf {\ hat {n}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ I {\ frac {d \ omega} {dt}} \ mathbf {\ hat {n}} = I \ alpha \, \ mathbf {\ hat {n}}}

unde α este accelerația unghiulară în jurul axei de rotație $\mathbf {\hat {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ $\ mathbf {\ hat {n}}$ .

Cu toate acestea, dacă nu aș fi constant în cadrul de referință extern (adică corpul se mișcă și tensorul său de inerție nu este diagonal în mod constant) atunci nu putem scoate I din derivată . În acest caz, va exista o precesiune gratuită, astfel încât I ( t ) și ω ( t ) variază împreună pentru a păstra derivata zero. Această mișcare poate fi vizualizată cu construcția Poinsot .

Generalizări

Puteți utiliza aceste ecuații chiar dacă axele cu privire la care

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relativo} }

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {relative}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} \ right) _ {\ mathrm {relative}}}

este descris nu sunt fixate pe corp. În acest caz, ω trebuie înlocuit cu rotația axelor în loc de rotația corpului. Cu toate acestea, este încă necesar ca axele alese să fie principiul inerției.

Notă

^ ^a ^b Goldstein , p. 199 .
^ ^a ^b Goldstein , p. 200 .

Bibliografie

CA Truesdell, III, Un prim curs de mecanică rațională continuă. Vol. 1: Concepte generale , ediția a II-a, Academic Press, 1991, ISBN 0-12-701300-8 . Secțiunile I.8-10.
CA Truesdell, III și RA Toupin, The Classical Field Theories , în S. Flügge (ed.), Enciclopedia fizicii. Vol. III / 1: Principiile mecanicii clasice și teoria câmpului , Springer-Verlag, 1960. Secțiunile 166-168, 196-197 și 294.
Lev D. Landau și Evgenij M. Lifshitz, Mecanică , ediția a III-a, Pergamon Press, 1976, ISBN 0-08-021022-8 . (Hardcover) și ISBN 0-08-029141-4 (flexibil).
Herbert Goldstein, Mecanica clasică , ediția a III-a, Addison-Wesley , 2001, ISBN 978-0-201-65702-9 .
Symon KR., Mecanică , ediția a III-a, Addison-Wesley, 1971, ISBN 0-201-07392-7 .

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4347881-5

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[:0-1] Goldstein , p. 199 .

[:1-2] Goldstein , p. 200 .

[1]

[2]